2019届江苏省南京师大附中高三最后一卷(5月) 数学文(PDF版)
江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题(含答案)
江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos(α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n∈N *均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，点M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式．2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 4338. －139. － 2 10. 18 11. 2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分)(2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55， 所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O ，连结OE ， ∵四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分)∵ AM 平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM⊥BD，且OF∩BD＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OP cos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ⊥PQ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S(θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ②设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)②当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2， 即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n≥2) ③， 所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n， 当n≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0， 所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分) 因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>… 所以对任意的n∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2， 所以b≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.①若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1. 又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a∈(－1e ，0)．(11分)当a∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点． 综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分)(2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ， 所以PA⊥AB，PA ⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． 因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)． 所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)， BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，。
2018-2019学年江苏省南京市中学附属学校高三数学文月考试题含解析
2018-2019学年江苏省南京市中学附属学校高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则=A．-1-i B．-l+iC．1-i D．l+i参考答案：C2. 盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D3. 已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】函数的值．【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，即a2+3a+2≤0，得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．4. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A． B． C．D．参考答案：A5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，可得的值，由可得答案.【详解】解：由=，可得，由，可得，故选D.【点睛】本题主要考察二倍角公式，相对简单.6.设{x}表示离x最近的整数，即若≤(m∈Z)，则{x} = m．给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：答案：D7. 已知、都是锐角，则=A. B. C. D.参考答案：C8. 已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，，则＝A．68 B．76 C．78 D．86参考答案：A10. 已知数列{a n}满足：，则( )A. 16B. 25C. 28D. 33参考答案：C【分析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知i是虚数单位，复数__________．参考答案：2略12. 已知依次成等比数列，则在区间内的解集为 .参考答案：13. 若平面向量满足，，则的取值范围为．参考答案：[2，6]【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用≤4||+，及≥﹣4||，求出||的取值范围．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2?2?||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2?2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．14. 已知= 。
江苏南师附中2019高三高考重点卷(十)(最后一卷)-数学
江苏南师附中2019高三高考重点卷（十）（最后一卷）-数学数学(总分值160分，考试时间120分钟)2018、5 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、1.设集合U ＝R ，集合M ＝{x|x 2－x ≥0}，那么∁U M ＝______________、2.高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______________、(第4题)3.i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，那么正实数a ＝________________、4.执行右图所示的算法流程图，假设输出的结果为12，那么输入的x 为________________、5.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，且x ＞0，那么sin α＝____________、6.从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为a ，从集合{2，3，4}中随机选取一个数记为b ，那么b ＞a 的概率是__________、7.向量a ＝(x －z ，1)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b .假设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤2，那么z 的取值范围是______________、8.“a ＝1”是“函数f(x)＝2x－a2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的____________条件、(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)(第9题)9.一个圆锥的展开图如下图，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，那么该圆锥的体积为__________、10.F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，B 1B 2是双曲线的虚轴，M 是OB 1的中点，过F 、M 的直线交双曲线C 于A ，且FM →＝2MA →，那么双曲线C 离心率是______________、11.数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，假设存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，那么u ＋v ＝______________、12.函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，假如函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________、(第13题)13.如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动、当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨道为G.假设G 的周长为l ，其围成的面积为S ，那么l －S 的最大值为____________、14.记F(a ，θ)＝a 2＋2asin θ＋2a 2＋2acos θ＋2，关于任意实数a 、θ，F(a ，θ)的最大值与最小值的和是__________、【二】解答题：本大题共6小题，共90分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、15.(本小题总分值14分)函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)，x ∈R 的图象有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求f(x)的解析式；(2)假设α为锐角，且f(α)＝13，求f(－α)的值、 16.(本小题总分值14分)如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直、EF ∥BD ，AB ＝2EF.求证： (1)BF ∥平面ACE ； (2)BF ⊥BD.如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔沿着弧AC(弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD(其中CD ∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.假设OA ＝1km ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度；(2)求所需渔长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围、抛物线D的顶点是椭圆C：x216＋y215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合、(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点、①假设直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？假如存在，求出m的方程；假如不存在，说明理由、函数f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)假设在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；(3)当m＞0时，假设曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值、假如无穷数列{a n }满足以下条件：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N ，那么我们称数列{a n }为Ω数列、(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围；(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.2018届高三模拟考试试卷(十)数学附加题(总分值40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共20分、假设多做，那么按作答的前两题计分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、A.(选修41：几何证明选讲)从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.B.(选修42：矩阵与变换)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量； (2)假设向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m . C.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ. (1)将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断点A 与圆O 1的位置关系、D.(选修45：不等式选讲)a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y.求证：x x ＋a ＞yy ＋b .【必做题】第22、23题，每题10分，共20分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、22.文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项、会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从文娱队中选2人，设X 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(X ＞0)＝710.(1)求文娱队的总人数； (2)计算E(X)、23.f n (x)＝(1＋x)n，n ∈N .(1)假设g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)＋3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数； (2)假设p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )、2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)数学参考答案及评分标准 1.(0，1)2.173.34.－25.－326.257.13≤z ≤28.充分不必要9.22π3 10.5211.612.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，113.5π414.415.解：(1)由题意，A ＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又0＜φ＜π，因此φ＝π6，因此f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(6分) (2)由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13＜12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝223，(10分)因此f(－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32×223－12×13＝26－16.(14分)16.证明：(1)AC 与BD 交于O 点，连结EO.正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形 ∴BF ∥EO ，又∵BF 平面ACE ，EO 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直， BD 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO 平面ACE ∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD.(14分)17.解：(1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3(6分) (2)设渔的长度为f(θ)、由(1)可知， f(θ)＝θ＋1＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(8分)因此f ′(θ)＝1－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因此π3－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，因此π3－θ＝π6，因此θ＝π6.θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 f ′(θ) ＋0 －f(θ)极大值因此f(θ)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236. 故所需渔长度的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236.(14分) 18.解：(1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)、由a 2－b 2＝4－3＝1，得c ＝1.∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x.(4分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)、①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0. M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴MN ＝（x 1－x 2）2－（y 1－y 2）2＝410.(9分)②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，那么圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G.可得|EG|2＝|MG|2－|ME|2，(11分)即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）24＋a(x 1＋4)－a 2 ＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.(14分)当a ＝3时，|EG|2＝3，如今直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意、(16分)19.解：(1)当m ＝－1时，f(x)＝－x 2－x ＋lnx ，因此f ′(x)＝－2x －1＋1x ＝－（2x －1）（x ＋1）x， 因此当0＜x ＜12，f ′(x)＞0，当x ＞12，f ′(x)＜0，因此当x ＝12时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34－ln2.(3分) (2)f ′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1＜0在(0，＋∞)上有解、 ①m ≤0显然成立；②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ＞0m ＜18，综上，m ＜18.(8分)(3)因为f(1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，因此切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1，从而方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解、令g(x)＝mx 2－x ＋lnx －2mx ＋m ＋1，那么g ′(x)＝2mx －1－2m ＋1x ＝2mx 2－（2m ＋1）x ＋1x ＝（2mx －1）（x －1）x，(10分) 因此1°m ＝12，g ′(x)≥0，因此y ＝g(x)在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，因此mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1只有一解、(12分) 2°0＜m ＜12，x ∈(0，1)，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12m ，g ′(x)＜0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，g ′(x)＞0由g(1)＝0及函数单调性可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜0，因为g(x)＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋lnx ＋1，取x ＝2＋1m ，那么g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＞0.因此在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意(14分) 3°m ＞12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，1，g ′(x)＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＞0同理在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解，不符题意，综上所述m ＝12.(16分)20.(1)解：∵b n ＋1－b n ＝5－2n ，∴n ≥3，b n ＋1－b n ＜0，故数列{b n }单调递减；(3分) 当n ＝1，2时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3，那么数列{b n }中的最大项是b 3＝7，因此M ≥7.(4分)(2)证明：∵{c n }是各项正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，设其公比为q ＞0，∴c 3q 2＋c 3q ＋c 3＝74.(6分)整理，得6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)、∴c 1＝1，c n ＝12n －1，S n ＝2－12n ＝S n ＋2，S ＜2.(8分)对任意的n ∈N ，有S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2＜2－12n ＝S n ＋2，且S n ＜2，故{S n }是Ω数列、(10分)(3)证明：假设存在正整数k 使得d k ＞d k ＋1成立，有数列{d n }的各项均为正整数，可得d k ≥d k ＋1＋1，即d k ＋1≤d k －1.因为d k ＋d k ＋22≤d k ＋1，因此d k ＋2≤2d k ＋1－d k ≤2(d k －1)－d k ＝d k －2.由d k ＋2≤2d k ＋1－d k 及d k ＞d k ＋1得d k ＋2＜2d k ＋1－d k ＋1＝d k ＋1，故d k ＋2≤d k ＋1－1.因为d k ＋1＋d k ＋32≤d k ＋2，因此d k ＋3≤2d k ＋2－d k ＋1≤2(d k ＋1－1)－d k ＋1＝d k ＋1－2≤d k －3， 由此类推，可得d k ＋m ≤d k －m(m ∈N )、(14分)又存在M ，使d k ≤M ，∴m ＞M ，使d k ＋m ＜0，这与数列{d n }的各项均为正数矛盾，因此假设不成立，即对任意n ∈N ，都有d k ≤d k ＋1成立、(16分)2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.选修41：几何证明选讲证明：连结OF 、OP 、OB.∵AE ∥CD ，∴∠PFB ＝∠AEB.∵PA ，PB 是切线，∴∠POB ＝∠AEB.∵∠PFB ＝∠POB ，∴O ，F ，B ，P 四点共圆、(5分)又∵∠OBP ＝90°，∴∠OFP ＝90°，由垂径定理可知CF ＝DF.(10分)B.选修42：矩阵与变换解：(1)由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3c －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2. 特征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，解得λ＝－1，4.属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(5分)(2)m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.∴A 4m ＝2A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝2(－1)4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－766－514.(10分)C.选修44：坐标系与参数方程解：(1)圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θx 2＋y 2＝4x ＋4y.(5分)(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4A(2，－2)、AO 1＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4＞22＝R ，点在圆外、(10分)D.选修45：不等式选讲证明：∵x x ＋a －y y ＋b ＝x （y ＋b ）－y （x ＋a ）（x ＋a ）（y ＋b ）＝bx －ay（x ＋a ）（y ＋b ）， 又b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴(x ＋a)(y ＋b)＞0，bx ＞ay ，即bx －ay ＞0，∴x x ＋a －y y ＋b ＞0，即x x ＋a ＞yy ＋b .(10分)22.解：(1)设总人数为n 个，那么P(X ＞0)＝1－P(X ＝0)＝1－C 22n －7C 2n ＝710. ∵2n －7≥2，∴n ≥4.5.∵2＜n ＜7，n ∈N n ＝5，6，逐个代入，得n ＝5.(5分)(2)P(X ＝0)＝1－P(X ＞0)＝1－710＝310，P(X ＝2)＝C 22C 25＝110， P(X ＝1)＝1－110－310＝610＝35，E(X)＝0×310＋2×110＋1×35＝45.(10分)23.(1)解：g(x)中含x 2项的系数为C 44＋2C 45＋3C 46＝1＋10＋45＝56.(3分)(2)证明：由题意，p n ＝2n －1.(5分)①当n ＝1时，p 1(a 1＋1)＝a 1＋1，成立；②假设当n ＝k 时，p k (a 1a 2…a k ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )成立， 当n ＝k ＋1时，(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k －1(a 1a 2…a k ＋1)(1＋a k ＋1)＝2k －1(a 1a 2…a k a k ＋1＋a 1a 2…a k ＋a k ＋1＋1)、()∵a k ＞1，a 1a 2…a k (a k ＋1－1)≥a k ＋1－1，即a 1a 2…a k a k ＋1＋1≥a 1a 2…a k ＋a k ＋1， 代入()式得(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k (a 1a 2…a k a k ＋1＋1)成立、 综合①②可知，p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )对任意n ∈N 成立、(10分)。
2019届江苏省南京师大附中高三下学期5月模拟数学试题(含全解析)
7
在双曲线中 : PF1 PF2 2 2 2 2 4 2 2 ,
所以双曲线的实轴长为 : 4 2 2 , 实半轴为 2 2
则双曲线的离心率为 : e
1
2 2.
22 2
故答案为 : 2 2 2
点评：
本题主要考查椭圆与双曲线的定义 , 考查离心率的求解 , 利用定义解决综合问题 .
12 ．在平面直角坐标系
答案： 0,1
根据函数成立的条件列不等式组 , 求解即可得定义域 . 解：
x0
解 : 要使函数有意义 , 则
,
1x 0
即 0 x 1. 则定义域为 : 0,1 .
2
故答案为 : 0,1
点评： 本题主要考查定义域的求解 , 要熟练掌握张建函数成立的条件 .
6．下图是一个算法流程图 , 则输出的 k 的值为 __________．
2
AC 2 5 ,
通过勾股定理得 AB
得出 B 点坐标 . 解：
8
AC2 CB2 , 再利用两点间的距离公式即可求出
x0 6 , 进而
1 解 : 依题意画图 , 设 B x0 , x0 , x0 0
2 以 AB 为直径的圆被直线 l 所截得的弦长为 BC ,
且 BC 2 5 ,
又因为 AB 为圆的直径 , 则 AB 所对的圆周角 ACB 90o,
能力和计算能力 , 是基础题 .
10．如果函数 f x m 2 x2 2 n 8 x 1（ m , n R 且 m 2, n 0 ）在区间
1 , 2 上单调递减 , 那么 mn 的最大值为 __________ ．
2
答案： 18 根据函数单调性的性质 , 分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不 等式 , 利用基本不等式求解即可 . 解：
2019年江苏省高考最后一卷数学试卷含答案解析
2019江苏高考最后一卷数学一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分）1.已知复数z 的实部为 2 ，虚部为1，则z 的模等于.2.已知集合A1,0,,3，集合B x y x 2，则A B.3.右图 1 是一个算法流程图，若输入x 的值为 4 ，则输出y 的值为.图 2(图 1)4.函数f ( x)12x的定义域为.log 2 ( x1)5.样本容量为 10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图 2 所示，则这组数据的方差等于．6.设, 是两个不重合的平面，m, n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n, n || ,m, 则 n || m ；②若m, n， m∥ , n∥，则∥；③若,m, n, n m ，则 n；④若 m,, m∥ n ，则 n∥.其中正确的命题序号为7.若圆( x 3)2( y5) 2r 2上有且只有两个点到直线l : 4x3y 2 的距离等于1，则半径 r 的取值范围是.8. 已知命题P : b, 2 ,f x 2 x b x在 c , 1上为减函数；命题，使得x0.则在命题P Q，P Q，P Q，y 0P Q 中任取一个命题，则取得真命题的概率是12bx c1x 9.若函数f ( x)( a, b, c R) ( a,b, c, d R)，其图象如图x2ax 123 所示，则a b c.图 310.函数f ( x)x 3 a x22a 2 x3 a 的的图象经过四个象限，则22取值范围是．11.在ABC 中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Asin C sin B ，则函数b c a cf ( x)cos2 ( xA)sin2 (xA) 在2,3上的单调递增区间是. 22212. “已知关于x的不等式ax2bx c0 的解集为 (1,2)，解关于 x 的不等式cx 2bx a0 .”给出如下的一种解法：1211解：由 ax 2bx c0 的解集为(1,2)，得 a b c0 的解集为 (,1) ，即关于x x2x 的不等式 cx2bx a0的解集为 (1,1) .2参考上述解法：若关于 x 的不等式b x b0 的解集为 (1,1)( 1,1) ，则关于 x 的x a x c32不等式b x b0 的解集为. x a x c13.2019 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列a n满足n n 1 a n2a n10 ，定义使log2a k为整数的实数k 为“青奥吉祥数” ，则在区间 [1，2019]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知f x x2 2 x,0A y y f x, 1x 1 ，3x2x ,，设集合B y y ax,1x 1，若对同一x 的值，总有y1y2，其中 y1A, y2 B ，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题共 6 小题，共90 分）15. 在ABC中，角A，B， C的对边分别为 a ，b， c ，向量C，且 m n.2（1）求sin C的值；（ 2）若a2b2 4 a b8，求边c的长度.16.如图 4，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD△ PAD，AB∥DC，是等边三角形，P已知 BD 2AD 8，AB 2DC 4 5．MD C（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面 PAD ；A B （2）求四棱锥P ABCD 的体积．图 417.如图 5， GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在 GH 上），现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路AB，AC，已知 AB = ACo1，且∠ ABC = 60 ．（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为 1 万元 /km ，两条道路造价为 3 万元 /km ，问： x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？AC DG B F E H公路图 518. 如图 6，椭圆x2y2 1 (a b 0) 过点 P(1,3) ，其左、右焦点分别为F1 , F2，离心率a2b221F1M F2N 0 ．e，M , N是椭圆右准线上的两个动点，且2（1）求椭圆的方程；M （2）求MN的最小值；y（3）以MN为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论．F1O F2xN（图 6）19.已知函数 f ( x) a x x 2x ln a(a 0, a1).（1）求曲线y f ( x)在点(0, f (0))处的切线方程；（2）求函数 f ( x )的单调增区间；（3）若存在x1, x2[ 1,1] ，使得f ( x1) f ( x2) e 1(e 是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．20. 已知数列 {a n}中， a2=a(a 为非零常数 )，其前 n 项和 S n满足 S n=n(a n－ a1 )2(n N*) ．（1）求数列 {a n}的通项公式；（2）若 a=2，且1a m2S n 11 ，求 m、n 的值；4（3）是否存在实数a、 b，使得对任意正整数p，数列 {a n}中满足 a n b p 的最大项恰为第3p 2 项？若存在，分别求出 a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A．[选修4-1：几何证明选讲] （本小题满分10 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线PC 及割线 PAB ， C 为切点．C 求证： AP BC AC CP ．O PAB（第 21- A题）21B．已知矩阵M 2 1,3，计算 M2．1 2521C．已知圆C的极坐标方程是4sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立x 3 t平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2(t 是参数）．若直线 l 与圆 C 相切，求正1y t m2数 m 的值．21D．（本小题满分10 分，不等式选讲）已知不等式 a b2c ≤| x2 1| 对于满足条件 a 2b2 c 21的任意实数a, b, c 恒成立,求实数 x 的取值范围．【必做题】第22、 23 题，每小题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）22. 如图，在四棱锥P－ ABCD 中，PA底面 ABCD，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC 60 ， PA 6 ， M 为 PC的中点．（ 1）求异面直线PB 与 MD 所成的角的大小；P（ 2）求平面PCD与平面 PAD所成的二面角的正弦值．MA DB C（第 22 题）23．（本小题满分10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球， 5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n．（1）求随机变量 X2的概率分布及数学期望 E(X2)；（2）求随机变量 X n的数学期望 E(X n)关于 n 的表达式．2019江苏高考最后一卷数学答案一、填空题1.52..1,03.24. (1,2)(2,)5.7.219.4 6. ①③ 7. 8.410.,81(1,)11.0,12. (1,1113.204714.1,0 44)(,1)23提示：1. z 2 i ，则z 2 i ，则 z( 2)2( 1)2 5 .2. B x y2x x 2x 0x x2，又 A1,0,,3 ，所以 A B1,0 .3. 当x4时， 4 3 ，则 x7 ；当 x7时， 7 3 ， x4 ；当 x4时， 4 3 ，x 1 ；当 x1时， 1 3 不成立，则输出y21 2 .4.要使原式有意义，则x101且 x 2 . x1，即 x15.2 出现100.44次，5出现 100.22次，8出现100.4 4 次，所以s214(25)22(55)24(55)27.2 .10m, n 相交时6.逐个判断。
江苏南师附中2019高三高考重点卷(十)(最后一卷)-语文
江苏南师附中2019高三高考重点卷（十）（最后一卷）-语文(总分值160分，考试时间150分钟)2018、5【一】语言文字运用(15分)1.以下词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是(3分)()A.冠．盖/冠．军消弭．/所向披靡诤．．友/铁骨铮．铮B.笑靥．/梦魇悭．．吝/铿．锵有力悖．逆/勃．然大怒C.抓阄．/龟．裂剽．窃/虚无缥．缈丝绦．/涤．荡尘埃D.鹰隼．/榫．眼解．数/解．甲归田罪愆．/繁衍．不息2.以下各句中，加点的成语使用恰当的一句是(3分)()A.辩论赛上，选手们就当代青年关怀的问题展开了激辩，有的辩手可谓字字珠玑，闪烁．．其辞．．，表达出良好的思辨能力和语言驾驭能力。
B.“老街”东头一处古宅的外墙昨夜坍塌。
有网民认为这起事故本可预防，现在却祸起．．萧墙．．，应该追究相关治理部门的责任。
C.22年来，杨善洲带领大伙义务植树造林5.6万亩，濯濯童山．．．．现在变得郁郁葱葱，被评选为2017年度感动中国人物。
D.《平凡的世界》读来令人荡气回肠，被誉为“茅盾文学奖皇冠上的明珠，激励千万青年的不朽经典”，真是无可厚非．．．．。
3.请为下面的新闻评论拟写一个标题。
(15字以内)(4分)据日本共同社报道，日本最后一座正在运营的核电站5号夜间停止发电。
在东京电力福岛第一核电站事故发生1年零2个月后，在弃核呼声高涨的民意面前，日本迎来了“零核电”的局面。
过去近半个世纪都在进展核能的日本去核代价沉重：一方面，丧失了几乎三分之一的发电能力，对居民生活和生产活动都产生了妨碍；另一方面，去核必定让资源短缺的日本增加对能源进口的依赖，在经济上势必要同意沉重的打击。
但不管代价有多沉重，日本政府在民意面前仍然选择了尊重民意。
__4.110周年校庆，是南师附中百年大庆以后的首个“十年庆”。
结合你对附中精神及其文化传统的理解，写一那么宣传语。
要求：至少使用一种修辞手法，不超过30字。
(5分) ____【二】文言文阅读(19分)阅读下面的文言文，完成5～8题。
2019年5月江苏省南京师大附中2019届高三高考最后一卷英语试题及答案
绝密★启用前江苏省南京师大附中2019届高三高考最后一卷英语试题2019年5月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
()1. What did the man do last night?A. He watched a play.B. He did some shopping.C. He relaxed at home.()2. When can the speakers reach the Overseas Chinese Hotel?A. At 11：35.B. At 11：45.C. At 12：00.()3. How did John do in the exam?A. He failed in the exam.B. He got the highest mark.C. He did worse than last time.()4. What is the woman doing?A. Offering suggestions.B. Expressing dissatisfaction.C. Asking for help.()5. Who knows the best place to ride a bike according to the conversation?A. Harry.B. The man speaker.C. The woman speaker.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
江苏省南京师大附中2019届高三历史5月最后一卷试题(含答案)
江苏省南京师大附中2019届高三历史5月最后一卷试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1. 学者许倬云在《西周史》中认为：“西周的分封并不只是周人殖民队伍分别占有一片东方的土地，分封制度是人口的再编组，每一个封君受封的不仅是土地，更重要的是分领了不同的人群。
新封的封国，因其与原居民的揉合，而成为地缘性的政治单位，遂逐渐演变为春秋的列国制度。
”该观点认为分封制( )A. 加强了中央集权B. 是对东方的殖民活动C. 推动地方融合发展D. 埋下春秋动荡的隐患2. 下图为新疆特殊的水利工程型式——坎儿井。
在新疆一些冲积扇地区，土壤多为砂砾，渗水性强，采用上述施工方法既可解决水的渗透流失问题，也可减少蒸发。
坎儿井有可能受到下列哪一古代水利工程的启发( )A. 白渠B. 漕渠C. 都江堰D. 龙首渠3. 日本学术界曾提出唐宋变革说，认为唐代是贵族社会的完结，宋代是平民社会的开始。
下列能佐证上述观点的文化现象是( )A. 怀素张旭等草书大师的出现B. 情节曲折的传奇小说受到市民欢迎C. 词成为宋代文学的主流形式D. 《游春图》《步辇图》等风俗画的流行4. 培根说：“我们应当观察各种发明的威力和效果，最显著的例子便是印刷术、火药和指南针……世界上没有一个帝国，没有一个教派，没有一个星宿，比这三种发明对于人类发生过更大的力量和影响了。
”据此，关于上述发明的影响理解正确的是( )A. 推动了中国社会发展的转型B. 促进了欧洲近代社会的到来C. 导致我国科技发展到达巅峰D. 引发了欧洲列强的殖民拓张5. 王阳明说：“求诸心而得，虽其言之非出于孔子者，亦不敢以为非也；求诸心而不得，虽其言之出于孔子者，亦不敢以为是也”。
对此理解正确的是( )A. “心”成为判断是非的准绳B. 动摇了儒学思想的统治地位C. 继承了李贽离经叛道的思想D. 体现了知行合一的思想观念6. 洋务运动的代表李鸿章说：“我却未见圣人留下几件好算数器艺来，孔子不会打洋枪，今不足贵也。
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2019届高三模拟考试试卷数 学 文 科(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x ≤2}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos (α－3π4)的值； (2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n ∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n ∈N*均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 433 8. －13 9. －2 10. 18 11.2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6} 15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分) (1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分)(2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55， 所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， ∵四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ ⊥PQ ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ， 即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S (θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2．(12分) 令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，sin θ的值为34－28.(14分) 18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分)②设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)， 把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m 2－4k 2 ③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|，∴NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)②当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n 2＝2n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n ≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2， 即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n ≥2) ③，所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n ≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n ≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列， 故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n －1]，(10分)所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n，当n ≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0， 所以当n ≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n ≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n －1]<0.(14分)因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>…所以对任意的n ∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x ≥b 对任意的x>0恒成立．(4分) 设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x －2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2， 所以b ≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.①若a ≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x ≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x 的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1. 又由①式，得x 0ex 0＝－1a由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a ∈(－1e ，0)．(11分)当a ∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1ee ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a>e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t >2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a)<0. 由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a)·h(x 0)<0， 同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点．综上，a ∈(－1e，0)．(16分)。