运筹学1至6章习题参考答案
运筹学(第五版) 习题答案
当 0，目标函数在B点有最大值；
当 0，目标函数在原点最大值。
k 0时， ， 同号。
当 0时，目标函数在A点有最大值
当 0时，目标函数在原点最大值。
k 0时， ， 异号。
当 0， 0时，目标函数在A点有最大值；
当 0， 0时，目标函数在C点最大值。
k= 时， ， 同号
当 0时，目标函数在AB线断上任一点有最大值
最优解为
X=（0，8/5，0，1/5
目标函数下界是z=32/5
1.8表1-6是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量， ， ， ，d， ， 为待定常数，试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，对解改进，换入变量为 ，换出变量为 。
， ， 0， 无约束
（2）max
0 (i=1…n; k=1,…,m)
（1）解：设z=- , = - , , 0
标准型：
Max =3 -4 +2 -5( - )+0 +0 -M -M
s. t .
-4 + -2 + - + =2
+ +3 - + + =14
-2 +3 - +2 -2 - + =2
, , , , , , , , 0
2
4
1
1/3
0
1/6
12
-z
-8
0
1/3
0
-1/3
1
3/4
0
1
1/4
-1/8
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学(第五版) 习题答案
当所有非基变量为负数，人工变量 =0.5，所以原问题无可行解。
两阶段法（略）
（4）解法一：大M法
单纯形法，（表略）非基变量 的检验数大于零，此线性规划问题有无界解。
两阶段法略
1.7求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界；
Max z= +
其中： ， ， ， ， ， ， ，
解：
求Z的上界
班次时间所需人数16点到10点60210点到14点70314点到18点60418点到22点50522点到2点2062点到6点30设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班并连续上班8小时问该公交线路至少配备多少司机和乘务人员
运筹学习题答案
第一章（39页）
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
以（ ， ）为基，基解 =（0，0，1，1 是 =-3；
最大值为 =43/5；最优解为 =（2/5，0，11/5，0 。
1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。
（1）max z=2 +
3 +5 15
6 +2 24
， 0
（2）max z=2 +5
4
2 12
1
0
0
0
14
-M
2
-2
[3]
-1
2
-2
0
-1
1
0
2/3
-
4M
3-6M
4M-4
2-3M
3M-5
5-3M
0
-M
0
0
(2)解：加入人工变量 ， ， ，… ，得：
运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
page 3 15 June 2013
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School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学各章的作业题答案解析
《管理运筹学》各章的作业----复习思考题及作业题第一章绪论复习思考题1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
第二章线性规划建模及单纯形法复习思考题1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取优质参考资料(2)x i3(1)什么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样 的情况下，继续第二阶段？作业题:1 、把以下线性规划问题化为标准形式：(i) max z= x i -2x 2 +x 3s.t.x i +x 2 +x 3 w i2 2x i +x 2 -x 3> 6 -x i+3x 2=9x i , x 2,x 3> 0(2)min z= -2x i -x 2 +3x 3 -5x 4s.tx i +2x 2 +4x 3 -x 462x i +3x 2-x 3 +x 4 = i2x i+x 3+x 4w 4x i ,x 2,x 4maxz= x i+3x 2 +4x 3(3)s.t.3x i +2x 2w i3x 2 +3x 3w i72x i+x 2 +x 3 =i3x i ,x 3> 02 、用图解法求解以下线性规划问题max z= x 1+3x 2s.t.x i +X 2< 10-2x i +2x 2 w 12 X i w 7 x i ,X 2 > 0min z= x 1 -3x 2 s.t.2x 1 -x 2 w 4 x i +X 2> 3x2 w 5 w4x1, X2 > 03、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解max z= 2x1 +x2 -x 3s.t. x1 + x2 +2x3 < 6x1 +4x2 -x 3 < 4x1, x2, x3 > 04、用单纯形表求解以下线性规划问题(1) max s.t. z= x1x12x 1-x 1x 1, -2x 2 +x3+X2 +X3 w 12 +X2 -x 3 w 6+3X2X2,w 9X3 > 0(2) min z= -2x 1 -X 2 +3X3 5X 4s.t x1 +2X 2 +4X3 -X 4 w 62x1 +3X 2 -X 3 +X4 w 12x1 +X3 +X4 w 4x1, X2, X3, X4 05、用大M法和两阶段法求解以下线性规划问题(1) MaX z= X1 +3X2 +4X3s.t. 3X 1 +2X2 w13X2 +3X3 w172X 1 +X2 +X3 =13X 1, X2, X3> 0(2) maX z= 2X 1 -X 2 +X3s.t. X1 +X2 -2X 3 w84X 1 -X 2 +X3 w22X 1 +3X2 -X 3 > 4X 1, X2, X3 > 06 、某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100 毫克维生素。
运筹学1-6章参考答案
2xx32x13x6xx2522xx38x6xx492x733x010x182xx912x1x013445000
x2
x3
2 x4
x7
x9
3x10
2 x12
3x13
4 x14
600
x j 0, j 1, 2,,14
数量(根)
方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四需要量 0 0 0 300
B2:2m 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 450
A1:1.7m 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 400
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
【解】设 x1、x2、x3 分别为产品 A、B、C 的产量，则数学模型为
max Z 10x1 14x2 12x3
1.5x1 1.2x2 4x3 2500 3x1 1.6x2 1.2x3 1400
150 260
x1 x2
250 310
120
x3
130
x1, x2 , x3 0
1.3 建筑公司需要用 6m 长的塑钢材料制作 A、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
运筹学（第 2 版）习题答案
第 1 章 线性规划 P36~40 第 2 章 线性规划的对偶理论 P68~69 第 3 章 整数规划 P82~84 第 4 章 目标规划 P98~100 第 5 章 运输与指派问题 P134~136 第 6 章 网络模型 P164~165 第 7 章 网络计划 P185~187 第 8 章 动态规划 P208~210 第 9 章 排队论 P239~240 第 10 章 存储论 P269~270 第 11 章 决策论 Pp297－298 第 12 章 博弈论 P325~326 全书 360 页
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【解】是设 xij 为第 i 年投入第 j 项目的资金数，变量表如下
项目一 项目二
项目三 项目四
第 1 年 x11
x12
第 2 年 x21
第 3 年 x31
数学模型为
x23 x34
运筹学(第 3 版) 习题答案
4
max Z 0.2x11 0.2x21 0.2x31 0.5x12 0.6x23 0.3x34
B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200
A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600
A2 1.5 0 0 0 1 0 0 2 0 2 3 900
余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0 1 0 0.5 第二步：建立线性规划数学模型 设 xj（j=1,2,…，10）为第 j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
为 0，第 12 个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有 3 万元（不计利息）可供投资：
方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是 20％，下一年可
继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是 50％，下一年可
2xx32x12x6xx252xxx386
x4 x7 x9
800 1200 600
x4
2 x7
2 x9
3x10
900
x j 0, j 1, 2,,10
1.3 某企业需要制定 1～6 月份产品 A 的生产与销售计划。已知产品 A 每月底交货，市场需
求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件，1 月初仓库库存 200 件。1～
x1
x1
800 y1
x2
800
x1
y1
x2
y2
x3
800
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 800
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
800
（1）
x1x1 y1y1
x2 y2 200
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
800
x1 y1 x2 y2 200
x1 x1
【解】设 xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为 1～6 月份的生产量和销售量，则数学模型为
运筹学(第 3 版) 习题答案
3
max Z 300x1 350 y1 330x2 340 y2 320x3 350 y3 360x4
420 y4 360x5 410 y5 300x6 340 y6
运筹学(第 3 版) 习题答案
2
（2）余料最少数学模型为
10
min Z xj j 1
2xx32x12x6xx252xxx386
x4 x7 x9
800 1200 600
x4
2 x7
2 x9
3x10
900
x j 0, j 1, 2,,10
min Z 0.5x2 0.5x3 x4 x5 x6 x8 0.5x10
x111.2
x12 x11
30000 x21 x23
30000
x112.5x21200010.2x21 x31 x34 30000
x23
15000
x34 xij
10000 0,i 1,,
3;
j
1, 4
最优解 X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720
1.5x1 1.2x2 4x3 2500 3x1 1.6x2 1.2x3 1400
150 260
x1 x2
250 310
120
x3
130
x1, x2 , x3 0
1.2 建筑公司需要用 5m 长的塑钢材料制作 A、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表 1－24 所示：
表1－24 窗架所需材料规格及数量
继续将本息投入获利，这种投资最多不超过 2 万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是 60％，这种投资
最多不超过 1.5 万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是 30％，这种投
资最多不超过 1 万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
y1 y1
x2 x2
y2 y2
x3 x3
y3 y3
200 x4
y4
200
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
200
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 200
x
j
,
yj
0;
j
1, 2,, 6
（2）目标函数不变，前 6 个约束右端常数 800 改为 1000，第 7～11 个约束右端常数 200 改
6 月份产品 A 的单件成本与售价如表 1－25 所示。
表 1－25
月份
1
2
3
4
5
6
产品成本(元/件)
300 330 320
360
360
300
销售价格(元/件)
350 340 350
420
410
340
（1）1～6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。
1.2
利润(元/件)
10
14
12
14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是 150、260 和 120,最高月需求是 250、310
和 130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设 x1、x2、x3 分别为产品 A、B、C 的产量，则数学模型为
max Z 10x1 14x2 12x3
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由 中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于 94，每桶利润 5 元，见表 1－26。
运筹学(第 3 版) 习题答案
1
运筹学 1 至 6 章习题参考答案
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产 A、B、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如表 1－23 所示．
表1－23
产品 资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
型号 A
型号 B
每套窗架需要 长度（m） 数量(根)
材料
A1：2
2
A2：1.5
3
需要量（套）
300
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】 第一步：求下料方案，见下表。
长度(m) 数量(根)
B1：2.5
2
B2：2
3
400
方案
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量
B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800