夹半角的模型

3夹半角
知识目标
目标一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目标二：掌握夹半角模型的构造及应用
模块一夹半角的模型
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夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。

其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。

学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．
夹半角模型分类：
（1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．
题型一90度夹45度
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF．
【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF；
（2）∠AEB+∠AEF=180°．
【例2】已知△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N是AB
上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2．
【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM 之间的关系．
【知识扩充】
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：
【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF=45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：∠EAF=45°．
【变式3】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作∠MCN=45°交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点．
【变式4】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，N是线段BD靠近D的三等分点，求证：∠MCN=45°．
题型二120度夹60度
【例3】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．
【练】如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．
【拓】（汉阳12期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L 的关系．
（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是____________________；此时L
Q =_________________；（不必证明） （2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN =2，则Q =__________（用含有L 的式子表示）
题型三 2α夹α
【例4】如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =2
1∠BDC ，求证：BM +CN =MN ．
【练】如图，在例4的条件下，若M 、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =2
1∠BDC ，探究：线段BM 、CN 、MN 的数量关系．
模块二 夹半角模型的构造
备注：以下题目可能会使用到勾股定理
【例5】（2012年武珞路八上期中）如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B
点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足012
1442=+-+-a a b a ，若D （0，4），EB ⊥OB 于B ，且满足∠EAD =45°，试求线段EB 的长度．
【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），点B （a ，0），点D （d ，0），且a 、b 、d 满足0)2(312=-+-++d b a ，
DE ⊥x 轴且∠BED =∠ABD ，BE 交y 轴于点C ，AE 交x 轴于点F ．
（1）求点A 、点B 、点D 的坐标；
（2）求点E 、点F 的坐标；
（3）如图，过P （0，-1）作x 轴的平行线，在该平行线上有一点Q （点Q 在点P 的右侧）使∠QEM =45°，QE 交x 轴于点N ，ME 交y 轴的正半轴于点M ，确定PQ
MQ AM -的值．
【例7】点A （a ，0）、B （0，b ）分别在x 轴、y 轴上，且0962
=+-+-a a b a ． （1）求a ，b 的值
（2）如图1，若线段AB 的长为23，点C 为y 轴负半轴上的一点，且射线CA 平分△AOB 的外角∠BA x ，求点C 的坐标．
（3）如图2，取点D （0,2）并连接AD ，将△AOD 烟直线AD 折叠得到△ADE ，过点B 作y 轴的垂线BF 交射线DE 的延长线于F 点，连接AF ，求BF 的长．
第3讲 【课后作业】 夹半角
1．（2015年洪山区八中期中）
如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB 1E ，∠EA 1E 的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．
2．如图△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，则△AMN 的周长为__________．
3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE =2∠CAD ．
4．如图，平面直角坐标系中，已知A （a ，4）、B （b ，0），且满足09612
=+-+-b b a
（1）求A 、B 两点的坐标
（2）若点A 在第一象限内，且△ABC 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．
（3）如图，点N （1，0）、R （4，3），点P 为线段AN 上的一动点，连接PR ，以PR 为一边作∠PRM =45°，交x 轴于点M ，连PM ，请问点P 在运动的过程中，线段PM 、AM 、BM 直线有怎样的数量关系，证明你的结论．。