复变函数第七章学习指导.docx
复变函数7章
其中：φ(z)在此邻域内(包括z=a)解析，且φ(a)≠0, 则 ϕ (n −1) (a ) Res f ( z ) = z =a (n − 1)! ∞ 证 φ(z)在a的泰勒展式是： ϕ (z ) = ∑ α k (z − a) k k =1 (n −1) 则 (a ) Res f ( z ) = α n −1 = ϕ z =a (n − 1)!
注意：这里的积分路径的半径并非只能取1/4，只须使半径 小于1即可满足定义的条件． 解法2 因点z=0为f(z)的孤立奇点，所以，在:0<|z|<1/3内有 解法 ∞ ∞ 5 z − 2 (−1) 2 2 n f ( z) = ⋅ = ( − 5) ⋅ ∑ z = − 3∑ z n z 1− z z z n=0 n =0 由此得c-1=2 ，得 同样这里并非只能取 同样这里并非只能取 Res f ( z ) = 2 z =0 1/3,只须小于 即可 只须小于1即可 只须小于
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例(P228例6.1) 设 f (z ) =
5z − 2 2 求 z (z − 1)
z =2
∫ f ( z) d z
解 f(z)在积分曲线:|z|=2内的奇点为： z =0、1 则 Res f z ( )
由留数定理得：
z =2
5z − 2 = lim z ⋅ = −2 z =0 2 z →0 z (z − 1) ′ 5z − 2 Res f ( z ) = (z − 1) 2 ⋅ 2 z =1 z (z − 1)
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补充例) 例(补充例 补充例 设 f ( z) =
5z − 2 z ( z − 1)
求 Res f ( z ) z =0
复变函数指导书(全)
复变函数学习指导书第一章 复数与复变函数一.内容提要 (一)复数及其表示1.复数的概念形如z x iy =+的数称为复数,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,21i =-.,x y 分别为z 的实部与虚部,记为()()Re ,Im x z y z ==. 当0x =时,z iy =为纯虚数;0y =,z x =为实数.称复数x iy -为复数z x iy =+的共轭复数,记为z ,即z x iy =-. 规定:(1)()()()()121212Re Re ,Im Im z z z z z z =⇔==(2)000x z x iy y =⎧=+=⇔⎨=⎩(3)两个复数不能比较大小. 2.复数的表示(1) 点表示：(),z x iy x y =+⇔表示xo y 平面上点的坐标； (2) 矢量表示：用从原点指向点(),x y 的矢量表示，如图（1-1）所示矢量长度为复数z的模，记为z =0z ≠时，称矢量与x 轴正向的夹角为z的幅角，记()Arg z ，此时有()tan y A rgz x=，它是一个多值函数；称位于(,]ππ-中的幅角为z 的主值，记作()arg z ，于是有()()arg 2,(Arg z z k k π=+是整数）。
()a r g z 与arctany x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；(3) 三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=； (4) 指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(5) 复球面表示：复数可用复球面上的点表示。
(二) 复数的运算1.加减法 ● 设复数111222,z x iy z x iy =+=+, 则()()121212z z x x i y y ±=±+±. ● ()()22Re ,22z z x z z z iy iIm z +==-==●12121212,z z z z z z z z +≤+-≥- (请考虑几何意义)2.乘除法 (1) 乘法 ● 若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++ ● 若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z eθθ+= (请考虑几何意义)● ()()()12121212,z z z z Arg z z Arg z Arg z ==+●2221212,z z x y z z z z z =+==,(2) 除法●若111222,z x iy z x iy =+=+,则有 ()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x iz x iy x iy x iy x yx y+-++-===+++-++●若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121122i z z ez z θθ-= (请考虑几何意义)● ()()11112222,z z z Arg Arg z Arg z z z z ⎛⎫==- ⎪⎝⎭●1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ 3.乘幂与方根 (1) 乘幂 ● 若,i z z e θ=则nnin z z e θ=● ()(),nnnzz Arg znArg z ==●()()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ (n 是任意整数) (De Moivre 公式)(2) 方根●122cos sin (0,1,21)nk k zi k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭● 注意：一个复数开n 次方根一定有n 个相异的值；并且负数也能开偶次方根。
复变函数课件章节
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01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数第七章学习指导
复变函数第七章学习指导一、 知识结构()()()()()()7.17.137.147.17.47.6,,,n z az b w w z z w e z Lnw cz d ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪=====⎪⎪+⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩共形影射概念共形影射的基本理论黎曼定理定理定理边界对应定理定理保域性定理保角性定理保形性定理解析函数的影射特征的影射性质共形影射基本问题举例二、 学习要求⑴ 理解解析函数的映射性质；⑵ 了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质； ⑶ 理解分式线性变换的映射性质；⑷ 会求将区域G 映射为G '的共形映射)(z f W =。
三、 内容提要解析函数的保域性定理7.1 若函数)(z f w =在区域G 内解析，且不是一个常数，则G 的象='G)(G f 是区域．解析函数的保角性定义7.1 设映射)(z f w =在区域G 内连续，若它使通过点G z ∈0的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点0z 是保角的．若映射)(z f w =在区域G 内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G 内的保角映射，或称该映射在G 内是保角的．定义7.2 若映射)(z f w =在区域G 内是单叶且保角的，则称该映射为区域G 内的保形映射，或称该映射在G 内是保形的．定理7.2 若函数)(z f w =在区域G 内解析，则它在导数不为零处是保角的． 定理7.3 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则它在G 内是保角的． 单叶解析函数的保形性定理7.4 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则⑴)(z f w =是区域G 内的保形映射，且G 的像)(G f G ='为区域； ⑵)(z f w =的反函数)(1w fz -=在G '内单叶且解析，并有G z f w G z z f w f'∈=∈'='-)(,,)(1)(000001几个初等函数的映射性质⒈h z w += (h 为常数)的映射性质：⑴是一个平移变换．⑵在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． ⑶将圆周映射为圆周．⒉kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： ⑴是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．⑵在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． ⒊zw 1=的映射性质： ⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称．⑵在复平面上除0=z 外，处处是保角的． ⑶将圆周映射为圆周．对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线．⒋幂函数与根式函数的映射性质：1） 幂函数n z w n ,=为大于1的自然数⑴设G 为射线0arg θ=z ，经nz w =映射后的像G '为w 平面上的射线0arg θn w =． ⑵设G 为圆周0r z =，经nz w =映射后的像G '为w 平面上的圆周n r w 0=．⑶nz w =将模相同而辐角相差nπ2的整数倍的点1z 与2z 映射为同一点． ⑷nz w =将1,,2,1,0,π2)1(arg π2:-=+<<n k nk z n kG k 映射为π2arg 0:<<'w G ．2） 根式函数n z w n ,=为大于1的自然数根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质．⒌指数函数与对数函数的映射性质：1） 指数函数z w e =⑴设G 为平行于实轴的直线0y y =，经zw e =映射后的像G '为w 平面上的一条始于原点的射线0y =ϕ．⑵设G 为线段：π20,0≤≤=y x x ，经zw e =映射后的像G '为圆周0e xw =．⑶设k G 为：π)1(2π2,+≤≤+∞<<∞-k y k x ，k 为整数，经zw e =映射后的像G '为w 平面上从原点起始沿正实轴剪开的w 平面．2） 对数函数w z Ln =对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质． 分式线性变换的映射性质 称变换dcz baz w ++=（7.7）为分式线性变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成． ⑴保形性定理7.5 h kz w += (0≠k )在扩充复平面是保角的．定理7.6 zw 1=在扩充复平面是保角的． 由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7.7． 定理7.7 分式线性变换在扩充复平面是保形的． ⑵保圆周性定理7.8 分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线．⑶保对称点性定理7.9 设)(z f w =为分式线性变换，若扩充z 平面上两点1z 与2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两点关于圆周)(c f c ='对称． ⑷保交比性定理7.10 若有分式线性变换dcz baz w ++=则),,,(),,,(43214321z z z z w w w w =其中，4,3,2,1,=++=k dcz b az w k k k定理7.11 若分式性性变换将扩充复平面（z 平面）上三个互异的点321,,z z z 映射为扩充复平面（w 平面）上的三点321,,w w w ，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=---- （8.11） 定理7.12 若G 为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数)(z f w =将G 映射为单位圆D ；又若对G 内某一点a 满足条件0)(=a f 且 0)(>'a f则函数)(z f w =是惟一的．定理8.13 设单连通区域G 与G '分别是简单闭曲线c 与c '的内部，若函数)(z f w =在c G G +=上解析，且将c 双方单值的映射为c '，则函数)(z f w =在G 内单叶且将G 映射为G '．由于要求将点α=z 映射为点0=w ，而关于z 平面上的实轴与点α对称的点是α，关于w 平面上的圆周c 与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点α=z 映射为点0=w 外，还应将点α=z 映射为点∞=w ．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为k z z kw ,αα--=为待定系数为确定k ，只须利用该变换需将实轴上的点x z =映射为单位圆周1=w 上的点的事实，即当x z =时，有αα--=x x kw k = 1= 由此得θθ,e i =k 为任意实数．至此，便得θαααθ,0Im ,ei >--=z z w 为任意实数 （7.12）经验证，（7.12）式即为所求．事实上，当x z =时，由（7.12）式得ααθ--⋅=x x w i e 1=又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将z 平面上的实轴（上半平面的边界）映射为w 平面上的圆周1=w （单位圆的边界）． 又由于当α=z 时，由（7.12）式得0=w ，而该点位于圆1<w 中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式将0Im >z 映射为1<w ，且将点)0(Im >αα映射为点0=w ．至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求．四、 典型例题例1 试求将点1,0,∞分别映射为点∞,1,0的分式线性变换．解 令1,0,321==∞=z z z ，∞===321,1,0w w w ，则由（7.11）式得zw -=11即为所求．例2 (1) 试求在映射2z =w 下，z 平面上的直线x y =及1=x 的像曲线．（2）在这两条曲线的交点处2z =w 是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解 令i u =+w v ，i z x y =+，则映射变为()222i i i2u x y x y xy +=+=-+v (1) z 平面上的直线1l ：x y =在w 平面上的像曲线是1L ：0=u ， 22y =v2z =w图 6.12它是w 平面上的正半虚轴；z 平面上的直线2l ：1=x 在w 平面上的像曲线是2L ：()241u =-v ，它是w 平面上的一条抛物线（如图6.12）．（2）x y =与1=x 的交点为01i z =+，因为()00πi 41i 1id 221i 0d z z z z=+=+==+=≠w所以映射2z =w 在交点01i z =+处是保角的，且旋转角为π4，伸缩率为22。
复变函数与积分变换中国石油大学华东崔俭春张高民第七章答案
习题七答案1．试证：若()f t 满足傅氏积分定理的条件，则有()f t =()cos ()sin A td B td ωωωωωω+∞+∞+∫∫11()=()cos ()=()sin A f d B f d ωτωττωτωττππ+∞+∞−∞−∞∫∫其中，证明：根据付氏积分公式，有()()1()()21 () 21 ()cos ()sin ()21 ()cos () 1()cos i i t i t f t f e d e d f e d d f t i t d d f t d d f ωτωωτττωπτωτπτωτωτωτπτωτωτπτπ+∞+∞−−∞−∞+∞+∞−−∞−∞+∞+∞−∞−∞+∞+∞−∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==−+−=−=∫∫∫∫∫∫∫∫（交换积分次序）（利用函数的奇偶性）()000cos sin sin 11()cos cos ()sin sin ()cos ()sin 11()=()cos ()=()sin t t d d f d td f d td A td B td A f d B f d ωωτωωτωττωττωωτωττωωππωωωωωωωτωττωτωττππ+∞+∞−∞+∞+∞+∞+∞−∞−∞+∞+∞+∞+∞−∞−∞+=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫其中，2．求下列函数的傅氏变换：（1）1, 10,()1, 01,0, t f t t −−<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他;（2）, 0,()0, 0;t e t f t t ⎧≤=⎨>⎩（3）0, 0,()sin 2, 0;tt f t e t t −<⎧=⎨≥⎩（4）21, ||1,()0, || 1.t t f t t ⎧−≤=⎨>⎩ 解：（1） []()()0110110()()111112 1cos i t i t i t i t i t i i f t f t e dt e dt e dte e e e i i i iωωωωωωωωωωωω+∞−−−−∞−−−−−==−+=⋅−⋅=−−+=−−∫∫∫ Ff(t )(2)[]0(1)0(1)()()11 11i tt i ti t i tf t f t edt e edt e dte i i ωωωωωω+∞−−−−∞−∞−∞−−∞====⋅=−−∫∫∫ F(3) []022(12)(12)000(12)(120()()sin 21 22111 21212i tt i t i t i t ti t i i t i i t i i t i i f t f t edt e t e dte e e e dt e dt e dt i i e ei i i i i ωωωωωωωωω+∞+∞−−−−∞−+∞+∞+∞−−−+−−−−+∞−+−−−−==⋅−⎡⎤==−⎢⎥⎣⎦=⋅−⋅−+−−−−∫∫∫∫∫ F)0222224211111(2)1(2) 21(2)1(2)21(2)1(2)11(2)1(2)2(52)25454625t i i i i i i i i i i ωωωωωωωωωωωωωωωω+∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤−−−+=−=−⎢⎥⎢⎥+−+++−++⎣⎦⎣⎦−−−+−−⎡⎤=−=⎢⎥+−++−+⎣⎦ (4)[]12111211()()(1) i t i t i ti tf t f t e dt t e dtedt t edtωωωω+∞+−−−∞−++−−−−==−=−∫∫∫∫ F由于1111111+12221111111112sin 11=212 12 2sin i t i t i t i t i t i t i i i t i t e dt e i t e dt t de t e e tdt i i e e tde i i i te e i i ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω++−−−−+++−−−−−−−−+−−−−−==−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤=−+⎢⎥−⎣⎦=−+−−∫∫∫∫∫()1123122sin 2sin 4cos 4sin 2sin 2cos i t dt i i i ωωωωωωωωωωωωω+−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞=−+−=+−⎜⎟⎢⎥−⎝⎠⎣⎦∫所以[]3234sin 4cos 4(sin cos )()==f t ωωωωωωωω−−F3．求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。
复变函数第七章
周期T—正弦量变化一次所需的时间（单位：秒） 频率f—每秒正弦量变化的次数（单位： Hz）
关系：f=1/T
角频率 ：每秒正弦量转过的弧度 （一个周期的弧度为2 ）
2 2f T
幅
(单位：rad/s)
瞬时值—正弦量任意瞬间的值 A cos(wt )
值（振幅）—瞬时值之中的最大值
记做： u(t) = u(t + T )
u
u t
T T
t
2。正弦(余弦）交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按
正弦（余弦）规律变化，由此产生的电流、电压大
小和方向也是正弦（余弦）的，这样的电路称为正
弦（余弦）交流电路。 正弦（余弦）交流电的优越性：
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
Laplace变换
第七章
傅里叶变换
一.傅里叶变换的概念 二.傅里叶变换的性质 三.特殊函数： 函数的傅里叶变换
第一节
傅里叶级数
预备知识： 1。交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间（T)就重复变化一 次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。 如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
n 1
其中，
a0 A0 2
2 2 An a n bn
an cos n An bn sin n An
An
n
bn
an
f (w0t ) fT (t ) A0 An cos (nw0 t n )
n 1
周期函数
A0
a0 an bn 2 2 an bn ( cos nw0 t sin nw0 t ) 2 2 2 2 2 n1 an bn an bn
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数课程自学指导书-华北电力大学.docx
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二OO八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末血授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：I《复变函数》（笫以版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962《复变两数与积分变换》（第二版），华屮科技人学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一. 本章的核心.重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（-）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（-）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）止确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2・3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的儿何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平而的概念，它们是为了用球而上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大oo这个复数相对应。
这里的无穷大-是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》屮相应概念的推广，它们有相似之处，乂有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
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复变函数第七章学习指导一、知识结构共形影射概念共形影射的基本理论"黎曼定理(定理7.1(定理7.13))边界对应定理(定理7.14)'保域性(定理7.1) 保角性j定理7.4)保形性j定理7.6^解析函数的影射特征w =⑴“ ,w = z",z = Vvv, w = e z,z =cz + d的影射性质共形影射基本问题举例二、学习要求(1)理解解析函数的映射性质；⑵了解幕函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质;(3)理解分式线性变换的映射性质；(4)会求将区域G映射为G f的共形映射W = /(z) 0三、内容提要解析函数的保域性定理7.1若函数w = /(z)在区域G内解析，且不是一个常数，则G的象G'= /(G)是区域.解析函数的保角性定义7. 1设映射w = /(z)在区域G内连续，若它使通过点Z。
wG的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点％是保角的.若映射W = /(z)在区域G内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G内的保角映射，或称该映射在G内是保角的.定义7.2若映射w = /(Z)在区域G内是单叶口保角的，则称该映射为区域G内的保形映射，或称该映射在G内是保形的.定理7.2若函数w = /(z)在区域G内解析，则它在导数不为零处是保介的.定理7.3若函数w = /(z)在区域G 内单叶口•解析，则它在G 内是保角的. 单叶解析函数的保形性定理7.4若函数w = /(z)在区域G 内单叶且解析，则(l)w = /(z)是区域G 内的保形映射,且G 的像G' = /(G)为区域;⑵vv = /(z)的反函数2 = /T(w)在G'内单叶且解析，并有几个初等函数的映射性质1. W 二Z + /?(力为常数)的映射性质： ⑴是一个平移变换.⑵在复平面处处是保角的.这是因为，在复平面上处处何w' = lH0. ⑶将圆周映射为圆周.2. w = kz (k 为常数,且k^O)的映射性质： ⑴是旋转与伸长(或缩短)变换的叠加.⑵在复平面上处处是保角的.这是因为，w r= k^0在复平而上处处成立.3. w =—的映射性质：z⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个対称变换的结果，一是关于实轴 对称，二是关于单位圆周对称.⑵在复平面上除2 = 0外，处处是保角的. ⑶将圆周映射为圆周.对于z 平面上的圆周(或直线)A(x 2 +y 2) + Bx + Cy + D = 0当/H O,Z)H O 吋，将圆周映射为圆周; 当A^0,D = 0时，将圆周映射为直线; 当A = 0,D^ 0时，将直线映射为圆周; 当A = 0,D = 0时，将直线映射为直线.4.鬲函数与根式函数的映射性质： 1)幕函数w 二z n, n 为大于1的自然数1 7u )z° wG, w 0 =/(z 0)eG /⑴设G为射线argz = 9.,经w二z”映射后的像G'为w平而上的射线arg w二/?九.(2)设G为圆周|z| = r0,经w = z”映射后的像G'为w平面上的圆周同=r；.2JT⑶w = z"将模相同而辐角相差—的整数倍的点习与勺映射为同一点•n(4) w = z"将2 Ji 2 兀G k : k——vargzv 伙+ 1)——, k = 0 丄2，・・・，川一1n n映射为G': 0 v arg w v 2 n.2)根式函数w = Vz , n为大于1的自然数根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质.5•指数函数与对数函数的映射性质：1)指数函数w - e~⑴设G为平行于实轴的直线y = y of经w = e r映射后的像G'为w平面上的一条始于原点的射线炉=y()•⑵设G为线段：x = x o,O<y<2n,经w = 2映射后的像G'为圆周w =e⑶设G&为：一oo v兀<+oo, 2£兀5 y 5 2(Zr+ 1)兀，£为整数，经w = e~映射后的像G'为w平面上从原点起始沿正实轴剪开的w平面.2)对数函数z — Lnw对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质. 分式线性变换的映射性质称变换az+ b(7.7)vv = -------cz + d为分式线性变换，其中的a,b,c,d为复常数，月.ad-bcHO.(7.7)式的“结构”是由平移变换、旋转少伸长(或缩短)变换及反演变换复合而成. ⑴保形性定理7. 5 w = kz + h(£工0)在扩充复平而是保角的.定理7. 6 w二丄在扩充复平面是保角的.Z由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7. 7.定理7. 7分式线性变换在扩充复平面是保形的.⑵保圆周性定理7.8分式线性变换将扩充复平而上的圆周或肓•线映射为扩充复平血上的圆周或直线.⑶保对称点性定理7. 9设w = /(z)为分式线性变换，若扩充z平而上两点召与z2关于圆周c对称, 则叫=/(Z J与叫=/仗2)两点关于圆周C=f(c)对称.⑷保交比性定理7. 10若有分式线性变换az + bw = ------cz +(J则(W] , w2,叫?^4) = (z1?z2,z3, z4)其中，叭严+[ , —3,4cz k + a定理7. 11若分式性性变换将扩充复平面(z平面)上二个互异的点可，, Z3映射为扩充复平面(W平面)上的三点叫，叫，叫，则此分式线性变换就惟一确定，可写成W _ W] _ W] Z — Z[ z3 - Zj(8. 11)• •w - w2 w3 - w2 z-z2 z3 -z2定理7. 12若G为扩充复平而上的一-个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数w = /(z)将G映射为单位阴ID；又若对G内某一点。
满足条件/⑷=0 且f\d) > 0则函数w = / (z)是惟一的.定理8. 13设单连通区域G与G'分别是简单闭曲线c与c‘的内部，若函数w = /(z) 在G=G + c±解析，且将c双方单值的映射为R,则函数w = /(z)在G内单叶且将G映射为GI由于要求将点z = a映射为点w = 0 ,而关于z平血上的实轴与点&对称的点是臣,关于w平面上的関周c与点w = 0对称的点是oo,所以，由分式线性变换具冇保对称点性口J知, 拟求映射除应将点z = a 映射为点w = 0夕卜，述应将点z = a 映射为点w = oo •又因所求映 射是分式线性变换，故可构造为w=k z a, £为待定系数 z-a为确定k ,只须利用该变换需将实轴上的点z = x 映射为单位圆周H = 1上的点的事= \k\=1由此得k = e'° ,0为任意实数.至此，便得(7. 12)z-a经验证，（7. 12）式即为所求. 事实上，当z = x 时，由（7.12）式得=1乂（7. 12）式是分式线性变换，故（7. 12）式将z 平面上的实轴（上半平面的边界）映射为 w 平面上的圆周胡=1 （单位圆的边界）.乂由于当z = a 吋，由（7.12）式得w = 0,而该点位于圆w]vl 中，所以，由保域性 定理（定理7. 1）可知，（7.12）式将lmz> 0映射为|w] < 1,且将点cz （Imcr > 0）映射为 点 w = 0 •至于（7. 12）式是分式线性变换是明显的，故（7. 12）式即为所求.四、 典型例题例1试求将点oo, 0,1分别映射为点0,1,2的分式线性变换.解 令Zj = oo, z 2 = 0, z 3 = 1,= 0, w 2 = 1, = oo ,则由(7.11)式得1 w = ----1 -z即为所求.例2 （1）试求在映射W = z2下，Z平面上的直线尹二X及x = l的像曲线.（2）在这两条曲线的交点处w = z2是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解令W = u + \v , Z = x + iy,则映射变为它是®平而上的正半虚轴；z 平而上的直线匕 兀=1在“平而上的像曲线是厶: 宀4（1-“）,它是®平面上的一条抛物线（如图6.12）.⑵y = x与x = i 的交点为绻=1+1,因为兀所以映射w = z 2在交点z°=l + i 处是保角的，且旋转角为伸缩率为2迈。
例3求将上半平而Imz> 0映射为单位圆冏<1的分式线性变换，且使点z = a(Ima > 0)映射为点w = 0 (图1).解 用构造法・依题意，所求映射应将Z 平面上的实轴映射为VV 平面上的单位闘周az + b例4如果分式线性映射cz + d 将z 平面上的鬪周z - 1映射成"平面上的直线,问Q, b , c , d 应满足什么条件？az+ h h-dww = ------ z = --------- 解由 cz + d 解得 cw-a当同i 时，u + \v = (x + j ；i)2= x 1- y 2+\2xy托・=2(1 + ° = 2屈亍工0v(W )设分式线性映射将z 严也映射成歹平面上的点0.而Z 2=-V3映射成&平面上的00, 于是该映射可写为z-y/3f 二 1 I 希ig=z_品当z = 0时歹=一1；当z = i 时，一_勺 所以映射 Z + V3将弓形域映射成arg E ——兀角形域:即为§平面上的顶点在原点，且以射线 3和arg =兀为两边的角形域.(读者可自行验证)7——ni再对歹施以旋转变换TJ = e 3£ ,它将歹平面上的角形域顺吋针旋转3而成为〃平面 上的角形域.最后，再令s = h ,它将77平面上的角形域映射成“平面上的上半平面. 一 z_Vi 2 . § — -- /=" ——兀 I 3复合映射 z + j3, n = e 3J s = F 便得到2 . — 70(dw - b)(ds - b) = (cw_Q )(CiP_Q(|d 『-c|2 j|w 2+-\a\ 2=0要使上述方程表示"平面上的直线，只需 将関周映射成直线的充分必要条件是例5求一个保角映射，将z 平面上的弓形域面 Im(w) > 0 .az + h2 =0.故分式线性映射W =cz + dz + i <2, im(z)〉°映射成"的上半平 271可考虑先将z 平面上的弓形域映射成§平面(注意图中未画出歹平面)的角形域，再 将角形域映射成®平面的上半平面.W = ?]3=(e 3 b=F =Z-A/3z+ >/3把Z平面上的弓形域映射成W平面上的上半平面. 即映射例6求将|z| < 1映射为同< 1的分式线性变换，使得点z = ot （\a\ < 1）映射为点W = 0 （图 2）.解 用构造法.依题意，所求映射应将z 平而上的单位圆周c: z = 1映射为w 平而上的 单位圆周c‘： =由于要求将点&（k|vl ）映射为点w = 0,而关于圆周c 与点&对称的点是丄（见图 a2）,关于圆周R 与点⑷=0对称的点是8,所以，rti 分式线性变换具冇保对称点性可知， 所求变换应将点z = a 映射为点w = 0,且将点z =丄映射为点w = oo ,又因所求变换是分 令k = -ak f ,得为确定利用c 上的点的像一定位于R 上的事实，不失一•般性，可取点7 = 1代入上 式后应满足岡=1,即式线性变换，故可构造为a即 z-aW = K --- — z ---a,心为待定系数w = -ak 9z-a\-az w = k^^~\-az k 为待定系数于是,k = y e为任意实数.于是，经验证\o z — ocw = e ---------a <\.e为任意实数.\-az即为所求.。