2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ(理)数学试卷
2019年全国III卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III 卷)(适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏)理科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =−=≤，，则A B =A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==−，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −=，1b =−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322−）＞f （232−） B ．f （log 314）＞f （232−）＞f （322−）C ．f （322−）＞f （232−）＞f （log 314） D ．f （232−）＞f （322−）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷三理科数学试题及答案
2019年高考全国卷三理科数学试题及答案2019年高考全国卷三理科数学试题及答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}$，$B=\{x|x^2\leq1\}$，则$A\cap B$ 等于 $\{ -1,0,1\}$。
2.若 $z(1+i)=2i$，则 $z=-1-i$。
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 $0.5$。
4.$(1+2x^2)(1+x)^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $12$。
5.已知各项均为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 的前4项和为15，且 $a_5=3a_3+4a_1$，则 $a_3=4$。
6.已知曲线 $y=aex+x\ln x$ 在点 $(1,ae)$ 处的切线方程为$y=2x+b$，则 $a=e$，$b=-1$。
7.函数 $y=\frac{2x^3}{x^2+y^2}$ 在 $[-6,6]$ 的图像大致为图中的 $ABCD$，如下图所示。
8.如图，点 $N$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，$\triangleECD$ 为正三角形，平面 $ECD\perp$ 平面 $ABCD$，$M$ 是线段 $ED$ 的中点，则 $BM=EN$，且直线 $BM$，$EN$ 是相交直线。
9.执行右边的程序框图，如果输入的$\epsilon$ 为$0.01$，则输出 $s$ 的值等于 $\frac{1}{24}$。
10.双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的右焦点为$F$，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C$：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k^2}=1$，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上，若$PO=PF$，则$\triangle PFO$ 的面积为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ(理科)数学试卷【word版本试题;可编辑;含答案】
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷一、选择题1.已知集合A ={(x,y )|x,y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y )|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为() A.2 B.3 C.4 D.62.复数11−3i的虚部是()A.−310B.−110C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑p i 4i=1=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是() A.p 1=p 4=0.1，p 2=p 3=0.4 B.p 1=p 4=0.4，p 2=p 3=0.1 C.p 1=p 4=0.2，p 2=p 3=0.3D.p 1=p 4=0.3，p 2=p 3=0.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：I (t )=K1+e，其中K 为最大确诊病例数.当I (t ∗)=0.95K 时，标志已初步遏制疫情，则t ∗约为()(ln 19≈3) A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为() A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0)D.(2,0)6.已知向量a →，b →满足|a →|=5，|b →|=6，a →⋅b →=−6，则cos <a →,a →+b →>=（）A.−3135B.−1935C.1735D.19357.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =() A.19B.13C.12D.238.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6+4√2B.4+4√2C.6+2√3D.4+2√39.已知2tan θ−tan (θ+π4)=7，则tan θ=()A.−2B.−1C.1D.210.若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15相切，则l 的方程为() A.y =2x +1 B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +1211.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左右焦点F 1，F 2，离心率为√P 是C 上的一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =() A.1B.2C.4D.812.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b二、填空题13.若x ，y 满足约束条件{x +y ≥0,2x −y ≥0,x ≤1,则z =3x +2y 的最大值是________.14.(x 2+2x)6的展开式中常数项是________（用数字作答）.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.16.关于函数f (x )=sin x +1sin x.①f (x )的图像关于y 轴对称； ②f (x )的图像关于原点对称； ③f (x )的图像关于x =π2对称；④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是________. 三、解答题17.设数列{a n }满足a 1=3，a n+1=3a n −4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下列的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，19.如图，长方形ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE =ED 1，BF =2FB 1.。
2019年高考数学卷(全国卷3)答案
２０１９年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）ＡＣＣＤＡＣＢＤＡＢＡＢ１．Ａ【解题思路】本题考查集合的交集运算．由已知得Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＋６＞０｝＝（－∞，２）∪（３，＋∞），Ｂ＝（－∞，１），所以Ａ∩Ｂ＝（－∞，１），故选Ａ．【方法归纳】解一元二次不等式常用数形结合法；不等式求交集常画数轴分析．２．Ｃ【解题思路】本题考查共轭复数及复数的几何意义．珋ｚ＝－３－２ｉ，珋ｚ对应的点的坐标为（－３，－２），位于第三象限，故选Ｃ．【知识拓展】①若ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则珋ｚ＝ａ－ｂｉ；ｚ·珋ｚ＝ａ２＋ｂ２．②ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）在复平面内对应的点的坐标为（ａ，ｂ）．３．Ｃ【解题思路】本题考查平面向量的减法法则、数量积运算．由已知得→ＢＣ＝→ＡＣ－→ＡＢ＝（３，ｔ）－（２，３）＝（１，ｔ－３），所以｜→ＢＣ｜＝１，解得ｔ＝３，所以→ＢＣ＝（１，０），则→ＡＢ·→ＢＣ＝２×１＋３×０＝２，故选Ｃ．【知识拓展】（１）两个向量加法的三角形法则要求两向量首尾相连，和向量是从最开始的起点指向最后的终点；（２）两个向量减法的三角形法则要求两向量起点重合，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．４．Ｄ【解题思路】本题考查方程近似解的求法及基本计算．由Ｍ１（Ｒ＋ｒ）２＋Ｍ２ｒ２＝（Ｒ＋ｒ）Ｍ１Ｒ３，得Ｍ１１＋ｒ()Ｒ２＋Ｍ２ｒ()Ｒ２＝１＋ｒ()ＲＭ１，令ｒＲ＝α，则Ｍ１（１＋α）２＋Ｍ２α２＝（１＋α）Ｍ１，即Ｍ１１＋α－１（１＋α）[]２＝Ｍ２α２，则Ｍ２Ｍ１＝３α３＋３α４＋α５（１＋α）２≈３α３＝３ｒ()Ｒ３，解得ｒ槡，故选Ｄ．【考向分析】本题以“嫦娥四号”航天探测为背景，以方程的近似解为平台，注重数学文化，体现育人导向的同时考查了考生数据处理、数学运算核心素养及换元思想、化归与转化思想的应用．５．Ａ【解题思路】本题考查统计中数字特征的应用．由题意知，中位数不发生改变，故选Ａ．【知识拓展】ｎ个样本ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的平均数珋ｘ＝１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）；方差ｓ２＝１ｎ［（ｘ１－珋ｘ）２＋（ｘ２－珋ｘ）２＋…＋（ｘｎ－珋ｘ）２］；极差：样本中最大值与最小值的差；中位数：样本中所有数据按由小到大或由大到小顺序排列后，排在最中间的一个数据或两个数据的平均数．６．Ｃ【解题思路】本题考查指数式、对数式比较大小．根据题意，令ａ＝０，ｂ＝－１，可得ｌｎ（ａ－ｂ）＝ｌｎ（０＋１）＝ｌｎ１＝０，所以Ａ错误；３０＝１＞３－１＝１３，所以Ｂ错误；｜０｜＝０＜｜－１｜＝１，所以Ｄ错误；因为ｙ＝ｘ３在Ｒ上是增函数，所以当ａ＞ｂ时，ａ３＞ｂ３，即ａ３－ｂ３＞０，所以Ｃ正确，故选Ｃ．【方法归纳】比较实数大小常用取特值法，也可利用函数的性质、不等式的性质比较大小．７．Ｂ【解题思路】本题考查空间中面面平行的判定定理、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系．根据题意及两平面平行的判定定理知，Ａ中无数条直线可能不相交，所以Ａ错误；Ｃ中两平面可能相交，所以Ｃ错误；Ｄ中两平面还可能相交，所以Ｄ错误；Ｂ符合两平面平行的判定定理，所以Ｂ正确，故选Ｂ．【方法点拨】判定空间中两直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，除严格根据判定定理及性质定理进行判断，同时还可以利用实物演示分析．８．Ｄ【解题思路】本题考查椭圆与抛物线的几何性质．根据题意知ａ２＝３ｐ，ｂ２＝ｐ，则ｃ２＝ａ２－ｂ２＝２ｐ，即ｃ所以椭圆的右焦点坐标为０）．又抛物线的焦点坐标为ｐ２，()０，所以ｐ２ｐ＞０），解得ｐ＝８，故选Ｄ．熟练掌握椭圆与抛物线的几何性质是解题的关键．９．Ａ【解题思路】本题考查三角函数的图象与性质．Ｂ选项，当ｘ∈π４，π()２时，２ｘ∈π２，()π，所以ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎ２ｘ｜在π４，π()２上是减函数，故Ｂ错误；Ｃ选项，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ｜ｘ｜在π４，π()２上是减函数，故Ｃ错误；Ｄ选项，ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数，故Ｄ错误；Ａ选项，易知ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓ２ｘ｜是以π２为周期的函数．当ｘ∈π４，π()２时，２ｘ∈π２，()π，因为函数ｙ＝ｃｏｓ２ｘ在π４，π()２上是减函数，且函数值为负，所以ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓ２ｘ｜在π４，π()２上是增函数，故Ａ正确，故选Ａ．【规律总结】理解绝对值定义｜ａ｜＝ａ，ａ≥０，－ａ，ａ{＜０及实际意义．三角函数加绝对值以后的函数图象，需结合绝对值内容的不同，把图象翻转变换；同时要结合自变量的系数进行伸缩变换，进而判定函数的周期性及单调性．１０．Ｂ【解题思路】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系．由已知得４ｓｉｎαｃｏｓα＝２ｃｏｓ２α－１＋１，即２ｓｉｎαｃｏｓα＝ｃｏｓ２α，因为α∈０，π()２，所以２ｓｉｎα＝ｃｏｓα，与ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１联立，解得ｓｉｎα故选Ｂ．熟练掌握二倍角公式及同角三角函数的基本关系式是解题的关键．１１．Ａ【解题思路】本题考查双曲线及圆的基本性质．设ＰＱ与ＯＦ交于点Ｒ，连接ＯＰ，ＰＦ，则｜ＯＰ｜＝ａ，｜ＯＦ｜＝｜ＰＱ｜＝ｃ．因为ＯＦ为直径，所以ＯＰ⊥ＰＦ，则｜ＰＦ｜＝ｂ，所以Ｓ△ＯＰＦ＝１２｜ＯＰ｜·｜ＰＦ｜＝１２·｜ＯＦ｜·｜ＰＲ｜，即１２ａｂ＝１２ｃ·ｃ２，所以ｃ２＝２ａｂ＝ａ２＋ｂ２，可得ａ＝ｂ，所以ｃ，则Ｃ的离心率ｅ＝ｃａ故选Ａ．【方法归纳】圆锥曲线求离心率或离心率范围问题，通常根据已知构造几何等式或不等式，再转化为关于ａ，ｂ，ｃ的代数等式或不等式，结合ａ２，ｂ２，ｃ２的关系式，消元，得到关于ａ，ｃ的式子，解方程或不等式，即可得解．１２．Ｂ【解题思路】本题考查分段函数的性质、恒成立问题．由题知，当ｘ∈（０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）∈－１４，[]０；当ｘ∈（１，２］时，ｘ－１∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ－１）＝２（ｘ－１）（ｘ－２）∈－１２，[]０；当ｘ∈（２，３］时，ｘ－２∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ－１）＝４ｆ（ｘ－２）＝４（ｘ－２）（ｘ－３）∈［－１，０］；当ｘ∈（－１，０］时，ｘ＋１∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝１２ｆ（ｘ＋１）＝１２ｘ（ｘ＋１）∈－１８，[]０；当ｘ∈２，(]５２时，ｆ（ｘ）是减函数，令４（ｘ－２）·（ｘ－３）＝－８９，解得ｘ＝７３或ｘ＝８３，且７３∈２，(]５２，因为对任意ｘ∈（－∞，ｍ］，都有ｆ（ｘ）≥－８９，所以ｍ≤７３，故选Ｂ．【核心素养】本题以分段函数和恒成立问题为载体，考查了考生对分段函数解析式的求法及二次函数性质掌握的熟练程度，同时考查了数形结合思想、化归与转化思想的应用，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．１３．０．９８【解题思路】本题考查统计中平均数的计算．根据题意得０．９７×１０＋０．９８×２０＋０．９９×１０１０＋２０＋１０＝０．９８．【方法归纳】正点率＝正点车次数总车次数．１４．－３【解题思路】本题考查函数的性质、指数的运算．根据题意，当ｘ＞０时，－ｘ＜０，ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｅ－ａｘ，ｆ（ｌｎ２）＝ｅ－ａｌｎ２＝ｅｌｎ２－ａ＝２－ａ＝８，解得ａ＝－３．【易错点拨】本题易错点在于忽视ｌｎ２的范围，代错解析式．计算函数值时，需考查自变量值是否满足对应解析式，本题需根据函数的奇偶性，求出另一段的解析式，再代入求值．１５【解题思路】本题考查三角形的面积公式、余弦定理的应用．由余弦定理得ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ，即３６＝４ｃ２＋ｃ２－２×２ｃ×ｃ×１２，解得ｃ２＝１２，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２×２ｃ２＝熟练掌握三角形的面积公式和余弦定理是解题的关键．１６．２６１【解题思路】本题考查空间几何体的结构、棱长的计算．由题中的图知，该半正多面体共有１＋８＋８＋８＋１＝２６个面；在如图所示的正方体中，设半正多面体的棱长为ｘ，则ＥＦ＝ＦＨ＝ｘ，ＧＦ＝ＧＥｘ，ｘｘ＋ｘ＝１，解得ｘ１，故该半正多面体的棱长为１．【核心素养】本题以数学文化为背景，以半正多面体为载体，考查了考生空间想象能力和运算求解能力，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．１７．【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定、二面角．（Ⅰ）先在长方体中，根据直线与平面垂直的性质定理，得出Ｂ１Ｃ１⊥ＢＥ，结合ＢＥ⊥ＥＣ１，再根据直线与平面垂直的判定定理，证得ＢＥ⊥平面ＥＢ１Ｃ１；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解．得二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１的余弦值，即可得二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１的正弦值．解：（Ⅰ）由已知得，Ｂ１Ｃ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１，ＢＥ 平面ＡＢＢ１Ａ１，故Ｂ１Ｃ１⊥ＢＥ．又ＢＥ⊥ＥＣ１，所以ＢＥ⊥平面ＥＢ１Ｃ１．（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ＢＥＢ１＝９０°．由题设知Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△Ａ１Ｂ１Ｅ，所以∠ＡＥＢ＝４５°，故ＡＥ＝ＡＢ，ＡＡ１＝２ＡＢ．以Ｄ为坐标原点，→ＤＡ的方向为ｘ轴正方向，｜→ＤＡ｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Ｄ－ｘｙｚ，则Ｃ（０，１，０），Ｂ（１，１，０），Ｃ１（０，１，２），Ｅ（１，０，１），→ＣＢ＝（１，０，０），→ＣＥ＝（１，－１，１），ＣＣ→１＝（０，０，２）．设平面ＥＢＣ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则→ＣＢ·ｎ＝０，→ＣＥ·ｎ＝０{，即ｘ＝０，ｘ－ｙ＋ｚ＝０{，所以可取ｎ＝（０，－１，－１）．设平面ＥＣＣ１的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则ＣＣ→１·ｍ＝０，→ＣＥ·ｍ＝０{，即２ｚ＝０，ｘ－ｙ＋ｚ＝０{，所以可取ｍ＝（１，１，０）．于是ｃｏｓ〈ｎ，ｍ〉＝ｎ·ｍ｜ｎ｜｜ｍ｜＝－１２．所以，二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１１８．【名师指导】本题考查相互独立事件的概率．（Ⅰ）当Ｘ＝２时，分别计算甲发球甲得分且乙发球甲得分的概率和甲发球乙得分且乙发球乙得分的概率，将两个概率相加即可得解；（Ⅱ）当Ｘ＝４时，分别计算甲发球甲得分，乙发球乙得分，甲发球甲得分，乙发球甲得分的概率和甲发球乙得分，乙发球甲得分，甲发球甲得分，乙发球甲得分的概率，将两个概率相加即可得解．解：（Ⅰ）Ｘ＝２就是１０∶１０平后，两人又打了２个球该局比赛结束，则这２个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此Ｐ（Ｘ＝２）＝０．５×０．４＋（１－０．５）×（１－０．４）＝０．５．（Ⅱ）Ｘ＝４且甲获胜，就是１０∶１０平后，两人又打了４个球该局比赛结束，且这４个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得１分，后两球均为甲得分．因此所求概率为［０．５×（１－０．４）＋（１－０．５）×０．４］×０．５×０．４＝０．１．１９．【名师指导】本题考查等差与等比数列的定义、通项公式．（Ⅰ）利用等比数列的定义，即可得证数列｛ａｎ＋ｂｎ｝是等比数列；利用等差数列的定义，即可得证数列｛ａｎ－ｂｎ｝是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列｛ａｎ＋ｂｎ｝与｛ａｎ－ｂｎ｝的通项公式，再将两式联立，解方程组，即可得解．解：（Ⅰ）由题设得４（ａｎ＋１＋ｂｎ＋１）＝２（ａｎ＋ｂｎ），即ａｎ＋１＋ｂｎ＋１＝１２（ａｎ＋ｂｎ）．又因为ａ１＋ｂ１＝１，所以｛ａｎ＋ｂｎ｝是首项为１，公比为１２的等比数列．由题设得４（ａｎ＋１－ｂｎ＋１）＝４（ａｎ－ｂｎ）＋８，即ａｎ＋１－ｂｎ＋１＝ａｎ－ｂｎ＋２．又因为ａ１－ｂ１＝１，所以｛ａｎ－ｂｎ｝是首项为１，公差为２的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ａｎ＋ｂｎ＝１２ｎ－１，ａｎ－ｂｎ＝２ｎ－１．所以ａｎ＝１２［（ａｎ＋ｂｎ）＋（ａｎ－ｂｎ）］＝１２ｎ＋ｎ－１２，ｂｎ＝１２［（ａｎ＋ｂｎ）－（ａｎ－ｂｎ）］＝１２ｎ－ｎ＋１２．２０．【名师指导】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点、导数几何意义．（Ⅰ）先写出函数ｆ（ｘ）的定义域，再计算ｆ′（ｘ），分析导函数的正负，即可得函数ｆ（ｘ）的单调区间；结合导数ｆ′（ｘ），利用零点存在性定理，可证得；（Ⅱ）先证明点Ｂ在曲线ｙ＝ｅｘ上，再求出直线ＡＢ的斜率，然后分别求出点Ｂ处的切线斜率与点Ａ处的切线斜率，由斜率相等，即可得证．解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）的定义域为（０，１）∪（１，＋∞）．因为ｆ′（ｘ）＝１ｘ＋２（ｘ－１）２＞０，所以ｆ（ｘ）在（０，１），（１，＋∞）单调递增．因为ｆ（ｅ）＝１－ｅ＋１ｅ－１＜０，ｆ（ｅ２）＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１＞０，所以ｆ（ｘ）在（１，＋∞）有唯一零点ｘ１，即ｆ（ｘ１）＝０．又０＜１ｘ１＜１，ｆ１ｘ()１＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ（ｘ１）＝０，故ｆ（ｘ）在（０，１）有唯一零点１ｘ１．综上，ｆ（ｘ）有且仅有两个零点．（Ⅱ）因为１ｘ０＝ｅ－ｌｎｘ０，故点Ｂ－ｌｎｘ０，１ｘ()０在曲线ｙ＝ｅｘ上．由题设知ｆ（ｘ０）＝０，即ｌｎｘ０＝ｘ０＋１ｘ０－１，故直线ＡＢ的斜率ｋ＝１ｘ０－ｌｎｘ０－ｌｎｘ０－ｘ０＝１ｘ０－ｘ０＋１ｘ０－１－ｘ０＋１ｘ０－１－ｘ０＝１ｘ０．曲线ｙ＝ｅｘ在点Ｂ－ｌｎｘ０，１ｘ()０处切线的斜率是１ｘ０，曲线ｙ＝ｌｎｘ在点Ａ（ｘ０，ｌｎｘ０）处切线的斜率也是１ｘ０，所以曲线ｙ＝ｌｎｘ在点Ａ（ｘ０，ｌｎｘ０）处的切线也是曲线ｙ＝ｅｘ的切线．２１．【名师指导】本题考查曲线方程的求法、直线与椭圆的位置关系．（Ⅰ）先根据斜率公式，列出斜率积的等式，并化简，即可求解．注意曲线Ｃ的方程需加范围限制；（Ⅱ）（ⅰ）先设直线ＰＱ的方程，与曲线Ｃ的方程联立，解方程组得出Ｐ点坐标，从而得点Ｑ、点Ｅ的坐标，再表示出直线ＱＧ的方程，与曲线Ｃ的方程联立，利用韦达定理得Ｇ点坐标，结合斜率求证即可；（ⅱ）利用弦长公式求得｜ＰＱ｜与｜ＰＧ｜，再利用面积公式，将△ＰＱＧ的面积转化为关于ｋ的函数，利用换元法、函数的单调性与基本不等式求最值．解：（Ⅰ）由题设得ｙｘ＋２·ｙｘ－２＝－１２，化简得ｘ２４＋ｙ２２＝１（｜ｘ｜≠２），所以Ｃ为中心在坐标原点，焦点在ｘ轴上的椭圆，不含左右顶点．（Ⅱ）（ⅰ）设直线ＰＱ的斜率为ｋ，则其方程为ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）．由ｙ＝ｋｘ，ｘ２４＋ｙ２２{＝１得ｘ记ｕ则Ｐ（ｕ，ｕｋ），Ｑ（－ｕ，－ｕｋ），Ｅ（ｕ，０）．于是直线ＱＧ的斜率为ｋ２，方程为ｙ＝ｋ２（ｘ－ｕ）．由ｙ＝ｋ２（ｘ－ｕ），ｘ２４＋ｙ２２{＝１得（２＋ｋ２）ｘ２－２ｕｋ２ｘ＋ｋ２ｕ２－８＝０．①设Ｇ（ｘＧ，ｙＧ），则－ｕ和ｘＧ是方程①的解，故ｘＧ＝ｕ（３ｋ２＋２）２＋ｋ２，由此得ｙＧ＝ｕｋ３２＋ｋ２．从而直线ＰＧ的斜率为ｕｋ３２＋ｋ２－ｕｋｕ（３ｋ２＋２）２＋ｋ２－ｕ＝－１ｋ．所以ＰＱ⊥ＰＧ，即△ＰＱＧ是直角三角形．（ⅱ）由（ⅰ）得｜ＰＱ｜＝２｜ＰＧ｜所以△ＰＱＧ的面积Ｓ＝１２｜ＰＱ｜｜ＰＧ｜＝８ｋ（１＋ｋ２）（１＋２ｋ２）（２＋ｋ２）＝８１ｋ＋()ｋ１＋２１ｋ＋()ｋ２．设ｔ＝ｋ＋１ｋ，则由ｋ＞０得ｔ≥２，当且仅当ｋ＝１时取等号．因为Ｓ＝８ｔ１＋２ｔ２在［２，＋∞）单调递减，所以当ｔ＝２，即ｋ＝１时，Ｓ取得最大值，最大值为１６９．因此，△ＰＱＧ面积的最大值为１６９．２２．【名师指导】本题考查极坐标的应用．（Ⅰ）将θ０代入曲线Ｃ的极坐标方程，即可解得ρ０．利用三角函数求出｜ＯＰ｜，再设ｌ上任一点Ｑ，利用三角函数列出等量关系，即可得解；（Ⅱ）先设点Ｐ，利用三角函数列出等量关系，即可得解，根据题意，点Ｐ在线段ＯＭ上，且ＡＰ⊥ＯＭ，可得θ的取值范围．解：（Ⅰ）因为Ｍ（ρ０，θ０）在Ｃ上，当θ０＝π３时，ρ０＝４ｓｉｎπ３＝由已知得｜ＯＰ｜＝｜ＯＡ｜ｃｏｓπ３＝２．设Ｑ（ρ，θ）为ｌ上除Ｐ的任意一点．在Ｒｔ△ＯＰＱ中，ρｃｏｓθ－π()３＝｜ＯＰ｜＝２．经检验，点Ｐ２，π()３在曲线ρｃｏｓθ－π()３＝２上．所以，ｌ的极坐标方程为ρｃｏｓθ－π()３＝２．（Ⅱ）设Ｐ（ρ，θ），在Ｒｔ△ＯＡＰ中，｜ＯＰ｜＝｜ＯＡ｜ｃｏｓθ＝４ｃｏｓθ，即ρ＝４ｃｏｓθ．因为Ｐ在线段ＯＭ上，且ＡＰ⊥ＯＭ，故θ的取值范围是π４，π[]２．所以，Ｐ点轨迹的极坐标方程为ρ＝４ｃｏｓθ，θ∈π４，π[]２．２３．【名师指导】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题．（Ⅰ）利用零点分段法，分类讨论去绝对值，解不等式组，最后求各组解集的并集即可；（Ⅱ）观察函数解析式得ｆ（ａ）＝０，根据题意得ａ≥１，再根据ｘ的范围，去绝对值，得到函数ｆ（ｘ）为二次函数，从而得ａ的取值范围．解：（Ⅰ）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜ｘ＋｜ｘ－２｜（ｘ－１）．当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝－２（ｘ－１）２＜０；当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）≥０．所以，不等式ｆ（ｘ）＜０的解集为（－∞，１）．（Ⅱ）因为ｆ（ａ）＝０，所以ａ≥１．当ａ≥１，ｘ∈（－∞，１）时，ｆ（ｘ）＝（ａ－ｘ）ｘ＋（２－ｘ）（ｘ－ａ）＝２（ａ－ｘ）（ｘ－１）＜０．所以，ａ的取值范围是［１，＋∞）．（解析人：郑祖宏）。
2019年高考全国卷Ⅲ理科数学及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84． 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．26．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，7． 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M是线段ED 的中点，则A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则△PFO 的面积为A ．324 B ．322 C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>12．设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[02]π，有且仅有5个零点，下列四个结论：① ()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点 ② ()f x 在(02)π，有且仅有2个极小值点③ ()f x 在(0)10π，单调递增④ ω在取值范围是1229[)510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
2019年高考理科数学全国卷3(附参考答案和详解)
方法!,设调查的!##位学生中阅读过1西游记2的学 生 人 数 为 "!则 ")6#&'#*$#!解得 "*7#! 所以该校阅读过1西游记2的 学 生 人 数 与 该 校 学 生 总 数 比 值
的估计值为!7###*#!7!故选 %!
方法",用 E=:: 图 表 示 调 查 的 !## 位 学 生 中 阅 读 过 1西 游
05 .!#曲线 "+ 是弧.55!
$!%分 别 写 出 "!#"$#"+ 的 极 坐 标 方 程 $$%曲 线 " 由 "!#"$#"+ 构 成 #若 点 1 在 " 上 #且
"31"'槡+#求 1 的极坐标!
第 $$ 题 图
$!!$本小 题 满 分
!$
分 %已 知 曲 线
.,&'
#$ $
#5
为 直 线&'
$ % -!*$$(
+ $
%)*$$(
$ +
%)*
123+
! )
$ % .!*$$(
$ +
%)*$$(
+ $
%)*
123+
! )
第8题图 $! ! %
$ % !$!设
函
数
*$#%'9/:
#0
"
$)#%#已 知 *$#%在 (##$)
有 且 仅 有 " 个 零 点 #下 述 四 个 结 论 ,
$! ! %
8!执行如图 所 示 的 程 序 框 图#如 果 输 入 的7为
2019年全国高考新课标3卷理科数学试题（解析版）【杨顺国】
2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x-1NO},B={0,l,2},则ADB=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：选C2.(l+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析：选D3.中国古建筑借助样卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A BCD解析：选A4.若sin a日，则cos2a=()7-97-9-C.8-9-D.]8解析：选B cos2a=l-2sin2 a=1--=-y y25・或+-)5的展开式中x，的系数为()xA.10B.20C.40D.809解析：选C展开式通项为Tr+i=C5r x10-2r(-)r=C5r2r x10-3r,r=2,T3=。
522七[故选C6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y=2±,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[血3艘]D.[2近，3也]解析：选A,线心距d=2带,P到直线的最大距离为3彖，最小距离为^2,|AB|=2V2,S min=2,S max=67,函数y=-x4+x，+2的图像大致为()解析：选D原函数为偶函数，设t=x2,tNO,f(t)=-t2+t+2,故选D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析：选B X〜B(10,p),DX=10p(l-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6,p=0.4时,p(X=4)=Cio4(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= Cio6(O.4)6(0.6)4,不合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用频率估计概率
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为 ， ， ， 的概率；
采用频率分布直方图估计样本平均值的方法即可得到答案；
由公式 计算 的值，从而查表即可.
【解答】
解： ，
，
，
.
.
完成 列联表如下：
人次
人次
合计
空气质量好
空气质量不好
【解答】
解：将 代入 ，
得 ．
由 ，
得 ，
即 ，
得 ，
所以抛物线 的焦点坐标为 ．
故选 ．
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积
向量的模
【解析】
利用已知条件求出 ，然后利用向量的数量积即可求出向量夹角的余弦值．
【解答】
解：由
，
又 ，
所以
.
故选 ．
7.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
则
即
可取 .
设 为平面 的法向量，
则
同理可取 .
因为 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
用向量证明平行
空间点、线、面的位置
空间直角坐标系
【解析】
建立空间直角坐标系，通过直线平行的关系，可以证明四点共面；
通过空间直角坐标系，分别求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角 的正弦值．
【解答】
解：由于直线 与圆相切，
故圆心 到直线 的距离为圆半径 ，
符合条件的只有 ， ，
将答案 的直线方程代入 ，得： ，无解；
将答案 的直线方程代入 ，得： ，有一解 .
故选 .
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的应用
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解 即可．
【解答】
解：设 ， ，且 ，
则由题意得 ， ，
又 ，
，
，
综上求得 ．
故选 ．
12.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
利用作商法可判断 的大小，然后通过指数与对数的互化又可以判断 的大小，最终确定 的大小关系．
【解答】
解：根据题意知 .
由
，
∴ .
因为 ， ，
所以 ， .
即 ， .
由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆的内接球，数形结合可得出球的半径，最后根据球的体积公式即可求解.
【解答】
解：该圆锥轴截面为底边长为 ，腰为 的等腰三角形，其内切圆为该球的大圆.
该三角形的周长为 ，面积为 ，
由于三角形面积 ，周长 和内切圆半径 的关系为 ，
所以 ，
故该球的体积为 .
故答案为： .
；
故选 .
4.
【答案】
C
【考点】
指数式与对数式的互化
函数的求值
【解析】
根据所给材料的公式列出方程 ，解出 即可.
【解答】
解： ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选 .
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
利用已知条件转化求解 两点的坐标，通过几何关系求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点.
在 上单调递增，在 上单调递减，
易得 ， ，
合计
则
.
∵ ，
∴有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.
【答案】
解： 设 ， ， ，
如图，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .
连结 ，则 ． ， ， ，
， ，
得 ，
因此 ，
即 ， ， ， 四点共面，
所以点 在平面 内．
由 得 ， ， ，
， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
其中 ，
，
所以其面积为：
.
故选 .
9.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
利用两角和与差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可.
【解答】
解：由题可知 ，
化简得： ，
解得： ．
故选 .
10.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
根据直线 与圆 相切，利用选项中直线到圆心的距离等于半径，再将直线与曲线 联立求解即可得出答案.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的 模型： ，其中 为最大确诊病例数.当 时，标志已初步遏制疫情，则 约为( )
A. B. C. D.
5.设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为( )
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 ；
当 ， 时， ，
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 .
综上， 的面积为 ．
21.
【答案】
解： ，
∵曲线 在点 处的切线与 轴垂直，
∴曲线 在点 处的切线斜率为 ，
∴ ，
解得 .
证明：设 为 的一个零点，
根据题意， ，且 ，
则 .
由 ， ，显然 在 上单调递减，
【解答】
解： 设 ， ，
则 ，
所以 .
因为 ，解得 ，
所以 ，
所以 的方程为 .
设点 ， ，又 ， ，
则 ， ，
所以 ，
得 .
过 作 轴，如图所示，
所以 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
得 ， ，即 ，
所以 ,
得 .
将 的坐标代入椭圆方程得 ，
解得 ，则 或 ，
所以 ， 或 ， .
当 ， 时， ，
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数的基本概念即可得到答案．
【解答】
解： ，
所以该复数的虚部为 .
故选 ．
3.
【答案】
B
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
利用已知条件求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大.
【解答】
解： ， ，
所以 ；
， ，
；
， ，
；
， ，
A. B. C. D.
6.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
7.在 中， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
9.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
10.若直线 与曲线 和圆 相切，则 的方程为( )
当直线经过 时， .
故答案为： .
14.
【答案】
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于 ，求得 的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】
解：因为 ，
由 得 ，
所以常数项为 .
故答案为： .
15.
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
又因为 ，
所以 ，
即 .
综上所述： ．
故选 ．
二、填空题
13.
【答案】
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在 轴上的截距最大值即可．
【解答】
解：如图所示，可行性区域为图中阴影部分，
可化为直线 ，
假设 时，即 成立，其中 ，
由 ，②
故假设成立.
综上①②，所以 .
令 ，
则前 项和
，③
由③两边同乘以 得：
，④
由③ ④得
，
化简得 .
18.
【答案】
解： ，
，
，
.
.
完成 列联表如下：
人次
人次
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
则
.
∵ ，
∴有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【考点】
15.已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
16.关于函数 .
① 的图像关于 轴对称；
② 的图像关于原点对称；
③ 的图像关于 对称；
④ 的最小值为 ．
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题
17.设数列 满足 ， .
计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明；
参考答案与试题解析
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念与应用
交集及其运算
【解析】
利用交集定义求出 ，进而求出 中元素的个数．