最新2018-2019学年北京市九年级上册期中数学模拟试卷及答案-精编试题

九年级数学上学期期中模拟试题一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列图形中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．103．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）6．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．70°7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°8．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B 运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．BD B．OD C．AD D．CD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是．12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是．14．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A=30°，AB=2，那么AC的长等于．15．如图，已知A（2，2），B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：请利用直尺和圆规确定图1中弧AB所在圆的圆心．小亮的作法如下：如图2，（1）在弧AB上任意取一点C，分别连接AC，BC；（2）分别作AC，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于O点；所以点O就是所求弧AB的圆心．老师说：“小亮的作法正确．请你回答：小亮的作图依．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k的值．18．抛物线y=ax2+bx+c过（﹣3，0），（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4），求抛物线的解析式．19．已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．23．如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA的延长线于G ，判断和是否相等，并说明理由．24．对于抛物线 y=x 2﹣4x+3．（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+3﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜的范围内有解，则t 的取值范围是 ．25．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P ，且l ∥BC ．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O 中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等的思路．26．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若BC=5，AB=8，求OF 的长．27．（7分）已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．（1）判断△BDE的形状；（2）在图2中补全图形，①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；②求∠APC的度数；（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c 的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列图形中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、是中心对称图形，本选项正确；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC==4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d=5cm，∴r＜d，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：C．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．4．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．6．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°．故选C．【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．8．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理．【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学知识运用到实际生活中去．10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B 运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．BD B．OD C．AD D．CD【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点D在AB上，当点D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可．【解答】解：当点D在AB上，则线段BD表示为y=x，线段AD表示为y=AB﹣x为一次函数，不符合图象；同理当点D在AC上，也为为一次函数，不符合图象；如图，作OE⊥AB，∵点O是BC中点，设AB=AC=a，∠BAC=120°．∴AO=，BO=a，OE=a，BE=a，设BD=x，OD=y，AB=AC=a，∴DE=a﹣x，在Rt△ODE中，DE2+OE2=OD2，∴y2=（a﹣x）2+（a）2整理得：y2=x2﹣ax+a2，当0＜x≤a时，y2=x2﹣ax+a2，函数的图象呈抛物线并开口向上，由此得出这条线段可能是图1中的OD．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是x2+2x+1=0 ．【考点】根的判别式．【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac=0，符合条件的一元二次方程可以为x2+2x+1=0（答案不唯一）．故答案是：x2+2x+1=0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系为：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=x2﹣8x+20 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+4=x2﹣8x+20，故答案为：y=x2﹣8x+20．【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是6π．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式S=计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积S==6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．14．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A=30°，AB=2，那么AC的长等于 6 ．【考点】切线的性质；解直角三角形．【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•ta nA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故答案是：6．【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△OAB是直角三角形是关键．15．如图，已知A（2，2），B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质可知阴影部分的面积=S扇形A′OA﹣S扇形B′OB，根据扇形的面积公式S=计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，2），∴OA=4，∵点B的坐标为（2，1），∴OB=，由旋转的性质可知，S△A′OB′=S△AOB，∴阴影部分的面积=S扇形A′OA﹣S扇形B′OB=﹣=，故答案为：．【点评】本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式S=、正确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：请利用直尺和圆规确定图1中弧AB所在圆的圆心．小亮的作法如下：如图2，（1）在弧AB上任意取一点C，分别连接AC，BC；（2）分别作AC，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于O点；所以点O就是所求弧AB的圆心．老师说：“小亮的作法正确．请你回答：小亮的作图依不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；垂径定理．【分析】作弧AB所在圆的圆心，就是作△ACB的外接圆的圆心．【解答】解：小亮的作图依据为不在同一条直线上的三个点确定一个圆．故答案为不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k的值．【考点】二次函数的三种形式．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值，进而求出h+k的值．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．18．抛物线y=ax2+bx+c过（﹣3，0），（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4），求抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】把三个点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式；【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣3，0），（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4），∴，解得，，所以，抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．19．已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】首先连接OA，OB，由∠ACB=45°，利用圆周角定理，即可求得∠AOB=90°，再利用勾股定理求解即可求得答案．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．20．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．则A的坐标是（﹣1，0），B的坐标是（3，0）．y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，﹣4）．AB=3﹣（﹣1）=4，CD=4﹣（﹣4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额×（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解．【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，由题意得，200×（1+x）2=242，解得：x=0.1．答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是0.1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定．【分析】（1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形，（2）根据平行四边形的判定，画出使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的点即可．【解答】解：（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：（2）根据题意画图如下：【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．23．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】要证明和，则要证明∠DAF=∠GAD，由AB=AF，得出∠ABF=∠AFB，平行四边形的性质得出，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出和．【解答】解：连接AE，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，∴∠GAF=∠FAE，在⊙A中，∴．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出∠DAF=∠GAD，题目比较典型，难度不大．24．对于抛物线 y=x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为（3，0）（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是﹣1≤t＜8 ．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】运用二次函数与x轴相交时，y=0，与y轴相交时，x=0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．【解答】解：（1）它与x轴交点的坐标为：（﹣1，0）（﹣3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，﹣1）（2）列表：图象如图所示．（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，∵y=x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），若x2﹣4x+3﹣t=0有解，方程有两个根，则：b2﹣4ac=16﹣4（3﹣t）≥0，解得：﹣1≤t当x=﹣1，代入x2﹣4x+3﹣t=0，t=8，当x=，代入x2﹣4x+3﹣t=0，t=，∵x＞﹣1，∴t＜8，∴t的取值范围是：﹣1≤t＜8，故填：﹣1≤t＜8【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，以及用描点法画二次函数图象和结合图象判定一元二次方程的解的情况．25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD即可；（2）由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l与⊙O相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE=CE，∴弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及切线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．26．已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．【考点】切线的判定；解一元一次方程；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义推出∠DCF=90°，根据切线的判定即可判断；（2）根据垂径定理得到AH=BH=3，根据勾股定理求出CH，证△HAF≌△HBC，得出FH=CH=3，CF=6，连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x﹣3，由勾股定理得到42+（x﹣3）2=x2，求出方程的解，就能求出答案．【解答】（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，∴∠DCF=∠AHF=90°，∴CD为⊙O的切线．（2）解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AH=BH==4，在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，由勾股定理得：CH=3，∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF，∵∠BHC=∠AHF，BH=AH，∴△HAF≌△HBC，∴FH=CH=3，CF=6，连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x﹣3．在Rt△BHO中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2=x2，解得，∴，答：OF的长是．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，平行线的性质，切线的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．27．已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．（1）判断△BDE的形状；（2）在图2中补全图形，①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；②求∠APC的度数；（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为 2 ．（直接填写结果）【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）由D，E分别是AB，BC的中点得到DE=BC，BD=BA，加上△ABC为等边三角形，则∠B=60°，BA=BC，所以BD=BE，于是可判断△BDE为等边三角形；（2）①根据旋转的性质得△BD1E1为等边三角形，则BD1=BE1，∠D1BE1=60°，而∠ABC=60°，所以∠ABD1=∠CBE1，则路旋转的定义，△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，然后根据旋转的性质得CE1=AD1；②由于△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到∠BAD1=∠BCE1，然后根据三角形内角和定理和得∠APC=∠ABC=60°；、（3）由于∠APC=∠D1BE1=60°，则可判断点P、D1、B、E1共圆，于是可判断当BP⊥BC时，点P 到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值．【解答】解：（1）∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE=BC，BD=BA，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，BA=BC，∴BD=BE，∴△BDE为等边三角形；（2）①CE1=AD1．理由如下：∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，∴△BD1E1为等边三角形，∴BD1=BE1，∠D1BE1=60°，而∠ABC=60°，∴∠ABD1=∠CBE1，∴△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，∴CE1=AD1；②∵△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，∴∠BAD1=∠BCE1，∴∠APC=∠ABC=60°；（3）∵∠APC=∠D1BE1=60°，∴点P、D1、B、E1共圆，∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，在Rt△PBC中，PB=AB=×2=2，∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．故答案为2．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．。