微积分理论中的重要思想及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学微积分理论中的重要思想及其应用一．前言部分微积分又称“数学分析”，人们还常简单的称之为“分析学”。

事实上，“数学分析”是在微积分发展趋于成熟时期才比较通用的名称。

它主要包括实数理论、极限理论、微分学、积分学和无穷级数等部分。

微分学与积分学是以极限作为基础的，极限论是以实数理论作为基础的。

那么，什么是微积分的主题？答案很明确：微分学主要是处理函数变量（应变量）的变化率问题，即讨论微商（导数）的计算法则和有关问题。

积分学是处理微分学的反问题，即如何从变化率去寻求（包括分析、计算）原函数问题[1]。

微积分是一门变量数学，它是通过合理的抽象模式来表现变量间的种种普遍关系结构的。

在人们对微积分的不断探索中，形成了各式各样的理论：柯西的积分概念、积分中值定理、微分中值定理、洛必达法则、泰勒展式等等，其中最重要的灵魂核心是著名的牛顿-莱布尼茨公式，又叫做“积分学基本定理”，它表明了积分与微分互为反运算过程的基本关系。

在实际应用上，利用变化率来描写的数量是多不胜举。

例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。

与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。

有了微积分就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。

由此可见，微积分的重要性。

微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理[2]。

二．主题部分2.1 历史背景2.1.1 微积分思想的酝酿和产生古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数学”或“高等数学”的主体部分。

它作为一门学科，产生于17世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过18世纪的讨论、研究，于19世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。

但是微积分中某些重要概念却萌芽于两千多年以前。

古希腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国《庄子》中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。

我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。

今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是知道17世纪中期之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。

从16世纪后半期到17世纪前半期，积分思想是围绕“求积问题”发展的。

它主要包括几何学和力学两个方面的问题。

几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的体积以及求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心以及液体压力等。

求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利得不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。

在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。

在牛顿以前，求切线问题对微积分的产生有直接的影响。

马克思指出“全部微分学本来产生了求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了笛卡尔用“重根法”作切线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等等。

微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束。

2.1.2 微积分基本定理的历史早在中世纪时，某些经院哲学家对运动和变化曾进行过思辨式的研究，文艺复兴开始以后大约两个世纪的时期内，是微分学和积分学平行而又独立地迅速发展的时期，是微积分作为一门学科的酝酿时期，也是微积分基本定理的酝酿时期。

在微积分的先驱那里，已经意识到求非匀速运动的路程、求一直曲线下的面积以及求曲线的弧长等问题有某种统一性——都是无穷多个无穷小的总和；也认识到求非匀速运动在给定时刻的速度、求曲线在一点的切线以及求变量的机制等问题也有某种统一性——都是求变量的变化率问题。

但是都没有明确的提出微积分定理，直到在牛顿和莱布尼茨的工作中才比较明确地提了出来[3]。

基本定理的思想，牛顿在1666年已有。

他在1666年10月所写的《短论》一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。

他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。

如果设曲线()y f x =同x 轴之间的面积为()A x ，牛顿断定()'A x 就是()f x 。

这是微积分的历史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。

牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。

所谓“直接用”，就是切线法，即今天的由()F x 求它的导数()'F x ；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由()f x 求()F x ，使得()()'F x f x =。

牛顿这一思想用今天的符号表示就是微积分基本定理：()()x d f t dt f x adx =⎰。

莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。

设给定的曲线是()Z f x =，为了求出该曲线在区间[],a b 上面积Zdx ⎰，必须求出另一条纵坐标为y 的曲线，即他所谓的割圆曲线，使得dy Z dx a=，a 为常数。

这时由于Zdx ady =，于是就有Zdx a dy ay ==⎰⎰，莱布尼茨通常假定曲线y 经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就化归为反切线问题。

也就是说，为了求得纵坐标为Z 的曲线下的面积Zdx ⎰，只须求出一条纵坐标为y 的曲线，使得它的切线满足条件dy Z dx a =，设1a =，再由曲线()Z f x =在区间[],o b 上的面积减去在区间[],a o 上的面积，就得出公式()()()a f x dx y b y a b =-⎰。

在现在的微积分中，我们称这个式子为“牛顿——莱布尼茨公式”。

随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数()f x 在区间[]0,x X 上连续，并用分点()1,2,3,,i n x i x X ==……对其分割，于是和式()()111nn i i i i S f x x x --==-∑，表示以()1i f x -为高，以()1i i x x --为底的n 个矩形面积之和，当n 很大，且1i i x x --很小时，和式n S 就同该曲线在曲线[]0,x X 上的面积S 近似，即()()111ni i i i S f x x x --=≈-∑，它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数()f x 的形式以及变量x 的两个端值0x 和X ，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是()()()1110lim ni i i n i x S f x dx f x x x x --→∞===-∑⎰，当柯西定义了闭区间上连续函数的定积分之后，又把这一定义应用到分段连续函数。

即设()f x 在区间[]0,x X 上有n 个有限间断点i x ，则()f x 在该区间上的定积分定义为()()101n i i i xx f x dx f x dx x x =-=∑⎰⎰[47]-。

之后黎曼和勒贝格等也为微积分定理做出了伟大的贡献。

2.2 现代微积分2.2.1 极限微积分是在极限得基础上建立起来的，那么什么是极限呢？定义1：设函数()f x 在点0x 的某一去新领域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<。

那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()f x A →（当0x x →） 我们指出，定义中00x x <-表示0x x ≠，所以0x x →时()f x 有没有极限，与()f x 在点0x 是否有定义并无关系。

定义2：设函数()f x 当x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞得极限，记作()lim x f x A →∞=或者()f x A →（x →∞）。

定理1：（函数极限的唯一性） 如果()0lim x x f x →存在，那么这极限唯一。

定理2：（函数极限的局部有界性） 如果()0lim x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤定理3：（函数极限的局部保号性） 如果()0lim x x f x A →=，而且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）定理3’：如果()0lim x x f x A →=()0A ≠，那么就存在着0x 的某一去心领域()0oU x ，当()0o x U x ∈时，就有()2A f x > 定理4： （函数极限与数列极限的关系）如果()0lim x xf x →存在，{}n x 为函数()f x 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：0n x x ≠()n N +∈，那么相应的函数值数列(){}n f x 必收敛，且()()0lim lim n x x f x f x →∞→=[811]-。

2.2.2 微积分的应用微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分及微积分方程从万有引力中导出了开普勒行星运动第三定理，此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学中各个分支中的发展，并在这些领域中有越来越广泛的应用，航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下完成的。

并且微积分在人类从农业社会跨入工业社会的过程中起到了决定性的作用。

微积分在物理学上，研究变力做功问题，圆周向心加速度的方向问题，等；在经济领域，研究边际需求与编辑供给问题，边际成本函数、边际利润函数等；在生物领域，研究生物种群数量问题[1215]-。