2020年高考圆锥曲线知识点汇总(精选)
(完整版)高三圆锥曲线知识点总结
第八章 《圆锥曲线》专题复习一、椭圆方程.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：2222+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 222b d a=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .1020,PF a ex PF a ex=+=-1020,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-2．双曲线的方程：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.3．双曲线的性质：①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程ca x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=020102014． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by ax .6．共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑶若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= =nm. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注意：⑴x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.⑷px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2; ② |AB|=22sin p θ；③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900；⑤112||||FA FB P+=. 四、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为22x y m n+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是解析几何的一个重要分支，研究了大量与圆锥切割面相关的曲线。
本文将总结圆锥曲线的重点知识点，包括椭圆、双曲线和抛物线。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，称为焦点椭圆。
1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心。
2. 椭圆的性质（1）椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
（2）椭圆的直径椭圆的直径是通过中心点的两个点之间的距离，等于2a。
（3）椭圆的焦距椭圆的焦距是焦点到中心的距离，等于2ae。
二、双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种形式，其定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的集合。
1. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的焦距双曲线的焦距是焦点到中心的距离，等于2ae。
（2）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是y = kx ±sqrt(a²+ b²)，其中k是斜率，a和b是常数。
（3）双曲线的离心率双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上到一个定点F的距离等于到一条直线L的距离的平方的点的集合。
1. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程为y² = 2px，其中p是焦点到准线的距离，准线与抛物线的轴平行。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是定点F，准线是与抛物线的轴垂直的直线。
（2）抛物线的顶点和轴抛物线的顶点是与焦点和准线的距离最小的点，轴是通过焦点和顶点的直线。
2020年高考圆锥曲线知识点汇编.
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。
②对称性：双曲线 x 2 y 2 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a2 b2
是双曲线 x 2 y 2 1 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a2 b2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x 2 y 2 1的方程里，对称轴是 x, y 轴，所 a2 b2
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段 A1A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由 椭 圆 的 对 称 性 知 ： 椭 圆 的 短 轴 端 点 到 焦 点 的 距 离 为 a ； 在 RtOB2F2 中 ， | OB2 | b ， | OF2 | c ， | B2F2 | a ，且 | OF2 |2 | B2F2 |2 | OB2 |2 ，即 c2 a2 b2 ；
y
b 所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x, y) 也在曲线上，
所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
y2 的分
母的大小。例如椭圆 x2 y2 1（ m 0 ， n 0 ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时 mn
表示焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
高中数学圆锥曲线知识点
高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
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（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0）
（5）准线方程：两条准线 x a2 c
（6）离心率： e c （ e 1 ） a
（7）渐近线方程： y b x a
（8）焦点半径：“长加短减” 原则：
焦点半径公式：对于双曲线方程 x 2 a2
y2 b2
1（ F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双
高考圆锥曲线知识点汇总
知识摘要：
1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
一、椭圆方程.
1. 椭圆的定义：平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离之和等于常数 2a （大于 F1F2 ）的点的 轨迹叫做椭圆.其中两个定点 F 1 ，F 2 为椭圆的两个焦点，两焦点间的距离 F1F2 叫做椭圆的
F 1,F 2 为 左 、 右 焦 点 ， 则
PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0
y2 Ⅱ、设 P(x 0 , y 0 ) 为椭圆 a2
x2 b2
1(a b 0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则
PF 1 a ey 0 , PF 2 a ey 0
（8）通径：垂直于
Байду номын сангаас
（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0）
（5）准线：两条准线 x a2 c
（6）离心率： e c （ 0 e 1），其中 e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。 a
（7）焦点半径：“左加右减”
I、设
P(x0 ,y0) 为 椭 圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上 的 一 点 ，
的点的轨迹叫做双曲线.
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为双曲线
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以 F1 ， F2 为端点的射线
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹 第二定义： 平面内到定点 F 的距离与它到定直线的距离的比为常数 e （ e 1 ）的点的轨迹叫做双曲线.
MF 2 ey 0 a M F 1 ey 0 a M F 2 ey 0 a
5、等轴双曲线：双曲线 x2y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2.
三、抛物线方程.
3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
y 2 2 px
y 2 2 px
x 2 2 py
图形
▲y
▲y
▲y
x 2 2 py
▲y
x O
x O
x O
x O
焦点
准线
范围 对称轴
p F ( ,0)
2
x p 2
x 0, y R
F ( p ,0) 2
x p 2
x 0, y R x轴
p F (0, )
2
y p 2
x R, y 0
F (0,
p )
2
y p 2
x R, y 0
y轴
顶点 离心率
4、焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x 2
a2
y2 b2
1
的参数方程为
x
y
a b
cos sin
（其中 为参数）
5、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的几何性质：
（1）顶点： (a, 0) 和 0, b ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b
（2）焦点：两个焦点 (c, 0) ，焦距： F 1F 2 2c, c a 2 b 2 （3）范围： a x a, b y b
焦距.
第一定义：
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以 F1 ， F2 为端点的线段
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为椭圆
第二定义： 椭圆上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的比等于离心率 e .切记：“点点距为分 子、点线距为分母”，其商即是离心率 e .
MF
如图：
e
， d 为点 M 到定直线的距离.
d
切记：“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 e .
2、双曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程： x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（2）中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程：
y2 a2
曲线的上下焦点）
MF 1 ex 0 a MF 2 ex 0 a
构成满足 MF 1 MF 2 2a
M F 1 ex 0 a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半 M F 2 ex 0 a
径要带符号计算，而双曲线不带符号） ▲ y
M'
M
x
F1
F2
▲ y
F1 M x
M' F2
MF 1 ey 0 a
x2 b2
1(a
0,b
0)
3、双曲线的一般方程： Ax2 By2 1( A B 0)
4、双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的几何性质：
（1）顶点： (a, 0) ，其中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b
（2）焦点：两个焦点 (c, 0) ，焦距： F1F2 2c, c a2 b2 （3）范围： x a, y R
（0，0） e 1
半焦距
PF
p 2
x1
PF
p 2
x1
注：① ay 2 by c x 顶点 ( 4ac b 2 b ) . 4a 2a
PF
p 2
y1
PF
p 2
y1
② y 2 2 px( p 0) 则焦点半径 PF x P ; x 2 2 py( p 0) 则焦点半径为 PF y P .
如图： PF1 e c 或 PF2 e c
d1
a
d2
a
2、椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
（2）中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程：
y2 x2 1(a b 0) a2 b2 3、椭圆的一般方程： Ax2 By2 1( A 0, B 0)
x
轴且过焦点的弦叫做通经：
d
2b2 a2
注：若 P 是椭圆：
x2 a2
y2 b2
1 上的点. F 1,F 2 为焦点，若 F 1PF 2
，则 PF 1F 2 的面积为
b 2 tan 2
（用余弦定理与
PF 1
PF 2
2a 可得）
二、双曲线方程. 1. 双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离之差的绝对值等于常数 2a （且 0 2a F1F2 ）