小学五年级逻辑思维学习—容斥原理
第6章 容斥原理
6.1 容斥原理
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
Qn | A1 A2 An |
n! | A1 A2 An | (6.5)
n!r1 (n 1)!r2 (n 2)!
(1)n1 rn1 1!(1)n rn 0!
由此可见, 计算禁位排列的关键问题是 计算ri(i=1,2,…,n).
其中ri为有i个棋子落入禁区的方案数.
证. 设Ai为第i个棋子落入禁区的排列的 集合, i=1,2,…,n
如果一个棋子落入禁区的方案数目为
r1, 那么剩下的n-1个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai|=r1(n-1)!. 如果两个棋子落入禁区的方案数目为
r2, 那么剩下的n-2个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai∩ Aj |=r2(n-2)!. 依次类推. 由容斥原理, 可以得到:
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
些绅士没人能拿到他们来时所戴的帽子
● V-8发动机的8个火花塞从气缸中取出清洗。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式（实用版）目录1.容斥原理的基本概念2.容斥原理的常识型公式3.容斥原理在实际问题中的应用正文【1.容斥原理的基本概念】容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是集合论中的一种基本原理。
它主要用于解决集合的运算问题，包括并集、交集和补集等。
容斥原理有两个基本公式，分别是加法公式和减法公式。
【2.容斥原理的常识型公式】容斥原理的常识型公式是指在解决实际问题时，常用的一些简化公式。
主要包括以下两个公式：1.若 A、B 两集合无公共元素，则|A∪B| = |A| + |B|，|A∩B| = 0。
2.若 A、B 两集合有公共元素，则|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|。
【3.容斥原理在实际问题中的应用】容斥原理在实际问题中有广泛的应用，例如在统计学、概率论、组合数学等领域。
通过运用容斥原理，可以简化问题，求解复杂集合的运算。
例如，在一个班级中，有男生和女生两个集合。
若男生集合有 30 人，女生集合有 25 人，则班级总人数可以通过容斥原理的加法公式求解，即班级总人数 = 男生人数 + 女生人数 = 30 + 25 = 55 人。
再如，在一次考试中，有及格和优秀两个集合。
若及格人数为 80 人，优秀人数为 30 人，则不及格人数和非优秀人数可以通过容斥原理的减法公式求解，即不及格人数 = 总人数 - 及格人数 = 100 - 80 = 20 人，非优秀人数 = 总人数 - 优秀人数 = 100 - 30 = 70 人。
总之，容斥原理是集合论中非常重要的基本原理，它在实际问题中的应用可以帮助我们简化问题，快速求解集合的运算。
小学容斥原理的解释
小学容斥原理的解释小学容斥原理，又称为容斥原理、包容原理，是组合数学中的一种重要原理。
它是解决计数问题的一种方法，通过将问题划分为不相交的子集，然后逐个计算每个子集的元素个数，并利用集合的容量大小来计算最终的结果。
容斥原理在解决小学数学题目中的应用相当广泛，如排列组合、概率论等等。
小学生在学习容斥原理之前，首先需要了解集合的概念。
集合就是由一些个体组成的整体，比如我们可以用集合{1, 2, 3}来表示三个小朋友的编号。
在容斥原理中，我们主要使用交集和并集这两个概念。
交集就是把两个或多个集合里共有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。
并集就是把两个或多个集合里所有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4}。
容斥原理的核心思想是通过计算交集和并集的关系来求解问题。
首先，我们考虑简单的情况，假设有两个集合A和B，我们要求这两个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的并集来获得结果。
但是由于并集中包含了A和B的交集，为了避免重复计算，我们需要减去A和B 的交集的元素个数，也就是用并集的元素个数减去交集的元素个数。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，它们的并集为{1, 2, 3, 4}，交集为{2, 3}。
根据容斥原理，集合A和集合B的元素个数之和等于并集的元素个数减去交集的元素个数，即4-2=2+2=4。
这个结果表示集合A和集合B中一共有4个元素。
在解决实际问题时，容斥原理的应用更为复杂，涉及到多个集合的情况。
我们可以通过逐个考虑不同的情况，然后用加减的方式求得最终的结果。
例如，假设有三个集合A、B和C，我们要求这三个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以先计算每两个集合的交集的元素个数之和，然后再减去所有三个集合的交集的元素个数，最后加上三个集合的并集的元素个数。
容斥原理五年级教案
容斥原理五年级教案教案标题：容斥原理五年级教案教案目标：1. 通过引导学生了解和理解容斥原理的概念，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 帮助学生掌握容斥原理的基本应用方法，能够运用容斥原理解决简单的数学问题。
3. 激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和创造力。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔或白板笔等教学工具。
2. 教师准备一些容斥原理相关的练习题和活动，以及相关的教学素材。
3. 学生准备笔和纸，以便做练习和记录重要知识点。
教学过程：引入：1. 教师通过提问和讨论的方式，引导学生回顾和复习集合的概念。
2. 教师引入容斥原理的概念，解释什么是容斥原理以及它的作用。
探究：1. 教师通过一个简单的例子，引导学生理解容斥原理的基本思想。
例子：有一个班级有30名学生，其中有15名学生会弹钢琴，20名学生会弹吉他，5名学生既会弹钢琴又会弹吉他。
那么班级里至少会弹一种乐器的学生有多少名？2. 学生们思考这个问题，然后在小组内讨论并给出解答。
3. 随机选择几个小组分享他们的解答和思路，引导学生互相学习和交流。
讲解：1. 教师根据学生的讨论结果，给出正确的解答，并解释容斥原理的应用方法。
2. 教师通过示范和讲解，详细介绍容斥原理的计算步骤和注意事项。
3. 教师通过一些具体的例子，帮助学生掌握容斥原理的应用技巧。
练习：1. 教师布置一些练习题，让学生在课堂上独立完成。
2. 学生在完成练习题后，相互交流和讨论答案，并向教师请教不懂的问题。
巩固：1. 教师选择一些学生分享他们的答案和解题思路，帮助其他学生理解和巩固知识点。
2. 教师总结本节课的重点内容，强调容斥原理的应用范围和重要性。
拓展：1. 教师鼓励学生在课后继续探索和应用容斥原理，解决更复杂的数学问题。
2. 教师提供一些拓展性的练习题和活动，以激发学生的学习兴趣和创造力。
评价：1. 教师通过观察学生的课堂表现，评价学生对容斥原理的理解和应用能力。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
5.3 容斥原理(二)
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理 （二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队， 其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人， 排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色 白色 黑色 红、白色 红、黑色 白、黑色 红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中： （1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘 米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪 断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段
小学容斥原理教案
小学容斥原理教案教案标题：小学容斥原理教案教学目标：1. 理解容斥原理的概念和基本原理。
2. 能够运用容斥原理解决简单的排列组合问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 容斥原理的概念和基本原理。
2. 运用容斥原理解决简单的排列组合问题。
教学难点：1. 运用容斥原理解决稍复杂的排列组合问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教具、黑板、彩色粉笔。
2. 学生准备：课本、笔、纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入容斥原理的概念：请学生回顾一下之前学过的排列组合知识，例如：从5个不同的字母中任选3个字母组成不重复的三位数，有多少种可能性？2. 引出问题：学生是否有其他方法解决这个问题？引导学生思考。
二、讲解容斥原理（10分钟）1. 讲解容斥原理的概念：容斥原理是指通过计算每个集合的元素个数，再减去同时属于两个或多个集合的元素个数，得到所有集合元素个数的总和。
2. 讲解容斥原理的基本原理：用公式表示为：A∪B = A + B - A∩B。
3. 通过具体例子解释容斥原理的应用。
三、运用容斥原理解决问题（15分钟）1. 给学生提供一些简单的排列组合问题，引导他们运用容斥原理解决。
2. 让学生分组讨论并解答问题，然后进行讲解和总结。
四、拓展练习（15分钟）1. 提供一些稍复杂的排列组合问题，要求学生运用容斥原理解决。
2. 让学生自主解答，并互相交流思路和答案。
五、归纳总结（5分钟）1. 让学生总结容斥原理的应用方法和注意事项。
2. 教师进行总结和点评。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题作为课后作业，要求学生运用容斥原理解决。
2. 强调学生要理解容斥原理的概念和基本原理，能够独立运用于实际问题。
教学反思：本节课通过引导学生回顾排列组合知识，引出容斥原理的概念，并通过具体例子进行讲解和练习，使学生理解容斥原理的基本原理和应用方法。
在拓展练习环节，提供稍复杂的问题，培养学生解决问题的能力。
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，它常常被用来解决包含排列组合、集合运算等问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，它可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，掌握容斥原理是非常重要的。
首先，容斥原理是什么呢？简单来说，容斥原理是一种通过排除重复计数来得到准确计数结果的方法。
在解决问题时，我们常常会遇到需要计算某个集合的元素个数的情况，而有时候直接计算会非常复杂甚至不可行。
这时，我们就可以利用容斥原理来简化计数过程，从而得到准确的结果。
容斥原理的核心思想是利用集合的互斥性质，通过排除重复计数来得到准确的计数结果。
具体来说，对于给定的若干个集合，我们可以利用容斥原理来计算它们的并集的元素个数。
容斥原理的表达式可以用一个简单的公式来表示：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。
其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集，A ∩B 表示集合 A 和集合 B 的交集。
通过这个公式，我们可以利用容斥原理来计算任意若干个集合的并集的元素个数，从而解决各种复杂的计数问题。
容斥原理的应用非常灵活，我们可以将其应用于各种不同类型的问题中。
例如，在排列组合问题中，容斥原理可以帮助我们计算满足某些条件的排列或组合的个数；在集合运算问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个集合的并集的元素个数；在概率统计问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个事件的概率之和等等。
总之，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数来得到准确的计数结果。
掌握容斥原理可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，深入理解和灵活运用容斥原理是非常重要的。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
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小学五年级逻辑思维学习—容斥原理
知识定位
容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念
2. 利用图形分析解决容斥原理问题
知识梳理
授课批注：
本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念
定义
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成： |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，
我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）
二.竞赛考点
1. 容斥原理的基本概念
2. 与数论相结合的综合型题目
例题精讲
【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。
问：
(1)三样都买的有几人？
(2)只买一样的有几人？
【题目】某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
问：只有电子琴的有多少人？
【题目】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
【题目】一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16。
求甲、乙都答对的题目数.
某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?
【题目】某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?
【题目】有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?
【题目】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?
【题目】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；
（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；
（4）其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
【题目】有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占
，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张？
【题目】东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?
【题目】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?
【题目】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．
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【题目】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．
【题目】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．．
【题目】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
【题目】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?
【题目】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【题目】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【题目】有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆.其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等.那么在全部棋子中，白子共有多少枚？
习题演练
【试题来源】
【题目】二年级一班共42名同学，其中少先队员33人。
这个班男生20人，女生中有4人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？
【试题来源】
【题目】在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【试题来源】
【题目】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。
没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。
问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
【试题来源】
【题目】有三个面积各为30厘米2的圆，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米。
三个圆共盖住多大面积？
【试题来源】
【题目】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。
那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？。