定积分习题

定积分习题————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ第九章 定 积 分练 习 题§１定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分： （1）⎰∑=+=112233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2)⎰10;dx e x(3)⎰ba xdx e ; （４）12(0).(:)b i i i a dx a b x x x ξ-<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式ﻩﻩ1.计算下列定积分:(1）⎰+10)32(dx x ； (2）⎰+-102211dx x x ; (３）⎰2ln e e x x dx ;(4）⎰--12dx e e xx ; (５)⎰302tan πxdx(6）⎰+94;)1(dx xx（７)⎰+40;1x dx（8）⎰e edx x x 12)(ln 1 2．利用定积分求极限:(１));21(1334lim n nn +++∞→ （2);)(1)2(1)1(1222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n (3）);21)2(111(222lim n n n n n +++++∞→（4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n nn -+++∞→ ππ ３．证明：若f 在[a,ｂ］上可积，F 在[a,b]上连续,且除有限个点外有F ＇（x)＝f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若ｆ在[a ，b ］上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂． 3.设f ﹑g 均为定义在［a,b]上的有界函数。

证明：若仅在［a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b ］上可积时，g 在[ａ,ｂ］上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a ，ｂ]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则ｆ在[ａ,b ］上可积。

4．证明：若ｆ在区间∆上有界，则()()()()"','".sup sup inf f f f f χχχχχχχχ∈∆∈∆∈∆-=-。

§4 定积分的性质1.证明:若ｆ与ｇ都在[a ，ｂ]上可积,则∑⎰=→=∆ni bai i i T dx x g x f x g f 10,)()()()(lim ηξ其中i i ηξ,是Ｔ所属小区间△ｉ中的任意两点，ｉ=1,2…，n ．２.不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小: (1)⎰⎰101;2dx x xdx 与ﻩ(２)⎰⎰2020.sin ππxdx xdx 与3.证明下列不等式:（1）202;2211sin 2dx x πππ<<-⎰(２）1201x e dx e <<⎰;(3）2sin 12;xdx dx x ππ<<⎰ （4)4ln 3 6.e e x e dx x<<⎰４.设ｆ在[a,b]上连续,且ｆ(x)不恒等于零,证明()()20.baf x dx >⎰５.设f 与g 都在［a,b]上可积,证明[]{}[]{})(),()(,)(),()(min max ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==在[a,b]上也都可积.6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.７.设f 在［ａ,ｂ］上可积,且在[a,b ］上满足.0)( m x f ≥证明f1在[a,b]上也可积．８．进一步证明积分第一中值定理（包括定理９.7和定理9.8）中的中值点ξ∈(a ，b).9．证明:若f 与ｇ都在[ａ，b]上可积,且g(ｘ）在[a,b ］上不变号,Ｍ、m 分别为 ｆ(x)在[a,ｂ]上的上、下确界，则必存在某实数μ(m ≤μ≤M ）,使得⎰⎰=babadx x g dx x g x f .)()()(μ10.证明:若f 在[a,b]上连续,且⎰⎰==b abadx x xf dx x f ,0)()(则在（a ，b)内至少存在两点ｘ1,x 2,使f(x 1）＝ f(x ２）=０.又若⎰=badx x f x ,0)(2这时f 在(a,b ）内是否至少有三个零点?11.设f 在［a,b ］上二阶可导，且"f (x)>0.证明:(1）⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+b adx x f ab b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f ba ∈-≥⎰12.证明:(1)11ln(1)11ln ;2n n n +<+++<+ (２).1ln 1211lim =+++∞→nn n§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)习 题1． 设f 为连续函数,u 、v 均为可导函数,且可实行复合f °u 与ｆ°v 证明:⎰-=)()().('))(()('))(()(x v x u x u x u f x v x v f dt t f dx d2．设f 在[a,b]上连续,⎰-=xa dt t x t f x F .))(()(证明F ”b].[a,),()(∈=x x f x３．求下列极限：（１）⎰→xx dt t x20;cos 1lim （2）.)(02222lim dtedt e x t xt x ⎰⎰∞→４．计算下列定积分：(１)⎰205;2sin cos πxdx x (2）⎰-12;4dx x(3)⎰-a a dx x a x 0222);0( （4）⎰+-102/32;)1(x x dx（５）⎰-+10;x x e e dx（６)⎰+22;sin 1cos πdx xx（7)⎰1;arcsin xdx (８)⎰20;sin πxdx e x(９);ln 1dx x ee⎰(10)⎰1;dx e x （１1）⎰+-aa dx xa xa x 02);0( （12）⎰+2.cos sin cos πθθνθd５.设f 在[-a,ａ]上可积。

证明： (1)若ｆ为奇函数,则⎰-=aa dx x f ;0)(（２)若f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0.)(2)(6．设f 为(-∞，＋∞)上以p 为周期的连续周期函数。

证明对任何实数ａ，恒有⎰⎰+=pa padx x f dx x f a .)()(7.设f 为连续函数。

证明:(1)⎰⎰=2020;)(cos )(sin ππdx x f dx x f (２)⎰⎰=πππ.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf8.设Ｊ（m,ｎ)⎰=20,(cos sin πn m xdx x n m 为正整数)。

证明：),,2(1)2,(1),(n m J nm m n m J n m n n m J -+-=-+-=并求J （2ｍ,２n).9．证明：若在(0,∞)上f 为连续函数，且对任何a ＞０有⎰==axx dt t f x g 常数)()(, ),,0(+∞∈x则c x xcx f ),,0(,)(+∞∈=为常数。

10.设ｆ为连续可微函数,试求⎰-xa dt t f t x dx d ,)(')(并用此结果求⎰-xtdt t x dx d 0.sin )(11．设)(x f y =为[a,ｂ］上严格增的连续曲线（图 9-12）。

试证存在ξ∈(ａ，b),使图中两阴影部分面积 相等。

12.设f 为［０,2π]上的单调递减函数。

证明:对任何正整数n 恒有⎰≥π20.0sin )(nxdx x f13．证明:当x>时有不等式).0(1sin 2c xdt t cx x⎰+1４.证明：若f 在［a,b]上可积，[],)(,)(,,b a ==βϕαϕβαϕ上单调且连续可微在则有⎰⎰'=ba dt t t f dx x f βαϕϕ.)())(()(※１５.证明：若在[a,b]上f 为连续可微的单调函数,则存在[],,b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=baabdx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ.)()()()()()(（提示:与定理９.1１及其推论相比较,这里的条件要强得多， 因此可望有一个比较简单的,不同于9.1１的证明.)※§６ 可积性理论补叙1. 证明性质2中关于下和的不等式(3）.2. 证明性质６中关于下和的极限式S T s t =→)(lim 0.3. 设 ⎩⎨⎧=.,0.,)(为无理数为有理数x x x x f试求f 在[0，1]上的上积分和下积分;并由此判断f 在[0,1]上是否可积.4. 设f 在[a,ｂ]上可积,且[]],[.,,0)(b a f b a x x f 在试问=上是否可积?为什么?5.证明:定理９．14中的可积第二充要条件等价于“任给TT 的对于一切满足存在δδε<>>,0,0都有εω''<-=∆∑)()(T s t s xiTi ．6.据理回答：(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和)都相等”的性质?(3) 对于可积函数,若“所有下和（或上和)都相等”,是否仍有（2）的结论? 7.本题的最终目的是要证明：若f 在[a ，b]上可积，则f 在[a,b ］内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明:（１)若T 是[a,b]的一个分割,使得S(T ）s(T)<b —a,则在T 中存存在某个小区间.1,<∆f i i ω使(2）存在区间),,(],[111b a b a I ⊂=使得.1)(inf )(sup )(111<-=∈∈x f x f I I x I x f ω（3）存在区间),,(],[11222b a b a I ⊂=使得.21)(inf )(sup )(222<-=∈∈x f x f I I x I x f ω(4）继续以上方法,求出一区间序列),,(],[11--⊂=n n n n n b a b a I .1)(inf )(sup )(nx f x f I nnI x I x n f <-=∈∈ω 说明{}n I 为一区间套，从而存在;,2,1,0 =∈n I x n 而且f 在点x 0连续。