高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
立体几何专题——外接球与内切球45习题
)
A． 2 2
3
B． 8 2
3
C． 2 2
D． 2
41.在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AB = 2 ， AC = 3 ， BAC = 30 ， AA1 = 5 ，则其外接球的体积
是(
)
A． 6
B． 9
2
C． 8 2
3
D． 13
2
42.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 上，且 AB = AC = BC = BD = CD = 4 ， AD = 2 6 ，则球 O 的
外接球与内切球问题
1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
．
2.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的共顶点的三条棱长度之比为 1：1：2，且其外接球的表面
积为16 ，则该长方体的全面积为
．
3.半径为 2 的球 O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为
表面积为 ( )
A． 70
3
B． 80
3
C． 30
D． 40
43.正方体 ABCD − A1B1C1D1 棱长为 2， M 为 CD1 中点，则四面体 ABDM 外接球的体积为 ．
44.已知在正四面体 ABCD 中，点 E 在棱 AC 上，F 为棱 AD 的中点．若 BE + EF 的最小值为 42 ， 则该四面体外接球的表面积是 ．
的外接球为球 O ，过 E 点作球 O 的截面 ， 截球 O 所得截面积的最小值为 ( )
A． 4
B． 3
C． 2
D．
40.已知 P ， A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形， AD / /BC ，
2023年高考数学考法专练——外接球与内切球
2023年高考数学考法专练——外接球与内切球考法一、 墙角模型例1、长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一球面上，且12,3,1AB AD AA ===，则球面面积为（ ）A ．83π B ．43π C ．4π D ．8π例2、已知正三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．3πC ．6πD ．9π例32的正四面体的外接球体积为___________.跟踪练习1、长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.2、在三棱锥P ABC -中，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB =，3PC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为3、已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为4、在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，三内角B ，A ，C 成等差数列，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为5、如图，在ABC 中，3AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为6、在三棱锥P ABC -中，点A 在平面PBC 中的投影是PBC 的垂心，若ABC 是等腰直角三角形且1AB AC ==，3PC =，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为7、已知三棱锥S ABC -的三条侧棱,,SA SB SC 两两互相垂直且13,5AC AB ==的表面积为14π，则BC =______________．8、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．9、已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且AB ⊥平面BCD ，AB =4AC AD ==，CD =O 的表面积为___________.10、已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为1AA =，则当长方体1111ABCD A B C D -的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.考法二、汉堡模型例1、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．20πC ．24πD ．32π例2、已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且AB ⊥平面BCD ，2AB =，CD =，AC AD ==O 的表面积为（ ）AB ．2πC ．3πD ．6π例3、已知边长为3的正ABC 的顶点和点D 都在球O 的球面上.若6AD =，且AD ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．B ．48πC ．24πD ．12π跟踪练习1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、（多选）在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A ．π3B ．52πC ．80πD ．208π3、已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球О的球面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是高为12的等腰梯形，//AD BC ，1AD PA ==，2BC =，则球О的表面积为（ ）A ．10πB ．4πC ．5πD ．6π 4、在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面,,ABCD AB BC AD CD ⊥⊥，且120,2BAD PA AB AD ∠=︒===，则该四棱锥外接球的体积为（ ）A ．B ．203πCD ．5、设直三棱柱111ABC A B C -1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是______ ．6、已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（ ）A ．17B ．7C ．37D ．77、已知三棱锥P ABC ﹣的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且8PA =，6AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π8、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为3，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为（ ）A B C ． D ．9、已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为9π，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A ．4B ．43C ．D ．3考点三 斗笠模型例1、在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===AB AC BC ===，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ）A ．9πB ．15π2C ．4πD ．25π4例2、某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ） A ．243256 B ．128243 C ．128729 D ．256729例3、设圆锥的顶点为A ，BC 为圆锥底面圆O 的直径，点P 为圆O 上的一点（异于B 、C ），若BC =三棱锥A PBC -的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为___________.跟踪练习1、已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（ ）A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π 2、已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ）A ．BC ．4πD ．43π 3、正三棱锥P －ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM ⊥PC ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为（ ）A ．323πB ．6πCD ．34、已知在高为2的正四棱锥P ABCD -中，2AB =，则正四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．4πB ．92πC ．274πD ．83π 5、已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于___________. 考点四、垂面模型例1、在三棱锥P ABC -中，PAC △是等边三角形，平面PAC ⊥平面,ABC AB AC ==60CAB ∠=，则三棱锥P ABC -的外接球体积为（ ）A ．43πBC ．323πD ．3例2、如图所示，在三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，AB BC ⊥，24AC CB ==，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．40πC ．40103D ．6423例3、已知三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，平面ABC ⊥平面PBC ，AC BC ⊥，6AC =，8AB =，214PC PB ==，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．503πB ．533πC ．100πD ．32π跟踪练习1、在三棱锥D ABC -中，平面ABC ⊥平面ABD ，AB AD ⊥，4AB AD ==，6ACB π∠=，若三棱锥D ABC -的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.2、在四面体ABCD 中，BCD △是边长为2的等边三角形，ABD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，平面ABD ⊥平面A BC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．3、在四面体ABCD 中，已知平面ABD ⊥平面ABC ，且4AB AD DB AC CB =====，其外接球表面积为 （ ）A ．403πB ．803πC ．16πD ．20π4、在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面,23,90ABC PA PB AB BAC ===∠=︒，4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．643πC ．32πD ．80π5、已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，若1AD DB BC CD ====，120ADB ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7π3B ．10π3C ．20π3D ．13π3考点五 矩形模型例1、若矩形ABCD 的面积是4，沿对角线AC 将矩形ABCD 折成一个大小是60°的二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积最小值为（ ）A ．8πB ．823C 6πD 1717例2、在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π例3、已知三棱锥,3,1,4,22A BCD AB AD BC BD -====A BCD -的体积最大时，则外接球的表面积为___________.跟踪练习1、四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，23AD =表面积为__________．2、在矩形ABCD 中23AB =2AD =，沿对角线BD 进行翻折，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．12πD ．16π3、将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A BCD -，则四面体A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．50πC ．5πD ．10π4、中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑ABCD 中，AB ⊥面BCD ，CD BC ⊥，若1CD =，5AC =且顶点,,,A B C D 均在球O 上，则球O 的表面积为______. 考法六 、 怀表模型例1、已知S ，A ，B ，C 四点都在某个球表面上，ABC 与SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A BC S --的大小为23π，则该球的表面积为（ ） A ．43π B ．73π C ．3π D ．133π 例2、如图，菱形ABCD 的边长为6，3BAD π∠=，将其沿着对角线BD 折叠至直二面角A BD C --，连接AC ，得到四面体ABCD ，则此四面体的外接球的表面积为例3、已知菱形ABCD 的边长为4，对角线4BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________.跟踪练习1、已知边长为ABCD 中，60A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．28πC ．32πD ．36π2、在边长为3的菱形ABCD 中，BD =ABCD 沿其对角线AC 折成直二面角B AC D --，若,,,A B C D 四点均在某球面上，则该球的表面积为___________.考法七、 其他模型外接球例1、已知四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2BC CD ==，60BPD ∠=，二面角P BD C --的余弦值为13-，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为（ ）A ．8πB ．C ．D ．12π例2、已知三棱锥A BCD -中，===AB BD DA DC =，BC =A BD C --的大小为135︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．64πB ．52πC ．40πD ．32π例3、在四面体ABCD 中，2==AC BD ，AD BC ==AB CD ==___________.跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，90SBA SCA ∠=∠=︒，底面ABC 是等边三角形，三棱锥S ABC -则三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值是（ ）A ．12πB ．24πC ．6πD ．10π2、已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．48πB ．16πC ．64πD ．36π3、已知四面体ABCD 中，60BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，2AB AD ==，H 是BD 的中点，CH BD ⊥，120AHC ∠=︒，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．275πB ．3215πC ．94πD ．529π4、在棱长为8的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1DD 上一点，且P 到11C D 的距离与到AC 的距离相等，则四面体P ACD -的外接球的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．133πD ．164π5、球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π6、如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球O 的球面上，若十四面体的棱长为1，则球O 的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7、已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为R 的球面上，且3BAC π∠=，2BC =，若三棱锥P ABC-体积的最大值为32R ，则该球的表面积为（ ） A ．649π B ．329π C ．6427π D ．169π 8、等边ABC 的边长为2，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到A BD '，使得23A DC π'∠=，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．考法八、 内切球例1、如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，5PA =2AB =，则四棱锥P ABCD -内切球的体积为（ ）A 3πB 43πC 113πD 1253π 例2、已知球O 是棱长为24的正四面体ABCD 的内切球，球1O 与球O 外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球1O 的表面积为（ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π例3、已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）A ．25：1B ． 1C ．5：1D 1跟踪练习1、设球O 内切于正三棱柱111ABC A B C -，则球O 的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积的比值为________．2、已知球1O 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，球2O (在正方体1111ABCD A B C D -内部)与平面ABCD ，平面11ABB A 和平面11ADD A 都相切，并且与球1O 相切，则球1O 与球2O 的半径之比为___________.4、已知正三棱锥 P ABC -的底面边长为2,,PAB PBC 分别切于点,M N ，则MN 的长度为___________.5、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ，4PA BC ，3AB =，AB BC ⊥，若三棱锥P ABC -有一个内切球O ，则球O 的体积为（ ） A ．92π B ．94π C ．916π D ．9π6、阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．347、已知在三梭锥A BCD -中，2AB CD ==，3AD AC BC BD ====，则该三棱锥内切球的体积为（ ）A B C D。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.
2023年高考数学---外接球与内接球问题真题练习(含答案解析)
2023年高考数学---外接球与内接球问题真题练习（含答案解析）1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A ．13B ．12CD【答案】C【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ， 设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h −=⋅⋅=当且仅当222r h =即h .故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r ，则r =，所以该四棱锥的高h13V a = (当且仅当22142a a =−，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h =. 故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r ，则2r a =，所以该四棱锥的高h 13V a =2(02)a t t =<<，V =设()322t t f t =−，则()2322t f t t −'=，403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V 最大，此时h故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．2．（2021·全国·高考真题（理））已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC −的体积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则d =所以11111332O ABC ABCV Sd −=⋅=⨯⨯⨯故选：A.3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．100π B ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r =，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d =121d d −=或121d d +=，1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C【解析】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ， 则2222l a h =+，22232(3)a h =+−, 所以26h l =，2222a l h =−所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯−⨯− ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫−'=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(333333h h h V a h h h h h h h ⎡⎤−++==−=−⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a =，则22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=，a =正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].435．（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥==，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 【答案】C 【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴=∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.。
高考文科数学中的内切球和外接球问题---专题练习()
内切球和外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.故该球的体积为43π.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V π∴=球.小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =.故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
高考数学中地内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为.14 .例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x 3, 1x ,29 326 x h,h 3．8 4∴正六棱柱的底面圆的半径 1r ，球心到底面的距离23d .∴外2接球的半径R 2 d . 体积：r24V 3 .RV 3 .3小结本题是运用公式 2 2 2R r d 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.9 .例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积 2S 4 R 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2 222Ra bc .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
专题05 立体几何外接球、内切球专题(解析版)
专题05 立体几何外接球、内切球专题1、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,ABC AB BC ⊥.若2PA AB BC ===，,E F 分别是,PB PC 的中点，则三棱锥P AEF -的外接球的表面积为__________.答案： 5π解析： 根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题. 【详解】因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥. 又PA AB =，故AE PB ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ， 所以,AE EF AE PE ⊥⊥. 又//EF BC ，所以EF PE ⊥，故,,EF PE AE 两两垂直.又11,22EF BC PE AE ====， 故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，2，2. 所以三棱锥P AEF -的外接球的半径为122522++=， 故外接球的表面积为25452ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：5π.2、已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π答案： C 解析：由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+= 球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C3、已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =，点D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（ ） A ．73π B ．76π C ．72127πD ．72154π答案： A 解析：证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案. 【详解】由1PA AB PB AC ====，2CP =，得PA AC ⊥. 由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得32AD =，又72CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==， 由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径12sin 603PA r ==︒，所以球O 的半径为22712R d r =+=，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：A .4、已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，2AB =，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折后，二面角A BD C --的余弦值为13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）． A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π答案： B解析： 由菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ，求出3OA OC ==，由二面角A BD C --的余弦值为13，可得2AC =，即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体求解可得表面积，将正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果. 详解：由题意，菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ， 可知AC BD ⊥，即OA BD ⊥，OC BD ⊥， ∵60BAD ︒∠=，2AB =，∴3OA OC ==， ∴AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即1cos 3AOC ∠=， 22212cos 3323343AC OA OC OA OC AOC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=即2AC =,即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为6， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为26462S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B.5、已知A ，B ，C 是球心为O 的球面上三点，60AOB ∠=，120AOC ∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．24π D ．36π 答案： B 解析：根据题意分析可知，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大．此时，点B 到平面AOC 的距离达到最大值，为正三角形AOB 的OA 边上的高，根据三棱锥的体积公式计算体积，可解得R ，根据球的表面积公式可得结果.详解：设球O 半径为R ，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大． 注意AOB 是正三角形，AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形， 所以231131sin120123228V R R R R ⎛⎫=︒⨯==⇒=⎪⎝⎭，所以16S π=. 故选：B.6、在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D-AC-B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.答案： (100163)9π+解析：取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，点N 是ACD ∆外接圆的圆心，点E 是ABC ∆外接圆的圆心，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.【详解】由条件可知ABC ∆是等边三角形，取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，120EMN ∠=，60EON =∠，如图：由条件可知，33EM =，60EMG ∠= 30OEH ∠= 331322HN EG ∴==⨯=，316EH GN GM MN ==+=+ 33123tan 301636OH EH ⎛⎫+∴=⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 323ON OH HN +∴=+=， ()222222322543239R OD ON ND ⎛⎫++==+=+=⎪ ⎪⎝⎭， 210016349S R ππ+==7、如图，在体积为233的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PAB △为等边三角形，二面角PAB C 为锐角，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为（ ）A ．213 B ．2C ．3D ．32答案： A解析：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，易得AB ⊥平面PEF ，PH ⊥平面ABCD ，根据四棱锥的体积为233，得到32PH =，进而得到30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥，然后利用截面圆的性质求得外接球的球心再求半径即可. 详解：如图所示：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，垂足为H. 则AE BE =、CF DF =，有AB EP ⊥，AB EF ⊥， 所以AB ⊥平面PEF ，所以AB PH ⊥，又PH EF ⊥， 所以PH ⊥平面ABCD ， 因为四棱锥的体积为233， 所以123433PH ⨯=， 解得32PH =，由3PE =，得30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥. 三角形PEF 的平面图如下：2PM EM =，N 为EF 的中点，由图可知四棱锥外接球的球心O 为过点M 的EP 的垂线1和EF 的中垂线的交点，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，33EM =，23EQ =，13NQ =，33NO =，17212333R =+==. 故选：A8、已知三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，AB AC AD ==，BCD 是边长为2的正三角形，M 、N 分别为AB 、BC 中点，且MD MN ⊥，则球O 的表面积为__________．答案： 3π解析： 利用已知条件可知三棱锥A BCD -是正三棱锥，结合MD MN ⊥可得AC ⊥面ABD ，即可知ABC 是等腰直角三角形，可得1AB AC AD ===且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球.详解：由题意知A BCD -为正三棱锥，取BD 中点F ，连接,AF CF ， 所以CF BD ⊥ ，AF BD ⊥ ，且AF CF F ⋂= ， 所以BD ⊥平面ACF ∴AC BD ⊥，又M 、N 分别为AB 、BC 中点，易知||MN AC , 由已知MD MN ⊥， 所以AC MD ⊥ MD BD D ⋂=， 所以AC ⊥面ABD ，所以AC AB ⊥，即ABC 是等腰直角三角形，因为斜边2BC =，所以1AB AC AD ===且两两垂直，则A BCD -为以A 为顶点的正方体一部分，()222221113R AB AC AD =++=++=， 即243R =所以球O 的表面积为243S R ππ==． 故答案为：3π9、已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ）A B C ．6π D 答案： D解析： 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,先分析可得O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点D 为BC 的中点,则AD BC ⊥,因为点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心,所以PA BC ⊥,PC AB ⊥, 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,则BC ⊥平面PAD ,所以O 一定在AD 上, 因为AB PC ⊥,AB PO ⊥,所以CO AB ⊥,所以O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,设球的半径为R ,故选:D10、点,,,A B C D 在同一个球的球面上，，若四面体ABCD 体积）A B ．8πC D 答案： A 解析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】根据题意知，ABC ∆是一个等边三角形，其面积为334，由正弦定理322sin3r π==知，外接圆的半径为1r =．设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积有最大值，由于底面积ABC S ∆不变，高最大时体积最大， 所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ∆⨯=，4DQ ∴=，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO ∆中，222OA AQ OQ =+， 即2221(4)R R =+-，178R ∴=则这个球的表面积为：2172894()816S ππ==故选：A ． 11、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．23B ．12C ．34D ．24答案： A解析：详解：设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径2R =.又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以24PB a =+，224a BD a=+，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BD PA BP =，所以2224a DE a=+，所以()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab abV V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△44223623a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即233a =，263b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -体积的最大值为23.故选A.12、已知直三棱柱111ABC A B C ﹣中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，若点M 在线段1AA 上运动，则四棱锥11M BCC B -外接球半径的取值范围为（ ）A ．252,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．232,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．352,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．332,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案： C解析： 首先把三棱柱体转换为正方体，利用B 、C 、1C 、1B 在球面上，球心G 在线段2OO上，整理出关系式222 R x y=+，且2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用勾股定理的应用建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果．详解：将三棱柱111ABC A B C-补成一个正方体1111ABDC A B D C-．设四棱锥体11M BCC B-外接球的球心为G，1AA的中点为1O，1DD的中点为2O，12O O的中点为O，如图所示，则122OO=，32OB=，由于B、C、1C、1B在球面上，所以球心G在线段2OO上，设GM GB R==，1O M x=，1O G y=，则22OG y=-，在1Rt O MG△中，222R x y=+①在1Rt O BG中，2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②得2524x y=-，由于12x≤≤，故25228y≤≤，故222225233252,424432R x y y y y⎛⎫⎡⎤=+=-+=+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭所以352,28R⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．13、在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角B AC D --的大小为60，则所得三棱锥A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．529πC ．6πD ．203π 答案： B解析： 由已知可得ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，作出图形，找出三棱锥A BCD -的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥A BCD -的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 详解：由于四边形ABCD 是边长为2的菱形，且23BD =，则22222AC CE AB BE ==-=，所以，ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，则BE AC ⊥，DE AC ⊥，所以，BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，过点B 作平面ACD 的垂线BM ，垂足为点M ，则点M 在线段DE 上，由3BE DE ==，60BED ∠=，可得1322ME MD DE ===， 且BDE 是等边三角形，所以，3BD BE ==，设ACD 的外心为点G ，BD 的中点H ，在平面BED 内，过点G 、H 分别作平面ACD 、BD 的垂线交于点O ，则点O 为三棱锥B ACD -的外接球的球心， 60BDE ∠=，则136012=由于O 、G 、D 、H 四点共圆，可得13603= 所以，三棱锥B ACD -的外接球的表面积为13⎫故选：B.。
(完整版)高考外接球内切球专题练习
高考外接球与内接球专题练习（1）正方体，长方体外接球1. 如图所示，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）A. 4πB. 2πC. πD. 2π 2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ） A. 1:3 B. 1:3 C. 1:33 D. 1:93. 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA 1=1， 则该球的表面积为（ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π4. 底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为A. 323π B. 4π C. 2π D. 43π 5. 已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _________ ．6. 在三棱椎A ﹣BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的 面积分别为22，32，62，则该三棱椎外接球的表面积为（ ） A. 2π B. 6π C. 46π D. 24π7. 设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ， 则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 168. 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体的 外接球的表面积为（ ）A. 25πB. 45πC. 50πD. 100π9. 如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若AB=22，则此正三棱锥外接球的体积是A. 12πB. 43πC. 433π D. 123π 10. 已知三棱锥P ABC -的顶点都在同一个球面上（球O ），且2,6PA PB PC ===， 当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值为（ ）A. 316πB. 38πC. 116πD. 18π （2）直棱柱外接球11. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ， AA 1=12，则球O 的半径为A. 3172B. 210C. 132D. 310 12. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为（ ）A. 2a πB. 273a πC. 2113a π D. 25a π 13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°， 则此球的表面积等于_________ ．14. 三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为（ ）A. 32πB. 32π C. 3π D. 12π 15. 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3， 则球O 的体积等于 _________ ．（3）正棱锥外接球16. 棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为___________17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4327πB. 62π C. 68π D. 624π 18. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在表面积为28916π的球面上，底面ABC 是边长为 3的等边三角形，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________19. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积 为（ ）A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 20. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的顶点均在球O 上，且P A=PB=PC=25，AB=BC=CA=23， 则球O 的表面积为（ ）A. 25πB. 1256πC. 52π D. 20π21. 在球O 的表面上有A 、B 、C 三个点，且3AOB BOC COA π∠=∠=∠=，△ABC 的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（ ） A. 48π B. 36π C. 24π D. 12π 22. 半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ﹣ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是 ____．23. 表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. 23πB. 3π C. 23π D. 223π 24. 正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面 上，如果163P ABCD V -=，则求O 的表面积为（ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π（4）棱锥外接球25. 已知A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB=6，213AC =， AD=8，则此球的体积是 _________ ．26. 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ﹣AC ﹣D ， 则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A. 12512πB. 1259πC. 1256πD. 1253π 27. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD 体积 的最大值为43，则该球的表面积为（ ） A. 163π B. 8π C. 9π D. 12π 28. 四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角 形，且侧面SAB ⊥底面ABCD ，若AB=23，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 14πB. 18πC. 20πD. 24π29. 三棱锥S ﹣ABC 的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC ⊥AB ，BC=SB=SC=2， 则该球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π30. 已知四棱锥V ﹣ABCD 的顶点都在同一球面上，底面ABCD 为矩形，AC∩BD=G ，VG ⊥平面ABCD ，AB=3，AD=3，VG=3，则该球的体积为（ ）A. 36πB. 9πC. 123πD. 43π（5）内接球31. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 432. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6,8AB BC ==，13AA =，则V 的最大值为A. 4πB. 92πC. 6πD. 323π 33. 已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A. 823π B. 833π C. 863π D. 1623π 34. 把一个皮球放入一个由8根长均为20的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面 与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A. 103B. 10C. 102D. 3035. 棱长为23的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球，则这些球的最大半径为（ ）A. 2B. 22C. 24D. 2636. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A ﹣BEFD 与三棱锥A ﹣EFC的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1＜S 2B. S 1＞S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定（6）球的截面问题37. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体 积为（ ）A. 6πB. 43πC. 46πD. 63π38. 已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A. 26B. 36C. 23D. 2239. 高为2的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半 径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. 102B. 232+C. 32D. 240. 已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π41. 在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC 的距离为 _________ ；（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ____．42. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到 该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A. B. C. D.43. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2， 则球面面积是（ ） A. 169π B. 83π C. 4π D. 649π 44. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ． 若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于 _________ ．45. 三棱锥P ﹣ABC 的各顶点都在一半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，且有P A=PB=PC ， 底面△ABC 中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是 _________ ．46. 已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截 球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________（7）旋转体的外接内切47. 半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是 _________ ．48. 将4个半径都是R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶中，则桶的最小高度 是 _________ ．1. D ；2. C ；3. B ；4. D ；5. 3； 6. B ； 7. B ； 8. C ； 9. B ；10. A ； 11. C ； 12. B ； 13. 20π； 14. C ； 15. 92π； 16. ；17. C ； 19. A ； 20. A ； 21. A ； 22. ； 23. A ； 24. D ； 25. 2563π； 26. C ； 27. C ； 28. D ； 29. B ； 30. D ； 31. B ； 32. B ； 33. A ； 34. B ； 35. C ； 36. C ； 37. B ； 38. A ； 39. A ； 40. D ；41. 12；3；42. A；43. D；44. 16π；45.3；46.92π47. 30π；48.(2R+；。
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高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020内切球和外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π.例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离3d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V π∴=球.小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两3_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =.故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为例 6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 33πD. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==133 A. (如图2)例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 327B. 62C. 68D. 624解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，0DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以ADC图AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.例8 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC⊥平面，AB BC ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于92π.（如图4）2、构造长方体例9（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，BBCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则球的体积是 .解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC∆中，求出=4BC ，所以0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离是43π.（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法，例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五 .确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为CDABSO 1图3A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。
解：且，，，, 因为 所以知所以 所以可得图形为： 在中斜边为 在中斜边为取斜边的中点，在中 在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为A O DB图4【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. （陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．433 B ．33 C ． 43 D ．1232. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B ．13π C ．23π D 5.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ） 2 B.332 C.324 D.334 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 7.（2008海南、宁夏）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8. （2007天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．9.（2007全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF-，则此正六棱锥的侧面积是________．11.（辽宁省抚顺一中2009）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．π3B．π2C．316πD．以上都不对13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）A．π38B．2π C．4πD．π34答案C1、答案B2、解:在ABC∆中2AB AC==,120BAC∠=︒,可得BC=由正弦定理,可得ABC∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O'，球心为O，在RT OBO'∆中，易得球半径R=故此球的表面积为2420Rππ=.3、答案 84、答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由284⨯=1a=A。