二次函数1-2辅导
二次函数的图像与性质1-2
5.2二次函数的图像与性质（2）1．(1)观察函数y x 21＝2和y x 2＝2、y x -21＝2和y x -2＝2图像． (2)想一想:这四个图像各有什么特征？(3)归纳:二次函数y ＝ax ²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴．当a ＞0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ． 当a ＜0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ．2. 探索活动(1)想一想:观察y ＝ax ²的图像，你还能发现什么？（2）如何用变量x 、y 的值的变化来描述图像的上升、下降？a ＞0时，当x ＜0时，y 随x 的增大 ；当x ＞0时，y 随x 的增大 ；当x ＝0时，y 有最小值，最小值为 ．a ＜0时，当 时，y 随x 的增大而增大；当 时，y 随x 的增大而减小；当 时，y 有最大值，最大值为0．3. 说一说快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．（1）y ＝－3x ² ； （2）y ＝0.6x ²；（3）y ＝0.75x² ； （4）y ＝－100x ²．4、例题讲解例1、已知函数2(1)m m y m x ＋＝－是二次函数且其图像开口向下，（1）求m 的值和函数解析式．（2）x 在什么范围内，y 随x 的增大而增大；y 随x 的增大而减小．例2、函数y ＝ax ²（a ≠0）与直线y ＝2x －3交于点（1，b )，求：（1）a 与b 的值．（2）求抛物线y ＝ax ²的解析式，并求顶点坐标和对称轴．5、小结与思考在本节课中：我学到了什么？我还有什么疑问？中午作业1．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而减少．求该函数的表达式.2．二次函数y ＝ax ²（a ≠0）的经过点A （1，-1）、B （2，b ）.⑴点A 的对称点的坐标是 ，点B 的对称点的坐标是 ； ⑵求该函数的表达式；⑶若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值；⑷点E （-3，6）在不在这个函数的图象上？为什么？y=ax 2 (a≠0)a>0 a<0 图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值。
22.1.1二次函数-2PPT上传PPT课件(数学人教版九年级上册)
解：
∵ m－5 = 2， ∴ m = 7.
(3) y=(m－2) xm2－2＋4是二次函数，求m的取值范围和 函数解析式.
解：ìm - 2 ¹ 0, 得 ìm ¹ 2,
í
í
îm2 - 2 = 2. îm = ±2.
也即m=－2， 此时y=－4x2＋4.
(4) y＝(a－b)x3＋2x2＋2是y关于x的二次函数，求a，b的
初中数学
观察上面三个问题中的关系式，你发现 它们之间的共同点了吗？
y＝6x2
m＝1
n2－
1 n
22
y＝20x2＋40x＋20
初中数学
观察上面三个问题中的关系式，你发现 它们之间的共同点了吗？
y＝6x2
m＝1
n2－
1 n
22
y＝20x2＋40x＋20
初中数学
二次函数的概念
二次函数
二次函数的概念
国家中小学课程资源
同学们，再见！
关系？
m = 1 n(n -1) 2
即 m = 1 n2 - 1 n 22
初中数学
问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计 划今后两年增加产量．如果每年都比上一年 的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量 y与x之间的关系应怎样表示？
一年后的产量20(1＋x) 两年后的产量y＝20(1＋x)2， 即y＝20x2＋40x＋20.
例3 计算求值与解方程
从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y(m)与
飞行时间t(s)之间的关系式为y=20t－5t2.
(2)小球飞行多长时间后，飞行高度是15米？ 解方程
20t－5t2=15， t2－4t+3=0，
t1=1，t2=3. 小球飞行1s和3s时，飞行高度是15米.
二次函数的应用1-2
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 ) 答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方 米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 A D ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） B C
二次函数的应用
一、根据已知函数的表达式解决实际 问题：
问题1：
1。 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如 1 图所示的坐标系，其函数的表达式为y= x2 ， 当水位线在 25 AB位 置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ） A、5米 B、6米； y
0 h
C、8米；
y= -3x2
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳 某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高 处距水面32/3米， 入水处距池边的距离为4米，同 时， 运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾 动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解 析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是 （1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 ，距池边的水平 距离为18/5米，问此次跳水会不会失 误？并通过计算说明理由。
图 26.3.2
做一做一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米， 若水面上张1米，则此时的水面宽MN为多少？ （1）建立适当的直角坐标系(几种建法） （2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式
二次函数基础到进阶全纲要
二次函数基础到进阶全纲要二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模和应用题中常见的数学工具。
对二次函数的掌握，不仅需要熟悉其基础知识，还需要深入了解其进阶应用。
本文将从基础到进阶，全面总结二次函数的要点，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、基础知识1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负，开口向上表示a>0，开口向下表示a<0。
3. 顶点：二次函数的图像的顶点为抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
4. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称，在形如x = h的直线上对称，其中h为对称轴的横坐标。
5. 零点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。
二、进阶应用1. 二次函数的平移：二次函数的平移包括上下平移和左右平移。
对于f(x) = ax^2 + bx + c形式的二次函数，上下平移可以通过加减常数c实现，左右平移可以通过加减常数b/(2a)实现。
2. 二次函数的求最值：对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的纵坐标。
可以通过求顶点的横坐标和纵坐标来求得最值。
3. 二次函数的图像与方程的关系：二次函数的图像与二次方程的解有着密切的联系。
开口向上的二次函数与二次方程有两个实数根或没有实数根的情况相对应；开口向下的二次函数与二次方程有两个实数根的情况相对应。
4. 二次函数的因式分解：对于一般形式的二次函数，可以通过因式分解的方法将其化简为两个一次函数的乘积。
这种因式分解的方法在解二次方程、求二次函数零点等问题中有着重要的应用。
三、综合应用1. 弹射运动：抛体在无空气阻力下的运动可以用二次函数来描述。
通过研究二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，可以求解抛体运动的最大高度、最远水平距离等问题。
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容知识概括知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.题型一 求字母系数的取值范围【例1】若二次函数)1(24)1(22-+--=k kx x k y 的图象与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；练习3：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习2：下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②【例4】已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．练习：已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．。
二次函数总复习(1对1辅导精品)
4.(2019 南充)抛物线 y a(x 1)(x 3)(a 0) 的对称轴是直线（ ）
A． x 1 B． x 1
C． x 3
D． x 3
5.（2019 莆田）二次函数 y 2x2 4x 1的图象如何平移就褥到 y 2x2 的图像( )
B．抛物线与 y 轴交于负半轴 D．方程 ax2 bx c 0 的正根在 3 与 4 之间
3．（2019 南州）抛物线的图象如图 1 所示，根据图象可知，抛物线的解析式 可．能．是（ ）
A、y=x2-x-2 C、y= 1 x2 1 x 1
22
B、y= 1 x2 1 1 22
6.如果函数 y=(k-3) xk23k2 +kx+1 是二次函数,则 k 的值一定是_______.
7.抛物线 y x2 m 2x m2 4 的顶点在原点，则 m
．
5
中小学 1 对 1 课外辅导专家
8．抛物线 y x2 2x m ，若其顶点在 x 轴上，则 m
1 O 1 x
1 O 1 x
1 O 1 x
1 O 1 x
）
4
中小学 1 对 1 课外辅导专家 O
8.（2019 烟台）二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则一次函数 y bx b2 4ac
与反比例函数 y a b c 在同一坐标系内的图象大致为（ ） x
式是 y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
2. 已知二次函数 y ax2 bx c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三授课教师刘琳琳课题 二次函数 授课时间教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、知识点梳理一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=2x x 21+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a2b三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -a2b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。
特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。
当x =-a2b时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。
当-a2b=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。
3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。
当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
|a |越大，则抛物线的开口越小。
人教版初三数学：《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）=【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则212364(92)||6a a a x x ---==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴24164(42)2222m m m m m x m±--==±． ∵0m >，∴22x m =±是整数．∴2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9， 24164(42)2222m m m m mx m±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. （2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C；【解析】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x=+的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图象上，且MO＝MA，二次函数2y x bx c=++的图象经过点A、M．(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+ 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 【答案与解析】(1)一次函数334y x =+，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)， 又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为32，又M 在32y x =上，当32y =时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 如图所示，2231312AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．(2)将点A(0，3)，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++中，得3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ 5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即这个二次函数的解析式为：2532y x x =-+． (3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，25(,3)2C n n n -+，3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000， 解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得： w=（x ﹣40）（﹣4x+480） =﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵ 二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴ ∴∴ ，即，∴.∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y xx ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．6±B ．4C ．6±或4D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】解：（1）令mx2-（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2-4mn=（m-n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m-n＜0，∴△=（m-n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2-（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2= nm，由（1）得nm＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=-x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=-x-1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，解得：m≥- 12，∴m的取值范围为：-12≤m＜0．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=23AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．A．33B．32C．πD．32π图（1）【答案】A. C BO【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π． 图（2） 故选B ．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积．A EB C F P【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
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二次函数（1）
1．形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做_______函数．•其中_____是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和_______．
2．一次函数y=ax+b（a≠0）•的图象是一条__________，•反比例函数的图象是__________．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是________．
3．函数y=ax2（a≠0）的图象是________，它的对称轴是________，它的顶点坐标是________．当a>0时，开口向________，具有性质：当x>•0•时，•函数值y•随x•的增大而_______，当x<0时，函数值y 随x的增大而________，当x=0•时，•函数取最______•值为________．当a<0时，开口向______，具有性质：当x>0时，函数值y随x的增大而_____，•当x<0时，函数值y•随x•的增大而________，•当x=•0•时，•函数值取最________•值为________．
4．函数y=ax2（a≠0）的函数值恒大于或等于零的条件是_________．
5．若抛物线y=（m-1）
24
m m
x--开口向下，则m=______．
6．若点P（3，m）是抛物线y=-1
3
x2上的点，则m=_______，点P关于x轴的对称点P1的坐标是________，
点P关于y轴对称点P2的坐标是________，点P关于原点对称点P3的坐标是________．其中点P1、P2、
P3在抛物线y=-1
3
x2上的点是________．
7．直线y=-3x+1与二次函数y=4x2的图象的交点坐标是_______．
8．正方形的面积S（cm2）与周长x（cm）之间的函数关系式为_________，自变量x•的取值范围是________．9．如果抛物线y=ax2和直线y=x+b都经过点P（2，6），则a=______，b=_______．•直线不经过第______象限，抛物线不经过第______象限．
10．抛物线y=3x2与直线y=-5x+2相交于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB•的面积S为________．11．判断题
（2）当m=1时，函数y=2
2
m m
x+的图象的顶点是原点．（）
（3）抛物线y=-3x2和y=1
3
x2的对称轴都是y轴．（）
（4）抛物线y=3x2和y=1
3
x2的开口都是向上的．（）
（5）函数d=1
2
n（n-3）是关于n的二次函数．（）
（7）函数y=4x2的图象的最低点的坐标是（0，0）．（）
（8）当x=-2时，函数y=ax2的值为-8，则当x=2时，函数y=ax2的值为8．（）
（9）当x=3时，函数y=ax2的值为9，则当x=-5时，函数y=ax2的值为25．（）（10）函数y=-3x2有最大值0．（）
12．下列函数中，是二次函数的为（）
A．y=（x-1）2-x2 B．y=x2+1
x
C．y=221
x x
-+ D．y=2x+
1
2
x2
13．下列函数的图象中，有最高点的函数是（）
A．y=3x+5 B．y=-2x+3 C．y=1
4
x2 D．y=-4x2
14．函数y=ax2的图象与a无关的是（）
A．开口方向 B．开口大小 C．最高点的坐标 D．对称轴
15．已知二次函数y=-ax2，下列说法不正确的是（）
A．当a>0时，x≠0时，y总取负值;
B．当点（-2，9）在函数的图象上时，则点（2，-9）也一定在函数的图象上; C．当a<0时，函数图象有最低点;
D．当点x=-1
2
时，函数的值为1，则关于x的不等式ax+4>0的解集为x<1
16．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．y=mx2+3x+1 B．y=（m-1）x2
C．y=（m-1）2x2 D．y=（-m2-1）x2
17．已知直线y=ax+b和抛物线y=ax2，图象大致正确的是（）
18．在同一坐标系中，抛物线y=3x2，y=-3x2，y=-1
3
x2的共同点是（）
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上；
B．都关于y轴对称，抛物线开口向下；
C．都关于原点对称，顶点都是原点；
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
19．关于抛物线y=ax2和y=-ax2（a≠0），给出下列说法：
（1）两条抛物线关于x轴对称；（2）两条抛物线关于原点对称；（3）两条抛物线各自关于y轴对称；
（4）两条抛物线有公共的顶点．其中正确的说法有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，当ab>0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是（）
21．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=-x-2交于点A（2，m）．
（1）求a和m的值；
（2）作抛物线y=ax2和直线y=-x-2的图象；
（3）求抛物线y=ax2与直线y=-x-2的另一个交点B的坐标．又O为抛物线的顶点，•求△AOB的面积．
22．如图所示，过点A（a，0）（a>0）且平行于y轴的直线分别与抛物线y=x2及y=1
4
x2•交于C、B两点．
（1）求点C、B的坐标；
（2）求线段AB与BC的比；
（3）若正方形BCDE的一边DE与y轴重合，求此正方形BCDE的面积．
23.已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标.
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.。