2018年陕西省咸阳市高考5月信息专递数学(理)试题(word版)

2018年陕西省咸阳市高考5月信息专递数学(理)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全集{}{}10,210xM x x N x =+≥=->，则R MC N =（ ）A ．{}0x x > B ．{}1x x ≥- C ．{}10x x -≤< D ．{}10x x -≤≤ 2. 已知复数z 满足()3434z i i -=+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 4.已知()2,1,a b a b b ==-⊥，则向量b 在a 方向上的正射影的数量为（ ）A ． 1B ．2C ．12 D ．225.()()621x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A ． 30B ．10 C. 10- D ．206.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点且倾斜角为030的直线与圆222x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ． 2B ．2 C. 3 D ．3 7.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．13 B ． 23 C. 16 D ．148.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“我没有获奖”，丁说：“我没有获奖” ．在以上四人回答中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是（ ）A ． 甲B ．乙 C. 丙 D ．丁9.在如图所示的程序框图中，若输出的2048S =，则判断框内可以填入的条件是（ ）A ．11i ≥B ．10i ≥ C. 10i ≤ D ．9i >10.已知实数,x y 满足4030x y y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则131log 1y z x -=+的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,0- C. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知关于x 的方程sin cos 22x x a ππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[)0,2π上有两个实数根12,x x ，且12x x π-≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,0-B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. [)0,1 D ．()1,2 12.已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()22xf x ex f x '=-+（e 是自然对数的底数），()01f =，若方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 4,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[),e +∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 线段():202C y x x =+≤≤两端分别为,M N ，且NA x ⊥轴于点A ，把线段OA 分成n 等分，以每一段为边作矩形，使与x 轴平行的边一个端点在C 上，另一端点在C 的下方，则这n 个矩形的面积之和为n S = ．14.如果128,,P P P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为128,,x x x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++= ．15.将正整数对作如下分组()()()()()()()()()()1,11,2,2,11,3,2,2,3,11,4,2,3,3,2,4,1 则第100个数对为 ．16. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为1cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，,,,E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG DAH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG DAH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥，当正方形ABCD 的边长为 cm 时，四棱锥体积最大．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()1cos ,1,3sin ,2a x b x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，函数()()2f x a b a =+⋅-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图像经过点1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值．18. 已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，122EF EB CF ===，12EA FD =，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面BDF ； （Ⅱ）若二面角B AD F --的余弦值为66，求AE 的长度． 19. 今年4月某天我市一高中组织高一年级学生开展了“百里远足”活动，受到了社会的普遍赞誉．本次远足活动结束后，该校体育课外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足活动高一同学们的表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体调查结果如下表：某班 满意 不满意 男生 2 3 女生42（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数； （Ⅱ）求在该班随机抽取一名学生由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班抽出的11名学生中任选2人进行追踪，记选中的2人中对“本次远足活动高一年级学生表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅲ）设O 为坐标原点，P 是椭圆C 的右顶点，过P 点作两条直线分别与椭圆C 交于另一点,A B ，若直线,PA PB 的斜率之积为94-，求OAB ∆的面积的最大值.21. 已知函数()()2ln f x ax x x x a R =+-∈（Ⅰ）若函数()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x ≠，证明：212x x e ⋅>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 4sin x y a αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x x R =+∈． （Ⅰ）解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）设函数()()()1g x f x f x =+-的最小值为m ，且(),,0a b m a b +=>，求41a b+的范围． 试卷答案一、选择题1-5:DABDB 6-10:ACDAA 11、12：CB二、填空题13. 26n -14. 18 15. ()9,6 16. 45三、解答题17.解：（Ⅰ）()()21322cos 2sin 2sin 2226f x a b a a a b x x x π⎛⎫=+⋅-=+⋅-=+=+ ⎪⎝⎭， 最小正周期：22T ππ==， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由()1sin 262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得：()5222666A k k k Z πππππ+=++∈或， 所以3A π=．又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+ 而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， ()22222214cos 11,32223612b c a bc a a a A a bc +---∴===-=-∴=．18.解：（Ⅰ）证明：由平面AEFD ⊥平面EBCF ，且DF EF ⊥知DF ⊥平面EBCF ． 证明如下：,PA AB PA AC ⊥⊥，且AB AC A =，PA ∴⊥平面ABC ．而DF ≠⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面EBCF又BC BF ⊥，BC ≠⊂平面EBCF ,所以BC ⊥平面BDF ．而BC ≠⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面BDF ．（Ⅱ）以F 为坐标原点，以FE 为x 轴，FC 为y 轴，以FD 为z 轴奖励空间直角坐标系F xyz -． 设AE a =，则2FD a =，则()()()()2,0,0,2,2,0,2,0,,0,0,2E B A a D a ，显然平面ADF 的一个法向量为()10,1,0n =，设平面ABD 的一个法向量为()2,,n x y z =，则2200n BA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()(),,0,2,0,,2,0,0x y z a x y z a ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩，2020y az x az -+=⎧⎨-+=⎩， 取,2x y a z ===，即()2,,2n a a =，()()1222220,1,0,,2cos ,224a a a n n a a a ⋅〈〉==+++，依题意21624a a =+，解得1a =，即1AE =．法2：不成三棱锥P CDF -，易知CF ⊥平面PDF ，过F 作FG PD ⊥于G ，连接CG ，由三垂线定理知PD CG ⊥，即FGC ∠为二面角B AD F --的平面角． 在Rt CFG ∆中，由1cos 6FGC ∠=得tan 5FGC ∠=，而4CF =，所以45GF =， 在Rt PFD ∆中，设AE a =，则2FD a =，而4PF =， 由PF FD GF PD ⋅=，即()22442542aa ⋅=+，解得1a =，即1AE =．19. 解：（Ⅰ）设该班男生人数为x ，则女生人数为4x +，由条件可得：52411x x =+，解之得：20x =，故该班男生有20人，女生有24人； （Ⅱ）由条件知在该班随机抽取一名学生，持满意态度的概率为611； （Ⅲ）由题意知0,1,2ξ=，ξ服从参数为11,6,2N M n ===的超几何分布，()02652112011C C P C ξ===，()11652116111C C P C ξ===，()20652113211C C P C ξ===，故ξ的分布列为：ξ0 1 2P211 611 311于是，()2631201211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=．20.解：（Ⅰ）依题意：222121a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,3a b ==，即椭圆22:143x y C +=； （Ⅱ）设直线():22AB x ty m m =+-≤≤，则()22223412143x ty mty m y x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，即()2223463120t y tmy m +++-=，21212226312,3434mt m y y y y t t --+=⋅=++；设()()1122,,,A ty m y B ty m y ++，而()2,0P ，则由94PA PB k k ⋅=-得 ()()12121212949220224y y y y ty m ty m ty m ty m ⋅=-⇔++-+-=+-+-()()()21212492920y y t m y y m ∴+-++-=，即()()()22222312649929203434m mt t t m m t t --++-+-=++， 整理得2320m m -+=，解得1m =或2m =（舍去）∴直线:1AB x ty =+，知直线AB 过椭圆C 的右焦点()1,0F ，()()()22212122643431211122234OABtm t m S OF y y y y t ∆-+-=-=-=+()()()22222643431216123434t t t t t -+-+==++， 令211u t =+≥，则12216612313OAB u S OF y y u u u∆=-==++注意到()613f u u u=+在[)1,+∞上递减，()()min 312f u f ==综上可知，OAB ∆的面积的最大值为32．21.解：（Ⅰ）()()21ln 12ln 0f x ax x ax x x '=+--=->，依题意知：()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，即()ln 20xa x x≥>． 令()()ln 0x g x x x =>，则()()221ln ln ln 0x e xg x x x x--'==>， 知()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，()()max 1g x g e e ==，于是12a e ≥，即12a e≥．（Ⅱ）依题意知()1212,x x x x <是方程()2ln 00ax x x -=>的两个根， 即()1122122ln 0,2ln 0,0ax x ax x x x -=-=<<， 可得()()121212122ln ln ,2ln ln a x x x x a x x x x +=+-=-．所以()11212112121122221ln ln ln ln 01x x x x x xx x x x x x x x x x +++==<<--． 欲证212x x e >，只要证()1111212222ln ln 21ln 210x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>⇔+<-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()()()()1ln 2101h t t t t t =++--<<，只要()0h t <即可． 则()()1ln 101h t t t t'=+-<<，再令()()1ln 101t t t t φ=+-<<，则()221110t t t t tϕ-'=-=<． 可知：()()t h t ϕ'=在()0,1上递减，可知()()10h t h ''>=，即()h t 在()0,1上递增， 有()()10h t h <=， 综上可知：212x x e >．22.解：（Ⅰ）曲线1:C 4cos 4sin x y a αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，得曲线1C 的普通方程为：()2216x y a +-=，曲线22:cos 4sin C ρθθ= ，即22cos 4sin ρθρθ=，化为直角坐标方程为24x y =．（Ⅱ）因为曲线1C 和曲线2C 都是关于y 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，将原点()0,0O 代入()2216x y a +-=中得：4a =（舍去4a =-），此时，曲线1C 方程为()22416x y +-=，曲线1C 和曲线2C 的三个交点坐标为()()()0,0,4,4,4,4-，易得这三个点为顶点的三角形的面积为16．23.解：（Ⅰ）()1f x ≤，即2111211x x +≤⇔-≤+≤，解得[]1,0x ∈-； （Ⅱ）()()()()1212121212g x f x f x x x x x =+-=++-≥+--=，()2,0a b a b ∴+=>，()41141141495522222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当42b a a b a b =⇔=，即42,33a b ==时等号成立， 综上：41a b +的范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。