高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时
高中数学人教版必修5课时练习：第一章 解三角形1-1 正弦定理和余弦定理
C．3
10 10
D．
5 5
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos4π
＝2＋9－2× 2×3× 22＝5.∴AC＝ 5. 由正弦定理，得sAinCB＝sBinCA，
∴sinA＝BCAsCinB＝3×522＝3
10 10 .
5．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，则角 B
2，
∴S△ABC＝12acsinB＝
3＋1 4.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C．若 acosA＝bsinB，则 sinAcosA
＋cos2B＝( )
A．－21
B．12
C． －1
D． 1
[答案] D
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
二、填空题
5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2， 则角 A 的大小为________．
[答案]
π 6
[解析] sinB＋cosB＝ 2sinB＋π4＝ 2，
∴sin(B＋4π)＝1，∵0<B<π，
∴π4<B＋π4<54π，∴B＝π4，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 asinBcosC＋csinBcosA＝12b，
且 a>b，则∠B＝( )
A．6π
B．π3
C．23π
D．56π
人教版高中数学必修五课时作业23：第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3. 7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于() A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45 ＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45， 所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos π3＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.∴c＝2 3.。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第2课时余弦定理(含答案)
第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A.答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab ，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2.故△ABC 是直角三角形．答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以A 为钝角，正确； ②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD ＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ， 所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．答案：C二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝－12，A ＝120°. 答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可．由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14. 答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3. 答案：40 3三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，求B 的度数．解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32， 又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， 所以C ＝2π3. (2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 解析：因为sin 2 A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc， 所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22， 所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3.答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0.所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16，在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， 可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
正弦定理和余弦定理》(第2课时)
1.1.2 正弦定理利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：⑴5=a ，4=b ，120=A ，求B⑵5=a ，4=b ，90=A ，求B⑶5=a ，3310=b ，60=A ，求B ⑷20=a ，28=b ，40=A ，求B⑸60=a ，50=b ，38=A ，求B⑹4=a ，3310=b ，60=A ，求B(⑴120=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑵ 90=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示⑶∵1sin =B ,即90=B ,∴仅有一解. 图示⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题有两解。
⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题仅有一解。
⑹由⑶改编，∵60sin 4b a <=，由图知，本题无解)2．已知A,B,C 是ABC ∆的三个内角，求证：cos cos a b C c B =+3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，求sin sin sin a b cA B C++++的值（*）4. 在ABC ∆中，求证tan2tan 2A Ba b A Ba b --=++作业：1. 在ABC ∆中,已知210=c ,︒=∠45A ,在a 分别为20, ,3320,和5的情况下,求相应的角C.2．在ABC ∆中，b=2a, B=A 60+︒,求A3.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +︒=-60cos 2，求角A ．(*)4..课本11页B 组 1。
教育最新K12【高中数学必修五学习】配套练习：1.1正弦定理和余弦定理 第2课时
第一章 1.1 第2课时一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π6 C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12， 又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． 当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ． 4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A ．14B ．34C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a＝34.6．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A ．1010B ．105C ．31010D ．55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4， ∴AC 2＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ， ∴sin A ＝BC sin B AC ＝3×225＝31010.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)[答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°.8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13. 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求B ．[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根． 解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19. ∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32 D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ．2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝aB ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 二、填空题5．在△ABC 中，已知sin A BC ＝，则cos ABC ＝________.[答案][解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a bc ＝sin ABC ＝，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k (k >0)， 由余弦定理，得cos A ＝25k 2＋36k 2－16k 22×5k ×6k ＝34，同理可得cos B ＝916，cos C ＝18， 故cos ABC ＝3491618＝6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC→＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC → ＝AB →·BC →＋BD →·BC→ ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83. 三、解答题7．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边C ． [解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6. 当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．[解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ． 由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ． 又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17. ∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.9．(2013·山东理，17)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9. 由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223， ∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.。
人教课标版高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》练习课参考学案
§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝b＝，解此三角形．二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a＝，b＝； ③ A ＝6π，a ＝50，b＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个． 例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）.A. 13B. 23C. 43D. 53 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。
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第一章 1.1 第2课时一、选择题1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12，∴B ＝60°.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则边c 等于( ) A ． 3 B ． 2 C ．3 D ．4 [答案] A[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴c ＝ 3.3．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在 [答案] B[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．4．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A ．1010B ．105C ．31010D ．55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝31010.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3[答案] D[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或B ＝2π3，选D ． 6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A ．518B ．34C ．32D ．78[答案] D[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)， 由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D ． 二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°.故填锐角．8．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ＝________. [答案]5314[解析] ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49， ∴c ＝7.故由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝5314.三、解答题9．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边C ．[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ． (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值． [解析] (1)根据正弦定理 2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C 可化为2cos A sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理，得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把b ＋c ＝4代入得bc ＝3.一、选择题1．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°[解析] ∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝(3－1)2＋(3＋1)2－(6)22(3－1)(3＋1)＝12，∴B ＝60°.2．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32[答案] D[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos<AB →，AC →>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos<AB →，AC →>＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14.故AB →·AC →＝3×2×14＝32.3．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3 [答案] B[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4.∵cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32. 故BD ＝AB ·sin A ＝3×32＝332. 4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．在△ABC 中，已知sin A sin B sin C ＝456，则cos Acos B cos C ＝________.[答案] 129 2[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a bc ＝sin A sin Bsin C ＝456，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k (k >0)， 由余弦定理得cos A ＝25k 2＋36k 2－16k 22×5k ×6k ＝34，同理可得cos B ＝916，cos C ＝18，故cos Acos B cos C ＝3491618＝129 2. 6．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________． [答案] 3,5,7[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ， ∴最大角为A ．sin A ＝32，∴cos A ＝±12， 设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4， ∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝±12，∵x >0，∴x ＝3，故三边长为3,5,7. 三、解答题7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14.(1)求边b 的值； (2)求sin C 的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×14＝10，∴b ＝10.(2)∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.由正弦定理，得sin C ＝c sin Bb＝3×15410＝368.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。
如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。
2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。
4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。
6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。
8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。