固体物理-固体比热容解析
固体物理-固体比热容
离子比热容
离子比热容是由于固体中离子的振动和移动而引起的热容。它是离子质量 和离子间相互作用力的函数，与温度密切相关。
离子比热容的大小取决于离子的振动频率和扩散系数，不同的离子化合物 具有不同的离子比热容。
在低温下，离子比热容通常表现为线性温度依赖性，而在高温下则表现出 更复杂的非线性行为。
磁性比热容
环境污染物治理
在环境污染物治理中，某些具有特定 比热容的吸附剂可以用于吸附和去除 环境中的有害物质，如重金属离子和 有机污染物等。
05
固体比热容的研究前景
新材料的比热容研究
新材料比热容研究
随着科技的发展，新型材料不断涌现，研究 这些材料的比热容对于理解其热学性质和潜 在应用具有重要意义。例如，新型高温超导 材料、纳米材料和二维材料的比热容研究， 有助于发现新的物理现象和潜在应用。
要点二
高温高压下的比热容测量技术
高温高压下的比热容测量需要高精度的实验技术和设备。 例如，激光加热技术、闪光量热计和高压装置的结合使用 ，可以在极端条件下对材料的比热容进行测量。
比热容与微观结构的关系研究
比热容与微观结构的关系
固体材料的比热容与其微观结构密切相关。通过对比热 容的研究，可以深入了解材料的微观结构和动力学性质 。
02
固体比热容的分类
晶格振动比热容
晶格振动比热容是由于固体晶格结构的振动而引起的热容。它是固体中原子或分子的振动幅度和频率 的函数，与温度密切相关。
晶格振动比热容的大小取决于晶体的对称性和周期性，不同的晶体结构具有不同的晶格振动比热容。
高温下则表现为更复杂的非线性行为。
比热容随物质种类的变化
总结词
不同物质具有不同的比热容
VS
固体的热容
第4章 晶格振动和晶体的热学性质
4.3 固体的热容
热容
热容是分子或原子热运动的能量随温度变化的一个物 理量，指物体升高单位温度（1K）所需增加的能量。
比热容：1g物质的热容 摩尔热容：1mol物质的热容
物体的热容与其热过程有关：
定压热容 定容热容
C p Q T p CV Q T V
回顾
简正坐标格波能量量子化 声子 如果某振动模ωj(q)激发nj(q)个声子，或说被nj(q)个声 子占据，这种格波的能量就是
1 j n j (q) j (q) 2
声子是遵从玻色统计分布
n j (q)
1 e
ω j (q)/k BT
1
声子的能量和准动量分别为ħj(q)和ħq。
4 3 D T T 4 x dx D T D T CV 9 R 0 x e 1 e 1 D 3
高温T>> D ， ex=1+x
4 D 3 T 4 x dx D T T D T CV 9 R 0 1 1 x 1 e D 3 4 3 T D 3 D T 3R 3R 4 D T e 1 D T 3
3NA 3NA 2
2
高温 k BT
x 1 k BT
n(i )
1
e i / kBT
3NA
k BT 1 1 x 1 e 1 1 x 1 i
则得Dulong-Petit定律
3N A k BT i k B 3 N A k B CV i T i i
固体物理-固体比热容
04 固体比热容的应用
在材料科学中的应用
材料性能研究
固体比热容是材料热力学性能的重要参数，通过研究材料的比热容，可以深入了 解材料的热传导、热膨胀等性质，有助于预测材料在不同温度和压力下的行为。
新型材料开发
在新型材料开发过程中，固体比热容的测量和分析有助于评估材料的热稳定性、 热导率等关键性能，为材料的优化设计和性能提升提供依据。
固体物理-固体比热容
目录
• 固体比热容概述 • 固体比热容的理论基础 • 固体比热容的实验研究 • 固体比热容的应用 • 固体比热容的研究展望
01 固体比热容概述
比热容的定义和单位
定义
比热容是单位质量的物质温度升高或 降低1摄氏度时所吸收或放出的热量。
单位
在国际单位制中，比热容的单位是焦 耳每千克摄氏度（J/(kg·℃)）。
在能源科学中的应用
能源转换与存储
固体比热容与能源转换和存储密切相关 。在太阳能、地热能等可再生能源的利 用中，固体比热容是实现高效能量转换 和存储的关键因素。
VS
节能技术
通过研究固体材料的比热容特性，可以开 发出具有高热容和高导热性能的新型材料 ，应用于节能建筑、高效散热等领域，提 高能源利用效率。
比热容与其他物理量的关系研究
比热容与热导率的关系
研究比热容与热导率之间的联系，揭示固体材料在热量传递过程中的内在机制。
比热容与磁学性质的关系
探索比热容与磁学性质之间的关联，理解磁性固体材料在热量和磁场的相互作用下的行 为。
比热容与材料性能的关联研究
要点一
比热容与材料稳定性
要点二
比热容与材料功能性的关系
在化学工程中的应用
化学反应动力学研究
固体物理-固体热容
德拜模型的不足
T 3 ΘD e x x 4 ∂E T CV = = 3R 3( ) ∫ dx x 2 0 (e − 1) ∂T V ΘD
只考虑了波长较长的声频支。 只考虑了波长较长的声频支。 德拜温度是和温度无关的常 实际上，不是这样。 数。实际上，不是这样。
爱因斯坦量子热容理论 量子热容理论： 量子热容理论： 德拜量子热容理论
经典理论--杜隆 柏蒂定律 经典理论 杜隆· 杜隆 理论假设：将固体中的原子看成是彼此孤立地做热 振动，并认为原子振动的能量是连续的。根据经典 统计力学的能量均分定理，每一个简谐振动的平均 能量是kT。
金属原子既有动能，又有位能，两者不断的相互转换，且 平均动能与平均位能统计的相等。 与温度无关 1摩尔金属的总能量E为3RT, 金属的Cv=3R
03_08_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
在热力学中， 在热力学中，热容反映固体中原子热振动能量状态 改变时需要的能量，是固体的内能对温度求导。 改变时需要的能量，是固体的内能对温度求导。 ∂E CV = ( )V ∂T E------固体的平均内能 （晶格热振动）晶格热容，增加 晶格热振动）晶格热容， 离子的振动能量 固体的热容 （电子的热运动）电子热容，增 电子的热运动）电子热容， 加自由电子的动能。 加自由电子的动能。
—— 与杜隆 — 珀蒂定律相符
低温时，爱因斯坦热容公式会如何变化？ 低温时，爱因斯坦热容公式会如何变化？
晶体热容 温度较低时
实验测得结果
hω0 2 CV = 3NkB ( ) e —— 按温度的指数形式降低 kBT
−
hω0 kBT
低温时不符合！ 低温时不符合！ Why?
爱因斯坦量子热容理论
固体比热容的研究
固体比热容的研究固体比热容是指固体以一定量的能量温度升高的大小。
研究固体比热容的作用十分重要，因为它可以提供重要的理论准则，有助于研究有关电磁、物理、化学等不同领域的物质性质。
近年来，相关领域的研究人员对固体比热容进行了大量研究，以更深入地理解它的物理意义。
首先，科学家们使用不同的方法来表征固体比热容，例如交叉狄拉克方程(Cross-Dulwick equation)和普朗克方程(Prandtl equation)。
用这种方法，他们得出准确的结论，说明固体比热容可以表征物体的热态，它可以揭示物质的性质。
这些方法还可以用于计算固体比热容的最终值，以便准确的推断物质的性质。
其次，研究人员还利用不同的技术，开展了关于固体比热容的实验研究。
例如，他们使用金属片曲线及金属球来进行相关实验，研究不同温度下，金属物质的比热容是多少，以及它们如何变化。
此外，他们还通过电子衍射技术，对纳米固体进行检测，从而探究固体尺度上的比热容。
总之，近年来，研究人员对固体比热容的研究取得了很大进展，他们发展了许多不同的方法，以准确计算和检测固体比热容，取得了宝贵的结论。
此外，对固体比热容的研究，也有助于探究物质的性质，为大自然的研究奠定基础。
Scientists have conducted extensive research on the solid specific heat capacity in recent years in order to gain a deeper understanding of its physical meaning.First, scientists use different methods to characterise solid specific heat capacity, such as Cross-Dulwick equation and Prandtl equation. With such methods, they can obtain accurate results that suggest that the solid specific heat capacity is indicative of the thermal state of the object and can reveal its properties. Thesemethods can also be used to calculate the ultimate value of solid specific heat capacity in order to make an accurate inference of a material’s properties.Second, researchers has also used different techniques to carry out experimental studies on solid specific heat capacity. For instance, they utilized metal strips curves and metal balls for relevant experiments to study the specific heat capacity of metal objects under different temperatures and how it changes. In addition, they also used electron diffraction techniques to detect nanosolids in order to explore the specific heat capacity on a solid scale.In conclusion, researchers have made significant progress in the research of solid specific heat capacity in recent years. They have developed various methods to accurately calculate and detect the solid specific heat capacity, yielding valuable conclusions. Moreover, research on solid specific heat capacity has also helped to explore material properties, thus laying a foundation for nature research.。
14、固体比热(杨)
i
i
k BT
i n( i , T ) ( 4) 1
n( i , T ) e
1
i k BT
(5) 1
表示温度为T时，振动模式为ω 的声子的平均数目。
§3.6 晶格振动热容理论
第7页
把晶体看成一个热力学系统，晶体中有N个原子，每个原子有3个自
E Cv T V
E
固体的平均内能。 §3.6 晶格振动热容理论
第1页
固体的内能由两部分组成： 一部分内能与温度无关：例如，在简谐近似下，原子在平衡位置时 的相互作用势能； 另一部分内能与温度有关。对比热有贡献的是依赖温度的内能。 绝缘体：与温度有关的内能是晶格振动能量。 金属: 与温度有关的内能由两部分组成，即晶格振动能量和价电子
布函数。
ω m ：最大的角频率，又称截止频率。 截止频率是波矢的函数，可以在波矢空间求出模式密度的表达式。
§3.6 晶格振动热容理论
第9页
平均能量可以写成：
E
比热可写成：
m
0
D( )d (8) 1
e
k BT
E cV T V
m
e k BT k B k BT kBT 2 D( )d (9) (e 0 1)
dn 3 2 D( ) V 3 ( 20 ) 2 d 2 vp
于是振动能量和比热分别为：
E
m
e k BT
0
3 V D( )d 2 3 2 v p 1
2
m
0
3 d ( 21) k BT e 1
3 V E CV T V 2 2 v 3 p
同一物质不同状态的比热容
同一物质不同状态的比热容
同一物质在不同状态下的比热容是一个非常重要的物理性质。
比热容是指单位质量物质升高1摄氏度所需的热量。
不同状态下的
比热容会受到温度、压力和物质的影响。
首先，让我们来看固体状态。
在固体状态下，比热容通常是比
较稳定的，因为固体分子之间的相互作用力比较大，导致固体的分
子振动受限，因此固体的比热容相对较小。
比如，金属通常具有较
小的比热容，因为金属的结构比较紧密，分子之间的相互作用力较大。
接下来是液体状态。
在液体状态下，分子之间的相互作用力较小，因此液体的分子可以自由运动。
这使得液体的比热容相对较大。
例如，水的比热容相对较大，这也是为什么水可以被用作冷却剂的
原因之一。
最后是气体状态。
在气体状态下，分子之间的相互作用力非常小，因此气体的分子可以自由运动。
这导致气体的比热容相对较大。
同时，气体的比热容还会受到压力和温度的影响。
在高温高压下，
气体的比热容会发生变化。
总的来说，同一物质在不同状态下的比热容会受到状态转变、温度、压力等因素的影响。
这些因素使得物质在不同状态下具有不同的比热容，这也是我们研究物质热学性质时需要考虑的重要因素之一。
固体物理-固体比热容
1 2
h j
nj
njh
j
exp
njh
kBT
j
nj
exp
njh
kBT
j
令
1
kT
Ej
1 2
j
j
e j 1
零点能
平均热能
njhj exp nj hj
Ej
1 2
h j
nj
exp nj h j
nj
1 h
ln
exp n h
2 j nj
j
j
1 n
2. Einstein模型
假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动。
即： 0 const.
在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：
E T 3N h0
exp
h0
kBT
1
CV
E T
3NkB
h0
kBT
2
exp
h0
kBT
exp
h0
kBT
2 1
定义 Einstein温度： ❖ 高温下：T >> E 即
E
h0
kB
kBT ? h0
CV
3NkB
h0
kBT
2
exp
h0
kBT
2
exp
h0
kBT
1
2
CV
3NkB
h0
kBT
1
2
exp
h0
2kBT
exp
h0
2kBT
2
3NkB
h0
1
2 j 1 exp( )
j
1 h
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j
kBT e
2
e j
j / kBT 1
/ kBT 2
上式分析了频率为ωj的振子对热容量的贡献，晶体中包含有3N 个简谐振动，总能量为：
3N
E E j (T) j 1
Heat Capacity of Solids 固体热容
总热容就为：
CV
3N
CVj
j 1
3N j 1
d E j (T ) dT
j
2 j exp( ) 1
j
E
j
n
j
1 2
j
其中
1
n j
—— 平均声子数
exp
k
j
T
B
1
在一定温度下，晶格振动的总能量为：
E
1 j2
j
j
E E(T )
j
exp
j
kBT
1
0
Heat Capacity of Solids 固体热容
Ej
1 2
j
j
e j 1
上式对T求C微vj商，d得Ed到jT晶T格热容k：B
回想一下，1卡路里= 4.18焦耳= 4.18×107尔格。
因此，（2.90）所给出的结果
C 6 v
cal/deg mole （2.91）
固体比热的经典理论
杜隆-珀替定律的解释是基于经典统计力学 的均分定理的基础之上的，该定理假设每个原 子关于它的平衡位置做简谐振荡，那么一个原 子的能量就为：
E p2 1 kr2 1 p2x p2 y p2z 1 k x2 y2 z2 （2.92）
exp
0
kBT
当T0时，CV 0，与实验结果定性符合。
但实验结果表明， T0 ， CV ∝T3; 根据Einstein模型，T0，
CV
exp
0
kBT
0
Einstein模型 金刚石热容量的实验数据
3. Debye模型
假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波。
Enj
n
j
1 2
j
（nj=整数）
把晶体看作一个热力学系统，在简谐近 似下引入简正坐标Qi（i=1,2…3N）来描述振 子的振动。可以认为这些振子独立的子系， 每个谐振子的的统计平均能量：
Modern Theory of the Specific Heat
of Solids 固体比热的现代理论
1 Ej 2
2m 2
2m
2
在一个处于平衡状态的系统中，能量
均分定理指出:
p2x 2m
1 2
kBT
对于上式中的其他项也都适用，因此在温 度T时每个原子的能量都为 E=3kBT
固体比热的经典理论
1摩尔原子的能量则为
U 3N AKBT 3RT
（2.93）
随后，Cv,
Cv
U T
v
由（2.90）式给出。
后来发现，杜隆-珀替定律只适用于足够高
2
CV
3NkB
0
kBT
1
2
exp
0
2kBT
exp
0
2kBT
2
3NkB
0
kBT
1
2
1
0
2kBT
1
0
2kBT
3NkB
❖ 在低温下：T << E 即
kBT 0
CV
3Nk
B
0
kBT
2
exp
0
kBT
2
exp
0
kBT
1
2
3NkB
0
kBT
的温度。对于一个典型固体 Cv 的值被发现 随温度的影响具有如图2.9所示的行为。
固体比热的经典理论
由图可知，在低温时，热容量不再保持 为常数，而是随温度的下降很快趋向于零。
Modern Theory of the Specific Heat
of Solids 固体比热的现代理论
为了解决这一问题，爱因斯坦提出了量 子热容理论。根据量子理论，各个简谐振动 的能量本征值是量子化的，即
E T 3N
0
exp
0
kBT
1
CV
E T
3NkB
0
kBT
2
exp
0
kBT
exp
0
kBT
2 1
定义 Einstein温度： ❖ 高温下：T >> E 即
E
0
kB
kBT 0
CV
3NkB
0
kBT
2
exp
0
kBT
2
exp Leabharlann 0kBT1
经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。
困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时， CV 0，经典的能量均分定理无法解释。
2. Einstein模型
假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动。
即： 0 const.
在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：
为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c 。
d c const.
q dq
这表明，在q空间中，等频率面为球面。
g(ω)称频率分布函数或振动模的态密度函数（视为连续函数） 振动模对热容量的贡献只决定于它的频率，由频率分布函数，可
以写出热容：
4. Debye模型 Einstein模型过于简化，固体中原子的振动不是孤立的。晶
Heat Capacity of Solids 固体热容
固体比热的经典理论
在十九世纪，由实验得到在室温下固体的 比热是由杜隆-珀替定律给出的：
Cv 3R 3N AKB
（2.90）
热容是一个与温度和材料都无关的常数。
其中R=NAKB，NA是阿伏伽德罗常数（6.03×1023 atoms /mole）KB是玻尔兹曼常数（1.38×10-16尔 格/开，尔格是功和能量的单位1焦耳=107尔格）。
Einstein模型
爱因斯坦模型假设晶体中原子的振动是相互独立的, 而且所有原子都以同一频率 ω0 振动。
由固体比热的现代理论可知：
0 2 e 0 / kT
CV
3Nk
kT e 0 / kT
1 2
ω0 的值由实验选定，使理论与实验一致。
该模型的成功之处：证明 T 0, CV 0
不足之处：模型过于简化，得到的结果以指数形式趋于0， 与实验中以T3 变化不符。 Einstein模型趋于零 的速度太快！
体中原子的振动采用格波的形式，频率有一个分布, Debye模型 考虑了频率分布。 （1）频率分布函g(ω)的定义
在ω—ω+dω之间的简谐振动数为ΔN，定义频率分布函数为：
g() lim N N g() 0
写出g(ω)的解析表达式就可以计算出热容量。
j
nj
nj
j
exp
nj
kBT
j
nj
exp
nj
kBT
j
令
1
kT
Ej
1 2
j
j
e j 1
零点能
平均热能
nj j exp nj j
Ej
1 2
j
nj
exp nj j
nj
1
n
exp n
2 j nj
j
j
1
2j
n
1
1
exp(
)
j
1