《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计

《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计
一、教材分析
1.教材的内容和地位
《正弦函数、余弦函数的性质》是人教A版数学必修4的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。

该内容共两课时，这里讲的是第一课时，主要是探究正弦、余弦函数的定义域、值域（最值）和周期性，而对奇偶性、对称性和单调性的探究则放在第二节课。

正弦函数、余弦函数的图象和性质是三角函数里的重要内容，也是高考热点考察的内容之一。

本节课的学习过程中，数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图象，充分体现了数形结合的数学思想方法。

2.教学目标
根据《新课标》的具体要求，结合学生现有的认知水平，确定教学目标如下：
（1）知识与技能：通过观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题；
（2）过程与方法：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力，培养学生自主探究的能力，深化研究函数性质的思想方法；
（3）情感、态度与价值观：让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力。

3. 教学重点和难点
重点：通过观察正弦、余弦函数的图像研究正弦、余弦函数的性质；
难点：周期函数、最小正周期的意义。

二、学情分析
本课之前，学生已经学习了《必修一》，学习了函数的性质和研究函数的一般方法，学习了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式，这些都为本节课的学习打好了基础。

函数的定义域、（最值）值域、奇偶性、单调性等性质，学生类比指数函数、对数函数、幂函数的研究方法不难由观察图像得出结论，但对于函数的周期性，学生是第一次接触，对概念的理解可能会有困难。

三、教法学法分析
1.教法分析
本节课以学生为主体，教师引导学生通过观察正弦函数图像，自主探究，总结规律，再类
比正弦函数得到余弦函数的相应结论，并能应用规律分析问题，解决问题。

在教学中以引导启发为主，在学生观察比较的基础上，师生以问答形式共同研究探讨，让学生经历知识再发现、再创造的过程。

2. 学法分析
教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生“学会方法”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。

本节教学中通过观察函数图象，充分调动学生已有的学习经验，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。

四、教学过程分析
这节课的流程主要分为五个阶段：复习回顾；探究正弦函数的定义域、值域（最值）；探究正弦函数的周期性；探究余弦函数的性质；巩固练习。

（一）、复习回顾，引入新知
师：回顾前面学习函数时，是如何研究它的性质？研究它的哪些性质？
生：（预计）先画图，通过观察图象得性质，主要研究函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、定点等
师：本节课我们只研究前三个问题，对其它性质的研究放在下节课。

PPT 展示画正弦函数图像
【设计意图】：通过复习，建立新旧知识间的联系，为通过观察函数图象研究函数性质做好准备，让学生对周期性有个直观的印象，为周期性的出现做好铺垫。

（二）、探究正弦函数的定义域、值域（最值）
师：观察正弦函数的图象，填写下表（学生回答，相互补充，师生一问一答间得出结论） 1(1)sin 1,(2)3sin 2,.
x y x x R y x x R =+∈=-∈例：求下列函数的最大值和最小值，并求出取最大值和最小值时的集合.; 【设计意图】：通过观察函数图像，结合已有知识和方法，学生自己归纳总结正弦函数的性质，培养学生自主探究、研究问题、解决问题的能力。

（三）、探究正弦函数的周期性
师：从正弦函数的作图过程中，我们发现正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这个规律是之前所学函数不具有的，我们用“周期性”来刻画这一规律。

观察正弦函数的图象，发现将
正弦函数图象向左或向右平移2π个单位，图象保持不变，向左或向右平移4π个单位，图象也不变
（给出周期函数、周期的定义）
周期函数定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。

非零常数T 叫做这个函数的周期．
师：正弦函数的周期是多少？（2k π(k ∈Z 且k≠0)）
师：概念中有哪些关键词？
（辨析概念） 思考：等式sin()sin 244π
+=π
π是否成立？如果成立，能不能说2π
是y=sinx 的周期？
判断下列说法是否正确:
(2)由诱导公式，所以的周期为2π；sin(2)sin 33x x +π=sin 3x
y =(1)时，则一定不是的周期;3x π=2sin()sin ,3
x x π+≠23π
sin y x =（
）（
）(3)若T(T≠0)是f(x) 的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)一定是f(x) 的周期；（
）
【设计意图】：引导学生关注定义中的关键词，从而加深对数学概念的理解.
例2：求下列函数的周期：
（1） y=3sinx(x ∈R); (2)y=sin2x(x ∈R); （2）y=2sin 1()26x π
-; (x ∈R)
变式练习：sin()(0,0)()y A x A x R =ω+ϕ≠ω≠∈ 结论：2sin(),(0,0)y A x A T π
=ω+ϕ≠ω≠=ω的周期是
【设计意图】：进一步加深对周期函数和周期的理解。

(四)、探究余弦函数的性质
PPT 展示正弦函数的性质（表格形式）
师：请画出余弦函数的图像，类比正弦函数的性质，试探究余弦函数的相关性质。

（学生活动：学生合作学习，得到余弦函数性质，完成表格）
(五)、巩固练习：
1.求下列函数的周期
(1)sin 3,;
(2)3cos ,;41(3)sin(2),;(4)),.1024x y x x R y x R y x x R y x x R ππ=∈=∈=-+∈=--∈ 2.已知函数()y f x =的周期是3，且当[0,3]x ∈时，2()1f x x =+.
(1)求(1),(5),(16);f f f (2)求当[3,6]x ∈时得解析式
（六）、总结回顾，提出课后思考
以问题的形式：本节课主要学习了哪些知识？让学生自己概括出所学内容。

正弦函数、余弦函数性质，周期函数、周期、最小正周期概念
【设计意图】：通过小结，深化学生知识理解、完善学生认知结构。

拓展思考：
1.是不是只有三角函数是周期函数呢？你还能找出其他的周期函数吗？
2.周期函数一定存在最小正周期吗？
1,3.()?0,x D x x ⎧=⎨⎩当是有理数，函数是周期函数吗当是无理数.
作业：
P46 习题1.4 A 组3, 10 B 组1, 3。