《应用数理统计》期末考试2013
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中国农业大学《应用数理统计》期末考试试题（2013.12.05） 学院： 学号： 姓名：
（说明：把答案写在答题册上，可以使用简易计算器，考试时间 120 分钟）
2 2 一、 （20 分） （1）设 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立， X i ~ N ( µ , σ i2 ) （i = 1, 2,…, n） 不 ，σ 12 , σ 2 ,L, σ n 2
n
1 ∑ i =1 σ i
n
wk.baidu.com
−2
； （3） ζ ~ χ 2 ( n − 1) 。 （2） η 与 ζ 独立；
二、 （20 分）设 X 1 , X 2 , K , X n 是均值 µ 为已知的正态总体的一个样本，试求 σ 2 的极大似然估 计量 σ ˆ 2 ，并验证它是否为 σ 2 的 UMVUE、相合估计量。
参考数据：t0.90(15)=1.3406, t0.95(15)=1.7531, t0.90 (17)=1.3334, t0.95(17)=1.7396, t0.95(5)=2.0150, t0.975(5)=2.5706, t0.95 (6)=1.9432, t0.975(6)=2.4469, F0.90(7,8)=2.62, F0.95(7, 8)=3.50, F0.90(8, 7)=2.75, F0.95(8, 7)=3.73， F0.90(8,9)=2.47, F0.95(8, 9)=3.23, F0.90(9, 8)=2.56, F0.95(9, 8)=3.39。
1
包装类型 A1 A2 A3 A4 12 14 19 24
销售量数据 18 12 17 30 13 21
行和 30 39 57 54
行平方和 468 509 1091 1476
（1）在显著性水平 α = 0.01 下，检验各水平间是否有显著差异。 (计算过程保留小数点后两位) （2） 给出第四个水平均值 μ4 的置信水平为 0.95 的置信区间。
四、 （10 分）设总体 X 服从指数分布 E(λ)，λ > 0， X 1 , X 2 , K , X n 为取自总体 X 的简单随机样 本，给定显著性水平α，利用 2λ nX ~ χ 2 ( 2n) ，推导出下列假设检验问题的检验法则： 。 H 0 : λ ≥ λ 0 ； H 1 : λ < λ 0 （其中 λ 0 为已知常数且 λ 0 > 0 ）
三、 （20 分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品 中分别抽取了 8 件和 9 件产品，测其性能指标得到两组数据，对其作相应运算得：
*2 *2 x = 0.19 ， s1 = 0.006 ， y = 0.238 ， s 2 = 0.008 ，
(1) 在显著性水平 α=0.1 下，能否认为 σ 12 = σ 22 ; (2) 求 µ 1 − µ 2 的置信度为 90%的置信区间， 并在显著性水平 α=0.1 下， 分析甲乙两厂生产产品 的性能指标有无显著差异。
y1 = a + ε 1 六、 （10 分）设有线性模型 y 2 = 2a − b + ε 2 ，其中 a, b 是未知参数， ε 1 , ε 2 , ε 3 相互独立且 y = a + 2b + ε 3 3
E (ε i ) = 0, D(ε i ) = σ 2 ( i = 1, 2, 3) ，试求出 a, b 的最小二乘估计。
n Xi n 1 全相同，令： η = ∑ ∑ σ ÷ i = 1 i i =1 σ i n 1 证明： （1）η ~ N µ , n ∑ i =1 σ i
，
Xi − µ η − µ − ζ = ∑ σ n i =1 i
2
五、 （20 分）某食品公司对一种食品设计了四种新包装，为考察哪种包装最受顾客欢迎，选了 10 种地段繁华程度相似、规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种 包装个指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法 也基本相同，经过一段时间，记录器销售量数据如下：
（说明：把答案写在答题册上，可以使用简易计算器，考试时间 120 分钟）
2 2 一、 （20 分） （1）设 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立， X i ~ N ( µ , σ i2 ) （i = 1, 2,…, n） 不 ，σ 12 , σ 2 ,L, σ n 2
n
1 ∑ i =1 σ i
n
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−2
； （3） ζ ~ χ 2 ( n − 1) 。 （2） η 与 ζ 独立；
二、 （20 分）设 X 1 , X 2 , K , X n 是均值 µ 为已知的正态总体的一个样本，试求 σ 2 的极大似然估 计量 σ ˆ 2 ，并验证它是否为 σ 2 的 UMVUE、相合估计量。
参考数据：t0.90(15)=1.3406, t0.95(15)=1.7531, t0.90 (17)=1.3334, t0.95(17)=1.7396, t0.95(5)=2.0150, t0.975(5)=2.5706, t0.95 (6)=1.9432, t0.975(6)=2.4469, F0.90(7,8)=2.62, F0.95(7, 8)=3.50, F0.90(8, 7)=2.75, F0.95(8, 7)=3.73， F0.90(8,9)=2.47, F0.95(8, 9)=3.23, F0.90(9, 8)=2.56, F0.95(9, 8)=3.39。
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包装类型 A1 A2 A3 A4 12 14 19 24
销售量数据 18 12 17 30 13 21
行和 30 39 57 54
行平方和 468 509 1091 1476
（1）在显著性水平 α = 0.01 下，检验各水平间是否有显著差异。 (计算过程保留小数点后两位) （2） 给出第四个水平均值 μ4 的置信水平为 0.95 的置信区间。
四、 （10 分）设总体 X 服从指数分布 E(λ)，λ > 0， X 1 , X 2 , K , X n 为取自总体 X 的简单随机样 本，给定显著性水平α，利用 2λ nX ~ χ 2 ( 2n) ，推导出下列假设检验问题的检验法则： 。 H 0 : λ ≥ λ 0 ； H 1 : λ < λ 0 （其中 λ 0 为已知常数且 λ 0 > 0 ）
三、 （20 分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品 中分别抽取了 8 件和 9 件产品，测其性能指标得到两组数据，对其作相应运算得：
*2 *2 x = 0.19 ， s1 = 0.006 ， y = 0.238 ， s 2 = 0.008 ，
(1) 在显著性水平 α=0.1 下，能否认为 σ 12 = σ 22 ; (2) 求 µ 1 − µ 2 的置信度为 90%的置信区间， 并在显著性水平 α=0.1 下， 分析甲乙两厂生产产品 的性能指标有无显著差异。
y1 = a + ε 1 六、 （10 分）设有线性模型 y 2 = 2a − b + ε 2 ，其中 a, b 是未知参数， ε 1 , ε 2 , ε 3 相互独立且 y = a + 2b + ε 3 3
E (ε i ) = 0, D(ε i ) = σ 2 ( i = 1, 2, 3) ，试求出 a, b 的最小二乘估计。
n Xi n 1 全相同，令： η = ∑ ∑ σ ÷ i = 1 i i =1 σ i n 1 证明： （1）η ~ N µ , n ∑ i =1 σ i
，
Xi − µ η − µ − ζ = ∑ σ n i =1 i
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五、 （20 分）某食品公司对一种食品设计了四种新包装，为考察哪种包装最受顾客欢迎，选了 10 种地段繁华程度相似、规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种 包装个指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法 也基本相同，经过一段时间，记录器销售量数据如下：