2021届上海市南洋中学高一下学期数学第一次月考试题
上海民办交大南洋中学高三数学理月考试题含解析
上海民办交大南洋中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数参考答案：B2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为( )(A)－6 (B) －2 (C)4 (D)6参考答案：A3. 四棱锥的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)则四棱锥的体积= ( ) ．A．24 B．18 C． D．8参考答案：D4. 已知集合，，则（）A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(1,+∞)参考答案：B由题意得，集合B={x|x2－2x＜0}={x|0＜x＜2}，所以，故选B.5. 设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则?U A∩B等于（）A．（0，1] B．C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪参考答案：C考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴?U A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则（?U A）∩B=（1，2]，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A． B． C． D．不能确定参考答案：B略7. 复数在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A略8. （2016?衡阳校级模拟）在等差数列{a n}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A．60 B．61 C．62 D．63参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意易得通项公式，令其等于201解n值可得．【解答】解：由题意可得等差数列{a n}的通项公式a n=a5+（n﹣5）d=33+3（n﹣5）=3n+18，令a n=3n+18=201可得n=61故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．9. 已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又非必要条件参考答案：D成等比数列,则有，所以，所以成立是成立不充分条件.当时，有成立，但此时不成等比数列，所以成立是成立既不充分又非必要条件，选D.10. 圆截直线所得弦长为8，则c的值为A 10B -68C 12D 10或-68参考答案：D 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，若，则实数x的值等于______.参考答案：【分析】根据向量共线的坐标形式可求的值.【详解】因为，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果，那么：（1）若，则；（2）若，则.12. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.参考答案：13. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．62参考答案：B14. 设x，y满足约束条件，且，则的最大值为 . 参考答案：1315. 若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．参考答案：【知识点】向量的夹角 F3解析：，即，所以，，的夹角为，故答案为.【思路点拨】由可得，所以夹角为.16. 已知圆锥的体积为cm3，底面积为cm2，则该圆锥的母线长为 cm.参考答案：5已知函数f ( x ) =。
2021年高一数学下学期第一次月考试卷 文(含解析)
2021年高一数学下学期第一次月考试卷文（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择，仅有一个选择正确．请把选择字母填在答题卷的对应位置处）1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=02．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法3．下列叙述错误的是（）A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同4．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）A．B．C．D．N5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个7．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v的值为（）A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．33929．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.610．图中程序是计算2+3+4+5+6的值的程序．在WHILE后的①处和在s=s+i之后的②处所就填写的语句可以是（）A．①i＞1②i=i﹣1 B．①i＞1②i=i+1C．①i＞=1②i=i+1D．①i＞=1②i=i﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的对应位置上）11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=．12．现有A．B两枚均匀的骰子．用小莉掷A骰子朝上的数字为x、小明掷B骰子朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为．13．已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．x 0 1 2 3y 1 3 5﹣a 7+a14．为了在运行下面的程序之后得到输出结果为16，键盘输入x应该是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）求三个数175，100，75的最大公约数．（2）将1015（6）转化成十进制的数，再将十进制转化为八进制．16．某高校学生总数为8000人，其中一年级1600人，二年级3200人，三年级xx人，四年级1200人．为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为400的样本．（1）各个年级分别抽取了多少人？（2）若高校教职工有505人，需要抽取50个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．17．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．（1）若以A表示事件“和为6”，求P（A）．（2）若以B表示事件“和小于4或大于9”，求P（B）．（3）这个游戏公平吗？请说明；理由．18．铁路部门托运行李的收费方法如下：y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg），当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg，20kg的部分按0.35元/kg，超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费．（1）请根据上述收费方法求出y关于x的函数式；（2）画出程序框图．19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：分组频数[1.30，1.34）4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54）2合计100（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率；（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）广东省东莞市松山湖莞美学校xx学年高一下学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择，仅有一个选择正确．请把选择字母填在答题卷的对应位置处）1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=0考点：赋值语句．专题：阅读型．分析：本题根据赋值语句的定义直接进行判断．解答：解：根据题意，A：左侧为数字，故不是赋值语句B：赋值语句，把﹣M的值赋给MC：连等，不是赋值语句D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．点评：本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法考点：分层抽样方法；系统抽样方法．专题：应用题．分析：此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．解答：解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．点评：本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．3．下列叙述错误的是（）A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同考点：互斥事件与对立事件；概率的基本性质．专题：阅读型．分析：根据频率的意义和频率和概率之间的关系得到结论，随机事件的概率是大于等于0且小于等于1，互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，抽签先后抽到的概率是相同的．解答：解：根据频率的意义，频率和概率之间的关系知道A正确，根据随机事件的意义，知道随机事件的概率是大于0且小于1，故B不正确，互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，故C正确，抽签先后抽到的概率是相同的，故D正确．故选B．点评：本题考查频率和概率的关系，考查对立事件与互斥事件的关系，考查随机事件的概率，考查抽签的概率，本题是一个概念辨析问题．4．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）A．B．C．D．N考点：简单随机抽样．专题：计算题．分析：根据题意先求出总体中带有标记的鱼所占比例，由简单随机抽样方法得到的样本代表总体，即求出样本带有标记的个数的估计值．解答：解：由题意知，总体中带有标记的鱼所占比例是，故样本中带有标记的个数估计为，故选A．点评：本题的考点是简单随机抽样方法的应用，即总体中每个个体被抽到的机会一样，样本的结构和总体的一致，利用此特点求出近似值．5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3解答：解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C点评：本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键6．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案解答：解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；至少有一个白球，没有白球互斥且对立；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，故选：D点评：本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．7．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）考点：散点图．专题：概率与统计．分析：根据散点图中样本点成带状分布，这样的变量具有线性相关关系，由此判断题目中的选项是否符合条件即可．解答：解：（1）中各点都在一条直线上，所以这两个变量之间是函数关系，不是相关关系；（2）、（4）所示的散点图中，样本点成带状分布，这两组变量具有线性相关关系；（3）所示的散点图中，样本点成团状分别，不是带状分布，所以这两个变量不具线性相关关系．综上，具有线性相关关系的是（2）和（4）．故选：C．点评：本题考查了利用散点图判断变量是否具有线性相关问题，是基础题目．8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v的值为（）A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．3392考点：秦九韶算法．专题：算法和程序框图．分析：把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．解答：解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，∴v0=3，v1=v0x+5=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=v1x+6=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=v2x+79=34×（﹣4）+79=﹣57，v4=v3x﹣8=﹣57×（﹣4）﹣8=220，∴V4的值为220；故选：B点评：本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以9．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.6考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的定义，进行推导，即可得出答案．解答：解：设这组数据为x1，x2，…，x n，平均数为，方差为s2；则新数据为x1﹣80，x2﹣80，…，x n﹣80，它的平均数是===﹣80=1.2，∴=81.2；方差为s′2=[++…+]=[++…+]=4.4=s2．故选：A．点评：本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出正确的答案，是基础题目．10．图中程序是计算2+3+4+5+6的值的程序．在WHILE后的①处和在s=s+i之后的②处所就填写的语句可以是（）A．①i＞1②i=i﹣1 B．①i＞1②i=i+1C．①i＞=1②i=i+1D．①i＞=1②i=i﹣1考点：循环语句．专题：图表型．分析：根据流程图所表示的算法功能可知求2+3+4+5+6的和，从而应该利用累积加的表达式，以及数i是逐一减小的，可得处理框应填的内容．解答：解：程序框图是计算2+3+4+5+6的和则第一个处理框应为i＞1，i是减小1个，i=i﹣1从而答案为：①i＞1②i=i﹣1．故选A．点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的对应位置上）11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=96．考点：众数、中位数、平均数．分析：标准差是，则方差是2，根据方差和平均数，列出方程解出x、y的值．注意运算正确．解答：解：∵标准差是，则方差是2，平均数是10，∴（9+10+11+x+y）÷5=10 ①[1+0+1+（x﹣10）2+（y﹣10）2]=2 ②由两式可得：x=8，y=12∴xy=96，故答案为：96．点评：这个知识点是初中学过的，它和高中所学的有密切关系，区别随机变量的期望与相应数值的算术平均数．期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．12．现有A．B两枚均匀的骰子．用小莉掷A骰子朝上的数字为x、小明掷B骰子朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：由题意可知，P（x，y）共有6×6=36种等可能事件，找到确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：由题意可知，P（x，y）共有6×6=36种等可能事件，其中它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上有（如图所示）（1，3），（2，4），（3，3）共3个基本事件，故它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率问题，关键是找到满足条件的基本事件的个数，利用数形结合的思想，比较容易找，属于基础题．13．已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．x 0 1 2 3y 1 3 5﹣a 7+a考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果．解答：解：∵回归直线方程必过样本中心点，∵，∴样本中心点是（，4）∴y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点（，4）故答案为：（，4）点评：本题考查线性回归方程，本题是一个基础题，而求线性回归方程的问题，是运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．14．为了在运行下面的程序之后得到输出结果为16，键盘输入x应该是﹣5，5．．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，知程序功能是求分段函数y=的值，运行程序之后得到输出结果为16，从而可推得键盘输入x的值．解答：解：执行程序框图，知程序功能是求分段函数y=的值，运行程序之后得到输出结果为16，则有|x+1|=4，从而推得x=3（舍去）或x=﹣5，|x﹣1|=4，从而推得x=5或者x=﹣3（舍去），故答案为：﹣5，5．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）求三个数175，100，75的最大公约数．（2）将1015（6）转化成十进制的数，再将十进制转化为八进制．考点：用辗转相除计算最大公约数；进位制．专题：算法和程序框图．分析：（1）解法一：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．解法二：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止（2）利用累加权重法，可先将1015（6）转化成十进制的数，再用除k求余法，可再将十进制转化为八进制．解答：解：（1）解法一：辗转相除法①先求175与100的最大公约数175=100×1+75100=75×1+2575=25×3故175与100的最大公约数为25②再求25与75的最大公约数75=25×3故175，100，75的最大公约数为25．解法二：更相减损术①先求175与100的最大公约数175﹣100=75100﹣75=2575﹣25=5050﹣25=25故175与100的最大公约数为25②再求25与75的最大公约数75﹣25=5050﹣25=25故175，100，75的最大公约数为25．（2）1015（6）=1×63+1×6+5=227，∵227÷8=28…3，28÷8=3…4，3÷8=0 (3)∴227=343（8）点评：本题考查的知识点是用辗转相除法计算最大公约数，数制之间的转化，其中熟练掌握辗转相除法及数制之间转化的运算法则，是解答本题的关键．16．某高校学生总数为8000人，其中一年级1600人，二年级3200人，三年级xx人，四年级1200人．为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为400的样本．（1）各个年级分别抽取了多少人？（2）若高校教职工有505人，需要抽取50个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．考点：分层抽样方法；收集数据的方法．专题：概率与统计．分析：（1）有分类，根据分层抽样的特点进行选择；（2）根据系统抽样的步骤，写出即可．解答：（1）解：抽样比例：=，一年级1600×=80人，二年级3200×=160人，三年级xx×=100人，四年级1200×=60人（2）系统抽样，第一步，把505名教职工编号为001，002， (505)第二步，用简单随机抽样法剔除5个个体（剔除方法可用随机数表法），并对余下的500个个体重新编号001，002， (500)第三步，分段，由于k==10，故分段间隔为10，将总体分为50段，第四步，从第一段随机抽取一个号码为起始号码，比如是008，第五步，从008开始每隔10个号码抽取一个号码，这样得到008，018，028，…，498，各个号码对应的教职工组成一个容量为50的样本．点评：本题考查分层抽样和系统抽样，要根据总体的特点灵活选取合适的抽样方法进行样本的选取．把握好各种抽样方法适合的样本类型．17．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．（1）若以A表示事件“和为6”，求P（A）．（2）若以B表示事件“和小于4或大于9”，求P（B）．（3）这个游戏公平吗？请说明；理由．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；概率的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：将所有可能的基本事件情况列出表格，得出该游戏共包括25个等可能发生的基本事件，由此求出（1）、（2），（3）中对应的概率．解答：解：将所有可能的基本事件情况列表如下：甲数/乙数 1 2 3 4 51 2 3 4 5 62 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 10由上表可知，该游戏共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型．（1）A表示事件“和为6”的基本事件数为5，∴P（A）==；（2）以B1表示事件“和小于4”，其基本事件数为3，概率为P（B1）=，以B2表示事件“和大于9”，其基本事件数为1，概率为P（B2）=；∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=；（3）这个游戏不公平：因为“和为偶数”的基本事件数是13，其概率为，“和为奇数”的基本事件数是12，其概率为；甲乙二人赢的概率不相等，所以，游戏不公平．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．18．铁路部门托运行李的收费方法如下：y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg），当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg，20kg的部分按0.35元/kg，超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费．（1）请根据上述收费方法求出y关于x的函数式；（2）画出程序框图．考点：函数解析式的求解及常用方法；设计程序框图解决实际问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意，易得函数解析式为y=；（2）由（1）此函数为分段函数，利用选择结构即可设计出程序框图．解答：解：（1）由题意可得=；（2）用程序框图描述上述收费方法如下：点评：本题考查函数解析式和程序框图，解题的关键是由题设中所给的问题得出函数解析式，属中档题．19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：分组频数[1.30，1.34）4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54）2合计100（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率；（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；作图题；概率与统计．分析：（1）将题目表格补全即可，注意纵轴为频率/组距；（2）由频率分布表直接求频率即可；（3）由频率分布直方图中得出数字特征．解答：解：（1）频率分布表如下：分组频数频率[1.30，1.34） 4 0.04[1.34，1.38）25 0.25[1.38，1.42）30 0.30[1.42，1.46）29 0.29[1.46，1.50）10 0.10[1.50，1.54） 2 0.02合计100 1.00频率分布直方图如下：（2）纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69；（3）从频率分布直方图可估计出纤度的众数：1.40，中位数：1.408，平均数：1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.408818．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的作法及应用，属于基础题．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）考点：线性回归方程；散点图．专题：概率与统计．分析：（1）根据数据，作出散点图．（2）根据回归直线方程的求法求出线性回归方程．（3）根据回归直线方程进行预测．解答：解：（1）由数据作出散点图：分（2）序号x y xy x2l 3 2.5 7.5 92 43 12 163 54 20 254 6 4.5 27 3618 14 66.5 86…所以：所以线性同归方程为：y'=0.7x+0.35…（3）x=100时，y'=0.7×100+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤…点评：本题主要考查回归直线的基础知识，要求熟练掌握最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并能运用回归直线进行预测．38693 9725 霥36460 8E6C 蹬37269 9195 醕27892 6CF4 泴&20386 4FA2 侢-T35121 8931 褱25213 627D 扽33335 8237 舷24489 5FA9 復39586 9AA2 骢。
上海市南洋模范中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
上海市南洋模范中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知函数()1()1f x arcsinx x =-≤≤，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.2．若二项式921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为1，则实数a 的值为____________. 3．在等差数列{}n a 中，若8103, 1, 9m a a a =-==，则正整数m =____________. 4．若二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数，则函数()(2 )1m f x x mx x =-+≤的反函数()1f x -=___.5．若实数r 满足不等式110112r>，则()21nn lim r →+∞--=____________.6．已知ABC ∆的三内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是__________．7．已知抛物线216y x =的焦点与双曲线()2221012x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是____________.8．已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14,OO =平面α过点1O 且垂直AB 截得当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是____________. 9．已知12,z z为实系数一元二次方程的两虚根，12)()a i z z a R ω=∈，且2ω≤，则a 的取值范围是____________.10．若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =_______.11．在ABC 中，BD 是中线，已知2AB =，30ABD ∠=，定义()()22f AB AC λλλ=+-，求()f λ的最小值是____________.12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．二、单选题13．“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件（ ） A ．a 的值可以是8-B ．a 的值可以是3- C ．a 的值可以是1- D ．a 的值可以是12- 14．下列四个命题中真命题是( ) A ．同垂直于一直线的两条直线互相平行B ．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C ．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D ．过球面上任意两点的大圆有且只有一个15．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．2a <C ．24a ≤<D ．2a >16．已知数列{}n a 共有5项，满足123450a a a a a >>>>≥，且对任意1)5(i j i j ≤≤≤、有i j a a -，仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题:()510a =；()4124a a =，(3)数列{}n a 是等差数列()4集合,15{|}i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素.则其中真命题的序号是（ ） A ．()() 14 B ．()()()123()4C ．()()23D ．()()()134三、解答题17．在长方体1111ABCD A B C D -中，12, 3AB BC AA ===，过1,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -.(1)若11A C 的中为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求点D 到平面11A BC 的距离d .18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(,2)m b a c =-，(cos ,cos )n B C =，且//m n（1）求角B 的大小； （2）设()cos()sin ,(0)2Bf x x x ωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π，求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值 19．已知函数()()2223f x log ax x a =+-(1)当1a =-时，求该函数的定义域和值域；(2)当0a ≤时，如果()1f x ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 20．已知数列{}n a 满足112a =，对任意的*,m p N ∈，都有m p m p a a a +=⋅. (1)求数列{}()*n a n N ∈的递推公式(2)数列{}n b 满足()()1*31223121212121n n n nb b b b a n N +=-++⋅⋅⋅+-∈++++，求数列{}n b 的通项公式;(3)在(2)的条件下，设2nn n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}()*n c n N∈是单调递增数列?若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由.21．如图，已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,,F F 设()()()0,b ,,0,,0A P a Q a -，若12AF F △为正三角形且周长为6.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)若过点()1,0且斜率为()0, k k k R ≠∈的直线与椭圆G 相交于不同的两点, M N ，是否存在实数k 使MPO NPO ∠=∠成立，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；(3)若过点()1,0的直线与椭圆G 相交于不同的两点,M N 两点，,PMQ PNQ 记的面积记为12,S S ，求12S S -的取值范围.参考答案1．12【解析】 【分析】根据反函数定义求得1()f x -,进而求得1()6f π-. 【详解】()f x arcsinx = (11)x -≤≤∴ 1()=sin f x x -则11()=sin()=662fππ- 故答案为:12. 【点睛】本题考查了正弦反三角函数,掌握反函数基本知识是解本题关键. 2．2 【分析】设291()()f x ax x =-,当1x =时即可求得二项式921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和,即可求得实数a 的值. 【详解】设()(+)nf x ax b =根据二项式定理,可将化简为230123()=(+)=+n n n a a x f x ax a a b a x x x +++当1x =时即可求得()f x 各项系数和. 设291()()f x ax x=-当1x =时有9(1)(1)=1f a =- 解得=2a故答案为:2. 【点睛】本题考查了二项式展开式的各项系数求和,掌握关于x 的二项式可改写为230123()=(+)=+n n n a a x f x ax a a b a x x x +++,当1x =即可求得展开式的各项系数和,这是解本题的关键. 3．14 【分析】根据等差数列通项公式:1(1)n a a n d =+-, 代入已知8103, 1, a a =-=联立方程组求出1a ,d 即可求得m .【详解】等差数列{}n a 中8 3 a =-101a =∴ 等差数列{}n a 的公差1082108a a d -==-9m a =∴ 10(10)m a a m d =+- 即:912(10)m =+-解得:14m故答案为:14. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式,灵活使用等差数列公式是解本题的关键.4．)11x ≥ 【分析】因为二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数,根据偶函数()()f x f x -=求得=2m ,代入()(2 )1m f x x mx x =-+≤,在根据反函数的求法即可得到()1fx -【详解】二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数根据偶函数()()f x f x -= 可解得=2m .()222 =22(1)1m y f x x mx x x x ==-+-+=-+2(1)1y x =-+1x ≤ 故1y ≥∴ 21(1)y x -=-1x ≤ 故1x -= 即1x =∴ 所以反函数为:1()11)f x x -=故答案为: 1()11)f x x -=.【点睛】在求解反函数时,要先求出原函数的值域,因为原函数的值域是反函数的定义域,这是解本题关键. 5．2 【分析】根据二节行列式a b ad bc cd=-化简110112r>,可得r 取值范围,即可求得()21.nn lim r →+∞--的值 【详解】根据二节行列式a b ad bc c d=-∴ 1111=01122r r -> 即202r r -> 故202r r-<∴ (2)0r r -< 解得:02r <<111r -<-<∴ ()21=2nn lim r →+∞--故答案为:2.本题考查了二节行列式和极限求值.掌握二节行列式求出参数范围和极限知识是求解本题关键. 6．4π 【解析】由已知2222sin a b c bc A =+-，可得222sin ,2b c a A bc+-= 由余弦定理可得222cos ,cos sin ,0,.24b c a A A A A A bc ππ+-=∴=<<∴=故答案为4π.7．y = 【分析】先根据拋物线方程216y x =求其焦点,进而可知双曲线的一个焦点,根据双曲线222c a b =+ 求出a ,即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线216y x =的焦点为(4,0)∴ 双曲线的一个焦点为(4,0)()2221012x y a a -=> 根据双曲线222c a b =+ 即:21216a += 解得:2a =根据焦点在x 上的双曲线的渐近线方程:b y x a=±∴ 双曲线的渐近线方程是:y =故答案为: y = 【点睛】本题考查了抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,掌握圆锥曲线的相关知识即可解得本题.【分析】利用圆1O 的面积为9π,可得圆1O 的半径为3,根据14OO =,平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O ,可得球O 的半径为5,即可求出球O 的表面积. 【详解】圆1O 的面积为9π∴圆1O 的半径为3，∴14OO =，又平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O∴球O 的半径为5根据球的表面积计算公式:24S R π=∴ 球O 的表面积是245100ππ⨯=故答案为:100π. 【点睛】本题考查了球的表面积公式,掌握球的表面积公式和根据题中条件求出球的半径是解得关键. 9．[]1,1- 【分析】由已知中1z ,2z 是实系数一元二次方程的两虚根,可得12=z z ,进而根据1122)||||||||=2a i z a i z z z ⋅⋅≤,可以构造一个关于a 的不等式,进而求出a 的取值范围. 【详解】已知中1z ,2z 是实系数一元二次方程的两虚根,∴ 12=z z又12)()a i z z a R ω=∈ 2ω≤∴2||2a ==∴ ||1a 即:[1,1]a ∈-故答案为:[]1,1-. 【点睛】本题根据复数集上一元二次方程的两虚根是模相等和复数模长计算,掌握复数基本知识是解本题关键. 10．153 【分析】在已知恒成立的不等式中令1x =可得(1)3f =,然后设出二次函数解析式,利用(1)3,(5)27f f ==,可减少解析式中待定系数个数,然后利用判别式可以确定函数解析式,从而可求(11)f . 【详解】因为二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立, 所以令1x =时,有3(1)3f ≤≤,即(1)3f =,设2()f x ax bx c =++(0)a ≠ ,由(1)3(5)27f f =⎧⎨=⎩,得325527a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ ,得6653b a c a =-⎧⎨=-⎩,所以2()(66)53f x ax a x a =+-+-,由2()245f x x x ≤-+,即22(66)53245ax a x a x x +-+-≤-+, 即2(2)(106)580a x a x a -+-+-≤对一切实数x ∈R 都成立, 当2a =时,不等式化为1x ≥,不符合题意, 所以20a -<且2(106)4(2)(58)0a a a ----≤, 化简得2a <且2(23)0a -≤,得2(23)0a -=,解得32a =. 所以239()322f x x x =-+,所以239(11)1131115322f =⨯-⨯+=. 故答案为:153. 【点睛】本题考查了二次函数解析式和一元二次不等式恒成立问题,属于中档题. 11．4 【分析】设AE =2AB ，连接CE ，可得BD ∥CE ，运用三点共线的向量表示，结合图形求得A 到直线EC 的距离，即可得到所求最小值． 【详解】由()()22f AB AC λλλ=+- ＝2|2λ•（2AB ）+（12λ-）AC |， 设AE =2AB ，连接CE ，可得BD ∥CE ， ∠AEC ＝30°， 设2AH λ=•（2AB ）+（12λ-）AC ， 由2λ+（12λ-）＝1，可得H 在直线EC 上， 即有A 到EC 的距离为|AH |＝4sin30°＝2， 则f （λ）的最小值为2×2＝4． 故答案为：4．. 【点睛】本题考查向量模的最值，注意运用三点共线的向量表示，考查运算能力和数形结合思想，属于中档题．12．(1)2n n π- 【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得1n n a a n π+-=，再利用“累加”法和等差数列的前n 项和公式，即可求解． 【详解】由题意，因为10a =，当1n =时，12()|sin |,[0,]f x x x a =∈，又因为对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以2a π=， 所以12()sin ,[0,],f x x x a ππ=∈=，又22311()|sin ()||sin ()|cos ,[,]222xf x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以33a π=，又33411()|sin ()||sin (3)|cos ,[3,]323xf x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以46a π=， 由此可得1n n a a n π+-=， 所以1211(1)()()1(1)2n n n n n a a a a a a n πππ--=+-++-=+++-=， 所以(1)2n n n a π-=． 故答案为(1)2n n π-．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 13．D 【分析】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件:即x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >,从而得出a 的范围为:1a >-,即可得出答案. 【详解】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件∴ x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >故得1a >-对照选项可得,只有D 符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围. 14．C 【解析】 【分析】通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A 是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B 是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C 是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D 是否正确。
上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下开学考数学试卷含详解
上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下开学考数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知集合{|21},{|13}A x x B x x =-<<=-<<，则A B = ．2.函数1()1xf x lgx-=+的定义域为．3.化简sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ---=---．4.设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,0a b αβ≠，若(2021)1f =-，则(2022)f =．5.若8sin sin 52αα=，则cos α=．6.若不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．7.设a 为实数，函数(),0()2,01g x x f x a x x >⎧⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =．8.已知函数2log ,02()25,239x x x f x x <<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()g x f x k =-有两两不同的零点，则实数k 的取值范围是．9.对任意实数2211,(0),||x y y x x x y x y y y≠-+-++++的最小值为．10.将22tan cot 1,2k k Z πααα⎛⎫++≠∈ ⎪⎝⎭写成一个关于tan α的一元二次式和一个关于cot α的一元二次式的乘积，则可表示为．11.设函数()f x 满足22(2)21x f x ax a =-+-，且()f x 在2122,[22]a a a --+上的值域为[1,0]-，则实数a 的取值范围是．12.设曲线C 与函数()()23012f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.若||,||a c h b c h -<-<，则下列不等式中一定成立的是()A ．||2a b h -<B ．||2a b h ->C ．||a b h -<D ．||a b h->14.“6x k ππ=+，k Z ∈”是“1sin 2x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面外环弧长为60cm ，内环弧长为15cm ，径长(外环半径与内环半径之差）为28cm ，则该扇形的面积为()A ．21050cm B ．2840cm C ．2630cm D ．2210cm 16.已知5cos 3sin cos()A αααϕ-=+，则()A ．34,tan 5A ϕ==-B ．35A ϕ==-C ．35A ϕ==D ．34,tan 5A ϕ==三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由．18.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<．（1）求tan 2α的值；（2）求β的值．19.已知函数22()log (23)f x x ax =--+．（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围．20.已知函数()y f x =，[,]x a b ∈的图象为曲线C ，两端点(,())A a f a 、(,())B b f b ，点00(),M x y 为线段AB 上一点，其中01a b x λλ+=+，0()()1f a f b y λλ+=+，0λ>，点P 、Q 均在曲线C 上，且点P 的横坐标等于0x ，点Q 的纵坐标为0y ．（1）设()sin f x x =，2[0,3x π∈，3λ=，求点P 、Q 的坐标；（2）设1()f x x =，1[,2]2x ∈，求MPQ ∆的面积的最大值及相应λ的值；（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，求证：点P 始终在M 点的上方．21.已知实数,,,a b c d 不全为0，给定函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．记方程()0f x =的解集为A ，方程(())0g f x =的解集为B ，若满足A B =≠∅，则称()f x ，()g x 为一对“升次函数”．问：（1）当1a c d ===，0b =时，验证(),()f x g x 是否为一对“升次函数”；（2）若(),()f x g x 为一对“升次函数”，求d 的值；（3）已知(),()f x g x 为一对“升次函数”，若1a =，0c >，方程()0f x =存在正根m ，求c 的取值范围（用含有m 的代数式表示）．答案解析一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知集合{|21},{|13}A x x B x x =-<<=-<<，则A B = ．【答案】(2,3)-2.函数1()1xf x lgx-=+的定义域为．【解析】函数1()1x f x lgx -=+，所以101xx->+，即1x -<<，故函数的定义域为(1,1)-．3.化简sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ---=---．【解析】sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ------(sin )sin cos cos (sin )θθθθθ-=-sin θ=．4.设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,0a b αβ≠，若(2021)1f =-，则(2022)f =．【解析】(2021)sin(2021)cos(2021)sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=--=-，即sin cos 1a b αβ+=，则(2022)sin(2022)cos(2022)sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=．5.若8sin sin 52αα=，则cos α=．【解析】因为8sin sin 52αα=，所以82sin cos sin 2252ααα=，所以sin 02α=或4cos 25α=，所以2cos 12sin 12αα=-=或27cos 2cos 1225αα=-=．6.若不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】31,21|21||2|3,22131,2x x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-++=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，所以当12x =时，|21||2|x x -++的最小值为52，因为不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，所以215222a a ++≤，所以211022a a +-≤，所以112a -≤≤，所以实数a 的取值范围是1[1,]2-．7.设a 为实数，函数(),0()2,01g x x f x a x x >⎧⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =．【解析】因为()f x 是奇函数，所以(0)20f a =+=，所以2a =-，当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．8.已知函数2log ,02()25,239x x x f x x <<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()g x f x k =-有两两不同的零点，则实数k 的取值范围是．【解析】数形结合，实数k 的取值范围是5,19⎛⎫ ⎪⎝⎭．9.对任意实数2211,(0),||x y y x x x y x y y y ≠-+-++++的最小值为．【解析】由三角不等式得2222112x x y x y x y y-++≥+-+≥，11||2x x y x y x y y-++≥+-+≥，得最小值为4．10.将22tan cot 1,2k Z πααα⎛⎫++≠∈ ⎪⎝⎭写成一个关于tan α的一元二次式和一个关于cot α的一元二次式的乘积，则可表示为．【解析】222tan cot 1(tan cot )1(tan cot 1)(tan cot 1)αααααααα++=+-=+++-()()2211tan 1cot 1tan tan 1cot cot 1tan cot αααααααα⎛⎫⎛⎫=+++-=++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．11.设函数()f x 满足22(2)21x f x ax a =-+-，且()f x 在2122,[22]a a a --+上的值域为[1,0]-，则实数a 的取值范围是．【解析】记()(2)x g x f =，则22222()(log )(log )2log 1f x g x x a x a ==-+-，所以()f x 在区间2122[2,2]a aa --+上的值域为[1,0]-等价于22()21g x x ax a =-+-在区间2[1,22]a a a --+上的值域为[1,0]-．因为()1[1,0]g a =-∈-，所以2[1,22]a a a a ∈--+，且()g x 在区间2[1,22]a a a --+上的最大值应在区间端点处达到．又(1)0g a -=恰为()g x 在该区间上的最大值，故a 必在区间右半部分，即22(1)(22)222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤，所以实数a的取值范围是⎤⎡⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ．12.设曲线C 与函数()()23012f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为．【解析】法一：设函数()()23012f x x x m =≤≤上的点()00,P x y关于直线y =的对称点为(),P x y '，由000332y y x x y y ⎧-=⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩，解得2000031112282x y x x x =-=-，要使00x m ≤≤时，2001182x x x =-单调，则2m ≤.故实数m 的取值范围是(]0,2.法二：设l是函数2()(0)12f x x x m =≤≤在点2(,)12M m m 的切线，因为曲线C 与函数23()(0)12f x x x m =≤≤的图像关于直线y =对称，所以直线l关于y =对称后的直线方程必为x a =，曲线C 才是某函数的图像，如图所示，直线y =与x a =的夹角为30︒，所以直线l 的倾斜角为30︒，则直线l的方程为2:()312l y x m m =-+，由22)31212y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22440x x m m -+-=，则△2161640m m =-+=，解得2m =，由图像得02m <≤，所以实数m 的取值范围为(0,2]．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.若||,||a c h b c h -<-<，则下列不等式中一定成立的是()A ．||2a b h -<B ．||2a b h ->C ．||a b h-<D ．||a b h->【解析】|||()()|||||2a b a c b c a c b c h +=---≤-+-<，故选A ．14.“6x k ππ=+，k Z ∈”是“1sin 2x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若1sin 2x =，则26x k ππ=+或526x k ππ=+，k Z ∈，故选D ．15.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面外环弧长为60cm ，内环弧长为15cm ，径长(外环半径与内环半径之差）为28cm ，则该扇形的面积为()A ．21050cm B ．2840cm C ．2630cm D ．2210cm 【解析】设外环半径1r ，内环半径2r ，圆心角α，则121228,60,15r r r r αα-===，则()1275r r α+=，所以()()()222121212111050cm 22S r r r r r r =-=+-=，故选A ．16.已知5cos 3sin cos()A αααϕ-=+，则()A ．34,tan 5A ϕ==-B ．35A ϕ==-C ．35A ϕ==D ．34,tan 5A ϕ==【解析】5cos 3sinαααα⎫-=-⎪⎭，所以cosϕϕ==35A ϕ==，故选C ．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由．【解析】由题意得α为第三象限角，sin α、cos α的值都是负值，由于sin α、cos α是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，得3sin cos 04m αα+=-<①，21sin cos 08m αα+=>②，且23632(21)0m m -+>③，①2-②2⨯，得298200m m --=，解得102(9m =-舍去），检验2m =不满足判别式大于0，故不存在实数m ．18.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<．（1）求tan 2α的值；（2）求β的值．【解析】（1）由1cos 7α=，02πα<<，得43sin 7α==，所以sin tan cos ααα==，22tan 83tan 2147tan ααα==--．（2）由02πβα<<<，13cos()014αβ-=>得02παβ<-<，所以33sin()14αβ-==，于是cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-113433317147142=⨯+⨯=，所以3πβ=．19.已知函数22()log (23)f x x ax =--+．（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a =-时，22()log (23)f x x x =-++，令2230x x -++>，解得13x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-，令2223(1)4t x x x =-++=--+，则04t <≤，所以22()()log log 42f x g t t ==≤=，因此函数()f x 的值域为(,2]-∞；（2）如果()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立，即2232x ax --+≥在[2,3]上恒成立，即1()22xa x ≤-在[2,3]上恒成立，令1()22xh x x =-，([2,3])x ∈，显然()h x 在[2,3]严格减，4()(3)3min h x h ==-，故43a ≤-．20.已知函数()y f x =，[,]x a b ∈的图象为曲线C ，两端点(,())A a f a 、(,())B b f b ，点00(),M x y 为线段AB 上一点，其中01a b x λλ+=+，0()()1f a f b y λλ+=+，0λ>，点P 、Q 均在曲线C 上，且点P 的横坐标等于0x ，点Q 的纵坐标为0y ．（1）设()sin f x x =，2[0,3x π∈，3λ=，求点P 、Q 的坐标；（2）设1()f x x=，1[,2]2x ∈，求MPQ ∆的面积的最大值及相应λ的值；（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，求证：点P 始终在M 点的上方．【解析】（1）设()sin f x x =，2[0,]3x π∈，3λ=，则0a =，23b π=，02033132x ππ+⨯==+，02sin 03sin333138y π+==+，sin12π=，33sin 8x =，33arcsin 8x =，所以(,1)2P π，3333(arcsin 88Q ．（2）设1()f x x=，1[,2]2x ∈时，12a =，2b =，01221x λλ+=+，01221y λλ+=+，001||MP y x =-，001||MQ x y =-，Rt MPQ 00000000111111||||()()(2)222S MP MQ y x x y x y x y ∆=⨯⨯=⨯--=+-因为20021117922122441111212x y λλλλλλλλλλ++++=⨯==+++++++9254116≤+=（当且仅当1λ=时取等号），令0025(1,]16t x y =∈，所以Rt MPQ 11(2)2S t t∆=+-，因为11(2)2y t t =+-在25(1,]16上是严格增函数，所以当2516t =时，y 取最大值125181(2)2521680016+-=，所以当1λ=时，MPQ ∆的面积取最大值81800．（3）设2()2f x x x =-+，[,]x a b ∈，因为()f x 为[,]a b 上的凸函数，由凸函数的性质得00()f x y >，所以点P 始终在M 点的上方．21.已知实数,,,a b c d 不全为0，给定函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．记方程()0f x =的解集为A ，方程(())0g f x =的解集为B ，若满足A B =≠∅，则称()f x ，()g x 为一对“升次函数”．问：（1）当1a c d ===，0b =时，验证(),()f x g x 是否为一对“升次函数”；（2）若(),()f x g x 为一对“升次函数”，求d 的值；（3）已知(),()f x g x 为一对“升次函数”，若1a =，0c >，方程()0f x =存在正根m ，求c 的取值范围（用含有m 的代数式表示）．【解析】（1）由()10f x x =+=，得1x =-，所以((1))(0)1g f g -==，1x =-不是(())g f x 的零点，所以(),()f x g x 不是一对升次函救；（2）设r 为方程的一个根，即()0f r =，由题意得(())0g f r =，所以(0)(())0g g f r d ===；（3）因为0d =，由1a =，()0f m =得c b m=-，所以22()c f x bx cx x cx m =+=-+，2(())()[()()]cg f x f x f x f x c m=-+，由()0f x =得0x =或m ，易得(())0g f x =，由题意得(())g f x 的零点均为()f x 的零点，故2()()0cf x f x c m-+=无实数根，设2c t x cx m =-+，则20c t t c m -+=无实根，记2()ch t t t c m=-+，当0c >时，2(244c m mc mct x m =--+≤，2222()(24c c c h t t t c t c m m m =-+=-+-，当42mc c m ≤，即0m <≤222()(04164min mc m c c h t h c ==-+>，解得21604c m<<-，当42mc c m >，即m >22()()024min c c h t h c m m ==->，解得204c m <<，综上，当m ∈时，216(0,)4c m∈-；当)m ∈+∞时，2(0,4)c m ∈．。
上海市南洋中学高三数学理月考试题含解析
上海市南洋中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由条件可得得x02+y02 ＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d 小于半径，可得结论．【解答】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2. 在四边形ABCD中，，，则（）A. 5B. －5C. －3D. 3参考答案：C【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论. 【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题3. 已知，是数列的前n项和………………（）(A）和都存在 (B) 和都不存在(C) 存在，不存在 (D) 不存在，存在参考答案：A4. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小正值等于（）A. B . C. D. 参考答案：D5. 已知全集U＝R，集合，，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）参考答案：B略6. 设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}，则( U A)∩( U B)=( ).A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}参考答案：B7. 设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0}参考答案：B【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．8. 设a=，则( )A. a>b>cB. b>c>aC.b>a>c D. a>c>b参考答案：C9. 设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，则函数在区间 [－2018, 2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036参考答案：B10. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为 ( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形。
高一数学下学期第一次月考试题含解析试题 2
在16组随机数中恰好第三次就停顿的有：021、130．
一共2组随机数，
∴所求概率为 ．
应选：C．
【点睛】此题考察模拟方法估计概率，是一个根底题，解这种题目的主要根据是等可能事件的概率，注意列举法在此题的应用．
6.[2021·期末]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间是，为此进展了5次试验．搜集到的数据如下表，由最小二乘法求得回归直线方程 ．
满足条件 ，跳出循环，输出 ，应选C．
【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于根底题．
5.[2021·HY]袋子中有四个小球，分别写有“武、汉、HY、运〞四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“HY〞“运〞二字就停顿，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停顿的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“HY、运、武、汉〞这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数：
零件数 /个
10
2030ຫໍສະໝຸດ 4050加工时间是
62
75
81
89
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值是〔 〕
A.66B.67C.68D.69
【答案】C
【解析】
【分析】
根据回归直线方程过样本中心点 ，计算 代入回归直线方程，解方程求得模糊不清的数据.
【详解】设模糊的数据为 ， ， ，由于回归直线方程过样本中心点 ，将 代入回归直线方程得 ，解得 ，应选C.
【详解】观察茎叶图可知甲组数为 ，乙组数为 ，
上海市南洋中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷(Word版含答案)
2020-2021年上海市南洋中学高一上第一次月考一. 填空题1. 集合{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,3,4,5}T =，则T =2. 若集合{|430,}A x x x =-<∈R ，2{|1,}B y y y ==∈R ，则AB =3. 集合2{|2}M y y x ==-+，{|N x y ==，则MN = 4. 已知集合2{|280}A x x x =--=，{|10}B x mx =+=，若AB A =，则m 的值是 5. 不等式20x x-≥的解集是 6. 已知集合2{|560,}A x x x x =-+>∈R ，{|2222,}B x a x a x =-+<<+∈R ，若AB =R ，则实数a 的取值范围是7. 设集合[21,35]A a a =+-，[3,22]B =，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为8. 已知关于x 的不等式12x x a+<+的解集为P ，若1P ∉，则实数a 的取值范围为 9. 如果1322x <<是不等式||1x a -<成立的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 10. 若关于x 的不等式2043x a x x -≥-+的解集为(1,](3,)a +∞，则实数a 的取值范围是 11. 若关于x 的不等式22(1)(1)10m x m x -+-+>的解集是R ，则实数m 的取值范围是12. 设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2()(ax b x +-+56)0x +<的解集为二. 选择题13. 下面六个关系式：①{}a ∅⊂；②{}a a ⊂；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈； 其中正确的是（ ）A . ①③⑤B . ①②③C . ③⑤⑥D . ②④⑤14. 设x ∈R ，则“1x >”是“2x x >”的（ ）A . 既不充分也不必要条件B . 充要条件C . 充分不必要条件D . 必要不充分条件15. 如果,,a b c ∈R 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A . ab ac >B . ()0c b a ->C . 22cb ab <D . ()0ac a c -<16. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A . 对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B . 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C . 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D . 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题17. 解下列关于x 的不等式|21||2|1x x -+->.18. 已知10a -<<，21A a =+，21B a =-，11C a=+，试比较A 、B 、C 的大小并 证明.19. 已知a b ≠，U =R ，集合2{|(1)0}A x x a x a =+-->，{|()()0}B x x a x b =++>，2{|230}M x x x =--≤.（1）若B M =，求a 、b 的值；（2）若11b a -<<<，求A B .20. 已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|0}(1)x a B x x a -=<-+. （1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.21. 设S 是实数集R 的真子集，且满足下列两个条件：①1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-； （1）若2S ∈，则S 中一定还有哪两个数？（2）集合S 中能否只有一个元素？说明理由；（3）是否存在实数a ，使集合S 是无限集？若存在请写出一个a 及相应的集合S ，若不存在请说明理由.参考答案一. 填空题1. {1678}，，，2. {1}-3. 1[,2]34. 0或12或14 5. [2,)(,0)+∞-∞ 6. 1[,2]27. (,9]-∞ 8. [1,0]- 9. 13[,]22 10. (1,3) 11. 3(,1]5- 12. (1,1)(6,)-+∞二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17. 解集为R .18. B A C <<.19.（1）1a =，3b =-或3a =-，1b =；（2）{|AB x x a =<-或1}x >. 20.（1）{|25}A B x x =<<；1[1,][2,3]2--. 21.（1）1-和12；（2）不可能只有一个元素；（3）不存在，11111a a a -=--，111a a a =--.。
上海市南洋模范中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
上海市南洋模范中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设12,e e 是两个单位向量，它们的夹角是60°，则()121e e e -⋅=_________.2．已知sin cos θθ+=sin 2θ=__________. 3．函数()sin 23ky x k π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，0的最小正周期不大于4，则实数k 的最小值为__________.4．已知函数()1log 1ay ax =-在[]0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是______．5．在ABC 中，有命题： ①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形； ④若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形； 上述命题正确的序号是__________.6．若2cos 1x x +=，则5sin 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 7．若函数2tan tan ||4y x a x x π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭的最小值为-6，则实数a 的值为________.8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.9．已知函数()()cos 0f x x x ωωω+>在[]0,π上有两个零点，则ω的取值范围为__________.10．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222021a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B +的值为____________.11．已知函数()()2sin 2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若()00675918f x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则0cos3x =______．12．已知函数()222040x x x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的不等式()1f x ax ≥+在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为___________.二、单选题13．下列说法正确的是（ ）A ．函数cos y x =在第一、二象限都是减函数B ．第二象限角大于第一象限角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限，则2α是第一或第三象限角 14．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线12x π=对称C ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线512x π=对称 15．已知向量,a b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则a c +的最小值为（ ） A ．1B ．12CD ．3416．若[]0,,,,44R ππαπβλ⎡⎤∈∈-∈⎢⎥⎣⎦，满足3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．0BC ．D ．1三、解答题17．已知向量,a b 满足1,2a b ==，且a 与b 不共线；（1）若向量a kb +与2ka b +为方向相反的向量，求实数k 的值； （2）若向量a 与b 的夹角为60°，求2a b +与a b -的夹角θ.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=. （1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，且c =ABC 的周长.19．如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点)P ，再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP π∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．20．已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图像上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π； （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()22mf x m f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围. 21．已知函数(),y f x x D =∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T P f x +<成立，则称函数()f x 是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ；若恒有()()f x T P f x +=成立，则称函数()f x 是D 上的P 级周期函数，周期为T ；（1）已知函数()2f x x a =+是[)2,+∞上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知()1,T y f x ==是[)0,+∞上的P 级周期函数，且()y f x =是[)0,+∞上的单调递增函数，当[)0,1x ∈时，()2xf x =，当[)()*,1x n n n N ∈+∈时，求函数()y f x =的解析式，并求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数()1cos 2xf x kx ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论.参考答案1．12【分析】根据平面向量数量积的运算率即可求解． 【详解】 解：12,e e 是两个单位向量，它们的夹角是60︒，12||||1e e ∴==，12111122e e ⋅=⨯⨯=， ∴()121e e e -⋅=211211122e e e -⋅=-=．故答案为：12． 2．23-【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角的正弦公式即可求解． 【详解】解：因为sin cos θθ+=两边平方，可得112sin cos 3θθ+=， 则2sin 22sin cos 3θθθ==-． 故答案为：23-．3．π 【分析】由题意利用正弦函数的周期性，结合题意即可求得实数k 的最小值． 【详解】解：函数()sin 23ky x k π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，0的最小正周期不大于4， 所有242kπ，k π∴，则实数k 的最小值为π， 故答案为：π．4．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于1t ax =-递减，因此1log ay t=必须递增，即有11a>，还要考虑函数定义域，即在[]0,2x ∈时，10ax ->恒成立． 【详解】∵0a >，∴1t ax =-是减函数，又()1log 1ay ax =-在[]0,2上单调递减，所以11a>， 且120a ->，∴102a <<． 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域． 5．②③． 【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，判断各个选项是否正确．，即可得出答案. 【详解】解：在三角形ABC 中，由于AB AC CB -=，故①不正确． 由于0AB BC CA AC CA ++=+=，故②正确．由于22()()0AB AC AB AC AB AC +⋅-=-=，故有AB AC =，所有三角形ABC 为等腰三角形，故③正确．由于||||cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅>，故A 为锐角，但B 和C 的范围不确定，故不能推出三角形ABC 为锐角三角形，故④不正确．故答案为：②③． 6．14【分析】结合辅助角公式及诱导公式，找出已知角与所求角的关系进行化简即可求解． 【详解】解：因为2cos 1x x +=，所以1cos )12x x +=， 所以1sin()64x π+=，则51sin()sin[()]sin()6664x x x ππππ-=-+=+=， 故答案为：14．7．-7或7 【分析】设tan t x =，则原函数化为222(11)24a a y t at t t ⎛⎫=-=---≤≤ ⎪⎝⎭，分别讨论112a -≤≤，12a <-，12a>时函数的最小值即可求出a. 【详解】设tan t x =.因为||4x π≤，所以tan [1,1]x ∈-，则原函数化为222(11)24a ay t at t t ⎛⎫=-=---≤≤ ⎪⎝⎭，对称轴方程为直线2at =. ①若112a-≤≤，即22a -≤≤，则 当2a t =时，2min 64a y =-=-，所以224a =，不符合题意，舍去； ②若12a<-，即2a <-， 则二次函数在[1,1]-上单调递增，当1t =-时，min 16y a =+=-，所以7a =-； ③若12a>，即2a >， 则二次函数在[1,1]-上单调递减， 当1t =时，min 16y a =-=-，所以7a =. 综上所述，实数a 的值为-7或7.故答案为：-7，7 【点睛】本题考查了正切函数的值域和二次函数的最值，考查了换元法和分类讨论法，属于中档题. 8．704 【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 9．11[6，17)6． 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合x 的范围及正弦函数的性质，求出ω的取值范围． 【详解】解：()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+，因为[0x ∈，]π，所以[66x ππω+∈，]6πωπ+，要使()f x 在[0，]π上有两个零点， 则236πωπππ≤+<，解得111766ω<≤， 所以ω的取值范围为11[6，17)6． 故答案为：11[6，17)6． 10．2020． 【分析】由已知结合余弦定理进行化简，然后结合同角三角函数基本关系及正弦定理进行化简可求得答案． 【详解】由2222021a b c +=，得22222020a b c c +-=， 又2222cos a b c ab C +-=，所以220202cos c ab C =，所以21010cos c C ab=，则22sin sin 2tan tan 2sin sin cos cos cos sin sin sin tan (tan tan )sin ()cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B CC A B==+⋅+ 2222cos 210102020ab C ab c c c ab==⨯=．故答案为：2020． 11【分析】根据()f x 的图象确定()f x 的最小正周期，进而确定ω，通过最高点的坐标及题目给定的范围求ϕ，进而得出03sin 365x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，04cos 365x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，然后利用拆角的思想得到00cos3cos 366x x ππ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，最后利用两角差的余弦公式得到结果．【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则3741892T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，223T ππω∴==，所以，3ω=±． 2sin 299f ππωϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，292k ππωϕπ∴-+=+，k ∈Z ．若3ω=，则526k πϕπ=+，k ∈Z ，不合题意； 若3ω=-，则26k πϕπ=+，k ∈Z ，结合2πϕ<可知6π=ϕ， ()2sin 36f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，()0062sin 365f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，由于07918x ππ-<<，03,62x πππ⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭，又03sin 3065x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭，则030,62x ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，04cos 365x π⎛⎫∴-+== ⎪⎝⎭，00001cos3cos 33sin 366626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--+=-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 12．[0，15]16． 【分析】运用参数分离和二次函数的性质和不等式的性质，讨论0x =，0x >，0x <时，不等式恒成立时，a 的取值范围，求交集可得所求范围． 【详解】解：当0x >时，()|1|f x ax +在R 上恒成立，即为4|1|ax x x++，也即441x ax x x x--++， 可得22141411a xx x x ----+， 由221411151514()81616y x x x =-+=-+，可得1516a ，由221411151514()81616y x x x =---=-+-<-，可得1516a -，则15151616a -； 当0x =时，(0)2|01|f a =>+恒成立； 当0x <时，22(22)122x x ax x x -+++++， 即1322x a x xx++---恒成立，由()32222y x x x =----⋅=，当且仅当()3x x -=-，即x =232a -；由12220y x x=++-+=，当且仅当1x x-=-，即1x =-取得等号，可得0a ， 则0232a -，综上可得，a 的取值范围是[0，15]16． 故答案为：[0，15]16． 13．D 【分析】A 中，判断三角函数的增减性问题时要注意三角函数在象限内是无限重复的，不是单调的，只有在区间内可判断函数的单调性；B 中，象限角是无限重复的，第二象限角不一定大于第一象限角；C 中，象限角不包括终边在坐标轴上，2π不是象限角； D 中，根据象限角的定义，判断即可． 【详解】解：对于A ，cos y x =在[2k π，2]k ππ+，k Z ∈上是减函数，是余弦函数在每个对应区间上单调递减，第一、二象限内的角不一定在一个区间内，所以选项A 错误； 对于B ，第二象限角不一定大于第一象限角，如34πα=是第二象限角，94πβ=是第一象限角，所以选项B 错误；对于C ，三角形内角的取值范围是(0,)π，内角为2π时不是象限角，所以选项C 错误； 对于D ，当α是第二象限时，222k k ππαππ++，k Z ∈，则422k k παπππ++，k Z ∈；k 为偶数时，2α是第一象限角，k 为奇数时，2α为第三象限角；所以选项D 正确． 故选：D ．14．D 【分析】由最小正周期为π可得2ω=,平移后的函数为2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用奇偶性得到()23k k Z πϕπ-+=∈,即可得到3πϕ=-,则()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,则平移后的图像的解析式为2sin 2sin 233y x x πϕπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,此时函数是奇函数,所以()23k k Z πϕπ-+=∈,则()23k k Z ϕππ=+∈,因为2πϕ<,当1k =-时,3πϕ=-,所以()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令()23x k k Z ππ-=∈,则()62k x k Z ππ=+∈,即对称点为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 令()232x k k Z πππ-=+∈,则对称轴为()5122k x k Z ππ=+∈, 当0k =时,512x π=， 故选：D 【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性 15．C 【分析】由向量c 与a b +共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得()c a b λ=+．利用向量的数量积得性质可得2222|||()||(1)|(1)2(1)a c a a b a b a b a b λλλλλλλ+=++=++=++++⋅，把已知代入化简利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：向量c 与a b +共线，∴存在实数λ使得()c a b λ=+．∴|||()||(1)|a c a a b a b λλλ+=++=++22222(1)a b a b λλλ+++⋅333442=所有a c +的最小值为12λ=-时取等号．故选：C ． 16．B 【分析】由题意可得2β-和2πα-是方程3sin 20x x λ+-= 的两个实数解．再由2πα- 和2β的范围都是[2π-，]2π，方程3sin 20x x λ+-=在[2π-，]2π上只有一个解，可得22παβ-=，所以24απβ+=，由此求得cos()2αβ+的值．【详解】解：34sin cos 0βββλ++=，3(2)2sin cos 20βββλ∴---=，即3(2)sin(2ββ-+-)20λ-=．再由3()cos 202πααλ---=，可得3()sin()2022ππααλ-+--=．故2β-和2πα-是方程3sin 20x x λ+-= 的两个实数解．再由[0α∈，]π，[4πβ∈-，]4π，所以2πα-和2β的范围都是[2π-，]2π， 因为函数3,sin y x y x ==在[2π-，]2π上单调递增， 所以函数3sin y x x =+在[2π-，]2π上单调递增， 故方程3sin 20x x λ+-=在[2π-，]2π上只有一个解，所以，22παβ-=，所以24απβ+=，所以cos()2αβ+=故选：B ．17．（1）k =（2）23πθ=． 【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数0λ<，使得2a kb k a b λλ+=+，然后根据平面向量基本定理得出12k k λλ=⎧⎨=⎩，然后解出λ，从而得出k 的值； （2）根据题意即可得出221,1,4a b a b ===，然后即可求出|2|23,||3a b a b +=-=，(2)()a b a b +⋅-，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ的值，进而得出θ的值．【详解】解：（1）向量k +a b 与2ka b +的方向相反，∴存在实数0λ<，使(2)a kb ka b λ+=+，且,a b 不共线， ∴12k k λλ=⎧⎨=⎩，解得λ=λ，∴k =（2）221,1,4a b a b ⋅===，∴22|2|44444a b a a b b+=++=++22||2124a b a a b b -=-+=-+22(2)()22143a b a b a a b b +-=--=--=-，∴(2)()31cos 2|2|||23a b a b a b a b θ+--===-+-⨯，且[0θ∈，]π，∴23πθ=． 18．（1）1sin 3A =；（23【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得cos A 的值，进而求得sin A 的值.（2）利用正弦定理化简已知条件求得b ，结合余弦定理求得a ，由此求得ABC 的周长. 【详解】（1）依题意，222333bc a +-=，所以222b c a +-=，所以2223cos 22b c a A bcbc +-===()0,A π∈，所以1sin 3A==.（2）依题意3sin sin c A B =，由正弦定理得3,3,3ac c b ===，由余弦定理得2222cos 92231183a b c bc A =+-=+-⨯=-=，所以a =所以三角形ABC 的周长为3a b c ++=.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 19．（1）四边形MNPE 为矩形，面积22S m =．（2）当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为26-．理由见解析. 【分析】 （1）当4EFP π∠=时，由条件得4EFP EFD FEP π∠=∠=∠=．可得FN BC ⊥，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．可得22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--，化简利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：（1）当4EFP π∠=时，由条件得4EFP EFD FEP π∠=∠=∠=．所以2FPE π∠=．所以FN BC ⊥，四边形MNPE 为矩形．所以四边形MNPE 的面积22S PN MN m ==． （2）设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,(*)30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为1()2S NP ME MN =+122[(3)(3)]22sin 2tan θθ=-+-⨯ 226tan sin 2θθ=-- 2222(sin cos )6tan 2sin cos θθθθθ+=--36(tan )tan θθ=-+62tan 6--．当且仅当3tan tan θθ=，即tan 3πθθ=时取“=”． 此时，(*)成立．答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为26-． 【点睛】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）()2sin(3)3f x x π=-；（2）252[,]183183k k ππππ-++，k Z ∈；（3）(32m ≥． 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数()f x 的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数()f x 的单调递增区间；（3）当[0,]6x π∈时，令(),t f x t ⎡⎤=∈⎣⎦，不等式()()22mf x m f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，等价于220t mt m --≤在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，由此可求实数m 的取值范围．【详解】解：（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=2πϕ-<<，∴3πϕ=-，由12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=， ∴()2sin(3)3f x x π=-，（2）由232232k x k πππππ-+-+，可得252183183k k xππππ-++， ∴函数()f x 的单调递增区间为252[,]183183k k ππππ-++，k Z ∈，（3）当[0,]6x π∈时，3()1f x ，令(),t f x t ⎡⎤=∈⎣⎦，则不等式[]2()2()mf x m f x +恒成立，等价于220t mt m --≤在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，所以有320120m m m ⎧-≤⎪⎨--≤⎪⎩，解得(32m ≥，所以实数m 的取值范围是(32m ≥．21．（1）1a >；（2）()2n x n f x P -=，*n N ∈，2P ；（3）存在2,m k m Tπ=∈Z ，证明见解析. 【分析】（1）由题意可得(1)2()f x f x +<，即221a x x >-++对[2x ∈，)+∞恒成立，求得221x x -++的最大值，可得结论．（2）由题意可得[x n ∈，1)n +时，()2n x n f x P -=，*n N ∈，0P >且1(1)22n n n n n n P P ----，由此求得p 的范围．（3）根据题意，cos ()2cos T k x T T kx +=对一切实数x 恒成立，故21T T =±，分类讨论，得出结论． 【详解】解：（1）由题意，函数2()f x x a =+是[2，)+∞上的周期为1的2级递减周期函数可知：(1)2()f x f x +<，即22(1)22x a x a ++<+对[2x ∈，)+∞恒成立， 也即221a x x >-++对[2x ∈，)+∞恒成立，2221(1)2y x x x =-++=--+在[2x ∈，)+∞上单调递减，∴22(21)22211max x x -++=-++=，1a ∴>．（2）已知1T =，()y f x =是[0，)+∞上P 级周期函数，且()y f x =是[0，)+∞上的单调递增函数，当[0x ∈，1)时，()2x f x =，∴当[1x ∈，2)时，1()(1)2x f x Pf x P -=-=，当[x n ∈，1)n +时，2()(1)(2)()2n n x n f x Pf x P f x P f x n P -=-=-=⋯=-=，即[x n ∈，1)n +时，()2n x n f x P -=，*n N ∈，()f x 在[0，)+∞上单调递增，0P ∴>且1(1)22n n n n n n P P ----，即2P ．（3）由已知，应有()()f x T T f x +=对一切实数x 恒成立， 即11()cos ()()cos 22x T x k x T T kx ++=对一切实数x 恒成立， 也即cos ()2cos T k x T T kx +=对一切实数x 恒成立， 当0k ≠时，x R ∈，kx R ∴∈，kx kT R +∈，于是cos [1kx ∈-，1]，cos()[1kx kT +∈-，1]，故要使cos ()2cos T k x T T kx +=恒成立，只有21T T =±， ①当21T T =时，即12(*)T T=时，由函数2x y =与1y x=的图象存在交点，故方程(*)有解； 此时cos()cos kx kT kx +=恒成立，则2kT m π=，m Z ∈，2,m k m Tπ=∈Z ； ②当21(**)T T =-时，类似①中分析可得，方程(**)无解； 综上，存在2,m k m Tπ=∈Z ，符合题意，其中T 满足21T T =．。