北师大版八年级数学解二元一次方程组
八年级数学上册第五章二元一次方程组知识整理北师大版
第五章 二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1:二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3:二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5:实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。
（2）含有未知数的项的次数都是1。
（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程,则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ,③2=xy ，④3=+y x ,⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x+1y=1 C ．3x —52y=6D ．4xy=32、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程. 例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩,（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，(4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩， 其中属于二元一次方程组的个数为( ）A ．1B 。
第五章 二元一次方程组-八年级数学上册教学课件(北师大版)
2
x
7.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在
同一条直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
1 = 3 +
=1
∴
−2 = 0 +
= −2
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直
线的交点坐标
两条线的交点坐标是
对应的方程组的解
做一做
x+2y=10
1.二元一次方程组
A.
C.
x=4
y=2x
的解是( C )
x=3
B.
y=3
y=6
x=2
x=4
y=4
D.
y=2
2.解下列方程组.
y=2x
(1)
(2)
x+y=12
解： (1)
4x+3y=65
x=4
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
知识点五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程和一次
函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标
的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标
都适合对应的二元一次方程.
二元一次方程组和一
(2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出x的Байду номын сангаас;
北师大版数学八年级上册5.2.1解二元一次方程组代入消元法教学设计
4.各小组展示解题成果，分享代入消元法的应用经验。其他小组认真倾听，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习，500字
1.教师出示几道不同难度的课堂练习题，要求学生在规定时间内独立完成。
2.学生认真审题，运用代入消元法解答习题，教师巡回检查学生的解题过程，及时发现问题并进行个别辅导。
5.合作交流，拓展思维
组织学生进行小组讨论，分享解题心得和技巧。通过合作交流，培养学生的团队意识和沟通能力，拓展学生的思维。
6.总结反馈，查漏补缺
在课堂尾声，教师带领学生总结本节课所学内容，强调重点和难点。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，帮助学生查漏补缺。
7.课后作业，巩固提高
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。作业难度要适中，既能巩固基础知识，又能提高学生的解题能力。
3.教师选取部分学生的答案进行展示，组织学生共同分析解题思路和答案的正确性。
4.针对学生在练习过程中出现的问题，教师进行总结，强调注意事项，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结代入消元法的概念、原理、操作步骤和应用技巧。
2.学生分享自己在学习代入消元法过程中的收获和感悟，提出疑问，教师及时解答。
3.讲解示范，突破难点
针对学生在探究过程中遇到的问题，教师进行讲解和示范，帮助学生掌握代入消元法的适用条件和计算方法。同时，强调注意事项，降低学生在解题过程中的错误率。
4.练习巩固，提高能力
设计不同难度的习题，让学生独立完成。在练习过程中，教师巡回指导，针对学生的问题进行个别辅导。通过练习，使学生熟练掌握代入消元法，提高解题能力。
2.作业难度分层，以满足不同层次学生的需求。
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和实用性，培养对数学的兴趣和爱好。
2.学生通过克服困难、解决问题，感受到成功的喜悦，培养自信心和克服困难的勇气。
3.学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听他人意见，培养合作精神和团队意识。
2.教师可以使用多媒体教学资源，如数学软件、动画等，展示二元一次方程组的解法过程，让学生更直观地理解和解法步骤。
3.教师可以组织学生进行实际操作，如用纸牌、道具等展示方程组的关系，让学生通过动手操作来加深对知识的理解。
（二）讲授新知
1.教师可以通过讲解和示例，向学生介绍二元一次方程组的概念和解法。例如，可以讲解二元一次方程组的定义，解释方程组的解的意义，并通过示例来说明如何运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了二元一次方程的基本概念，能够理解二元一次方程组的意义，同时，学生已经学习过一元一次方程的解法，这些都为本节课的学习打下了坚实的基础。然而，二元一次方程组的解法相对于一元一次方程的解法更为复杂，需要学生能够灵活运用所学的知识，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解方程组之间的关系，培养学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师可以根据学生的学习水平和特点，将学生分成若干小组，鼓励学生在小组内进行合作和交流。例如，可以让学生分组讨论和解决一个方程组问题，通过小组合作来共同找到解法。
2.教师可以设计一些小组活动，让学生在合作中解决问题，培养学生的团队合作精神。例如，可以让学生分组进行方程组解法的比赛，看哪个小组能够更快地找到解法。
2.学生能够通过实例，理解二元一次方程组解的意义，能够运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
北师大版八年级上册第五章2.2求解二元一次方程组(教案)
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，加深对知识的理解，但在时间分配上似乎有些紧张。有些小组在展示成果时显得有些匆忙，没有充分展示他们的思考过程。我想在下次的实践中，可以适当延长这个环节的时间，让学生们有更充分的交流与展示机会。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二元一次方程组的理解有了明显的提升。他们能够通过具体的实例，将实际问题转化为方程组，并尝试用代入法和加减法进行求解。这一点让我感到非常欣慰，因为这意味着学生们开始掌握了数学建模的基本技巧。
课堂上，我尝试用生活中的例子来导入新课，这样做的效果不错，学生们表现出浓厚的兴趣。在讲授过程中，我也特别注意引导他们理解代入法和加减法的步骤，通过详细的例子和逐步解析，帮助他们突破了这些难点。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象能力，通过分析二元一次方程组的特点，掌握代入法和加减法解方程组的步骤，提高解题技巧；
2.培养学生数学建模和问题解决能力，将实际问题描述为二元一次方程组，并运用所学方法解决问题；
3.培养学生合作交流能力，通过小组讨论和互动，共同探究二元一次方程组的解法，增强团队协作意识；
4.培养学生数学运算和数据分析能力，熟练运用代入法和加减法求解二元一次方程组，并对结果进行分析和验证。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义，包括方程组的组成和表示方法。
-掌握代入法解二元一次方程组的步骤，包括如何选择方程和变量进行代入，以及如何求解。
-掌握加减法解二元一次方程组的步骤，包括如何通过消元的方式将方程组简化为更容易求解的形式。
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》教案1
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》教案1一. 教材分析《求解二元一次方程组》是人教版初中数学八年级上册的一章内容。
这一章主要让学生掌握二元一次方程组的解法，以及应用方程组解决实际问题。
此章节在数学知识体系中起着承前启后的作用，为后续学习更复杂的方程组和函数打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了方程和一元一次方程的解法，但对于二元一次方程组，他们可能还缺乏直观的认识和解决方法。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组，并通过实例让学生感受方程组的意义和应用。
三. 教学目标1.理解二元一次方程组的含义，掌握二元一次方程组的解法。
2.能够应用二元一次方程组解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的解法及应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组，以及解二元一次方程组的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出问题，并探索解决问题的方法。
2.使用多媒体教学，通过动画和实例，帮助学生直观地理解二元一次方程组的概念和解法。
3.学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件和教学素材。
3.练习题和实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生提出二元一次方程组的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍二元一次方程组的概念，并通过多媒体展示实例，让学生直观地理解二元一次方程组的意义。
3.操练（10分钟）引导学生通过小组讨论，探索解二元一次方程组的方法。
教师在旁边给予指导，并引导学生总结解法。
4.巩固（10分钟）让学生独立解决一些简单的二元一次方程组问题，检验学生对解法的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何应用二元一次方程组解决实际问题，并让学生举例说明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强调二元一次方程组的概念和解法。
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》说课稿1
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》说课稿1一. 教材分析《求解二元一次方程组》是人教版初中数学八年级上册第二章《二元一次方程组》的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程、一元一次方程的解法的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握二元一次方程组的解法，并能够应用到实际问题中。
本节课的主要内容有：二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解法（代入法、加减法）、二元一次方程组的应用。
在教材的安排上，首先是引导学生通过实际问题抽象出二元一次方程组，然后通过合作交流，探索二元一次方程组的解法，最后通过应用题，巩固二元一次方程组的解法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但是，对于二元一次方程组，学生还比较陌生，需要通过实例来引导学生理解。
在学生的学习过程中，我发现学生对于数学问题的生活情境比较感兴趣，因此，我在教学过程中，会尽量结合生活实例，激发学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解法（代入法、加减法），能够应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过合作交流，探索二元一次方程组的解法，提高学生的合作交流能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：二元一次方程组的解法（代入法、加减法）。
2.教学难点：如何引导学生理解二元一次方程组的解法，并能够应用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、合作交流法、实例教学法。
2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观地理解二元一次方程组的概念和解法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生抽象出二元一次方程组，激发学生的学习兴趣。
2.探究：让学生通过合作交流，探索二元一次方程组的解法，教师给予适当的引导和点拨。
3.讲解：教师讲解二元一次方程组的解法（代入法、加减法），并通过实例进行说明。
北师大版八年级数学上册第五章 二元一次方程组 二元一次方程与 一次函数
无数个
探究二 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________.
y=-x+5
探究三 画出y=-x+5 的图象.
·
·
5
5
x
0
y=-x+5
0
y=-x+5
探究四 以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 ____的图像相同.2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ）
C
y=-2x+5
1.解方程组
2.试着在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
一次函数
二元一次方程
从式子（数）角度看：
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
解析：将方程 化为一次函数的形式,得 .因为以二元一次方程的每个解为坐标的点都在相应的一次函数的图象(直线)上,所以以方程 的解为坐标的点都在直线 上.
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
课后作业
作业内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
解：没有,直线y=2－x与y=5 －x平行.
在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组 的解是___________．
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即：m+n=7.
的解相同，求a、b 的 值 解：根据题意，只要将方程组 2x+3y=10 的解代入方程组 4x-5y=-2 就可求出a，b的值
2x+3y=10 解方程组 得 4x-5y=-2
ax+by= 的解与 关于x、y的二元一次方程组 ax-by=4 2
拔尖自助餐
2x+3y=10 4x-5y=-2
y 4
3x 2 y 23 5 x 2 y 33
① ②
解：②-①得 5x-3x=33-23 ， 解得 x=5 . 将x=5代入①得 15+2y=23, 解这个方程得 y=4. x 5 所以原方程组的解是
注意该方程 组的特点！
y 4
归纳:
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反 数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反 数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元
如何解二元一次方程组
x y 12 ？ 2 x y 20
问题一 你打算怎样解这个方程组？请尝试一下„„ 问题二 你是怎样考虑的？请说出每步变形的依据.
x y 12 解方程组 2 x y 20
解：由①得，y=12-x ③
① ②
将③代入②得，2x+12-x=20 解这个一元一次方程得，x=8 将x=8代入③得，y=4
解:原方程组可化为：
x + 3y = 2, -2x + 6y = 1. ① ②
由①得 x = 2 – 3y. ③ 把③代入②得： -2（2 – 3y）+ 6y = 1, 解得 y = 把y =
5 12 5 12
.
5 x = 12 3 y= 4
代入③，得
3 4
x=
.
∴
,
.
Hale Waihona Puke 2. 解下列方程组：x y 1 2 3
1
3m-2n =
1
9是关于x，y的二元一次方程，
求m ，n 的值. 解 根据已知条件得： 2m + n = 1 3m – 2n = 1 由①得：n = 1 –2m 把③代入②得： 3m – 2（1 – 2m）= 1 3 解得 ，m = .
7
① ② ③
把m = 3/7 代入③，得： n = 1 –2m.
3.
3x2a+b+2+5y3a-b+1=8
是关于x，y的二元一次方程， 求a，b的值.
解：根据题意：得 2a+b+2=1 3a-b+1=1 1 a= - 5 得： 3 b= - 5
4. 已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值
解：根据题意：得 3m+2n-16=0,
3m-n-1=0. m=2, 解得： n=5.
一般步骤:
(1)将方程组中某一方程变形 成用一个未知数的代数式表示 另一个未知数. (2)将变形后的方程代入另一 个方程消去一个未知数得一 个一元一次方程. (3)解这个一元一次方程求 出一个未知数的值. (4)把求得的未知数的值代入 变形好的方程中,即可得另一 个未知数的值. (5)作结论.
数学思想方法：
2 y 7, 3 x 3x 4 y 19, x 2 y 4, ⑵ ⑶x3 ⑴ y 0. x 2 y 3; 2 x y 3; 2
x 2, y 1.
x 5, y 1.
x 5, y 4.
2 求解二元一次方程组
根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分.已知某次中学 生篮球联赛中，某球队共赛了12场，积20分.求该球队赢了几场？ 输了几场？
分析：问题中的相等关系有： ①赢的场数+输的场数=12 ②赢的得分+输的得分=20 解：设甲球队赢了x场，输了y场，则
x y 12 2 x y 20
“代入消元法”和“加减消元法”
3.解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法. 注意：恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果
4、特别提醒：解方程组时，一方面应从多角度选择解法，
尽可能追求解题策略的多样化；另一方面，应注意观察、 比较，选择最优解法.
二元一次方程组
代 入 消 元
一元一次方程
你知道苹果汁、橙汁的单价吗？
信息一： 已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元； 信息二： 又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元. 解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，
3x 2 y 23 5 x 2 y 33
你会解这个方程组吗？
1 n 7 3 m 7
3 1 1 2 7 7
2x - y = 3 4.若方程组 3x + 2y = 8 的解与方程组 的解相同，求a ，b的值.
解 2x - y = 3 ① ② ③ 3x + 2y = 8
ax + by = 1 bx + 3y = a
由①得：
y = 2x - 3
把③代入②得： 3x + 2（2x – 3）= 8 x = 2. 把x = 2 代入③，得： y = 2x - 3= 2×2 - 3 ∴ x=2 =1
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
例2 解方程组:
6 x 7 y 19 6 x 5 y 17
解: ①－ ②，得：
① ②
(6x+7y)－ (6x－5y)=-19-17 12y=-36 y=-3
把y=-3代入①,得:
6x+7×(-3)=-19
1 x 3
1 x 3 y 3
2x 1 3 y 2 6( )5 2 3
解 原方程组可化为： 3x – 2y = 6, x – y = 2. 由②得： x = 2 + y, ③ ∴ ① ② 把y = 0 代入③，得： x = 2. x=2 y=0
把③代入①得：
3（2 + y）- 2y = 6, y = 0.
3.若方程5x 2m+n+4y
ax+by= ， 2 ax-by=4
3 a= 2 解得 1 b= 2
x=2 代入方程组 将 y=2
x=2 y=2
ax+by=2 得 ax-by=4 ∴ a=
2a+2b=2 2a-2b=4
3 1 ， b= 2 2
当堂检测
1、 解下列方程组： 2（1 – 2x）= 3（y – x） 2（5x – y）- 4（3x – 2y）= 1
3x 2 y 23 5 x 2 y 33
你是怎样解这个方程组的？
解： 由①得
① ②
23 2 y x 3
③
将③代入②得 解得：y=4
23 2 y 5 2 y 33 3
除代入消元， 还有其他方法吗？
把y=4代人③ ，得x=5
x 5 所以原方程组的解为：
y + 3x – 2 = 0,
5x + 2y – 2 = 0. 由①得： y = 2 – 3x,
①
② ③
把③代入②得： 5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0, 解得 x = 2. 答：x 的值是2，y 的值是-4.
小
结
1.解二元一次方程组的基本思想是什么？ 化归（转化）——将“二元”化为“一元” 2.化归（转化）的具体方法有哪些？
怎么求x、y的值呢？
•1.知识目标 • （1）会用代入或加减消元法解二元一次方程组. • （2）了解解二元一次方程组的消元的方法，经历 从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次 方程组中“化未知为已知”的“转化”的思想方法. •2.教学重点 • 熟练运用代入消元法解二元一次方程组. •3.教学难点 • 引导学生主动运用化归思想解决新问题.
x=2 ∴把 代入方程组 y=1 得： ax + by = 1 bx + 3y = a a=1 解得： b = -1
2a + b = 1 ④ 2b + 3 = a ⑤
y=1
5.如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x ，y 的值.
解： 根据已知条件，得： 把x = 2 代入③，得： y = 2 – 3x = -4. ∴ x = 2, y = -4.
x 8 所以原方程组的解是 y4 这样做对吗？
勿 忘 检 验
问题三：
回顾上述解方程组的过程，从中你体会到解方程组的基本思路
是什么？主要步骤有哪些？
基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元” 代入消元法
将方程组中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未 知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未 知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的 方法称为代入消元法（elimination by substitution ）， 简称代入法.
跟踪练习
1. 用加减法解方程组 6x+7y=-19① 6x-5y=17② 应用（ B ）
A.①-②消去y
C. ②- ①消去常数项 3x+2y=13 2.方程组 A.6x=8
B.①-②消去x
D. 以上都不对
3x-2y=5 B.6x=18
消去y后所得的方程是（ B ）
C.6x=5
D.x=18
2.用代入消元法解下列方程组
一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做
加减消元法,简称加减法.
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: