高考数学高三模拟试卷试题压轴押题040
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷004
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（2124选做题）【选修41：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修42：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修44：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修45：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．1 2 3 …m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+ex+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG 于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（•江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an+2an+2an，=2×3an，∴等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an=an﹣1+an+1，∴数列{an}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f （﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（2124选做题）【选修41：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修42：矩阵与变换]22．（•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修44：坐标系与参数方程]23．（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修45：不等式选讲］24．（•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】26．（•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．1 2 3 …m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．25．（•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos ＜＞==．∴二面角B ﹣A1D ﹣A 的正弦值为，则二面角B ﹣A1D ﹣A 的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题四及答案
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题四及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确） 1．设集合A=｛直线｝，B={双曲线}，则集合B A 的元素的个数为 A ．0B ．0或1或2C ．0或1 D ．1或2 2．复数1iz i=+的共轭复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“32b a >是“64b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足12PAPC 的点P 的个数为为A ．3B ．6C ．9D ．127．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos 21=-， 则A ．c,a,b 成等差数列 B.A,B,C 成等比数列 C ．C,A,B 成等差数列 D.c,a,b 成等比数列8．市内某公共汽车站10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是 A ．240 B ．480 C ．600 D ．7209 9． 点P 是双曲线2222221222x y a bC :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为A 31B 31+C 51+ D ．5110． 如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA x =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()y f x =的图像是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11．数列{}n a 中，6,321==a a ，2+n a 是1+⋅n n a a 的个位数，则=2013a . 12．在△ABC 中，若AC AB BC 2,2==,则BA BC ⋅的取值范围为. 13．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间（－1，0）上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是.14．已知是椭圆22+=11612x y 的右焦点，点M 在椭圆上，当||||MF MA +取得最小值时，点M 的坐标为.15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点，则k 的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=．17．（本小题共12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率. 18．（本小题共12分）已知椭圆C1:22143x y +=,抛物线C2:2()2(0)y m px p -=>,且C1、C2的公共弦AB 过椭圆C1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条BOB ．C ．D ．件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题共12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （2）求二面角B AC M --的的余弦值; （3）求三棱锥MAC P -的体积. 20．（本小题共13分）已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．21．（本小题共14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S1，S2，S3的值； (3)求数列{Sn}的通项公式． 参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBACBCBAA11． 812．)8,38(13．4514．)3,2(-15．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：(1))3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+= 由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ (2)因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A因为Bb A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . 因为a>b ，3π=A ，6π=B ，2π=C .所以B C 3=．17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（2）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ=== 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795 18．解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p .此时C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（2）解法一 当C2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝22438kk +.因为AB 既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……②设A 、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝22438k k +.从而223)2(4kk +＝22438kk +. 解得6,62±==k k 即.因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 19．（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎪⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为721 （3）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离1132CA n h n ⋅==∵1,1PC PM ==，∴11111326212P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=20．（1）由e k =得()e e xf x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在上，． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（3）()()()e e x xF x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．21．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++=…………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． ………8分所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(nn g g +-++114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. …………13分又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=nn S . …………14分高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高三数学冲刺押题卷04(2024新题型)(解析版)
高三数学冲刺押题卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2M =，{}23N x x =-<<，则M N ⋂=（）A ．{}04x x ≤≤B ．{}24x x -<≤C ．{}03x x ≤<D ．{}04x x ≤<【答案】C 【分析】化简集合M 结合交集的概念即可得解.【详解】2．已知双曲线123x y a -=+的渐近线方程为y =，则=a （）．A ．1-B ．1C ．3-D ．312n x 12，n 的平均数为4(0)x a >，方差为24s ，则x =（）A ．14B ．512-C ．56D ．524.已知,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．713B ．1713-C ．713-D ．1713【答案】C【分析】根据题意，根据同角的平方关系结合诱导公式分别求得sin π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭与2πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到结果.【详解】因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π5sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π54ππ363α⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则π12cos 313α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以ππππ12sin sin cos 623313ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且2πππ5sin sin πsin 33313ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π2π1257sin sin 63131313αα⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C5．已知函数()22ln f x ax x x =-+存在极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],2-∞【详解】函数()22ln f x ax x x =-+的定义域为(0,)+∞，且()22f x ax x-'=+，由于函数()f x 存在极值点，即()1220f x ax x=-+='在(0,)+∞上有变号零点，由()1220f x ax x =-+='，得2112=-a x x，n 项之积为n ，满足n n 2024A ．10111012B ．10111013C ．40474049D ．40484049为圆12220m n +≠）的交点为P ，则PQ 的最大值是（）A ．6B ．4C ．5+D ．1【答案】A 【分析】由1l 、2l 可得12l l ⊥，且1l 过定点()3,2B -，2l 过定点()1,6C -，则可得点P 在以BC 为直径的圆上，则PQ 的最大值为12AM r r ++.【详解】由1:320l mx ny m n -++=、2:60l nx my m n +-+=，有()0m n n m ⨯+-⨯=，故12l l ⊥，对1l 有32320m n m n --++=，故1l 过定点()3,2B -，对2l 有1660n m m n -⨯+-+=，故2l 过定点()1,6C -，则BC 中点M 为312622--+⎛⎫⎪⎝⎭，，即()2,4M -，BC ==，则2BC =，故点P 在以BC 为直径的圆上，该圆圆心为()2,4M -又Q 在原()22:11A x y -+=，该圆圆心为()1,0A ，半径为1，又5AM ==，则12max 5516PQ r r =++=+=+故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线1l 、2l 的方程得到12l l ⊥，且1l 过定点()3,2B -，2l 过定点()1,6C -，从而确定点P 的轨迹为以BC 为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.8.已知232a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ee 1e b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，343c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c<<【答案】D【解析】2232211a =⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，e e e 111e e b =+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3343311c =⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，令()11xf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x >，则()1ln ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x >令()1ln 1g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x >，则()211111ln 1ln 1111g x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++⋅⋅-=+-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，令()()ln 11x h x x x=+-+，0x >，则()()()22110111x h x x x x '=-=+++在()0,∞+上恒成立，故()()ln 11xh x x x=+-+在()0,∞+上单调递增，又()00h =，故()()ln 101xh x x x=+->+在()0,∞+上恒成立，将()()ln 101x h x x x =+->+中x 换为1x 可得，11ln 1011x x x⎛⎫+-> ⎪⎝⎭+，即11ln 101x x⎛⎫+-> ⎪+⎝⎭，故()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()1ln 1g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性可知()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，故2e31111112e 3⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c <<，故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数1i z a =+，21i z b =+（其中i 是虚数单位，a ，R b ∈），若12z z ⋅为纯虚数，则（）A ．0a b -=B ．0a b +=C ．1ab ≠-D ．1ab ≠【答案】AC【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简12z z ⋅，再根据复数的概念得到条件.【详解】因为1i z a =+，21i z b =+，所以()()()()212i 1i i 1i i i z a a ab b a b a z b b ⋅=+++=++=-++，又12z z ⋅为纯虚数，所以010a b ab -=⎧⎨+≠⎩，即0a b -=且1ab ≠-.故选：AC10．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()22,f x y f x f y x y xy f x +=+'++为()f x 的导函数，且()12f '=，则（）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()27f '-=D ．设()()*n b f n n '=∈N ，则2024202320252b =⨯+6）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体E ABCDF --的（如图2）棱长为2，则（）A ．正八面体E ABCD F --的内切球表面积为8π3B ．正八面体E ABCD F --的外接球体积为8π3C ．若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为D ．若点Q 为棱AF 上的动点，则三棱锥E QBC -的体积为定值3【答案】ACD 【分析】对于A 项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B 项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形ABCD 的中心即为外接球球心，计算即得；对于C 项，通过两个侧面翻折共面后即得,AP CP 共线时AP CP +取最小值；对于D 项，通过发现并证明AF //平面EBC ，将E QBC -的体积进行多次转化成三棱锥E ABC -的体积，计算即得.【详解】对于C 项，如图，因ABE 与 共面，从而得到一个菱形ABC 连接AC 与BE 相交于点P ，此时故C 项正确；对于D 项，易知AF //EC ，因为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知(3,4),(,1),//a b m m a b =-=-+，则m =【答案】3【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案.【详解】因为(3,4),(,1),//a b m m a b =-=-+所以()314m m -+=-，解得3m =.故答案为：314．已知P 为椭圆:193C +=上的一个动点，过P 作圆22:(1)2M x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 的最小值为.【详解】设,,P x y MAB ∠=，由已知MA AP ⊥，由对称性可得AB PM ⊥,所以ππ,22PAB MAB MPA PAB ∠+∠=∠+∠=，则AB θ=，MPA MAB ∠∠θ==，且sin PMθ=，因为PM ===，因为33x -≤≤，所以2PM ≥，当且仅当32x =时等号成立，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员4名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这9名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列及均值()E X ．【答案】（1）421；（2）分布列答案见解析，()209E X =【解析】（1）由题意可得()2222243449C C C C 6184C 12621P A ++===.（2）由题意可知，9人中，种子选手共5人，非种子选手共4人，从这9人中随机抽取4人，其中种子选手的人数为随机变量X ，则X 的可能取值有0、1、2、3、4，则()4449C 10C 126P X ===，()135449C C 101C 63P X ===，()224549C C 102C 21P X ===，()315449C C 203C 63P X ===，()4549C 54C 126P X ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P11261063102120635126因此，()1101020520012341266321631269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16．（15分）如图，四棱锥A BCDE -中，平面ABE ⊥平面BCDE ，底面BCDE 为直角梯形，DE BC ，,,3,1,4CD DE AB AE AB AE DE BC ⊥⊥====.(1)求证：AB ⊥CE ；(2)求二面角C AB E --的正弦值.（2）如图，过点A 作AO ⊥过点O 平行BC 为y 轴，OA 30,0,A ⎛⎫33,B ⎛--17．（15分）已知函数()1e .x f x a x=-(1)讨论()f x 的零点个数;(2)当0a >时，|()|1ln f x x >+，求a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）构造函数()e x g x x =，首先利用导数判断函数()e xg x x =的大致图象，结合分类讨论思想求解可得答案；（2）将原不等式转化为21e 1ln 0a x x -+-->，再利用导数结合虚设零点的方法解不等式即可.【详解】（1）令()e x g x x =，则()()1ex g x x +'=当(,1)x ∞∈--时，()0g x '<，当(1,)x ∞∈-+时，()0g x '>，所以()g x 在(,1)∞--上单调递减，在(1,)∞-+上单调递增，当0a =时，()11e x f x a x x=-=-当0a ≠时，()1e 0x f x a x =-=，得由上图知：（2）当0a >时，显然()e x f x a x=-在(0,)+∞上单调递增，由（1）知，()f x 在区间(0,)+∞上有唯一的零点0x ，即001e 0x a x -=，当()00,x x ∈时，()0f x <所以()q x 在[)0,x ∞+上单调递增，所以()00000()e ln 1ln 10x q x qx a x x x ≥=---=-->，解得0e x <，综上010ex <<，由001e x a x =得011e 10e 11e 1e ex a e x -=>=，综上：a 的取值范围为11e e ,∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：求解函数零点个数的步骤：（1）确定函数定义域；（2）计算导数；（3）求出导数等于0的根；（4）用导数为0的根将定义域分成若干个区间，确定函数的单调区间；（5）结合零点存在性定理判断出零点个数.18．（17分）已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，顶点是坐标原点.O P 是圆22:3O x y +=与C 的一个交点，3.2PF A B =､是C 上的动点，且A B ､在x 轴两侧，直线AB 与圆O 相切，线段OA ､线段OB 分别与圆O 相交于点M N ､.(1)求C 的方程；(2)OMN 的面积是否存在最大值？若存在，求使OMN 的面积取得最大值的直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.（1）由抛物线焦半径公式和圆的方程，列出方程组，求出1p =，得到答案；（2）设出直线AB 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据直线与圆相切得到方程，求出2233m t -=，结合,A B 在x轴两侧，得到不等式，求出m ，33sin 22OMN S AOB ∠=≤ ，得到π2AOB ∠=，从而得到220OA OB m m ⋅=-= ，求出m 的值，进而得到直线方程.【详解】（1）由已知，设抛物线C 的方程为()220y px p =>，由抛物线定义得，抛物线准线方程为2p x =-，2P p PF x =+，故3222p p p x PF =-=-，又P 是抛物线C 与圆22:3O x y +=的一个交点，23222P p y p ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，22233232222P P p p x y p ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2210p p ∴-+=，解方程得1p =.C ∴的方程为22y x =.（2）由（1）知抛物线C 的方程为22y x =，根据已知设直线AB 的方程为x ty m =+，即0x ty m --=.由A B ､是C 上的动点，设221212,,,22y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则211,2y OA y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，222,2y OB y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 直线AB 与圆O相切，=2233m t -=.由22,y x x ty m⎧=⎨=+⎩得2220y ty m --=.224488403m t m m ∴∆=+=->，且12122,2y y t y y m +==-.又A B ､在x 轴两侧，1220y y m ∴=-<.故222123034Δ840320m t m m y y m ⎧-=≥⎪⎪⎪=+->⎨⎪=-<⎪⎪⎩，解得m ≥1133sin sin 2222OMN S OM ON MON AOB AOB =∠=∠=∠≤ 成立，sin 1,0πAOB AOB ∠∠⇔=<<，π2AOB ∠∴=.()2122120.204y y OA OB OA OB y y m m ∴⋅=∴⋅=+=-= ，解得0m =或2m =.再由m ≥2m =.当2m =时，223133m t -==，解方程得3t =±.OMN ∴ 的面积存在最大值，且使OMN 的面积取得最大值的直线AB的方程为20x y -=，即360x -=.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19．（17分）设集合{}121,,,,n A a a a =- ，其中121,2,{(,),,}n a a a n B x x p q p A q A =<<<≥==∈∈ ∣．若对任意的向量1x B ∈ ，存在向量2x B ∈ ，使得12x x ⊥ ，则称A 是“T 集”．(1)设{1,1,2},{1,1,2,3}M N =-=-，判断M ，N 是否为“T 集”．若不是，请说明理由；(2)已知A 是“T 集”．（i ）若A 中的元素由小到大排列成等差数列，求A ；（ii ）若23,n a c ≥=（c 为常数），求有穷数列123,,,,n a a a a 的通项公式．【答案】(1)M 是“T 集”;N 不是“T 集”，理由见解析；(2)（i ）{1,1,3}A =-；（ii ）1,1,2,,k k a c k n-== 【分析】（1）根据“T 集”的定义判断即可；（2）（i ）写出等差数列通项，得到向量2x 的坐标，再分类讨论即可；（ii ）设()()11222,,,x p q x p q ==1 ，利用三角数阵和等比数列定义即可.【详解】（1）M 是“T 集”;N 不是“T 集”.理由：当1(1,1)x =- 或1(1,1)x =- 时，只要2x 横纵坐标相等即可，则满足12x x ⊥ ，当1(1,2)x =- ，则()22,1x = ；当1(2,1)x =- ，则()21,2x = ；当1(1,2)x = ，则()22,1x =- ；当1(2,1)x = ，则()21,2x =- ；综上M 是“T 集”.对于向量1(2,3)x = ，若存在2(,)x m n B =∈ ，使得12x x ⊥ .则230m n +=，故,m n 中必有一个为1-，此时另一个为32或23，显然不符合，则N 不是“T 集”.（2）(i)因为A 中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为1-，公差为2，故21,1k a k k n =-≤≤.则向量2x 的坐标中必含1-，设另一坐标为23(11)t t n -≤≤+，则2(1,23)x t =-- 或2(23,1)x t =-- .所以(23)(1)(21)(23)0n n t -⋅-+--=或(23)(23)(21)(1)0n t n --+-⋅-=，故2323121n t n --=<-或212323n t n --=-，所以2t <或223123t n -=+-，所以1t =或1223t n -=-，所以1t =或21,231t n -=-=即3,2t n ==.此时12(23,21),(1,1)x n n x =--=-- ，不满足12x x ⊥ ;或12(1,3),(3,1)x x ==- ，满足12x x ⊥ ;所以A 只可能为{}113-,,.经检验{}113-,,是“T 集”，所以{1,1,3}A =-.(ii)设()()11222,,,x p q x p q ==1 .由12x x ⊥ ，得12120p p q q +=，由条件可变形为1212p q q p =-.设集合|,,||||C p p A q A p q q ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∈∈>设集合则A 是“T 集”当且仅当C 关于原点对称.因为1-是A 中唯一负数，{}23(,0),,,n C a a a -∞=--- 共n 1-个数，所以(0,)C +∞ 也只有n 1-个数.由于1231n a a a a =<<<< ，所以1221n n n n n n a a a a a a a a --<<<< ，已有n 1-个数.对以下三角数阵：1221n n n n n n a a a a a a a a --<<<< 111231n n n n n a a a a a a -----<<< L3321a a a a <21a a 注意到12111n n a a a a a a ->>> ，所以1321221n n n n a a a a a a a a ---==== .又121(a a c c =<=为常数)，故有穷数列123,,,,n a a a a 为等比数列，且通项公式1,1,2,,k k a c k n -== .【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的的关键是充分利用数列新定义，结合三角数阵，得到1321221n n n n a a a a a a a a ---==== ，再根据等比数列定义即可得到其通项.。
江苏省宿迁市2024高三冲刺(高考数学)苏教版模拟(押题卷)完整试卷
江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）苏教版模拟(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题已知复数满足（其中为虚数单位），则复数（）A．B．C．D．第(3)题若复数满足，则的共轭复数是（）A．B．C．D．第(4)题某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）A．3B．4C．3.5D．4.5第(5)题设x、，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题设复数，则的值是（）A．B．C．D．第(7)题函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（）A．B．C．D．第(8)题已知，是一个随机试验中的两个事件，若，，则等于（）A．3B．4C．5D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（）A．周长为4B．面积的最大值为C．的最小值为D．若面积为2，则点P横坐标为第(2)题如图所示，已知，是的中点，沿直线将翻折成，设直线与面所成角为，二面角的平面角为，则（）A．B．C．D．第(3)题已知圆，圆，则（）A．无论k取何值，圆心始终在直线上B．若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为C．若圆O与圆的公共弦长为，则或D．与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题不等式的解集是_________第(2)题若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是______.第(3)题的内角所对的边分别为，已知，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，．(1)若，判断的单调性；(2)若，且的极值点为，求证：且．第(2)题[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.第(3)题已知函数.(1)求函数的值域；(2)已知锐角的两边长分别是函数的最大值和最小值，且的外接圆半径为，求的面积．第(4)题从①，②，③，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在中，角，，的对边分别为，，，______．（1）求；（2）若，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第(5)题已知函数（）．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题学业水平训练4
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题学业水平训练一、填空题1．已知△ABC 的面积为14(a2＋b2－c2)，其中边a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，则C ＝________．解析：S ＝14(a2＋b2－c2)＝12abcosC ，又S ＝12absinC ，所以sinC ＝cosC ，而C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π42．在△ABC 中，若a2＝bc ，则角A 是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝b2＋c2－bc 2bc ＝（b －c ）2＋bc2bc>0.答案：锐角3．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c ＝________．解析：a ＝4，b ＝43，cosA ＝48＋c2－162×43c＝32，解得c ＝4或c ＝8.答案：4或84．在△ABC 中，已知c ＝2acosB ，则△ABC 是________三角形．解析：由余弦定理及已知条件知a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝c2a，∴a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，亦即a ＝b. 答案：等腰5．在△ABC 中，若A ＝2B ，且2a ＝3b ，则sinB ＝________． 解析：由正弦定理得2sinA ＝3sinB ，又∵A ＝2B ，∴2sin2B ＝3sinB ，∴cosB ＝34，∴sinB ＝74.答案：746．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sinA 的值为________．解析：由余弦定理，求得c ＝7，再由正弦定理sinA ＝asinC c ，可得sinA ＝5314.答案：53147．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围为________．解析：若x 为最大的边，则4＋9－x2>0，解得x2<13；若3为最大的边，则4＋x2－9>0，解得x2>5，故5<x<13，即x 的取值范围是(5，13)．答案：(5，13) 二、解答题8．在△ABC 中，若(a －c ·cosB)·sinB ＝(b －c ·cosA)·sinA ，判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a2＋c2－b22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b2＋c2－a22bc ·a ，整理，得(a2－b2)(a2＋b2＋c2)＝0. ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为(sinA －sinCcosB)·sinB ＝(sinB －sinC ·cosA)·sinA ， ∴sinBcosB ＝sinAcosA ，∴sin2B ＝sin2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．9．在△ABC中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.设a ，b ，c 满足b2＋c2－bc ＝a2和c b ＝12＋3，求A 和tanB 的值．解：由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B ，由正弦定理得12＋3＝c b ＝sinC sinB ＝sin （120°－B ）sinB＝sin120°cosB －cos120°sinB sinB＝32tanB ＋12，∴tanB ＝12. [高考水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，A ＝30°，则满足条件的三角形有________个． 解析：如图，bsinA ＝4×12＝2<a ，且a<b.再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，解得c 有两个值．答案：22．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asinA的值为________．解析：S ＝12bcsinA ＝12×1×c ×32＝3，解出c ＝4.a2＝b2＋c2－2bccosA ＝13， a sinA ＝1332＝2393. 答案：2393二、解答题3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2sinA ＝3cosA. (1)若a2－c2＝b2－mbc ，求实数m 的值．(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由2sinA ＝3cosA 两边平方得： 2sin2A ＝3cosA ，即2cos2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12或－2(舍)，∵a2－c2＝b2－mbc ， ∴m 2＝b2＋c2－a22bc，由余弦定理的推论得 cosA ＝b2＋c2－a22bc，∴m 2＝12，∴m ＝1， (2)∵cosA ＝12，∴sinA ＝32，S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc.又∵a2＝b2＋c2－bc ，∴3＝b2＋c2－bc ＝(b －c)2＋bc ≥bc ，∴S △ABC ＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanBtanC －3(tanB ＋tanC)＝1.(1)求角A 的大小； (2)现给出三个条件： ①a ＝1； ②b ＝2sinB ；③2c －(3＋1)b ＝0.试从中选择两个条件求△ABC 的面积．解：(1)由tanBtanC －3(tanB ＋tanC)＝1， 得tanB ＋tanC 1－tanBtanC ＝－33. 所以tan(B ＋C)＝－33. 则tanA ＝－tan(B ＋C)＝33，所以A ＝π6. (2)方案一：选择①③.∵A ＝30°，a ＝1，2c －(3＋1)b ＝0，所以c ＝3＋12b ，则根据余弦定理，得12＝b2＋(3＋12b)2－2b ·3＋12b ·32， 解得b ＝2，则c ＝6＋22.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择②③.可转化为选择①③解决，类似也可．(注：选择①②不能确定三角形)高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63（4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ）2(,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组3103010x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB∠的最大值等于（A）12（B）34（C）47（D）94（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x xπϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x=对称，则（A）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数（B）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数（D）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷104
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63（4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ）2(,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组3103010x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB∠的最大值等于（A）12（B）34（C）47（D）94（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x xπϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x=对称，则（A）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数（B）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数（D）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷参考答案与试题解析4
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（•江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=+++=++=++，∴（ak•ak+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想评：象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2124题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修41：几何证明选讲】21．（10分）（•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修42：矩阵与变换】22．（10分）（•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修44：坐标系与参数方程】23．（•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修45：不等式选讲】24．（•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g （x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（10分）（•江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．25．（10分）（•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷参考答案与试题解析4
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则 A∪B={1.2.4.6}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的评：四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是5．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f（x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b 的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．11．（5分）（•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.sin2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.答：∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f（x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cbcosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f（x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|xi|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|ti|＜2.i=3.4.5．而f（x）=ti有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．评：20．（16分）（•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=.n∈N*.（1）设bn+1=1+.n∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设bn+1=•.n∈N*.且{an}是等比数列.求a1和b1的值．考数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可得.an+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{an}是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a1.b1解答：解：（1）由题意可知.an+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵an＞0.bn＞0∴从而（*）设等比数列{an}的公比为q.由an＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.an=a1.所以.∵∴数列{bn}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.析：相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强23．（10分）（•江苏）设集合Pn={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故可求f（4）（2）任取偶数x∈pn.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P4={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈pn.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有的奇数的集合因此f（n）等于Qn的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.Pn中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．点评：高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.。
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高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -的共轭复数是（ ） A ． 13i -+ B ．13i +C ．13i -D ．13i -- 2.已知定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-，B ．()()x R f x f x ∀∈-=，C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-，D ．000()()x R f x f x ∃∈-=，3.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n +=的离心率是（ ） A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 4.已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ） A ．5 B ．15 C ．5- D ．15- 5.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A ．B ．C ．D ．6.如右图所示，执行程序框图输出的结果是（ ）A ．111123411+++⋅⋅⋅+B ．111124622+++⋅⋅⋅+ C ．111123410+++⋅⋅⋅+ D ． 111124620+++⋅⋅⋅+7.已知g(x)是R 上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数()()⎩⎨⎧=x g x x f 300>≤x x若f(2－x2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(－2，1)8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为na ，则233445201520169999a a a a a a a a +++= （ ）A ．20122013B ．20132012C ．20142015D ．201420139.要得到函数()sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()'f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变） B ．向右平移6π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变） C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变） D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变） 10.在双曲线22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)中，222c a b =+，直线2a x c=-与双曲线的两条渐近线交于A ，B 两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ． (1，2)C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122， D ．(2，＋∞)11.从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m , 下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A ．2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++ B ．(1)(12)(13)(111)x x x x ++++ C ．2311(1)(12)(13)(111)x x x x ++++ D ．223211(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ 12.已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g eg x x -'=-+，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ） A.(],2-∞ B. (],3-∞ C.[)1,+∞ D.[)0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表 气温（C ） 18 13 10 1- 用电量（度） 24 34 38 64由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，预测当气温为4-C 时，用电量的度数是． 14.设非负实数y x ,满足：⎩⎨⎧≤+-≥521y x x y ，（2,1）是目标函数y ax z 3+=（)0>a 取最大值的最优解，则a 的取值范围是．15.函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（46x -≤≤）的所有零点之和为．16.已知数列3n n a =，记数列{n a }的前n 项和为n T ，若对任意的 n ∈N* ，3()362n T k n +≥-恒成立，则实数 k 的取值范围．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小； （2）若25,2a b ==，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12 分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。
某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,ξη分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .19.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD 3=． （1）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（2）若M 为棱C P 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（3）若二面角Q C M -B -大小为30，求Q M 的长．20.（本小题满分12 分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F(1,0),且（1-，22）在椭圆C 上。
（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过点F,且与椭圆C 交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q,使得716QA QB •=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分12 分）已知函数2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且（1）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 单调区间；（3）若存在[]1,21,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．22.(本小题满分10 分)选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F ．（1）判断BE 是否平分∠ABC ，并说明理由．（2）若AE=6，BE=8，求EF 的长．23.(本小题满分10 分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线221:13x C y +=，曲线2:C ()262222x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 （1）写出曲线1C 的参数方程与曲线2C 的普通方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．24.(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲设()11f x x x =-++ .（1）求()2f x x ≤+的解集；（2）若不等式121()a a f x a+--≥，对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围. 高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.2106.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||29.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁UA={2}，故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故选：D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象.故选：C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查.5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可.【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.故选：C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围.【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题.7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案.【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断.【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确.故选：D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法.9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可.【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=.故选：A.【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1【分析】根据记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B.【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题.二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 6 .【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i 的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.故答案为：6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以.故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[].【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围.【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）.联立，解得B（2，1）.在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）.要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1.∴实数a的取值范围是.解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：.【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答）.【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张.【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，].【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围.【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2.当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，].【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P （m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率.【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论.【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设BP′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=.若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出.（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明.【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有.∵b3=6+b2，∴a3=8.∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则=4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2.∴（n∈N*）.又由a1a2a3…an=（n∈N*）得：，，∴bn=n（n+1）（n∈N*）.（Ⅱ）（i）∵cn===.∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法.本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案.【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=.在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围.【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0.综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0.【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b..【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）.（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立.所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.。