线面平行的判定定理
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
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17
二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线平行于面的判定定理
线平行于面的判定定理
线平行于面的判定定理是指,若一条线与一个平面相交,则这条线与该平面平行的充要条件是,这条线在该平面内不会产生交点。
也就是说,如果一条线在平面内有交点,那么它一定不会与这个平面平行。
反之,如果一条线在平面内没有交点,那么它就可能与这个平面平行。
这条定理常用于几何中的判定问题,可以帮助我们快速判断一条线是否与平面平行。
同时,这条定理也可以帮助我们判断两条线是否平行,即当两条线都与同一个平面相交,且都不会在该平面内产生交点时,这两条线就是平行的。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之邯郸勺丸创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行的判定定理的证明
线面平行的判定定理的证明今天咱们来聊聊一个有趣的数学话题，那就是线面平行的判定定理。
乍一听，这个名字是不是听起来有点高大上？其实嘛，咱们用简单的语言来拆开这个大馅饼，绝对让你听得懂，还能轻松记住！好，开门见山，咱们就直接上干货。
线面平行，这可是几何中一个很重要的概念。
就好比你在街上走，看到两条平行的马路，心里不禁感叹，哎呀，这路真宽敞，真是两条不打交道的平行线。
再回到数学上，线面平行的意思就是一条线和一个面永远不相交。
是不是很简单呢？咱们接下来就来说说，怎样判定它们到底平行不平行。
我们得明白，判定线面平行的基本方法就是看线的方向和面上法线的关系。
法线，听起来是不是像魔法师的法杖？其实它就是一个与面垂直的线。
你想象一下，如果这个法线和我们的线方向一致，那就说明这条线跟这个面是平行的。
如果法线和线的方向不一样，那就得好好琢磨琢磨了。
就像两个人站在一个舞台上，一个人往左走，另一个人往右走，永远都碰不到对方，哈哈，真有意思！线面平行的一个小秘密就是，它们的关系可以用角度来判断。
如果线和面之间的夹角是零度，嘿，那毫无疑问，它们就是平行的。
就像你和好朋友在同一条路上并肩而行，那种默契，真是太棒了！所以，当你看到一条线与一个面形成一个零度的角度时，就可以放心大胆地说，它们是平行的，嘿嘿。
还有一种情况，也很有趣。
假如线和面之间的夹角是90度，这说明这条线跟面是垂直的。
哎，真是个好消息，对吧？因为一条线如果和面垂直，那它就不会和面上的任何点相交，自然也就不可能是平行的。
就好比一棵树长得很高，树影洒在地上，树干和地面呈90度，那这树影就绝对不会跟树干相交，真是个绝妙的比喻。
我们还得聊聊另外一个有趣的方面。
假如有两条平行线，它们和同一个面平行，那可就不得了了。
这就像你和你的朋友一起跑步，结果你们的速度一样快，那你们就一直在同一个水平线上，永远不相交。
数学上也是如此，如果两条线都平行于同一个面，那么它们就是绝对平行的！这就像是数学里的铁打的友谊，不离不弃！说到这，可能有小伙伴会问，万一不巧，这条线和这个面有个交点怎么办？别着急，咱们还有办法。
线面平行判定定理的证明
线面平行判定定理的证明线面平行判定定理，听上去就像是个数学家茶余饭后的闲聊，但实际上这可是个重要的知识点。
想象一下，你在街上走，看到两条平行的道路，怎么知道它们真的平行呢？别急，这就得用到我们今天要聊的这个定理。
咱们先来捋一捋，什么是线面平行判定定理。
简单来说，它是说一条直线与一个平面平行的条件。
很简单吧？如果那条直线和这个平面上的每一条直线都不相交，那么这条直线和这个平面就平行。
是不是听起来像是在描述两个人的关系，不愿意见面，互不干扰，简简单单，特别清晰。
我们来想象一下，假如有一条直线，它从某个点开始，朝着无限远的地方延伸，仿佛在说“我可不想和你有交集哦”。
然后，你有一个平面，像是张大桌子，上面铺着各种各样的东西。
这里有个奇妙的地方，如果这条直线在任何情况下都不会和这个桌面上的东西碰面，哇，那这条线简直是个“孤独的灵魂”。
它可以一直向前走，像是喜欢独来独往的朋友，无需担心被打扰。
再来聊聊这个定理的证明。
说实话，证明这个定理有点像过关斩将，得一步步来。
我们可以从直线和平面的定义开始，慢慢推导，像是解谜一样，挺有意思的。
直线和平面之间的关系就像是两条永远不会交错的轨道，彼此平行，彼此独立。
就算我们把直线放到平面上，依然不会影响它们的独立性。
想象一下你在画画，画一条直线，接着在旁边画个平面。
你会发现，无论你怎么移动这个平面，直线始终不为所动，毫不在意，像个高冷的明星。
这个过程真是妙不可言。
再进一步，考虑到如果有任何一条直线与这条直线交于一点，那这个点就像是电影里的“转折点”，一切都变得复杂。
但如果这条线始终保持独立，所有的交集就像过气的朋友，慢慢消失了。
我们可以用几何图形来辅助理解，想象一个三维空间，那里有着直线和一个平面。
在空间里，直线就像一根杆子，平面则像一块玻璃，直线通过玻璃的高度，保持不变，越过这个平面，没有任何接触。
很神奇，对吧？这就是我们所说的平行。
线面平行判定定理不仅在数学上有用，在实际生活中也是满满的哲理。
线面平行的判定定理
相关术语解析
01
02
03
直线
在几何学中，直线是由无 数个点组成，每两点之间 都有且只有一条直线段相 连。
平面
平面是一个无限延展的二 维空间，可以看作是由无 数条直线组成。
平行
在几何学中，两条直线或 两个平面如果永不相交， 则称它们平行。
交。
若两个平面平行，则其中一个平 面内的任意一条直线都与另一个
平面平行。
对于三维空间中的两个平行平面， 它们之间的距离是恒定的，且任 意一条与这两个平面平行的直线
都与它们等距。
与其他几何性质的关联探讨
线面平行与面面平行的关系
01
若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面都与原
平面平行。
线面平行与线线平行的关系
若一直线在某一平面内，则该直线与 该平面不平行。
2023
PART 03
判定定理证明过程
REPORTING
已知条件分析
01
已知一条直线$l$和一个平面 $alpha$，且直线$l$不在平面 $alpha$内。
02
要证明直线$l$与平面$alpha$平行， 需要找到一个平面$beta$，使得 $beta$过直线$l$且与平面 $alpha$相交于一条直线$m$。
一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行
若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行。
特殊情况讨论
重合情况
若一直线与一平面重合，或两平面重 合，则它们不平行。
直线在平面内情况
特殊情况下的判定
在某些特殊情况下，如直线与平面的位置 关系不明确或难以判断时，可以通过构造 辅助线或使用其他几何性质进行判定。
线面平行的判定定理的题目
线面平行的判定定理的题目
《线面平行定理》：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个平面一
定是相互平行的。
证明：
设有两个平面M和N，其间有一条直线mC，端点分别位于两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么线mC一定是它们的一个公共边。
令mC上有一点P，P点一定在两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么这两个平面一定有一个法向量，令它们的方向分别为a，b，由于点P
位于两个平面上，那么其到两平面的距离分别为d1、d2，由此可得出d1-
d2=0,即两个平面的法向量的积为0，即a×b=0。
综上所述，可以得出结论：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个
平面一定是相互平行的。
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P
R Q
则l //
()
（5）如果a、b是两条直线，且 a // b ，那么a
平行于经过b的任何平面.
()
2、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中， E为DD1的中点。试判断BD1与平面AEC的位置关 系，并说明理由.
D1
C1
A1 E D
A
B1
F
C
B
1、如图，已知在三棱柱ABC——A1B1C1中， D是AC的中点.
定 (3) 通过 “比例线段”
D
C
A
A
B
E
F
B
C
AE EB
AF FC
EF
// BC
A
E
F
B
C
复习回顾：
2.空间中两个不重合的平面有哪些位置关系？
β α
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平
行,则这两个平面平行.
即：a b
a α Ab
a∩ b=A a// β b// β
//β 线不在多β，重在相交
简述为：线面平行面面平行
3.两个平面平行时为什么不用其中一个平面 内的两条平行直线与另一个平面平行?
a
b
α
β
三.课堂过关
1.如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中， E、F、G分别是棱BC、C1D1、 B1C1的中点。 求证：面EFG//平面BDD1B1.
分析：由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 A1
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
求证: MN // 平面AA1B1B .
D
C
N
A F
D1
B
M E
C1
A1
B1
5、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， M为PB的中点. 求证：PD//平面MAC.
PMBiblioteka BOAC D
如图,在正四棱锥P-ABCD中,
M、N分别在PA、 BD上, P
并且PM:PA=BN:BD=1:3.
求证:MN//平面PBC；
M
D
C
N
A
B
P
M
D
N
A
B
充分利用PA与MN确 定的平面！
C
E
A
构建平行四边形！
P
M
E
D
C
N
F
B
(1) 通过 “同位角、内错角、同旁内角”
(2) 通过 “三角形中位线”、平行四边形判
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；A
H E
D
B
G
F C
课堂练习
1.判断下列命题是否正确：
（1）一条直线平行于一个平面， 这条直线就
与这个平面内的任意直线平行。
()
（2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个
公共点.
(✓)
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平
面平行。
()
（4）若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，
D1
F
C1
G
B1
同理GE ∥平面BDD1B1
∵FG∩GE＝G
D
故得面EFG//平面BDD1B1 A
C E B
变式2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P,Q, R, 分别为A1A,AB,AD的中点 。 求证：平面PQR∥平面CB1D1.
分析：连结A1B， PQ∥ A1B A1B ∥CD1 故PQ∥CD1 同理可得，……
§5 平行关系
5.1平行关系的判定（1）
知识探究(一):直线与平面的位置关系 问题：直线与平面的位置关系有哪几种？
三种位置关系的图形语言、符号语言：
直线a在平面内
a
直线a与平面相交
a
A
直线a与平面平行
a
记为a∩=A
记为a//
知识探究（二）直线与一个平面平行的定义
如果一条直线和一个平面没有公共点， 那么我们说这条直线和这个平面平行.
知识探究（三）：直线与平面平行的判断定理 1、直观感知
四：直线与平面平行的判断定理
3、抽象概括 直线和平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行. ．
a
b a//
即：a
b b//a
a //
理论迁移
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面？