113多边形及其内角和

A2 P A3 (2)
D
C
D
F
E
A
B
A
C
A B
多了什么？如何处理？
E D
C B
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因 此n边形的内角和为
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
D A
B
C
D
E
360°÷30°＝12。
例题、已知两个多边形的内角和为1440°，且 两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分 别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： （x-2）·180+（ y -2）·180=1440
x : y=1 : 3 解之得 x =3
y =9 答：它们的边数分别是3和9。
1080°
C
三角形的三个外角 之和为3600
（2）四边形的外角和等于多少度？
C
3
4
D
B
2
1
A
（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角 和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此， 外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
（2）你是怎样求的？
(1)从顶点A可以画几条对
D
角线？分别是哪几条？
E
(2)这样五边形被分成了
C 几个三角形？
A
B
(3)五边形的内角和是多少
度？
你来探索六边形的内角和，你一定行！
A
F
B
被分得三角形个数 4
E
C
六边形的内角和 4×180°
D
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
多边形的
边数
3 4 5 6 7…
n
分成的三
角形个数 1
2
3
4 5 … n-2
多边形的 内角和
180°
180°
×2
180°
×3
180°
×4
180°
×5
…
(n-2) ×180
想一想：从表中你能发现什么？
n边形的内角和等于(n－2)．180°
想一想
你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？
An
A5
A1
P
A4
A2
A3
(1)
An
A5
A1
A4
❖ ３、三角形的内角和是_1_8_0_0_度．
❖ ４、你能够利用三角形的内角和求四边形
的内角和吗？试试看？
A
D
四边形的内角和为360０
思路：多边形问题转化
为三角形问题来解决．
B
C
113多边形及其 内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A B
C
（1）四边形ABCD的内角 D 和是多少？
D 对角线
113多边形及其内角和
B 7
2
A 1
6
内角 内角：多边形相邻两边组成的角
5
10
C8 3
9 4
D
外角
外角：多边形的边与它的邻边 的延长线组成的角。
113多边形及其内角和
✓你能说出这两幅图形的异同点吗？
（1）
（2）
ü 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形 就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
113多边形及其内角和
15
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度数是 144°
。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
都是n°，则n= 135° 。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内12角0都°相等，则
这个六边形的每个内角是
。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
A
F C
A B
E D
C B
多了什么？如何处理？
这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
（n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
例1：求八边形的内角和的度数。
解：（n－2）×180°＝（8－2）×180° ＝1080°
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360° 而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°， 所以这个正 多边形的边数等于
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
113多边
形及其 内（1角）什和么是三角形的外角？外角有什么性
质？
（2）类似地，在多边形中找出
外角
D
E
多边形的一边Hale Waihona Puke 另一边的延长线的夹角，叫做多边
A
形的外角。
C
B
F
做一做
（1）如图，求△ABC的三个外角的和。
A
2
B3
1
观察下列图案
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
长方形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
八边形
113多边形及其内角和
三角形 长方形 四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的 定义吗？ 在平面内，由若干条不在同一条直线 上的线段首尾顺次相连组成的封闭图
八边形 形叫做多边形。
了解一下
可表示为：五边形ABCDE或
五边形DCBAE
A
内角
顶点
E
B
边 C
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 点的线段。
与∠D有什么关系呢？为什么？
问题
1A
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持
5
跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 B
E
小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并
2
4
思考如下几个问题:
CD
3
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
113多边形及 其内角和
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
在平面内，内角都相等，边也都 相等的多边形叫做正多边形
❖ 1、在平面内，_由_一_些__线_段_首__尾_顺__次_相_接__组_成_的__图_形 叫做多边形。
❖ ２、在多边形中连接_多__边_形_不__相_邻_的__两_个__顶_点_的_线段 的线段叫做多边形的对角线。
113多边形及其内 角和
在△ABC中，
（1）∠C = 90º,∠B=30º, 则 ∠A =
º；
（2）∠A = 100º,∠B=∠C , 则 ∠B =
º；
（3）若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，
则相应外角之比为
．
（4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最
多有 个直角，最多有
个钝角．
§11.3多边形及其内角 和