2017数学建模 计算机仿真分析

可以说计算机仿真的适用于几乎所有的社会生活领域！
计算机仿真的核心思想方法

过程明确，机理清晰 连续问题离散化 蒙特卡洛方法 遍历
产生模拟随机数的计算机命令
在MATLAB软件中，可以直接产生满足各种分布的 随机数，命令如下： 1．产生m×n阶［a，b］上均匀分布U（a，b）的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b) 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道 （也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的 概率小，就只好用U（a，b）来模拟它． 2．产生m×n阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵： rand (m, n)
计算机仿真的分类




物理系统仿真——电系统、机械系统等的仿真，大坝 承受力仿真，原子弹爆炸威力…… 系统演变仿真——河堤垮塌后洪水蔓延程度仿真，海 啸蔓延程度仿真，种群生长仿真，战争推演仿真…… 蒙特卡洛方法——不规则图形的面积、体积，圆周率 的计算，电脑围棋……核心：生成随机数，……被列 为20世纪最伟大的10大算法之首。 离散事件仿真——企业经营策略…… 有些仿真需要一些设备工具甚至人的参与，这里不涉 及此类，只考虑与完全可用数学推演描述的问题。
则第i天的总费用（元）为 f i 0.75ki xi 1.8qi yi 75zi
150天的总费用（元）为
f fi
i 1
150
然而以此总费用最小为目标函数是不妥的，应当 将总费用分摊到每辆销售的自行车上，即单位销 量的费用更加合适，所以评价函数为
F
fห้องสมุดไป่ตู้
s
i 1
150
i
图 计 算 机 订 货 决 策 仿 真 流 程 图
计算机仿真
一个问题

我们做一个实验：把 一个硬币掷一万次， 统计两个面出现的次 数。这样做很简单但 却需要大量时间，有 没有一种较快的办法 把这个实验完成呢？
利用计算机可以实现这一想法



生成一个在 [ 0, 1] 中的随机数a， 如果a<0.5，则认为是掷硬币出现了正面， 给计数变量k1增加1； 如果，则认为是掷硬币出现了反面，给 计数变量k2增加1。 将该过程循环一万次即可。
3. 某设备上安装有4只型号规格完全相同的电子管，已知电 子管寿命服从1000～2000h之间的均匀分布．电子管损坏时 有两种维修方案，一是每次更换损坏的那只；二是当其中1 只损坏时4只同时更换．已知更换时间为换1只时需1h，4只 同时换为2h．更换时机器因停止运转每小时的损失为20元， 又每只电子管价格10元，试用模拟方法确定哪一个方案经济 合理？
4、一个边长为10米的正方体空间 内有一个发声物体。在这个正方体 的A(x1,x2),B(y1,y2),C(z1,z2)三处安装 了三个时间完全同步声音接受转置。 三个装置分别在t1,t2,t3时刻接受到 了同一声音信号。请建立模型求出 发声物体的位置。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布 指数分布的均值为1/0.1=10． 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10 个单位时间到达1个顾客. 顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模 拟．
5．产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵：
poissrnd ( ,m, n)
产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand
3.产生 m n 阶均值为 ，方差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布． •机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、 各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态 分布．
计算机仿真案例4



某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当 库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货Q辆， 如果某一天的需求量越过了库存量，商店就有销售损失和信 誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增加。 该问题的已知条件是： （1）从发出订货到收到货物需隔三天； （2）每辆自行车保管费为0.75元/天，每辆自行车的缺货损 失为1.8元/天，每次的订货费为75元； （3）每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布； （4）原始库存为115辆，并假设第一天没有发出订货。 若现在已有如下表所示的五种库存策略，请选择一种总费用 最少的策略。
Qi ( x i x 0 ) x0 )2 ( yi y0 )2 Qi ( y i x 0 ) x0 ) ( yi y0 )
2 2
0 0
2、数值计算方法 3、计算机仿真： 离散化，遍历！
计算机仿真案例2

例2 （赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开 往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从 A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为 2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ 站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时 刻的频率分布如下表所示。问他能赶上火车的概率 有多大？
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵：exprnd ( ,m, n )
e t x 0 •若连续型随机变量X的概率密度函数为 f ( x) x0 0 其中 >0为常数，则称X服从参数为 的指数分布． 1 •指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障 率为常数时零件的寿命都服从指数分布． •指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用． •注意：MATLAB 中，产生参数为 1 exprnd( ) 的指数分布的命令为
评价函数的设置方法





第i天销售量为 s i 辆 缺货量为 q i 辆 销售完后的库存量为 k i 辆 0-1变量 x i 表示第i天销售完后是否有库存，若库存量大 于等于0，则 x i ＝1，否则为0； 用0-1变量 yi 表示第i天销售是否会缺货，如果缺货量大 于0，则 yi ＝1； 用0-1变量 z i 表示第i天是否要订货。
上面就是一个计算机仿真最简单的例子！
计算机仿真的定义


计算机仿真就是根据已知的信息和知识， 利用计算机模拟现实情况或系统演变过 程，发现新的知识和规律，从而解决问 题的一种方法。 计算机仿真被称为独立于理论研究和实 验研究的第三种方法。
计算机仿真的特点




代价小，时间短，可重复，参数设置灵 活 是一种独特的“数”学模型。 是一种求解许多实际问题和数学模型的 简单方法，由于它不需要太多的数学知 识，非常适合各类工程技术人员。 计算机仿真仿的是“象”、是“数”， 要忽略许多具体的事物特征。
1:00 0.7 1:05 0.2 1:10 0.1 到达时刻 频率 1:28 0.3 1:30 0.4 1:32 0.2 1:34 0.1
出发时刻 频率
分析：这个问题用概率论的方法求解十分困难， 它涉及此人到达时刻、火车离开A站的时刻、火 车运行时间几个随机变量。
我们可以用计算机仿真的方法来解决。 仿真过程： 1、生成火车的发车时间、运行时间，从而达得到 其到达B站的时间。 2、生成此人达到B站的时间。 3、如果此人到达Ｂ站的时间早于火车到达时间， 则算赶上火车一次。 4、将上述过程重复一万次，统计赶上火车的频率 作为所求概率。
计算机仿真案例3
追击问题
我缉私雷达发现前方（南）c km处有一艘走私船正 以速度a沿直线向东匀速行驶，缉私艇立即以最大速度b 追赶，若用雷达进行跟踪，缉私艇的瞬时速度方向始终 指向走私船，是求缉私艇追逐路线和追赶上的时间。 分析 此问题可以建立微分方程模型，这里我们建立差分方 程模型，用仿真的方法求解。
P( X k )
k e
k!
, k 0,1, 2,
,
反之亦然．
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布

(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为0.1的泊松分布 (1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均 10个单位时间到达1个顾客. (2)指一个单位时间内平均到达0.1个顾客
3
实验作业
1．编一个福利彩票电脑选号的程序．
2. 某报童以每份 0.03 元的价格买进报纸,以 0.05 元的价格出售. 根据 长期统计,报纸每天的销售量及百分率为 200 210 220 230 240 250 销售量 0.10 0.20 0.40 0.15 0.10 0.05 百分率 已知当天销售不出去的报纸，将以每份 0.02 元的价格退还报社.试用模 拟方法确定报童每天买进多少份报纸,能使平均总收入最大?
计算机仿真案例1
模型建立：由于本题要求使从搅拌中心到各个工地运输混凝土 的总的吨公里数最少，所以，该问题的目标函数是
min f ( x 0 , y 0 ) Q i ( x i x 0 ) 2 ( y i y 0 ) 2
i 1
n
求解方法：
1、高数中的方法
n f ( x 0 , y 0 ) x0 i 1 (( x i n f ( x , y ) 0 0 y0 i 1 (( x i
方案编号 方案1 方案2 方案3 方案4
订货起点：P辆 125 125 150 175
订货量：Q 150 250 250 250
方案5
175
300
我们以150天为例，依次对这五种方案进行仿真， 最后比较个方案的总费用，从而得出决策。
计算机仿真时的工作流程是早上到货、 全天销售、晚上订货。输入一下常数和初始 数据后，以一天为时间步长进行仿真。 首先检查这一天是否为预订到货日期，如果是，则 原有库存量加Q，并把到货量清为零；如果不是，则库 存量不变。 接着仿真随机需求量，这可用计算机语言这的随机 函数得到。如果库存量大于需求量，则新的库存量减去 需求量；反之，则新的库存量变为零，并且要在总费用 上加上缺货损失。 然后检查实际库存量加上预订到货量是否小于重 新订货点P，如果是，则需要重新订货，这是就加一 次订货费。 如此重复运行150天，即可得到所需费用总值。