八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
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分析：
这一题在上一章中，作为难题，需要证3 次全等．而到这一章，由已知条件，我们可 以知道DE是线段BC的中垂线，根据例2的变 式，我们立刻想到连接BE，EC，它们必然 相等．再运用角平分线的性质定理，EF＝ EG，要证BF＝CG，最后用一次全等即可．
本题的书写过程请同学们自己完成，如果你有兴趣，可后台回复我，我给你批改．
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
写
最近，我们学习了《线段，角的轴对称性》，同学们对其书写格式还是十分陌生，或者在书写时，
习惯性用全等的思路．诚然，这样的做法是不错的，但是有时候会显得非常繁琐．而我们一旦学会灵活
在 运用中垂线和角平分线的性质和判定定理，许多问题就能事半功倍！
前
面wk.baidu.com
这次，我们先从一个最经典的“筝形”入手．在不给条件的情况下，自添条件和结论，将四个 定理的书写进行一次复习．
本讲思考题：
在△ABC中，BC＝10，AB的中垂线与AC的中垂线交BC于点D，E，若DE＝4，求AD＋ AE的长．
反思：
这一章的学习过程是煎熬的，有些同学十分纳闷，为什么我们刚学完全等，却不能运用 呢？其实，我们先学的全等，是我们解题的压箱底招数，而有关中垂线和角平分线的内容却是 解决问题的捷径。
打个比方，全等就看作我们平时解锁手机的密码，而中垂线角平分线相关内容就是你的指 纹，平时用指纹，指纹不灵的时候，你再用密码也不迟嘛。
解答：
如图： 作PM⊥AD于M， PN⊥BC于N，PQ⊥AE于Q ∵BP平分∠DBC
PM⊥AD，PN⊥BC ∴PM＝PN (角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵CP平分∠BCE
PN⊥BC，PQ⊥AE ∴PN＝PQ ∴PM＝PQ ∵PM⊥AD，PQ⊥AE ∴点P在∠DAE的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)
变式： 已知，在△ABC中，AB，AC的中垂线l1，l2相交于点O，求证：点O在BC的中垂线上．
分析：
这里先给出了2条中垂线，那么我们就要用 它的性质定理，显然，我们应该连接OA，OB， OC，证明它们相等．而最后要证点O在中垂线 上，再用一次判定定理即可．
解答：
连接OA，OB，OC ∵l1垂直平分AB ∴OA＝OB ∵l2垂直平分AC ∴OA＝OC ∴OB＝OC ∴点O在BC的中垂线上
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
2、中垂线的判定定理：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上． ∵AC＝BC ∴点C在线段AB的中垂线上
3、 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相 等书写格式1： ∵OC平分∠AOB
小结：
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
变式： 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC 平分线BP交于点P，若∠BPC的40°，则∠CAP ＝_____°
分析：
本题与例1类似，只不过由原先的2个外角平分 线相交转为一内角，一外角角平分线相交，所以辅 助线也应该一致．
解答：
如图： 作PE⊥AB交BA延长线于E， PF⊥AC于F，PQ⊥BD于 Q ∵BP平分∠ABC
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
CA⊥OA CB⊥OB ∴CA＝CB 书写格式2： ∵OC平分∠ACB OA⊥CA OB⊥CB ∴OA＝OB
4、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． ∵点C在∠AOB内
CA＝CB CA⊥OA CB⊥OB ∴OC平分∠AOB
5.补充结论： ∵OA＝OB ∴点O在线段AB的中垂线上 ∵CA＝CB ∴点C在线段AB的中垂线上 ∴OC垂直平分AB
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
例2： 如图，AB＝AC，DB＝DC，点P在AD上，求证：BP＝CP
分析：
本题若是放在全等证明中，相信同学们一定没有 问题，先证△ABD≌△ACD，再证△ABP≌△ACP即可． 但是，我们可以根据线段相等，考虑到点A，点D的位 置，再证明PB与PC的数量关系，从而接着去证．
解答：
∵AB＝AC， ∴点A 在线段BC的中垂线上， ∵DB＝DC， ∴点D在线段BC的中垂线上， ∴AD是线段BC的中垂线 ∵点P在AD上 ∴BP＝CP
这一题在上一章中，作为难题，需要证3 次全等．而到这一章，由已知条件，我们可 以知道DE是线段BC的中垂线，根据例2的变 式，我们立刻想到连接BE，EC，它们必然 相等．再运用角平分线的性质定理，EF＝ EG，要证BF＝CG，最后用一次全等即可．
本题的书写过程请同学们自己完成，如果你有兴趣，可后台回复我，我给你批改．
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
写
最近，我们学习了《线段，角的轴对称性》，同学们对其书写格式还是十分陌生，或者在书写时，
习惯性用全等的思路．诚然，这样的做法是不错的，但是有时候会显得非常繁琐．而我们一旦学会灵活
在 运用中垂线和角平分线的性质和判定定理，许多问题就能事半功倍！
前
面wk.baidu.com
这次，我们先从一个最经典的“筝形”入手．在不给条件的情况下，自添条件和结论，将四个 定理的书写进行一次复习．
本讲思考题：
在△ABC中，BC＝10，AB的中垂线与AC的中垂线交BC于点D，E，若DE＝4，求AD＋ AE的长．
反思：
这一章的学习过程是煎熬的，有些同学十分纳闷，为什么我们刚学完全等，却不能运用 呢？其实，我们先学的全等，是我们解题的压箱底招数，而有关中垂线和角平分线的内容却是 解决问题的捷径。
打个比方，全等就看作我们平时解锁手机的密码，而中垂线角平分线相关内容就是你的指 纹，平时用指纹，指纹不灵的时候，你再用密码也不迟嘛。
解答：
如图： 作PM⊥AD于M， PN⊥BC于N，PQ⊥AE于Q ∵BP平分∠DBC
PM⊥AD，PN⊥BC ∴PM＝PN (角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵CP平分∠BCE
PN⊥BC，PQ⊥AE ∴PN＝PQ ∴PM＝PQ ∵PM⊥AD，PQ⊥AE ∴点P在∠DAE的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)
变式： 已知，在△ABC中，AB，AC的中垂线l1，l2相交于点O，求证：点O在BC的中垂线上．
分析：
这里先给出了2条中垂线，那么我们就要用 它的性质定理，显然，我们应该连接OA，OB， OC，证明它们相等．而最后要证点O在中垂线 上，再用一次判定定理即可．
解答：
连接OA，OB，OC ∵l1垂直平分AB ∴OA＝OB ∵l2垂直平分AC ∴OA＝OC ∴OB＝OC ∴点O在BC的中垂线上
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
2、中垂线的判定定理：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上． ∵AC＝BC ∴点C在线段AB的中垂线上
3、 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相 等书写格式1： ∵OC平分∠AOB
小结：
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
变式： 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC 平分线BP交于点P，若∠BPC的40°，则∠CAP ＝_____°
分析：
本题与例1类似，只不过由原先的2个外角平分 线相交转为一内角，一外角角平分线相交，所以辅 助线也应该一致．
解答：
如图： 作PE⊥AB交BA延长线于E， PF⊥AC于F，PQ⊥BD于 Q ∵BP平分∠ABC
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
CA⊥OA CB⊥OB ∴CA＝CB 书写格式2： ∵OC平分∠ACB OA⊥CA OB⊥CB ∴OA＝OB
4、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． ∵点C在∠AOB内
CA＝CB CA⊥OA CB⊥OB ∴OC平分∠AOB
5.补充结论： ∵OA＝OB ∴点O在线段AB的中垂线上 ∵CA＝CB ∴点C在线段AB的中垂线上 ∴OC垂直平分AB
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
例2： 如图，AB＝AC，DB＝DC，点P在AD上，求证：BP＝CP
分析：
本题若是放在全等证明中，相信同学们一定没有 问题，先证△ABD≌△ACD，再证△ABP≌△ACP即可． 但是，我们可以根据线段相等，考虑到点A，点D的位 置，再证明PB与PC的数量关系，从而接着去证．
解答：
∵AB＝AC， ∴点A 在线段BC的中垂线上， ∵DB＝DC， ∴点D在线段BC的中垂线上， ∴AD是线段BC的中垂线 ∵点P在AD上 ∴BP＝CP