2006-2007第一学期概率论与随机过程试题卷

上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸密 封 装 订 线)(=P A P 至少有一个发生的概率为 为λ的泊松上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 装 订 线P)A(=P 至少有一个发生的概率为上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸密 装 订 线西安邮电学院试卷标准答案（A 卷）2006/2007学年第一学期 课程 概率论与随机过程 试用班级电子、光信息、科技、网络（工程）、自动、安全一、填空题(共8小题，每小题满分2分，共16分)2111311.; 2.; 3.1; 4.0; 5.12; 6.;7.;8.{1,2,3,4,5,6}.5232e U -- 说明：结果正确的2分，错误不得分.二、计算题(共8小题，每小题满分10分，共80分)1． 设A 表示次品，(1,2,3)i B i =分别表示甲，乙，丙三车间的产品;由已知1()0.25P B =， 2()0.35P B =，3()0.4P B =，1(|)0.05P A B =，2(|)0.04P A B =，3(|)0.03P A B = …………………………（5分）由贝叶斯公式可得所求概率为22231(|)()(|)(|)()iii P A B P B P B A P A B P B ==∑ ………………………………………………………（4分）0.040.35280.050.250.040.350.030.477⨯==⨯+⨯+⨯ ……………………………（1分） 说明：未能正确表示概率扣1分，未能正确写出叶斯公式扣3分. 2． 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=. ………………（6分）,3;0.1,34;()0.4,45;1,5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤≤⎪⎪≥⎩ ……………………………………………………（4分）说明：未写出分布表不扣分.3．根据已知条件R 的密度函数为12()()()R R R f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰， ………………………………………………………（4分）易知仅当010010x z x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，亦即01010x z x z≤≤⎧⎨-≤≤⎩时，上述积分的被积函数不等于零，即可得01010()(),010,()()(),1020,0,z R z f x f z x dx z f z f x f z x dx z -⎧-≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪⎩⎰⎰其他.……………………………（4分）将()f x 的表达式代入上式得2331(60060),010,15 0001()(20) ,1020,15 0000,R z z z z f z z z ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其他.…………………………（2分） 4．根据已知条件()10.400.410.20.2E X =-⨯+⨯+⨯=-. ………………………………………………（3分）2222()(1)0.400.410.20.6E X =-⨯+⨯+⨯= …………………………………………（2分） 22[35]3()5 6.8E X E X +=+=……………………………………………………………（2分） (2)4() 2.24D X D X ==5．设总机需要m 条外线才能以不低于97.5%的概率保证每部电话分机使用外线时可供使用.令1,(1,2,)0,k k X k k ⎧==⎨⎩ 第部分机使用外线 ,260第部分机不使用外线,.，……………………（3分）26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(==p X E k ．12260X X X X =+++表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的m 使{}0.975P X m ≤≥成立．由中心及限定里有{}P X m P ⎧⎫≤=≤=Φ，………………（5分） 查得(1.96)0.97510.0.9750Φ=> 1.96≥．于是 260 1.962600.0416.5931m p ==⨯≈．也就是说，至少需要17条外线才能97.5%满足每部分机在使用外线时可供使用． ……………（2分）说明：结果不正确缺扣1分. 6． 均值函数[]0)()()()()(2=++==Z E t Y tE X E t W E t W μ， ………………………………………(4分)自相关函数2212121122(,)[()()][()()]W R t t E W t W t E X t Y t Z X t Y t Z ==++++)()()()()()()()()(222212212212212221212Z E t t YZ E t t t t Y E t t XZ E t t XY E t t X E ++++++++= …………………（3分）0)()()(==X E Y E XY E ，()()()0E XZ E X E Z ==，()()()0E YZ E Y E Z ==又因为[]22()()()1E X D X E X =+=，22()()1E Y E Z == …………………………………（1分）因此)(t W 的自相关函数222121211),(t t t t t t R W ++=， ………………………………………………………………（1分） 而自协方差函数2221212121211)()(),(),(t t t t t t t t R t t C W W W W ++=-=μμ. ………………………………（1分）7． (１) }2)2(,0)1(,1)0({===X X X P＝}0)1(|2)2({}1)0(|0)1({}1)0({=====X X P X X P X P＝271613132=⋅⋅． …………………………………………………………………（4分） (２)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4112761181951876136173613)2(2P P无零元，由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的。

…………………………………………………（4分）设其极限分布）（321ππππ=，那么121123213312311, 23121,33211, 62 1.πππππππππππππ⎧+=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪++=⎩ 解之得172,179,176321===πππ.………………………………………………………………（2分）8． 由于2][)]([)(===X E t X E t X μ，………………………………………………………………（2分） 3142][)]()([),(==+=+X E t X t X E t t R X ττ，因此，}),({+∞<<-∞t t X 是平稳随机过程．又因为时间平均X Xdt T dt t X T t X TT T T T T ==>=<⎰⎰-+∞→-+∞→21lim )(21lim )(，………………………………………（2分） 时间相关函数2221lim )()(21lim)()(Xdt X T dt t X t X T t X t X T T T T T T ==+>=+<⎰⎰-+∞→-+∞→ττ，………………（2分） 由于{2}1P X ==和2143{}1P X ==不成立，故}),({+∞<<-∞t t X 不具有均值和相关函数的各态历经性． ………………………………………………………………………………………………（2分）三、解答题(本体满分4分)ϕϕ都是标准正态分布密度函数．因此()121(,)d (,)d (,)d 2X f x f x y y x y y x y y ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22222212x x x ---⎡⎤=+=⎥⎥⎦；……………………………………………（1分） 121()(,)d (,)d (,)d 2Y f y f x y x x y x x y x ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22222212y y y ---⎡⎤=+=⎥⎥⎦.……………………………………………（1分） 于是X 和Y 分别服从标准正态分布．(2) 因为()()0,()()1E X E Y D X D Y ====，且()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰121[(,)(,)]2xy x y dxy xy x y dxy ϕϕ+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰.因此，由相关系数的定义，知111)0 .233XY XY ρ⎡⎤⎛⎫===+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦E(………………………………………（1分）(3) 由题设22229292()()163163(,)]x xy y x xy y f x y ee--+-++=+，22222221()()2x y x yX Y f x f y e π+---==， 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠，因此随机变量X 和Y 不独立。

……………………………………（1分）西安邮电学院试卷标准答案（B 卷）2006/2007学年第一学期 课程 概率论与随机过程 试用班级电子、光信息、科技、网络（工程）、自动、安全一、填空题(共8小题，每小题满分2分，共16分)1511511.; 2.; 3.; 4.; 5.1; 6.;7.;8.{1,2,3,4,5,6}.38123U e - 说明：结果正确的2分，错误不得分.二、计算题（(共8小题，每小题满分10分，共80分)1．设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙破译出密码. (1) 恰有一人能破译出密码为事件：ABC ABC ABC ，又由题意知甲乙丙三人是否能破译出密码是相互独立的，且2()1()3P A P A =-= ，3()1()4P B P B =-=，4()1()5P C P C =-=， 所以所求概率为()()()()P AB C ABC A BC P AB C P ABC P A BC =++13()()()()()()()()()30P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=.……………………………（6分） (2) 密码能被破译的概率3()1()5P A B C P A B C ++=-=.………………………………………………………………（4分） 说明：未能正确表示概率扣1分，未能正确写出叶斯公式扣3分. 2．由已知条件X 的密度函数为2/2() ()x X f x x -=-∞<<+∞．……………………………………………………（2分）随机变量Y 的分布函数为(){}{||}Y F y P Y y P X y =≤=≤……………………………………………………………（2分）当0y <时，(||)X y ≤是不可能事件，则()0Y F y =；…………………………………………（2分） 当0y ≥时，(){||}{}()()Y X X F y P X y P y X y F y F y =≤=-≤≤=--22()d d x yyX yf x x x ---==⎰⎰．……………………………………………………（2分）因此随机变量Y 密度函数22,0,()()yY Y y f y F y ->'==…………………………………………………………（2分）3． 由分布函数的性质(,)0F y -∞= ，(,)0F x -∞=，(,)1F -∞+∞=可得()(arctan )023yA B C π-+=， ………………………………………………………………（1分）(arctan )()022x A B C π--=， ………………………………………………………………（1分）122A B C ππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………（1分）解得21π=A ，2B π=， 2C π=. ………………………………………………………………（1分）随机向量),(Y X 的联合分布函数为()21,arctan arctan 2223x y F x y πππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………………………（1分）且边缘分布函数1()lim (,)(arctan )22X y xF x F x y ππ→+∞==+；……………………………………………（2分） 1()lim (,)(arctan )23Y x yF y F x y ππ→+∞==+. ……………………………………………（2分） 故(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，因此随机变量X 与Y 相互独立.…………………………………………（1分）4．根据已知条件⎰+∞∞-=xd x f x X E )()(2222x xxe dx σσ-+∞==⎰…………………………………………（4分） dx e xx x d x f x X E x 22202222)()(σσ-∞+∞+∞-⎰⎰==.2|2202222σσσ=-=∞+-x e…………………(3分).)22(22)]([)()(22222σπσπσ-=-=-=X E X E X D ……………………………………（3分） 5． 设一箱味精净重为X (g )，箱中第k 袋味精的净重为k X (g )，200,,2,1 =k ，20021,,,X X X 是200个相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X DX E ，12200()()20000,()E X E X X X D X =+++===．根据中心极限定理，所求概率{20500}1{20500}P X P X >=-≤………………………………………………………（4分）1P=-≤…………………………………………（4分）10.0002=-Φ=．……………………………………………………（2分）6．由题中条件，对任意n 个时刻T t t t n ∈,,,21 和任意一组实数n u u u ,,,21 ，和式∑∑∑∑====+=+=ni i n i i i ni iin i iiu B t u A B Atu t X u 1111)()(………………………………………（1分）是独立正态变量B A ,的线性组合，故∑=ni iit X u 1)(也是正态变量，根据n 维正态分布的重要性质，随机变量))(,),(),((t X t X t X 服从n 维正态分布，由定义知)(t X 是正态过程．…………………（1分）)(t X 的均值函数()[()][][][]0X t E X t E At B tE A E B μ==+=+=…………………………………………（4分） )(t X 的协方差函数为12121212(,)[()()]()()[()()]X X X C t t E X t X t t t E At B At B μμ=-=++……………（2分）)1()()()()(212221221+=+++=t t B E BA E t AB E t A E t t σ． ………（2分）7． 因为1111112222221111112222222111111222222111111222222000000000000P 000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………………（4分） 1111112222221111112222223111111222222111111222222000000000000P P 000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………（4分） 于是可得P P P P ==324,. 一般地2P(2)P ,P(21)P n n =+=，即P()n 中含有零元素，故此马氏链不具有遍历性. ……………………………………………………………………………………………（4分）8．由假设，Θ的密度函数为1,0,()0,.TT f θθ<<⎧=⎨⎩其他于是，)(t X 的均值函数为 011[()][()]()()T t TtE X t E s t s t d s d T T θθϕϕ+=+Θ=+=⎰⎰.…………………………………（2分） 利用)(s ϕ的周期性，可知⎰=Td s T t X E 0)(1)]([ϕϕ=常数.…………………………………………………………………（2分）而自相关函数1(,)[()()]()()TX R t t E s t s t s t s t d Tττθτθθ+=+Θ++Θ=+++⎰ 1()()t t s s d Tτϕϕτϕ+=+⎰．…………………………………………………………（2分） 同样，利用)()(τϕϕ+s s 的周期性，可知自相关函数仅与τ有关，即1(,)()()(),TX X R t t s s d R T τϕϕτϕτ+=+=⎰…………………………………………………（2分）所以随机相位周期过程是平稳的．三、解答题(本题满分4分)令1212(),(),()P A p P B p P AB p ===，由数学期望的定义，可见2()()()21,E X P A P A p =-=-2()()()21E Y P B P B p =-=- ……………………………………………（1分） 又1212(1)()()21P XY P AB P AB p p p ==+=--+1212(1)1(1)2P XY P XY p p p =-=-==+- ………………………………（1分） ()(1)(1)4221E XY P XY P XY p p p ==-=-=--+1212(,)()()()44Cov X Y E XY E X E Y p p p =-=- ………………………………（1分）随机变量X 和Y 不相关0XY ρ⇔=⇔1212(,)0Cov X Y p p p =⇔=()()()P AB P A P B ⇔= ⇔事件A 和B 独立。