基于Matlab小波工具箱的数字图像处理及小波分析

k k ,2/)]2(t ψ1+⊃j j V V图2.2 Mallat重构示意图三、常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。

在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：3.1 Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。

Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下[5]：1012()1121tt tψ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他(3.1)Haar小波是一个最简单的时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。

图3-1所示为Haar波的函数图像。

图3-1 Haar小波函数图像由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

但也有自己的优点：①计算简单；②在2ja=的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。

因为()tψ不但与(2),()j t j Zψ∈正交，而且与自己的整数位移正交。

③()tψ的傅里叶变换是：24()sin()2j e jaψΩΩ=-ΩΩ(3.2)3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat 小波又被称Marr 小波。

Marr 小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：222()(1)t t t e ψ-=- (3.3)222()2e ωψωπω= (3.4)因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。

墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(=⎰∞∞-dx x ψ (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

其波形如图3-2所示。

Marr 小波的时域、频域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函数不存在，所以不具有正交性，主要用于信号处理和边缘检测。

图3-2 Mexicat 小波函数图像3.3Morlet 小波Morlet 小波是高斯下的单频率复正弦函数：22()jwt t t e e ψ-=⋅ (3.5)式中，j 表示虚数，ω常数。

其波形如图3-3所示。

虽然Morlet 小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。

Morlet 小波的特点是能够提取信号中的幅值和相应信息，广泛应用于地球物理信号处理中。

图3-3 Morlet 小波函数图像3.4Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是法国学者Daubechies 所创造，Daubechies 小波的研究是基于对尺度取为2的整数幂条件下的小波变换。

Daubechies 小波无明确的解析方程(除N ＝1外)，不具有对称性，可以由尺度函数求出。

但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。

假设∑-=+-=101)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有)2(sin )2(cos )(2220ωωωP m N = (3.6)其中 ∑-=-=120021)(N k ik k e h m ωω Daubechies 小波是紧支集正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

Daubechies 系列的小波简写为dbN ，其中N 表示阶数，图3-4所示为db2小波的形状。

(a)db2小波函数 （b ）db2的尺度函数图3-4 db2的小波函数和尺度函数3.5 Meyer小波Meyer小波的小波函数ψ（x）是在频域中进行定义的，Meyer小波是具有紧支撑的正交小波。

122122324(2)sin((||1)),[,]2233348()(2)cos((||1)),[,]2233280,||[,]33jje v x xx e v x xxωωππππππππψππππ-∧-⎧-∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪∉⎪⎩(3.7)其中()v为构造Meyer小波的辅助函数，其函数图像如图3-5所示。

(a) Meyer小波函数（b）Meyer尺度函数图3-5 Meyer小波函数和尺度函数四、小波分析在图像处理中的应用4.1 基于小波分析的图像压缩二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。

它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。

小波分析用于图像压缩具有明显的优点[6]。

基于小波分析的图像压缩方法很多，比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。

下面是一幅图像信号(即二维信号)，利用二维小波分析对图像进行压缩。

一幅图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。

高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频，这种现象越明显。

对一幅图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。

利用MATLAB中的小波分析工具箱中某个小波函数对图像进行压缩处理，本实验利用二维小波函数“sym4“对图像进行压缩。

图4-1 小波工具箱如图4-1所示，可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小；第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比较大，压缩效果在视觉上表现良好，基本上看不出与第一次有太大变化。

但是第三次压缩和第四次压缩就有明显差异，看起来已经比较模糊了。

这种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信息，不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。

我们还可以继续对图像进行压缩，以提取其低频信息。

从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像]3[。

(a)原始图像(b)分解后低频和高频信息(c)第一次压缩图像 (d)第二次压缩图像(e)第三次压缩图像 (f)第四次压缩图像图4-2 利用二维小波“sym4“压缩的图像 4.2基于小波分析的图像去噪处理噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解或分析的各种因素。

一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识。

噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。

若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。

因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。

去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。

对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适合。

二维模型可以表述为：,,,,0,1,...,1i j i j i j i j m σ⋅=-s()=f()+e() (4.1)其中，(,)e i j 是噪声。

二维信号用二维小波分析的去噪步骤有3步：(1)二维信号的小波分解。

选择一个小波和小波分解的层次N ，然后计算信号s 到第N 层的分解。

(2)对高频系数进行阈值量化。

对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。

(3)二维小波的重构。

根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第一层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。

下面给出一幅含有噪声的图像，利用小波分析“db2“函数对信号进行去噪处理。

如图4-2所示。

(a)原始图像(b)第一次去噪后的图像(c)第二次去噪后的图像图4-3 利用小波函数”db2”对图像进行去噪从图中可以观察到第一次去噪已经滤去了大部分的高频噪声，但对比去噪图像与原始图像相比可以看出，第一次去噪后的图像中还是含有不少的高频噪声；第二次去噪是在第一次去噪的基础上，再次滤去其中的高频噪声。

五、总结通过对多分辨率分析和Mallat算法的学习以及常用小波的认识，了解到了小波分析在分析数学领域的地位以及其在数字图像处理和信号处理等方面重要性。

可以利用MATLAB中的小波函数对图像进行压缩、去噪、增强以及锐化等处理。

更为简单地就是利用MATLAB中小波处理工具箱，对图像进行增强、去噪等处理。

小波的应用围非常广泛，而每个领域都有自己特定的处理方式。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。

现在，它在科技信息领域取已经得了令人瞩目的成就。

对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析，但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。

图像处理的针对性很强，因此选择合适的小波处理图像是比较好的处理方法。

参考文献。