整式与分式必考知识典型例题专题
中考数学整式与分式试题及答案
中考数学整式与分式试题及答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§1．4整式与分式★课标视点 把握课程标准, 做到有的放矢1. 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
2. 了解整式的概念，会用简单的整式的加、减运算；会进行简单的整式的乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）。
3.会推导乘法公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，了解公式的几何背景。
4. 会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
5. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减乘、除运算。
★热点探视 把握考试脉搏, 做到心中有数1.把n aa a a a ⋅⋅⋅个记作a ＋a C.n a D.a n (2009丽水市)2.计算：a 2·a 3的结果是( )A ．a 9B ．a 8C ．a 6D ．a 5. (2009泉州市)3.下列运算正确的是 A ．236a a a =B ．()22ab ab =C ．3a 2a 5a +=D ．()325a a = (2009长沙市)4.下列运算正确的是( )．A ． 6a+2a=8a 2B ． a 2÷a 2=0C ． a-(a-3)=-3 ·a 2=a 5. 因式分解4—4a+a 2，正确的是( )．A ．4(1-a)+a 2B ．(2-a)2C ． (2-a)(2-a)D ． (2+a)2(2009 玉林)6．已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是A. 6B. 2 m －8C. 2 mD. －2 m (2009厦门)7．(2009 扬州)8．计算的结果为（ ）.（A ）1 （B ）x+1 （C ） （D ）（2009 武汉）9．若代数式21x x -+的值是零，则x ＝ ；若代数式()()21x x -+的值是零，则x ; 当x 时，式子121x -有意义 ． (2009 镇江) 10.如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 .（ 2009泰州）案例导学 题型归纳引路, 做到各个击破【题型一】整式的概念及整式的乘法运算【例1】1.(1) 下列计算正确的是( ) A.(-x)2009=x2009B.(2x)3=6x 3 +3x 2=5x 2 ÷x 2=x 3(2)下列运算正确的是（ ）A.1836a a a =⋅B.936)()(a a a -=-⋅- C 236a a a =÷ D.936)()(a a a =-⋅-(3)挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a 1b 1+a 2b 2=A . a 1(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 1B . a 2(b 2－b 1)+(a 1+a 2)b 2C. a 1(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 2D. a 2(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 1 (4)现规定一种运算：，其中、为实数，则等于A ． B. C. D. 2．计算 322223(35)a b a b a b ab a b ÷+⋅--3.计算：（a 2＋3）（a －2）－a （a 2－2a －2）【解】1．故应选（B ）（a 2＋3）（a －2）－a （a 2－2a －2）aa －bb ba1a2＝a 3－2a 2＋3a －6－a 3＋2a 2＋2a ＝5a －6bb ba b ab b b a ab b a b b a b b a ab -=--+-+-+=--+⋅-+-+=22)()(【导学】题设规定了一种新的运算“*”，要求考生按照“*”的运算法则解决与之有关的计算问题：【题型二】乘法公式【例2】1.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A.222()2a b a ab b +=++B.222()2a b a ab b -=-+C.22()()a b a b a b -=+-D.22(2)()2a b a b a ab b +-=+-【解】【导学】1. 代数式的几何解释或创设实际背景时把握情景或背景应该合理为原则，如“如果一个苹果4元，那么4a 表示a 个苹果的价钱”这样的解释欠妥．【题型三】因式分解【例3】1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为：A.ay ax y x a +=+)(，B.4)4(442+-=+-x x x xC.)12(55102-=-x x x x x x x x x 3)4)(4(3162+-+=+-. 2.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x －y )=0，(x +y )=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一a图2图1个六位数的密码．对于多项式234xy x -，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)．在实数范围内分解因式：ab 2－2a ＝_________.（2）若6=+b a ，ab ＝4，则b a -＝ ．(3)如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值为…………………………（ ）A 、6B 、8C 、—6D 、—8(3)若13x x+=．求2421x x x ++的值是（ ）Ａ．18 Ｂ．110 Ｃ．12 Ｄ．14【导学】1.观察规律知13+=x y ; 2. 折叠时动手操作即可.【题型四】分式运算 【例4】1．计算xx ----21442的结果是 A.21+-x B.21--x C.21+x D.462---x x(2009 威海)2.已知若a b ＝35 ，则a ＋bb的值是()A.85B.35C.32D.58 3. 化简22142x x x ---的结果是（ ） A. 12x + B. 12x - C. 2324x x -- D. 2324x x +-4. 下列分式的运算中，其中结果正确的是：A .b a b a +=+211 B.323)(a a a =， C.b a b a b a +=++22，D.319632-=+--a a a a 5．先化简后求值：)252(23--+÷--x x x x 其中x ＝22６．计算：44()()xy xyx y x y x y x y-++--+解：2.∵222211111x x x x y x x x-+-=÷-+-+ ＝()21(1)11(1)(1)1x x x x x x x--÷-++-+ ＝()21111(1)(1)(1)x x x x x x x-+⨯-++-- ＝111x x -+ ＝1.所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x 为何值，y 的值不变。
(整式与分式)
整式与分式学员姓名：年级：课时数：2课时辅导科目：数学学科教师：上课时间：知识点：例题讲解：一、整式的基本概念（1）单项式6a、vt、n-这样的式子叫做单项式。
像100t、2注：单独的一个数字或一个字母也是单项式。
（2）系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：10n的系数是10，-的系数是-1。
n（3）次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：242x y 的次数为6，534a b -的次数为8。
（4）多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
例如：4723323424313a b x y z a b c +-+有4项，常数项为13。
（5）多项式的次数多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：4723323424313a b x y z a b c +-+的次数为11次，4711233923424313a b x y z a b c +-+的次数还是11次。
(6)整式单项式与多项式统称整式。
（7）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
例如：3221x y 与2312y x -是同类项，而3214a b c 与3213a b -就不是同类项。
注：几个常数项也是同类项。
（8）合并同类项合并同类项就是将同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变。
例如：323232132310a b a b a b -+=。
注：整式的加减就是合并同类项的过程。
（一）单项式与多项式 1、观察下列代数式⑴22a x ay +； ⑵2122x y -+； ⑶223xy -； ⑷0； ⑸29x -；⑹832y x -； ⑺a a a 122-+；⑻xy yx -+53； ⑼33a b c －；⑽x －y ； ⑾－a ； ⑿20.1－； ⒀2m m ； ⒁m mππ+；其中，单项式：多项式： 二、同类项2、下列各组中,不是同类项的是( ) （A ）2n n xy +-与2+n n x y (n 为正整数) （B ）y x 25与23yx -（C ）12与π1 （D ）b a 21.0与22.0ab . 三、系数、次数和项填表：四、综合运用 1、选择题（1）下列说法中正确的是 ( )A ．代数式一定是单项式B ．单项式一定是代数式C ．单项式a 没有系数D ．－y 的次数为0（2）一个n 次多项式(n 为正整数)，它的每一项的次数为 ( ) A ．都等于n B ．都小于n C ．都不小于n D ．都不大于n （3）设P 是关于x 的5次多项式，Q 是关于x 的3次多项式，则 ( )A ．P ＋Q 是关于x 的8次多项式B ．P －Q 是关于x 的二次多项式C ．3P ＋Q 是关于x 的8次多项式D ．P —Q 是关于x 的五次多项式 2、填空（4）4x n +6x n+1+21x n+2-43x n+3(n 是自然数)是 次 项式，其中最高次数项的系数是 。
整式与分式例题和知识点总结
整式与分式例题和知识点总结一、整式整式是代数式的一部分，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
1、单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：3x 是单项式，系数是 3，次数是 1；－5 是单项式，系数是－5，次数是 0；＄x^2y$是单项式，系数是 1，次数是 3。
2、多项式几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：＄2x 3$是多项式，有两项，分别是 2x 和－3，其中－3 是常数项，次数是 1；＄x^2 ＋ 2x ＋ 1$是多项式，有三项，分别是$x^2$、2x 和 1，次数是 2。
3、整式的加减整式加减的实质是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如：3x ＋ 5x ＝ 8x， 7$y^2$ 2$y^2$ ＝ 5$y^2$例题 1：化简$5a^2b 3ab^2 ＋ 2ab^2 4a^2b$解：原式＝（5 4）＄a^2b ＋（－3 ＋ 2)ab^2$＝＄a^2b ab^2$例题 2：已知多项式$A ＝ 3x^2 5x ＋ 1$，＄B ＝－2x^2 ＋ 3x 4$，求$A ＋ B$。
解：＄A ＋ B ＝（3x^2 5x ＋ 1) ＋（－2x^2 ＋ 3x 4)＄＝＄3x^2 5x ＋ 1 2x^2 ＋ 3x 4$＝＄（3 2)x^2 ＋（－5 ＋ 3)x ＋（1 4)＄＝＄x^2 2x 3$4、整式的乘法（1）单项式乘以单项式系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：＄2x^2 ＼cdot 3x^3 ＝ 6x^5$（2）单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
整式、分式、因式分解
个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。
1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
中考数学专题复习试卷---整式与分式(北师大版、附答案)
罗湖中学中考数学专题复习试卷---整式与分式（北师大版、附答案） 一、选择题1. 计算422()a a ÷的结果是（ ）A.2aB. 5a C ．6a D. 7a2. 下列运算中正确的是（ ）A ．325a a a =B ．1025a a a ÷=C ．2242a a a += D ．22(3)9a a +=+3. 下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+4. 把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -5. “4·14”青海省玉树县7.1级大地震，牵动了全国人民的心，社会各界踊跃捐款捐物，4月20日央视赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学计数法表示为（ ）． A ．2.175×108 元 B ．2.175×107 元 C ．2.175×109 元 D ．2.175×106 元6. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤37. 下列各式计算正确的是（ ）．A ．m 2 · m 3 = m 6B ．33431163116=⋅= C ．53232333=+=+ D ．a aa a a --=-⋅--=--111)1(11)1(2（a ＜1）8. 截止2010年4月20日23时35分，央视“情系玉树，大爱无疆”赈灾晚会共收到社会各界为玉树捐款2 175 000 000元，用科学记数法表示捐款数应为（ ）A ．102.17510⨯元 B. 92.17510⨯元 C. 821.7510⨯元 D.7217.510⨯元9. 下列等式成立的是（ ）．（A ）26a a =3（） （B ）223a a a -=- （C ）632a a a ÷= （D ）2(4)(4)4a a a +-=-10. 计算111xx x ---结果是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）x二、填空题11. 计算：2216481628a a a a a --÷+++=_______________.12. 若a+3b=0，则22222(1)24b a ab b a b a b ++-÷=+- ．13. 分解因式：2363x x ++=_____________.14. 中央电视台组织慈善晚会，共为玉树灾区募捐善款人民币约2 175 000 000元，把这个数用科学记数法表示为 ．15. 因式分解：x 3y －xy = ．16. 化简：2111x x x x x+++=--_________. 三、计算题17. 先化简，再求值：21(1)11aa a +÷--，其中3a =-．18. 先化简，再求值：(6)()(2)a a b a b a +⋅-+-，其中a = 1.5，b = -2．19. 已知：222()()2()4x y x y y x y y⎡⎤+--+-÷=⎣⎦，求224142x x y x y--+的值.20. 先化简，再求值：2111(2)11x x x ⎛⎫-÷+- ⎪+-⎝⎭，其中x =21.已知：22a b =+=a bb a-的值.22. 化简：2311.24a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭23. 先化简，再求值：22111a a +-+，其中3a =24. 先化简：)3231(21943322-+⋅-÷+x x x x ；若结果等于32，求出相应x 的值．25. 已知()1012cos 451201013a b c d π-⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，°，，（1）请化简这四个数；（2）根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果.一、选择题第1题答案.C第2题答案.A第3题答案.B第4题答案.D第5题答案.B第6题答案. D第7题答案. D第8题答案.B第9题答案.A第10题答案. C二、填空题第11题答案. 2-第12题答案.第13题答案.23(1)x+第14题答案.9 2.17510⨯第15题答案.xy（x－1）（x + 1）第16题答案.1x+三、计算题第17题答案.解：原式21(1)(1)a aa a a-=⨯+-……2分1aa=+．……4分当3a=-时，原式33312-==-+．……6分（未化简直接代入求值，答案正确给2分）第18题答案.原式2222a b ab a=-+-22b ab=-+当 1.5a=，2b=时，原式222 1.52462=-+⨯⨯=-+=第19题答案.解：222[()()2()]4x y x y y x y y+--+-÷=22222(222)4x y x xy y xy y y+-+-+-÷2 5=2(42)4xy y y -÷ =12x y -2分 11.2x y ∴-=3分2241414242(2)(2)2(2)(2)x x x x yx y x y x y x y x y x y x y -+∴-=-=-++-++- 21(2)(2)2x y x y x y x y+==+--5分11.1222x y ==⎛⎫- ⎪⎝⎭ 6分第20题答案.解：原式=()()()11211x x x x x +-+-+· （3分）=2(1)(2)2x x x x -+-=- （2分）当x =224-=（2分）第21题答案.解：2241a b a b a b ab =+=∴+=-==，3分而()()22a b a b a b a b b a ab ab+---== 6分()()a b a b a b b a ab +-∴-===第22题答案.解：原式=2231224a a a a a -+⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭=21124a a a a ++÷-- =()()11222a a a a a ++÷-+- =()()22121a a a a a +-+⨯-+= 2.a + 8分第23题答案.解：2212111(1)(1)(1)(1)a a a a a a a -+=+-++-+- (11)(1)(1)1a a a a +==+-- ·········································································当3a =时，原式1111312a ===--． ····················································第24题答案.原式=)32332213)32)(32(32-+-⋅⋅-+⋅+x x x x x x =32x ；由32x =32，可，解得 x =±2．第25题答案.解：（1）11()33n -==，2cos 451212b =+=⨯+°1=+，0(2010π)c =- 1=，11d =-=4分 （2）a c ，为有理数，b d ，为无理数，5分311)a c bd ∴+-=+-6分=4(21)3--= 7分。
河南中考整式与分式专题
整式与分式专题一、中考地位整式与分式是中考的必考内容，每年中考都会考察整式的因式分解，化简求值，科学计数法，其中因式分解，分式的化简求值是高频考点。
二、中考考纲（1）理解整式的有关概念（2）了解整式整数幂的意义与基本性质（3）掌握整式的加减乘除运算法则。
（4）灵活运用会进行简单的整式加减乘除运算（5）理解平方差公式、完全平方公式及其几何性质（6）灵活运用平方差公式、完全平方公式进行简单的计算（7）了解分解的意义及其与整式乘法之间的关系（8）灵活运用提公因式、公式法进行因式分解（9）了解分式、最简分式（10）掌握确定分式有意义的条件（11）掌握确定使分式值为零的条件（12）理解分式的基本性质（13）灵活应用约分和通分（14）掌握分式的加减乘除运算法则（15）灵活运用恰当的方法解决与分式有关的问题三、中考趋势整式与分式是各省中考重要考点之一，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的代入求值解答题，近几年中考试卷中还出现了整式与分式代入求值这部分试题，包括了初中代数的整体的思想，全面地考查计算能力，因此，平时应多加训练，重点是与分式的化简求值、整式的化简求值的综合应用．四、同步解读第1节：整式的乘法知识点一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：(1)语言叙述：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. (2)式子表示：n m a a =____(m ，n 都是正整数).【微点拨】1.-x 既可以看成是x 的相反数，也可以看成底数为-x ，指数为1的幂的形式.2.几个底数互为相反数时，变形方法有两种，一是“少数服从多数原则”，即改变出现次数较少的底数；二是“偶数服从奇数原则”，即改变指数是偶数的幂的底数.【方法一点通】同底数幂的乘法法则应用“三点注意” 1.不要漏掉单独字母的指数1.2.把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化.3.不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆. 逆用同底数幂的乘法法则“两点注意”1.转化过程中要时刻注意保持幂的底数相同.2.解题时注意整体思想的应用. 题型一：整式同底数幂运算【例1】计算：（1）103×104； （2）a ·a 3； （3）m ·m 3·m 5；（4）x m ·x 3m+1 (5)x ·x 2 + x 2·x【变式】：1、填空：⑴ 10×109= ； ⑵ b 2×b 5= ； ⑶ x 4·x = ； ⑷ x 3·x 3= . 2、计算：(1) (-x )·(-x )3； (2)b 3·(-b 2)·(-b)4、【例2】：把下列各式化成（x +y ）n 或（x －y ）n的形式．（1）（x +y ）4·（x +y ）3 (2)（x －y ）3·（x －y ）·（y －x ）(3)－8（y －x ）2·（x －y ） (4) （x +y ）2m ·（x +y ）m+1我的经验:当底数互为相反数时，先将底数 再计算. 即： ()()22nn b a a b -=- ， ()()2121n n b a a b n ++-=--（为正整数）题型二：整式同底数幂逆运用【例1】、若3,5a bx x ==，求a b x +的值；【例2】若948162m m ⨯⨯=，求m 的值；【变式练习】1.已知ax=5,ay=4,求ax+y.2、光的速度5310/km s ⨯，某天文台测出某星发出的光到地球上需要时间约为5910s ⨯，求该星到地球的距离；知识点二、幂的乘方1、幂的乘方法则：(1)文字描述：幂的乘方，底数_____，指数_____. (2)符号表示：()nm a =___(m ，n 为正整数).【微点拨】1.进行幂的乘方运算时，要注意系数为-1时的“-”号和括号里的“-”号与括号外的“-”号的区别.2.当算式中不止一种运算时，要分清运算的顺序及运算的法则.m n m n a a a m n +=⋅提示:公式逆用 （、都是正整数）33888(222)(222)(222)2mm =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=m m 个8个2提示:8(10)(10)()(1010)m n m na b a b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯提示 :逆用幂的运算法则1.作用：逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，有事半功倍的效果.2.变化规律：(1)指数为和的形式转化为同底数幂的乘法. (2)指数为积的形式，转化为幂的乘方. 题型一：幂的运算【例1】计算： （1）（103）5； （2）（b3）4；（3）（xn ）3； （4）－（x7）7、【练习】1、判断（错误的予以改正）（1）a5+a5=2a10 ( ) （2）(x3)3=x6 ( )（3）（—6）2×（—6）4 = （—6）6 = —66 ( ) （4）[（m －n ）3] 4—[（m －n ）2] 6=0 ( )2、计算：①（103）3 = ②—（am ）3= ③ [（—a ）2] 7 = ④ [（x2）3]7 = ⑤ （a4）3－（a3）4= ⑥（x+y ）7·（x+y ）5 =题型二：幂的逆运算【例1】解答题：若(x2)m=x8 ，求m 。
中考《整式及因式分解》经典例题及解析
整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等. 二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如325a b c -是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc . （3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb .8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+. 9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-.运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.经典例题 代数式及相关问题1．长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费___________元． 【答案】()3015m n +【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．【解析】解：根据单价×数量=总价得，共需花费()3015m n +元，故答案为：()3015m n +．【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．2．若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】把所求代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-，然后把条件整体代入求值即可． 【解析】∵221m m +=，∴2483m m +-=24(2)3m m +-=4×1-3=1．故选：D ．【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-．1．已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________． 【答案】49【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．【解析】解：∵73a b =-，∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49．【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 2．点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ） A ．5 B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【解析】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ， ∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．3．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学， 请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________． 【答案】9【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案． 【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +； 第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)； ∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是：33x ++-(3x -)9=．故答案为：9．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．经典例题 整式及其相关概念1．若多项式||22(2)1m n xyn x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，则mn =_____．【答案】0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【解析】解：Q 多项式||22(2)1m n xyn x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，20n ∴-=，1||3m n +-=，2n ∴=，||2m n -=，2m n ∴-=或2n m -=，4m ∴=或0m =，0mn \=或8．故答案为：0或8．【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．1．单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5.【分析】根据单项式次数的意义即可得到答案. 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【点睛】本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义. 2．下列各式中，与233x y 是同类项的是（ ）A ．52xB ．323x yC ．2312x y -D ．513y -【答案】C【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【解析】解：A.52x 与233x y 不是同类项，故本选项错误；B.3x 3y 2与233x y 不是同类项，故本选项错误；C.2312x y -与233x y 是同类项，故本选项正确；D.513y -与233x y 不是同类项，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．经典例题1．若单项式32m x y 与3m n xy +的值是_______________． 【答案】2【分析】先根据同类项的定义求出m 与n 的值，再代入计算算术平方根即可得．【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩2===故答案为：2．【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．1．若单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，则m n +=___________． 【答案】4【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n 的值，再代入求解即可. 【解析】解：∵单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，∴m-1=2,n+1=2, 解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键. 2．若3m x y 与25n x y -是同类项，则m n +=___________． 【答案】3【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可． 【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．经典例题 规律探索题1．观察下列一组数：﹣23，69，﹣1227，2081，﹣30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____． 【答案】(1)n-(1)3⨯+nn n 【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n 个数． 【解析】解：观察下列一组数：﹣23＝﹣1123⨯，69＝2233⨯，﹣1227＝﹣3343⨯2081＝4453⨯， ﹣30243＝﹣5563⨯，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是：（﹣1）n (1)3⨯+nn n ， 故答案为：(1)n-(1)3⨯+nn n ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．1．按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（ ） A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【解析】解：Q a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…， 可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------∙∙∙∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．2．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，【答案】20110【分析】根据所给数据可得到关系式【解析】由已知数据1，3，6，10，15，∴445102a ⨯==，2002002012a ⨯==【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识经典例题1．如图，正方体的每条棱上放置相同数目则表达错误的是（ ）A ．12(1)m -B ．48(2)m m +【答案】A【分析】先根据规律求出小球的总个数【解析】解:由题可知求小球的总数的方法会衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小项B 中48(2)m m +-1216m =-,故B,C,【点睛】本题考查了图形的规律,合并同类行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．()12n n n a +=，代入即可求值． ，……，可得()12n n n a +=， 20100，∴420020100+10=20110+=a a ．的知识点，找出关系式是解题的关键． 同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式- C ．12(2)8m -+ D ．1216m -,再将选项逐项化简求值即可解题.方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为12(B,C,D均正确,故本题选A. 并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重我们把第一个数记为1a ，第二10．故答案为20110． 代数式表示正方体上小球总数，以按照一共有12条棱,去掉首尾2)81216m m -+=-,选够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.1. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案形，第③个图案中有6个黑色三角形A ．10 B ．15 【答案】B【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】解：∵第①个图案中黑色三角形的第②个图案中黑色三角形的个数3＝第③个图案中黑色三角形的个数6＝∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+【点睛】本题主要考查图形的变化规律，1+2+3+4+……+n ．2．小明用大小和形状都完全一样的正方体方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中案中有6个正方体，……按照此规律，从第体的概率是（ ）A ．1100B ．120【答案】D拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色C ．18D ．21形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2角形的个数为1， 1+2， 1+2+3，……1+2+3+4+5＝15，故选：B ．，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n 个图正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体C ．1101D ．2101第②个图案中有3个黑色三角中黑色三角形的个数为（ ）1+2+3+4+……+n ，据此可得个图案中黑色三角形的个数为每个图案中他只在最下面的正案中有3个正方体,第(3)个图正方体，抽到带“心”字正方【分析】根据图形规律可得第n 个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n +个正方体，最下面有n 个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体； 第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体； 第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体； 第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；... 第n 个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n +个正方体，最下面有n 个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+ (100)()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=， 故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．经典例题 幂的运算1．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．()325a a = C ．22(2)2a a = D ．32a a a ÷=【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可． 【解析】A 、23235a a a a +⋅==，此项错误；B 、()23236a a a ⨯==，此项错误C 、22(2)4a a =，此项错误；D 、3232a a a a -÷==，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．1．下列计算正确的是（ ） A ．a 3+a 3＝a 6 B ．（a 3）2＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（ab ）3＝ab3【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可． 【解析】解：3332a a a +=，因此选项A 不正确；32326()a a a ⨯==，因此选项B 正确；62624a a a a -÷==，因此选项C 不正确；333()ab a b =，因此选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键．2．电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( ) A ．302B B ．308BC ．10810B ⨯D ．30210B ⨯【答案】A【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．【解析】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B ；故选A ． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．经典例题 整式的运算1．先化简，再求值：22(2)(2)()2(2)(2)x y x y x x y x y x y +++-+-++，其中1,1x y =+=-．【答案】23y xy -；-．【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．【解析】解：原式22[(2)(2)]x y x y x xy =+-+--22()x y x xy =---2222x xy y x xy =-+--23y xy =-当1,1x y =+=-时，原式21)1)=--+- 33=--=-。
整式和分式练习题
整式和分式练习题1. 计算以下整式的值：(a) 3x + 5y，其中 x = 2，y = 4(b) 2x^2 - 3xy + 5y^2，其中 x = 3，y = 2(c) 4a^3 + 2a^2 - 6a + 1, 其中 a = -12. 将以下分式化简到最简形式：(a) (6x^2 - 9xy) / (3xy)(b) (4a^3 + 2a^2 - 6a + 1) / (2a - 1)(c) (9b^4 - 6b^2) / (3b^2)3. 将以下整式改写为分式，然后简化到最简形式：(a) 2x / 3y + 4x / 5y(b) (3x^2 - 5xy) / (2x^2 + 3xy)(c) (4a^2 - 9b^2) / (2a - 3b)4. 给定以下两个整式：F = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 1G = 2x^2 - x + 5计算下列和差：(a) F + G(b) F - G(c) G - F5. 将以下两个分式相加并化简结果：A = (4x - 2y) / 3B = (2y - 3x) / 26. 给定以下两个分式：C = (5x^2 - 4xy + 2y^2) / (2x - y)D = (3x^3 - 5xy^2) / (x + y)计算下列乘积和商：(a) C * D(b) C / D7. 给定以下两个整式：P = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x + 1Q = x^2 - 2x + 3计算下列乘积和商：(a) P * Q(b) P / Q8. 给定以下分式：E = (3x^2 - 2x + 5) / (4x^3 - 2x^2 + 3x - 1)计算 E 的倒数，并将其化简到最简形式。
总结：整式是由常数和变量按照加法、减法和乘法运算所得的代数和；分式则是由两个整式相除所得的代数和。
在解题过程中，我们需要运用代数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
需要注意的是，计算整式或分式的值时，需要将给定的变量值代入表达式中，然后进行运算。
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整式与分式必考知识典型例题专题
1、 理解整式与分式的区别，并能准确识别整式还是分式
2、 整式的乘方：a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn
(ab)n =a n b n a m ÷a n =a m+n a 0=1(a ≠0)
3、 单乘单，单乘多，多乘多，特殊的多乘多:(a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a-b)= a 2-b 2
4、 因式分解：提公因式法：找公因式系数的最小公倍数，相同字母的最低次幂，
而后用多项式每一项除以公因式。
5、 公式法： a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2
a 2-
b 2= (a+b)(a-b)（公式法关键在于准确的找准公式中的a 和b ）
，
注:一般考法：就是先提公因式而后用公式，所以因式分解先看能
否提公因式而后才看两项还是三项确定用用公式。
6、
整式乘法是把积展开进行合并，结果为和的形式。
7、 因式分解是把和的形式化成为结果为积的形式。
典型例题：
1、 若x 2+mx+4是关于x 的一次式的完全平方式，则
m=_________________________。
2、
（2x －y ）（y+x ）－（2y+x ）（2y －x ） （多乘多减“括号”） 3、 4224223322()()()()()()x x x x x x x x +-⋅--⋅-⋅-（一定看清楚共4项）
<
4、
5、 [（x+y ）2－（x －y ）2]÷2xy （展开进行合并在除）
6、 )2)(4)(22
2y x y x y x +--（（展开进行合并结果注意不要倒回去）
))((y)-(x 2y x y x -+-（区别完全平方公式和平方差公式）
7、
(－m+n) (－m －n)（正确找准公式里的ab 是关键）
"
8、
先化简再求值()()()737355322
-----a a a ，其中a=-2
9、 2)2
331(2y x --（先处理完全平方公式展开，而后于2相乘，注意符号）
10、 已知ab=2 a+b=3 求(a-b)2 =(a+b)2-4ab; a 2+b 2=(a+b)2-2ab
11、 ?
12、 因式分解（1）16(m －n )
2－9(m ＋n )2 （2）9x 2－(x －2y ) 2
（3）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2 （4）3375a a -= ；
（5）39a b ab -= 2224m m n -= ；
<
（6）-a 2+4ab-4b 2=
分式：1、分母中含有字母是分式
2、分式的有无意义“分母”≠0有意义，等于0无意义；
3、分式的值为0（分子为0值为0，但保证分母不等于0）
4、分式的基本性质（分式分子分母的每一项乘以或除以一个不
等于0的整式分式的值不变）
5、分式的通分（找最简公分母“你有我也有”系数的最小公倍数，相同字母的最高这次幂）
6、分式的约分
7、分式的化简
' 典型例题
1、 （1）化简：22242442
a a a a a a a a ⎛⎫----÷ ⎪++++⎝⎭（先因式分解而后分配律展开约分）
（2）计算
24111a a a a ++--的结果是___________化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭
、
1、 化简：232224a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭
2、
3、 2．对于分式122
x x -+（1）当________时，分式的值为0 （2）当________时，分式的值为1（3）当________时，分式无意义（4）当________
时，分式有意义
4、 ，
5、 下列等式正确的是 （ ）
A ．22b b a a =
B ．1a b a b -+=--
C ．0a b a b +=+
D ．
0.10.330.22a b a b a b a b --=++ 6、 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为
整数。
（1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322283
a b a b -- 5、下列方程中是分式方程的是（ ）
（A ）(0)x x x ππ=≠ （B ）111235x y -= （C ）32
x x x π=+ （D ）11132x x +--=-
[
分式方程应用题 设、列、解、验、答
例1.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为
A ．18%)201(400160=++x x
B ．18%)201(160400160=+-+x
x Ｃ．18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 会解方程 检验
例2、某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米 】
例3、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完
成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天
【
（2）甲队施工一天，需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱
例4跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元
例5由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．
（1）求两队单独完成此项工程各需多少天
（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若
按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元。