(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

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北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆章节复习(解析版)

圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。

北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性

于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之

北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳(20200814075904)

圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、点在圆内 d r2、点在圆上 d r 点C 在圆点B 在圆内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆心角与圆周角的关系(解析版)

圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。

北师大版初中数学各册章节知识点总结 (超强总结)

新版北师大版初中数学知识点汇总目录七年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章丰富的图形世界错误!未定义书签。

第二章有理数及其运算ﻩ错误!未定义书签。

第三章字母表示数ﻩ错误!未定义书签。

第四章平面图形及位置关系ﻩ错误!未定义书签。

第五章一元一次方程ﻩ错误!未定义书签。

第六章生活中的数据错误!未定义书签。

七年级下册知识点总结ﻩ错误!未定义书签。

第一章整式的运算错误!未定义书签。

第二章平行线与相交线ﻩ错误!未定义书签。

第三章生活中的数据错误!未定义书签。

第四章概率ﻩ错误!未定义书签。

第五章三角形错误!未定义书签。

第六章变量之间的关系ﻩ错误!未定义书签。

第七章生活中的轴对称ﻩ错误!未定义书签。

八年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章勾股定理错误!未定义书签。

第二章实数ﻩ错误!未定义书签。

第三章图形的平移与旋转错误!未定义书签。

第四章四平边形性质探索错误!未定义书签。

第五章位置的确定ﻩ错误!未定义书签。

第六章一次函数错误!未定义书签。

第七章二元一次方程组错误!未定义书签。

第八章数据的代表ﻩ错误!未定义书签。

八年级下册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组错误!未定义书签。

第二章分解因式错误!未定义书签。

第四章相似图形错误!未定义书签。

第五章数据的收集与处理ﻩ错误!未定义书签。

第六章证明（一)错误!未定义书签。

九年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章证明(二)ﻩ错误!未定义书签。

第二章一元二次方程ﻩ错误!未定义书签。

第三章证明(三)错误!未定义书签。

第四章视图与投影错误!未定义书签。

第五章反比例函数错误!未定义书签。

第六章频率与概率ﻩ错误!未定义书签。

九年级下册知识点汇总错误!未定义书签。

第一章直角三角形边的关系错误!未定义书签。

第二章二次函数ﻩ错误!未定义书签。

第三章圆错误!未定义书签。

第四章统计与概率错误!未定义书签。

七年级上册知识点汇总（注：※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;）第一章丰富的图形世界¤1。

第3章圆题型解读4 五大性质定理之圆周角定理-北师大版九年级数学下册

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ；注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可．解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ，在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义正多边形与圆的相关计算(解析版)

正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。

【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。

【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。

北师大数学九年级下册第三章-圆内接正多边形(含解析)

第04讲_圆内接正多边形知识图谱正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三. 正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则：222111422n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，，三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算．易错点：对正多边形相关的概念混淆不清．正多边形的相关概念例题1、下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．【答案】 ②⑤【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．例题2、若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B【解析】由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360660=，所以正六边形的中心角的度数为360606︒=︒．例题3、正六边形的边心距与边长之比为（）A.3：3B.3：2C.1：2D.2：2【答案】 B【解析】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案．如图：设六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC=12AB=12a ，∴OC=22OA AC -=32a ，a n d nR O CBA∴正六边形的边心距与边长之比为：32a：a=3：2．故选B．例题4、已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=______cm，边心距r=______cm，周长p=______cm，面积S=______cm2．【答案】（1）（2）2，3，12，63【解析】（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×332cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×2×3=63（cm2）．相关计算例题1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=__________________°．【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．例题2、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.23【答案】B【解析】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．例题3、如图1、2、3、…..、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON．（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是____________，图3中MON∠的度数是____________；（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360 n︒【解析】解：分别连接OB、OC，（1）AB AC=ABC ACB∴∠=∠OC OB=，O是外接圆的圆心，CO ACB∴∠平分30OBC OCB∴∠=∠=︒30OBM OCN∴∠=∠=︒BM CN=，OC OB=OMB ONC∴∆∆≌BOM NOC∴∠=∠60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒120MON BOC∴∠=∠=︒（2）同（1）可得MON∠的度数是90︒；图3中MON∠的度数是72︒（3）由（1）可知，360==1203MON︒∠︒；在（2）中，360==904MON︒∠︒；在（3）中360==725MON︒∠︒…..，故当n时，360 MONn︒∠=．随练1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=___________度．【答案】 36【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB =BC =CD =DE =EA =72°，∴∠CAD=12×72°=36°．随练2、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 ∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴360606︒÷︒=，∴正多边形的边数为6，随练3、若等边三角形的边长是12厘米，则其内切圆的面积为．【答案】 12π平方厘米．【解析】如图，作OD ⊥AB ， ∵等边三角形的边长为12厘米， ∴AD=6厘米．又∵∠DAO=12∠BAC=12×60°=30°，∴tan30°=6DO DOAD ==33， ∴DO=23厘米，∴其内切圆的面积=π（23）2=12π．故答案为：12π平方厘米．随练4、如图，ABCD 是O ⊙的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS 与正方形ABCD 的面积之比为____________．【答案】 2:5 【解析】随练5、已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．SOR Q P D CBA【答案】 3【解析】如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长，∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==． ∵EF 是外切正六边形的边长，∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，，∴323CE ==， ∴43EF ，∴263436683EOF S S ∆===⎝⎭随练6、已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（） A.32 B.34 C.27 D.28 【答案】 D【解析】暂无解析弧长与扇形的面积知识精讲一．弧长公式1.圆的周长：2πR C =2.弧长公式：π180nl R =（其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）．二．扇形面积公式1.圆的面积公式：2πS R =2.扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：1=22S r l rl ππ=侧（以下公式中的l 均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：221=+=+22S S S r r l r rl ππππ=+全底侧；（3）圆锥的体积：213V r h π=；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：222r h l +=；（5）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图的圆心角为n ︒；则有：360S r n l S ==底侧O BADC2.圆柱（1）圆柱的侧面积：=2S r h π侧（2）圆柱的全面积：2=2πr 2πS S S rh=++侧全底四．不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形．三点剖析一．考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算二．重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积；三．易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的．弧长公式例题1、一个扇形的半径为8cm ，弧长为163cm π，则扇形的圆心角为__________．【答案】 120︒【解析】设扇形圆心角为n ︒，根据弧长公式可得：8161803n ππ=，解得：120n =︒．例题2、如图，在Rt ∴ABC 中，∴C=90°，∴A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的∴C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（）A.πB.πC.πD.π【答案】 A【解析】连接CD ，如图所示， ∴∴C=90°，∴A=20°， ∴∴B=70°．l2πrrOh 2πrh O r∴CB=CD，∴∴BDC=∴B=70°，∴∴BCD=40°，∴的长为=．故选A．例题3、如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+3）cm，圆O沿地面BC 方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为．【答案】53πcm．【解析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，则AE=2+3﹣2=3，又OA=2，∴sin∠AOE=32 AEOA=，∴∠AOE=60°，则AB的长为()6090251803ππ+⨯⨯=，则圆O在地面上滚动的距离为53πcm，故答案为：53πcm．例题4、如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）AE平分∠DAC（2）①3；②43π﹣3【解析】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，AE=3BE=23，在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=3，∴AD=3DE=3×3=3；②∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=21202360π﹣12•12•23•2=43π﹣3．例题5、【答案】5π【解析】暂无解析随练1、如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（）A.39π B.239πC.33π D.233π【答案】 B【解析】连接OC ，∵△ACE 中，AC=2，AE=3，CE=1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ，∵sinA=CE AC =12，∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即1OC =32，解得OC=233，∵AE ⊥CD ， ∴BC =BD ，∴BD =BC =23603180π⨯=239π．随练2、如图，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．MNP △沿线段AB 按A B −−→的方向滚动，直至MNP △中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为__________．【答案】43π 【解析】该题考查的是弧长的计算．点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120︒，根据1=180n Rπ进行计算即可．故点P 经过的路程为：1201421803ππ⨯⨯⨯=．故答案为：43π．A (M )PNB扇形面积公式例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm2B.350πcm2C.πcm2D.150πcm2【答案】B【解析】∴AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，∴S贴纸=（﹣）×2=350πcm2，例题2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为3，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是_____．【答案】π﹣33 4【解析】∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=32，∵OC=3，∴OE=32，∴∠OCE=30°，∴∠COD=120°，∴图中阴影部分面积=()21203360π⋅⨯﹣12×3×32=π﹣334，例题3、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．【答案】（3π﹣）cm2．【解析】作OH∴DK于H，连接OK，∴以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∴∴C=90°，∴∴DA'C=30°，∴∴ODH=30°，∴∴DOH=60°，∴∴DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∴∴ODH=∴OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴∴ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．随练1、如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB 为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A.12π B.12π+1 C.π D.π+1【答案】A【解析】∵AB=2，∴BD=22，S阴影=S扇形BDE﹣12S扇形ACD=()24522360π﹣12×904360π⨯=π﹣12π=12π，故选A．随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】根据图示知，∴1+∴2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∴ABC+∴ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∴1﹣∴2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．圆锥例题1、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2【答案】C【解析】∴h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，=×2×6π×10=60π，圆锥侧面展开图的面积为：S侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．h=23cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为____cm2．A.43πB.8πC.12πD.（43+4）π【答案】C【解析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为23cm，∵圆锥的母线长为4cm，∵侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm 2．故选：C ．例题3、将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为__________．【答案】22．【解析】过O 点作OC AB ⊥，垂足为D ，交O 于点C ，由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==，由此可得，在Rt AOD ∆中，30A ∠=︒，同理可得30B ∠=︒，在AOB ∆中，由内角和定理，得180120AOB A B ∠=︒-∠-∠=︒AB ∴的长为12032180ππ⨯=设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=1r cm ∴=∴圆锥的高为223122-=随练1、圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（） A.12πcm 2 B.20πcm 2 C.26πcm 2 D.36πcm 2【答案】 D【解析】底面周长是2×4π＝8πcm ，底面积是：42π＝16πcm 2．母线长是：22345+=，则圆锥的侧面积是：218π520πcm 2⨯⨯=，则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm 2．随练2、已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是______．【答案】163π【解析】 ∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π， ∴l=120R 81803⨯=ππ，解得：R=4，则扇形面积为12Rl=163π随练3、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠C=120°，以点C 为圆心的与AB ，AD 分别相切于点G ，H ，与BC ，CD 分别相交于点E ，F ．若用扇形CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是__________．【答案】 2【解析】如图：连接CG ， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°，∵AB 与相切，∴CG ⊥AB ，在直角△CBG 中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3，设圆锥底面的半径为r ，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是：=2．不规则图形面积的巧算例题1、如图，AB 是∴O 的直径，弦CD ∴AB ，∴CDB=30°，CD=2，则S 阴影=（）A.πB.2πC.D.π【答案】 D【解析】如图，CD ∴AB ，交AB 于点E ， ∴AB 是直径，∴CE=DE=CD=，又∴∴CDB=30° ∴∴COE=60°， ∴OE=1，OC=2， ∴BE=1，∴S ∴BED =S ∴OEC ， ∴S 阴影=S 扇形BOC ==．故选：D ．例题2、如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∴AB，∴COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】∴弦CD∴AB，∴S∴ACD=S∴OCD，∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．例题3、如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）DE为⊙O的切线（2）（24﹣4π）cm2【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=12（4+8）×4﹣2904360π••=（24﹣4π）cm2．随练1、如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是____________．【答案】23π﹣3 【解析】如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =260213602π⨯-×2×3=23π﹣3．随练2、如图，在∴BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的∴O 与CE 相切于点D ，AD ∴OC ，点F为OC 与∴O 的交点，连接AF ．（1）求证：CB 是∴O 的切线；（2）若∴ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【解析】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∴CE与∴O相切于点D，∴OD∴CE，∴∴CDO=90°，∴AD∴OC，∴∴ADO=∴1，∴DAO=∴2，∴OA=OD，∴∴ADO=∴DAO，∴∴1=∴2，在∴CDO和∴CBO中，，∴∴CDO∴∴CBO，∴∴CBO=∴CDO=90°，∴CB是∴O的切线．（2）由（1）可知∴3=∴BCO，∴1=∴2，∴∴ECB=60°，∴∴3=∴ECB=30°，∴∴1=∴2=60°，∴∴4=60°，∴OA=OD，∴∴OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∴∴1=∴ADO，在∴ADG和∴FOG中，，∴∴ADG∴∴FOG，∴S∴ADG=S∴FOG，∴AB=6，∴∴O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF==π．随练3、如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】．【解析】如图，∴AB=AB ′=8，∴BAB ′=60° ∴图中阴影部分的面积是： S=S 扇形B ′AB +S 半圆O ′﹣S 半圆O =+π×52﹣π×52 =π．拓展1、若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（） A.9π B.10π C.12π D.15π【答案】 C【解析】连接OD 、OE ，作OM ⊥DE 于M ， ∵六边形ABCDEF 是边长为4的正六边形， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OD ＝DE ＝4，∴3sin 604232OM OD =•︒=⨯=，∴它的内切圆面积2(23)12=π⨯=π．2、边长为4的正六边形的边心距________，中心角等于________度，边长为________．【答案】 23；60；4【解析】六边形每个中心角度数为360÷6＝60°，根据每个中心角都分六边形为等边三角形，∵正六边形的边长为4，则每个等边三角形的高即圆心距为：sin 6023CO BO =⋅︒=．3、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________．【答案】 2:3 【解析】暂无解析4、如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10=________________．【答案】 75°【解析】设该正十二边形的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，∧3110A A A =512⊙O 的周长，∴∠A3OA10=536012⨯=150°，∴∠A 3A 7A 10=75°，5、（1）已知：如图1，ABC ∆是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+ （2）如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:2PA PC PB =+（3）如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.【答案】见解析【解析】（1）证明：延长BP 至E ,使PE PC =,连结CE .OCABPPODAB COPFDCA1260,3460∠=∠=︒∠=∠=︒60,CPE PCE ∴∠=︒∴∆是等边三角形.，,360,CE PC E ∴=∠=∠=︒又EBC PAC ∠=∠， BEC APC ∴∆∆≌ PA BE PB PC ∴==+.（2）证明：过点B 作BE PB ⊥交PA 于E ,122390,13∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠,又45APB ∠=︒，,2,BP BE PE PB ∴=∴=,,AB BC ABE CBP PC AE =∴∆∆∴=≌.2PA AE PE PC PB ∴=+=+（3）答:3PA PC PB =+证明：在AP 上截取AQ PC =,连结BQ ,,BAP BCP AB BC ∠=∠=,,ABQ CBP ∴∆≅∆BQ BP ∴=.又30,APB ∠=︒3PQ PB ∴=，3PA PQ AQ PB PC ∴=+=+6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC ．（1）若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】（1）78°（2）见解析【解析】（1）∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；（2）∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠BDC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2．7、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（）321E C B ADO PO Q AB C D E F PA.2πB.πC.22D.2 【答案】 B 【解析】取AB 的中点O 、AE 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图， ∵在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2， ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO=90°，∴点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF=OC=2， ∴M 点的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•2π•1=π．8、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为________．【答案】 12π+【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴22112AB =+=；根据题意得：2△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示：∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为2的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积22135(2)190111136023602⨯π⨯⨯π⨯=+⨯⨯+=π+．9、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中AE的长为________．【答案】32 2π【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴222CA AB==，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝135°，∴AE的长度13522321802π==π．10、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．11、用一个圆心角为120°，半径为3的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．【答案】1【解析】暂无解析12、若扇形的半径为30cm ，圆心角为60°，则此扇形围成圆锥的底面半径为 cm ．【答案】 5 【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意得2π•r=6030180π⨯，解得r=5，即圆锥的底面半径为5cm ．故答案为5．13、将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′，使A 、B 、C′在同一直线上，若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________cm 2．【答案】 4π【解析】 ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，∴BC ＝2，23AC =，∠A′BA ＝120°，∠CBC′＝120°，∴阴影部分面积＝（S △A′BC′＋S 扇形BAA ′）－S 扇形BCC′－S △ABC 222120π(42)4πcm 360=⨯-=． 14、一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是__________．【答案】 5：4【解析】如图1，连接OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=222+1=5，∴扇形的面积24555=3608ππ⨯（）；如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC ，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=22， ∴⊙M 的面积是π×（22）2=12π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是515=824ππ÷（）．15、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心DC 长为半径作14圆DEF ，设∠BDF ＝α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为________（14圆：∠EDF ＝90°，14圆的面积21π4r =⋅）【答案】 π－2【解析】作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接DC ，如图所示：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM AD =，DN =， ∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，MDG NDH DMG DNH DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积2218DM AB ==21428=⨯=， ∴四边形DGCH 的面积218AB =， ∵扇形FDE 的面积22290πππ4π3601616CD AB ⋅⨯===， ∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝π－2．16、如图，ABCD 是平行四边形，AB 是O 的直径，点D 在O 上1AD OA ==，则图中阴影部分的面积为__________.【答案】 34 【解析】连接DO EO BE ，，，过点D DF AB F ⊥作于点，1AD OA AD AO DO ==∴==，，AOD ∴∆是等边三角形，ABCD 四边形是平行四边形，//60DC AB CDO DOA ∴∴∠=∠=︒，， ODE ∴∆是等边三角形，同理可得出OBE ∆是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于BCE ∆面积，36012DF ADsin DE EC =︒===，， ∴图中阴影部分的面积为：34．。

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《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两
条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等
的一条直线。

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内
2、点在圆上
3、点在圆外
⇒ d <r ⇒
⇒ d =r ⇒
⇒ d >r ⇒
点C 在圆内；
点B 在圆上；
点A 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d >r ⇒ 无交点；
2、直线与圆相切⇒d =r ⇒ 有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d <r ⇒ 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图 1）⇒ 无交点⇒d >R +r ；
外切（图 2）⇒ 有一个交点⇒d =R +r ；
相交（图 3）⇒ 有两个交点⇒R -r <d <R +r ；
内切（图 4）⇒ 有一个交点⇒d =R -r ；
内含（图 5）⇒ 无交点⇒d <R -r ；
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：
①AB 是直径② AB ⊥CD ③ CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD
∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对
的弧相等，弦心距相等。

此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论
中，
只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① ∠AOB =∠DOE ；② AB =DE ；
③ OC =OF ；④ 弧BA =弧BD
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一
半。

即：∵ ∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴ ∠AOB =2∠ACB
2、圆周角定理的推论：
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的
圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙ O 中，∵ ∠C 、∠D 都是所对的圆周角
∴ ∠C =∠D
推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵ AB 是直径或∵∠C = 90︒
∴ ∠C = 90︒∴ AB 是直径
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形。

即：在△ ABC 中，∵ OC =OA =OB
∴△ ABC 是直角三角形或∠C = 90︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙ O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∠B +∠D = 180︒
∴∠C +∠BAD =180︒
∠DAE =∠C
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端
∴ MN 是⊙ O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵ PA 、PB 是的两条切线
∴ PA =PB
PO 平分∠BPA
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙ O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
∴ PA ⋅PB =PC ⋅PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项。

即：在⊙ O 中，∵直径AB ⊥CD ，
∴C E2=AE ⋅BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切
线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

O O 2 - CO 2
1 2 2
3 即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线
∴ PA 2 = PC ⋅ PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段
长的积相等（如上图）。

即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴ PC ⋅ PB = PD ⋅ PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的
的公共弦。

如图： O 1O 2 垂直平分 AB 。

即：∵⊙ O 1 、⊙ O 2 相交于 A 、 B 两点
∴ O 1O 2 垂直平分 AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长： Rt ∆O O C 中， AB 2 = CO 2 =
； 1 2
1
（2）外公切线长： CO 2 是半径之差；内公切线长： CO 2 是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 Rt ∆BOD 中进行：
OD : BD : OB = 1: : 2 ；
2 （2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 Rt ∆OAE 中进行， OE : AE : OA = 1:1: ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 Rt ∆OAB 中进行， AB : OB : OA = 1:
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式： l =
n R
；
180
: 2 .
（2）扇形面积公式： n R 2 1
S =
= lR 360 2
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径
l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
S 表底= S 侧 + 2S = 2
rh + 2
r 2
（2）圆柱的体积：V = r 2h
（2）圆锥侧面展开图（1） S 表底= S 侧 + S =
Rr +
r 2
（2）圆锥的体积：V =
1r 2 h
3
3。