2022(乙卷)数学(理科)-附答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则()A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M2.已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则()A. a=1，b=−2B. a=−1，b=2C. a=1，b=2D. a=−1，b=−23.已知向量a，b满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，|a⃗−2b⃗ |=3，则a⃗·b⃗ =()A. −2B. −1C. 1D. 24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n}:b1=1+1a1，b2=1+1α1+1a2，，⋯，依此类推，其中a k∈N∗(k=1,2,⋯).则()A. b1<b5B. b3<b sC. b6<b2D. b4<b75.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=()A. 2B. 2√2C. 3D. 3√26.执行右边的程序框图，输出的n=()A. 3B. 4C. 5D. 67.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A. 平面B1EF⊥平面BDD1B. 平面B1EF⊥平面A1BDC. 平面B1EF//平面A1ACD. 平面B1EF//平面A1C1D8. 已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2−a 5=42，则a 6=( )A. 14B. 12C. 6D. 39. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A. 13B. 12C. √33D. √2210. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p 1，p 2，p 3，且p 3>p 2>p 1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( )A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11. 对曲线C 的两个焦点为F 1 ，F 2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C交于M ，N 两点，且cos∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A. √52B. 32C. √132D. √17212. 已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)+g(2−x)=5，g(x)−f(x −4)=7，若y =g(x)的图像关于直线x =2对称，g(2)=4，则∑f 22k=1(k)=( )A. −21B. −22C. −23D. −24二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 14. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 ．15. 记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为 ．16. 已知x =x 1和x =x 2分别是函数f(x)=2a x −ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点，若x 1<x 2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)证明：2a 2=b 2+c 2;(2)若a =5，cosA =2531，求ΔABC 的周长．18. 如图，四面体ABCD 中AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD;(2)设AB =BD =2，∠ACB =600，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．19. 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m 2)和材积量(m 3)，得到如下数据：样本数号i 12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y 1=0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(x i −x )n i=1(y i −y )√∑(x i −x )2ni=1∑(y i −y )2n i=1，√1.896≈1.377．20. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点(1)求E 的方程;(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：直线HN 过定点． 21. 已知函数f(x)=ln(1+x)+axe −x ．(1)当a =1时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程：(2)若f(x)在区间(−1,0)，(0,+∞)各恰有一个零点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为{x=√3cos2ty=2sint(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m=0．(1)写出l的直角坐标方程：(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．已知a.b.c为正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤1 9(2)ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，补集的运算，属于基础题．【解答】解：因为全集U={1,2,3,4,5}，∁U M={1,3}，所以M={2,4,5}，所以2∈M，A选项正确．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查共轭复数和复数相等，属于基础题．根据题干表示z，再出列出复数相等的等式，即可求解a，b．【解答】解：由题设，z=1−2i，z=1+2i，代入有a+b+1+(2a−2)i=0，故a=1，b=−2．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量数量积运算．【解答】解：由题设，|a⃗−2b⃗ |=3，得|a⃗|−4a⃗⋅b⃗ +4|b⃗ |2=9，代入|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，有4a⃗⋅b⃗ =4，故a⃗·b⃗ =14.【答案】D【解析】【分析】本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题． 利用递推关系进行大小的比较． 【解答】解： 由已知 b 1=1+1a 1， b 2=1+1a 1+1a 2， 1a 1>1a 1+1a 2，故 b 1>b 2; 同理可得 b 2<b 3 ，b 1>b 3, 又因为 1a 2>1a 2+1a 3+1a4 ，故 b 2<b 4 ，于是得 b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>b 6>b 7>... ，排除 A ．1a 2>1a 2+1a 3+ (1)a6，故 b 2<b 6 ，排除 C ，而 b 1>b 7>b 8 ，排除 B ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题． 【解答】解： 易知抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F(1,0) ，于是有 |BF|=2 ，故 |AF|=2 ，注意到抛物线通径 2p =4 ，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知 AF 必为半焦点弦，于是有 AF ⊥x 轴， 于是有 |AB|=√22+22=2√2 ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查程序框图，属于基础题． 【解答】解： 第一次循环： b =1+1×2=3 ， a =3−1=2 ， n =1+1=2 ， |b 2a 2−2|=|(32)2−2|=14>0.01第二次循环： b =3+2×2=7 ， a =7−2=5 ， n =2+1=3 ， |b 2a 2−2|=|(75)2−2|=325>0.01第三次循环， b =7+2×5=17 ， a =17−5=12 ， n =3+1=4 ， |b 2a 2−2|=|(1712)2−2|=1144<0.01故输出 n =47.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题． 【解答】解： 对于 A 选项：在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，因为 EF 分别为 AB ， BC 的中点，易知EF ⊥BD ，从而 EF ⊥ 平面 BDD 1 ，又因为 EF ⊂ 平面 BDD 1 ，所以平面 B 1EF ⊥ 平面 BDD 1 ， 所以 A 选项正确 ;对于 B 选项：因为平面 A 1BD ∩ 平面 BDD 1=BD ，由上述过程易知平面 B 1EF ⊥ 平面A 1BD 不成立 ;对于 C 选项的直线 AA 1 与直线 B 1E 必相交，故平面 B 1EF// 面 A 1AC 有公共 点，从而 C 的错误 ;对于 D 选项：连接 AC ， AB 1 ， B 1C ，易知平面 AB 1C// 平面 A 1C 1D ， 又因为平面 AB 1C 与平面 B 1EF 有公共点 B 1 ，故平面 AB 1C 与平面 B 1EF 不平行，所以 D 选项错误．8.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查等比数列前 n 项和中的基本量计算，属于基础题． 根据题干列出等式求得 a 1 与 q ，进而求出 a 6 ． 【解答】解： 设等比数列 {a n } 首项 a 1 ，公比 q ．由题意， {a 1+a 2+a 3=168a 2−a 5=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q 3)=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q)(1+q +q 2)=42解得， q =12 ， a 1=96 ，所以 a 6=a 1q 5=3 ．9.【答案】C【解析】 【分析】本题考查圆锥体积，最值计算． 【解答】解： 考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是 边长为 a 的正方形，底面所在圆面的半径为 r ，则 r =√22a ，所以该四棱锥的高 ℎ=√1−a 22，所以体积V =13a 2√1−a 22，设 a 2=t (0<t <2) ，V =13√t 2−t 32 ， (t 2−t 32)′=2t −3t 22，当 0<t <43 ， (t 2−t 32)′>0 ，单调递增，当 43<t <2 ， (t 2−t 32)′<0 ，单调递减，所以当 t =43 时， V 取最大，此时 ℎ=√1−a 22=√33，10.【答案】D【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．根据题意计算出P甲，P乙，P丙，然后作差比较大小．【解答】解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙由题意P甲=p1[p2(1−p3)+p3(1−p2)]=p1p2+p1p3−2p1p2p3，P乙=p2[p1(1−p3)+p3(1−p1)]=p1p2+p2p3−2p1p2p3，P丙=p3[p1(1−p2)+p2(1−p1)]=p1p3+p2p3−2p1p2p3，所以P丙−P甲=p2(p3−p1)>0，P丙−P乙=p1(p3−p2)>0，所以P丙最大．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．【解答】解：由题意，点N在双曲线右支.记切点为点A，连接AD，则AD⊥MN，|AD|= a，又|DF1||=c，则|AF1|=√c2−a2=b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，连接F2N，则F2B//DA，又点D为F1F2中点，则|F2B|=2|DA|=2a，|F1B|=2|AF1|=2b．由cos∠F1NF2=35，得sin∠F1NF2=45，tan∠F1NF2=43所以|F2N|=|F2B|sin∠F1NF2=5a2，|BN|=|F2B|tan∠F1NF2=3a2．故 |F 1N|=|F 1B|+|BN|=2b +3a 2，由双曲线定义， |F 1N|−|F 2N|=2a ，则 2b −a =2a ，即 ba =32 ，所以 e =√1+b 2a2=√1+94=√132.( 此题是否有另外一解，待官方公布 )12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题． 【解答】解： 若 y =g(x) 的图像关于直线 x =2 对称，则 g(2−x)=g(2+x) ，因为 f(x)+g(2−x)=5 ，所以 f(−x)+g(2+x)=5 ，故 f(−x)=f(x) ， f(x) 为偶函数 . 由g(2)=4 ， f(0)+g(2)=5 ，得 f(0)=1. 由 g(x)−f(x −4)=7 ，得 g(2−x)=f(−x −2)+7 ，代入 f(x)+g(2−x)=5 ，得 f(x)+f(−x −2)=−2 ， f(x) 关于点 (−1,−1) 中心对称，所以f(1)=f(−1)=−1. 由 f(x)+f(−x −2)=−2 ， f(−x)=f(x) ，得 f(x)+f(x +2)=−2 ，所以 f(x +2)+f(x +4)=−2 ，故 f(x +4)=f(x) ， f(x) 周期为 4. 由 f(0)+f(2)=−2 ，得f(2)=−3 ，又 f(3)=f(−1)=f(1)=−1 ，所以 ∑f 22k=1(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=11×(−1)+5×1+6×(−3)=−24 ．13.【答案】310【解析】 【分析】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题． 【解答】解：设“甲、乙都入选”为事件 A ，则 P(A)=C 31C 53=310 ．14.【答案】(x −2)2+(y −3)2=13或(x −2)2+(y −1)2=5或(x −43)2+(y −73)2=659或(x −85)2+(y −1)2=16925【解析】 【分析】本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可． 【解答】解：设点 A(0,0) ， B(4,0) ， C(−1,1) ， D(4,2) ．(1) 若圆过 A 、 B 、 C 三圆圆心在直线 x =2 ， 设圆心坐标为 (2,a) ， 则 4+a 2=9+(a −1)2⇒a =3 ， r =√4+a 2=√13 ，所以圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=13;(2) 若圆过 A 、 B 、 D 三点， 同 (1) 设圆心坐标为 (2,a) ，则 4+a 2=4+(a −2)2⇒a =1 ， r =√4+a 2=√5 ，所以圆的方程为 (x −2)2+(y −1)2=5;(3) 若圆过 A 、 C 、 D 三点，则线段 AC 的中垂线方程为 y =x +1 ，线段 AD 的中垂线方程为 y =−2x +5 ，联立得 {x =43y =73⇒r =√169+499=√653 ，所以圆的方程为 (x −43)2+(y −73)2=659;(4) 若圆过 B 、 C 、 D 三点，则线段 BD 的中垂线方程为 y =1 ，线段 BC 中垂线方程为 y =5x −7 ，联立得 {x =85y =1⇒r =√(85−4)2+1=135, 所以圆的方程 (x −85)+(y −1)2=16925．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查由余弦函数值求参．【解答】解：f(T)=f(0)=cosφ=√32，且0<φ<π，故φ=π6，f(π9)=cos(π9ω+π6)=0⇒π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z)⇒ω=3+9k(k∈Z)，又ω>0，故ω的最小值为3．16.【答案】(1e,1)【解析】【分析】本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题．求导，转化为f′(x)=2(a x lna−ex)至少要有两个零点x=x1和x=x2，构造函数ℎ(x)=f′(x)，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．【解答】解：f′(x)=2(a x lna−ex)至少要有两个零点x=x1和x=x2，构造函数ℎ(x)=f′(x)=2(a x lna−ex)，对其求导，ℎ′(x)=2a x(lna)2−2e，(1)若a>1，则ℎ′(x)在R上单调递增，此时若ℎ′(x0)=0，则f′(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，此时若有x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x1>x2，不符合题意，(2)若0<a<1，则ℎ′(x)在R上单调递减，此时若ℎ′(x0)=0，则f′(x)在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，令ℎ′(x0)=0，则x0=e(lna)2，此时若有x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，且x1<x2，则需满足f′(x0)>0，即f′(x0)=2(2(a x0lna−ex0)=2(elna −ex0)>0,x0<1lna,x0lna>1,故lna x0=x0lna=ln e(lna)2>1，所以a∈(1e,1)．17.【答案】解：(1)证明：已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)可化简为sinCsinAcosB −sinCcosAsinB =sinBsinCcosA −sinBcosCsinA ，由正弦定理可得accosB −bccosA =bccosA −abcosC ，即accosB =2bccosA −abcosC ， 由余弦定理可得aca 2+c 2−b 22ac=2bcb 2+c 2−a 22bc−aba 2+b 2−c 22ab，即证2a 2=b 2+c 2，(2)由(1)可知b 2+c 2=2a 2=50，cosA =b 2+c 2−a 22bc=50−252bc=252bc=2531，∴2bc =31，∵b 2+c 2+2bc =(b +c)2=81， ∴b +c =9，∴a +b +c =14，∴ΔABC 的周长为14． 【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目．(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证； (2)由余弦定理求出a +b 即可得出三角形的周长．18.【答案】解：(1)∵AD =CD ，∠ADB =∠BDC 且BD 为公共边∴△ADB 与△BDC 全等，∴AB =BC ．又∵E 为AC 中点且AD =CD ，∴DE ⊥AC ，同理BE ⊥AC ． 又∵DE ∩BE =E ，且均含于平面BED ，∴AC ⊥平面BED ． 又∵AC ⊂平面ACD ，∴平面BED ⊥平面ACD ．(2)在ΔABC 中，AB =2，∠ACB =600，AB =BC ∴AC =2，BE =√3．在△ACD 中，，AD ⊥CD ，AD =CD ，AC =2，E 为AC 中点，∴DE ⊥AC ，DE =1． 又∵BD =2，∴DE 2+BE 2=BD 2，即DE ⊥BE ． ∴直线AC 、直线ED 、直线EB 两两互相垂直． 由点F 在BD 上且△ADB 与△BDC 全等，∴AF =FC ， 由于E 为AC 中点∴EF ⊥AC 当ΔAFC 的面积最小时∴EF ⊥BD在RtΔDEB 中，∵BE =√3，DE =1∴EF =√32，BF =32如图，以点E 为坐标原点，直线AC 、EB 、ED 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． C(−1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,√3,0)、D(0,0,1)、F(0,√34,34)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0) ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√34,34)设平面ABD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z) 可得{BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0设y =1∴m ⃗⃗⃗ =(√3,1,√3)设m ⃗⃗⃗ 与CF⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为α，CF 与平面ABD 所成角的为θ ∴sinθ=|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |·|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=4√37 所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为4√37．【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．19.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为x ，平均一个的材积量为y ， 则x =0.610=0.06，y =3.910=0.39．(2)r =i n i=1i −nx y√(∑x i i=1−nx 2)(∑y i i=1−ny 2)=√0.038−10×0.062√1.6158−10×039)2=√0.002×0.0948=0.01×√1.896=0.01340.01377=0.97； (3)设从根部面积总和为X ，总材积量为Y ，则XY =xy ，故Y =3.90.6×186=1209(m 3). 【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．20.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，将A(0,−2)，B(32,−1)两点代入得 {4b 2=194a 2+1b2=1，解得a 2=3，b 2=4，故E 的方程为x 23+y 24=1．(2)由A(0,−2)，B(32,−1)可得直线AB:y =23x −2 ①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1.代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)， N(1,−2√63)，将y =2√63代入AB:y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得H(2√6+5,2√63).易求得此时直线HN:y =(2−2√63)x −2.过点(0,−2)； ②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx −y −(k +2)=0，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)。