高中物理竞赛-原子物理：X光衍射-晶体对X射线的衍射方向(共38张PPT) 课件
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2020年高中物理竞赛-原子物理：X光衍射-晶体对X射线的衍射强度(共21张PPT) 课件
面心晶胞：四个原子坐标分别是(0 0 0)，(½ ½ 0)， (½ 0 ½)，(0 ½ ½)
| F | fei2 0 fei2 h/ 2k / 2 fe fe i2 k / 2l / 2 i2 l / 2h/ 2
f 1 ei hk ei kl ei lh
当h, k, l为全奇或全偶，(h+k)，(k+l) 和
不同原子的振幅：
A1 A0 exp(i2 s r1)
A2 A0 exp(i2 s r2 )
……
Aj A0 exp(i2 s rj )
A1 A1 A3 AN
A0 exp(i2 s r1) A0 exp(i2 s r2 ) A0 exp(i2 s rN )
N
A0 exp(i2 s rj ) j 1
A(x) A0ei2 sr
S0/l
r为实空间中原子的位置矢量
r u ja1 v ja2 wja3
s为倒易空间中倒易点的矢量
A
S0/l r
s S/l
s
O
S0/l
s hb1 kb2 lb3
s r u ja1 v ja2 wja3 hb1 kb2 lb3
hu j kvj lw j
(h+k)一定是整数，分两种情况：
（1）如果h和k均为偶数或均为奇数，则和为偶数 |F| = 2f |F|2 = 4f 2
（2）如果h和k一奇一偶，则和为奇数 |F| = 0 |F|2 = 0
不论哪种情况，l值对|F|均无影响。111,112,113或021,022,023的|F| 值均为2f。011，012，013或101，102，103的|F|值均为0。
系统消光：由于原子在晶胞中位置不 同而导致某些衍射方向的强度为零
2022-2023学年高二物理竞赛：晶体对X-射线的衍射
a b 1102 2 106 m 5000
k
a b sin
2 106 5.893107
3.4
最多能看到3级条纹。 k 0，1, 2, 3
φ
λ
f
d sin
观察屏 P
o
d(sin sin )
d(sin si以观察到更高级次的谱线
例 题 ： 用 方 解 石 分 析 X- 射 线 谱 。 已 知 方 解 石 的 晶 格 常 数 为 3.029×10-10m。今在43020'和40042'的掠射方向上观察到第一 级衍射谱线有两条。求这两条谱线的波长。 解：根据布拉格公式 2d sin k，k =1, 2, 3
德 拜 法 （ 粉 末 法 ） 2d sin k，k=1, 2,3
用单一波长的X射线照射多晶粉末上。大量取向无规则的晶粒为 射线提供了满足布拉格条件的可能性。
用德拜相可以确定晶格常数
德拜相
三、X-射线的应用及防护
1、由于X射线穿透力强，可以穿透肌肉组织，但不易穿透骨 骼。在医学上的应用可以检查人体生理结构上的变化。
CT扫描：把不同角度的X射线影像合成成三维图像
2、波长更短的X射线可以穿透金属探查其内部的缺损。 3、通过衍射光谱的分析，确定晶体的结构；也可根据已知的
晶体结构，分析X射线谱。
• 已知θ、 可测d — X 射线晶体结构分析。 • 已知θ、d 可测 — X 射线光谱分析。
4、X射线的防护
X线照射生物体时，可以直接破坏机体内某些大分子结构，如使蛋白分子链 断裂、核糖核酸或脱氧核糖核酸的断裂、破坏一些对物质代谢有重要意义的酶等， 甚至可直接损伤细胞结构。
NaCl 晶体点阵
内部原子在三维空间周期性排列
2022-2023学年高二物理竞赛课件：晶体结构和X-射线衍射
所联系的各点的列阵即为倒格。
1.
2.
3.
4.
(h1h2h3)
晶体结构
正格
1.
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列；
4.线度量纲为[长度]
倒格 1.
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
晶体X射线衍射
基矢：固体物理学原胞基矢通常用
表示。
体积：
2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞） 构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。 它具有明显的对称性和周期性。
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上
及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
基矢：结晶学原胞的基矢一般用
表示。
1.面心立方
ak
aj
ai
2.体心立方
ak
aj
ai
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a3 a i j 2
平均每个布拉维 原胞包含4个格点。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布拉维原 胞包含2个格点。
典型的晶体结构
晶体结构和X-射线衍射
总结
❖ 晶体的特征 ❖ 晶体结构及其描述 ❖ 晶体的对称性 ❖ 倒格 ❖ 晶体X射线衍射
晶体的特征
1.微观特征
单晶体
晶体： 长程有序 多晶体 固体分类 准晶体：有长程取向性,而没有长程的平移对称性。
(按结构) 非晶体： 不具有长程序的特点，短程有序。
长程有序：至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。
1.
2.
3.
4.
(h1h2h3)
晶体结构
正格
1.
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列；
4.线度量纲为[长度]
倒格 1.
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
晶体X射线衍射
基矢：固体物理学原胞基矢通常用
表示。
体积：
2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞） 构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。 它具有明显的对称性和周期性。
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上
及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
基矢：结晶学原胞的基矢一般用
表示。
1.面心立方
ak
aj
ai
2.体心立方
ak
aj
ai
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a3 a i j 2
平均每个布拉维 原胞包含4个格点。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布拉维原 胞包含2个格点。
典型的晶体结构
晶体结构和X-射线衍射
总结
❖ 晶体的特征 ❖ 晶体结构及其描述 ❖ 晶体的对称性 ❖ 倒格 ❖ 晶体X射线衍射
晶体的特征
1.微观特征
单晶体
晶体： 长程有序 多晶体 固体分类 准晶体：有长程取向性,而没有长程的平移对称性。
(按结构) 非晶体： 不具有长程序的特点，短程有序。
长程有序：至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。
高二物理竞赛X射线的发射谱课件
hc 斑点的位置反映了对应晶面的方向.
h 电子的速度（动能）减小是连续的，与之伴随的电磁辐射因而是连续的。
0
☆对一定是电子到达靶子的动能。
☆Rh对(铑一）定K的系阳标极识靶谱材精料细，结产构生标识短谱的波外加限电压的有一物个临理界值意。义：加速电子的动能全部转成电磁辐射能。
当电子的能量(加速电压) 超过某一临界值时,在连续谱的背景上 迭加一些线状谱。
Rh(铑）K系标识谱精细结构
2.标识谱的特点
☆对一定的阳极靶材料，产生标识谱的外加电压有一个临界值。
☆标识谱线的位置与外加电压无关，而 只与靶材元素有关，因而这些线状谱 可作为元素的标识;
☆不同元素的线系结构相似，都分为 K,L,M,……等线系；且谱线具有精细 结构，K系分为K , K , K;L,系分为
二、X射线的标识（特征）谱
短波限 与加在射线管上的电压V的关系： 利用上节所述X摄线谱仪，可以用相片、电离室等探测或记录方法获得X射线发射谱。
由于大的单晶体甚少,德拜（荷兰）利用晶体粉末（压成圆柱形）对X射线的衍射作实验,其装置如图.
连续谱：波长连续变化的部分；
0
当高速电子击中靶，与靶原子相互作用（碰撞）而速度骤减。
•医学和工业上使用的X射线主要 是连续谱部分。
2.连续谱的短波限 连续谱上存在一短波限（最短波长）。 与加在射线管上的电压有关，而与靶 材无关。
钨靶在不同电压下的X射线发射谱
短波限的物理意义：加速电子的动能全部转成电磁辐射能。
当电子的能量(加速电压) 超过某一临界值时,在连续谱的背景上迭加一些线状谱。
钼靶的X射线发射谱
一、X射线的连续谱
1.连续谱产生机制—轫致辐射Bremsstrahlung Radiantion
晶体的X射线衍射理论课件
01
X射线衍射实验方法
通过X射线衍射实验，获取晶体的衍射图谱，进一步分析点阵参数。
02
点阵常数的计算
利用衍射图谱中的衍射角、波长等信息，计算晶体的点阵常数。
03
点阵类型的确定
根据点阵常数的计算结果和晶体对称性，确定晶体的点阵类型。
晶体结构解析实例
结构因子的计算
以具体晶体为例，计算 其结构因子，为后续的 晶体结构解析奠定基础。
倒易点阵与正点阵关系 倒易点阵是在倒易空间中描述晶体衍射的点阵，与正点阵 存在倒数关系，即正点阵中晶胞体积越大，倒易点阵中对 应点越密集。
倒易空间中矢量运算 倒易空间中矢量运算遵循与正空间相同的规则，如点乘、 叉乘等，方便进行衍射计算。
衍射几何关系建立
布拉格方程
01
布拉格方程描述了晶体衍射中入射X射线、衍射X射线和晶格平
X射线产生与特性
X射线产生
X射线管中的电子在高压电场下被 加速撞击金属靶而产生的。
X射线特性
波长短、穿透力强、散射能力强等。
晶体与X射线相互作用
衍射现象
X射线通过晶体时，受到晶体内部原子的散射而发生干涉现象，形 成衍射图谱。
布拉格方程
描述衍射现象的基本方程，可用于计算晶格常数、晶面间距等参数。
衍射实验方法
衍射花样形成机制
衍射花样
晶体衍射实验得到的衍射图谱， 反映了晶体内部原子排列的信息。
形成机制
X射线在晶体中产生衍射，形成 一系列不同角度的衍射束，这些 衍射束相互干涉，形成特定的衍
射花样。
衍射花样分析
通过对衍射花样进行指标化、点 阵类型确定和晶胞参数计算等步 骤，可以解析出晶体的结构信息。
03
衍射实验方法与技巧
X射线衍射实验方法
通过X射线衍射实验，获取晶体的衍射图谱，进一步分析点阵参数。
02
点阵常数的计算
利用衍射图谱中的衍射角、波长等信息，计算晶体的点阵常数。
03
点阵类型的确定
根据点阵常数的计算结果和晶体对称性，确定晶体的点阵类型。
晶体结构解析实例
结构因子的计算
以具体晶体为例，计算 其结构因子，为后续的 晶体结构解析奠定基础。
倒易点阵与正点阵关系 倒易点阵是在倒易空间中描述晶体衍射的点阵，与正点阵 存在倒数关系，即正点阵中晶胞体积越大，倒易点阵中对 应点越密集。
倒易空间中矢量运算 倒易空间中矢量运算遵循与正空间相同的规则，如点乘、 叉乘等，方便进行衍射计算。
衍射几何关系建立
布拉格方程
01
布拉格方程描述了晶体衍射中入射X射线、衍射X射线和晶格平
X射线产生与特性
X射线产生
X射线管中的电子在高压电场下被 加速撞击金属靶而产生的。
X射线特性
波长短、穿透力强、散射能力强等。
晶体与X射线相互作用
衍射现象
X射线通过晶体时，受到晶体内部原子的散射而发生干涉现象，形 成衍射图谱。
布拉格方程
描述衍射现象的基本方程，可用于计算晶格常数、晶面间距等参数。
衍射实验方法
衍射花样形成机制
衍射花样
晶体衍射实验得到的衍射图谱， 反映了晶体内部原子排列的信息。
形成机制
X射线在晶体中产生衍射，形成 一系列不同角度的衍射束，这些 衍射束相互干涉，形成特定的衍
射花样。
衍射花样分析
通过对衍射花样进行指标化、点 阵类型确定和晶胞参数计算等步 骤，可以解析出晶体的结构信息。
03
衍射实验方法与技巧
高二物理竞赛晶体的X射线衍射课件
当波矢为 k0 的X射线投射 到格点 O 和 A 时，
A
受到散射，形成散射波 k 。
11
设在某个方向上的散射波波矢为 k ，忽略康普顿效应，则入射光波矢的大小与
散射波波矢的大小相等：
k0 k
两个格点散射波之间的光程差为：
AB
AC R
k0
R
k
R
(k0
k)
k0
k
k0
R cos R cos
中垂面截去正八面体的6个角，形成十四面（或截 角八面体），其体积等于体心立方倒格子原胞的 体积。
8
面心立方晶格第一布里渊区一些特殊对称点
[100]
[001]
x
[111]
L Γ
x [010]
x
k
[110]
2 (0,0,0) 布里渊区中心
a
L
2
1 (
1 ,
1 ,
a 22 2
)布里渊区边界与 [111]轴的交点
衍射（加强）极大的条件为：
R
(k0
k)
m
,
m 0,1,2,3,
k0
令：
k0
2
12
衍射（加强）极大的条件表示为：
R (k0 k ) 2m, m 0,1,2,3,
根据倒格子平移矢量和正格子平移矢量的关系式：
R
G
2m
m 0,1,2,3,
பைடு நூலகம்
衍射极大条件可以用倒格矢表示为：
R G 2m
3
第三布里渊区：
离原点再次远近邻的４个倒格点： (n1 2, n2 0), (n1 2, n2 0), (n1 0, n2 2), (n1 0, n2 2)
高二物理竞赛课件：X射线在晶体中的衍射
X射线晶体衍射与光栅衍射的主要区别在于一个是三维 的，一个是一维的
8
二维点阵衍射的 0 级主极 大方向是所有的衍射线之 间没有光程差的方向
衍射线在垂直于y轴方向
9
• 布拉格公式
1
2
X射线以掠射角θ射到一 组晶面上，晶面间距为
1
A
d，来自不同晶面的 “反射线”为1和2。它 们的光程差为：
C
D
2
B
d
3
Δ BC BD 2d sin
d1
如果 2d sin k, k 1,2,3,...
各层面上的反射光相干加强，形成亮点，为 k 级干涉主极 大。该式称布拉格公式。
• 晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各不相同, 相应的干涉极大有不同的
• 对于一定方向入射的X射线，如果晶体方向固定（相
3
X射线的产生与特点
高压
1895年伦琴发现，高速电子撞
- 击某些固体时，会产生一种看
KA
+
不见的射线，它能够透过许多
对可见光不透明的物质，对感 光乳胶有感光作用，并能使许
X射线管
X射线
多物质产生荧光，这就是所谓
的X射线或伦琴射线。
原子内壳层电子跃迁产 生的一种辐射和高速电 子在靶上骤然减速时伴 随的辐射，称为X 射线
粉末法: 用单色的X射线照射在多晶粉末上，给定波长但 不限定晶体取向，大量无规取向的晶粒为射线提供了满 足布拉格条件的充分可能性。用这种方法得到的衍射图 样称为德拜相。
12
X射线的应用
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，而且 用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广 泛的应用。
1953年英国的威尔 金斯、沃森和克里 克利用X 射线的结 构分析得到了遗传 基因脱氧核糖核酸 （DNA) 的双螺旋 结构，荣获了1962 年度诺贝尔生物和 医学奖。
8
二维点阵衍射的 0 级主极 大方向是所有的衍射线之 间没有光程差的方向
衍射线在垂直于y轴方向
9
• 布拉格公式
1
2
X射线以掠射角θ射到一 组晶面上，晶面间距为
1
A
d，来自不同晶面的 “反射线”为1和2。它 们的光程差为：
C
D
2
B
d
3
Δ BC BD 2d sin
d1
如果 2d sin k, k 1,2,3,...
各层面上的反射光相干加强，形成亮点，为 k 级干涉主极 大。该式称布拉格公式。
• 晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各不相同, 相应的干涉极大有不同的
• 对于一定方向入射的X射线，如果晶体方向固定（相
3
X射线的产生与特点
高压
1895年伦琴发现，高速电子撞
- 击某些固体时，会产生一种看
KA
+
不见的射线，它能够透过许多
对可见光不透明的物质，对感 光乳胶有感光作用，并能使许
X射线管
X射线
多物质产生荧光，这就是所谓
的X射线或伦琴射线。
原子内壳层电子跃迁产 生的一种辐射和高速电 子在靶上骤然减速时伴 随的辐射，称为X 射线
粉末法: 用单色的X射线照射在多晶粉末上，给定波长但 不限定晶体取向，大量无规取向的晶粒为射线提供了满 足布拉格条件的充分可能性。用这种方法得到的衍射图 样称为德拜相。
12
X射线的应用
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，而且 用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广 泛的应用。
1953年英国的威尔 金斯、沃森和克里 克利用X 射线的结 构分析得到了遗传 基因脱氧核糖核酸 （DNA) 的双螺旋 结构，荣获了1962 年度诺贝尔生物和 医学奖。
高二物理竞赛晶体的X射线衍射课件
(4)只讨论布拉伐晶格。
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
S Rl
波程差
C O
D
CO OD Rl S 0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数) ---劳厄衍射方程
波矢 k0 2π S0 , k 2π S
h2 R2
a
h12 h22
二维正方格子的布里渊区
2. 面心立方和体心立方晶格的中心布里渊区
fcc的中心布里渊区 截角八面体
bcc的中心布里渊区 菱形十二面体
fcc布里渊区中的高对称点和高对称方向
Γ: 2π/a(0, 0, 0)
Δ: 2π/a(δ, 0, 0)
Χ: 2π/a(1, 0, 0)
Λ: 2π/a(λ,λ, λ)
1、晶体的X射线衍射
本节主要内容: 6.1 X射线衍射的基本方法 6.2 X射线衍射方程 6.3 晶体结构的测定
6.1 X射线衍射的基本方法
X射线是由被高电压U加速了的电子，打击在“靶极”物质上 而产生的一种电磁波。
h max eU
c h eU
min
min
hc eU
1.2 103 U
(nm)
2dh1h2h3 sin n
6.3 晶体结构的测定
衍射斑 点分布
倒格点 的分布
倒格点 对称性
晶格的 对称性
布里渊区
• 定义：布里渊区是倒空间中由倒格矢的中垂 面（二维为中垂线）所围成的区域，按序号 由倒空间的原点逐步向外扩展，每个布里渊 区的体积（或面积）等于倒格子原胞的体积 （或面积）。
• 第一布里渊区是倒格矢的中垂面所围成的最 小区域，是倒空间中的对称性原胞，又称中 心布区。第n布里渊区在跨越第(n-1)布里渊区 的边界后到达。
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
S Rl
波程差
C O
D
CO OD Rl S 0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数) ---劳厄衍射方程
波矢 k0 2π S0 , k 2π S
h2 R2
a
h12 h22
二维正方格子的布里渊区
2. 面心立方和体心立方晶格的中心布里渊区
fcc的中心布里渊区 截角八面体
bcc的中心布里渊区 菱形十二面体
fcc布里渊区中的高对称点和高对称方向
Γ: 2π/a(0, 0, 0)
Δ: 2π/a(δ, 0, 0)
Χ: 2π/a(1, 0, 0)
Λ: 2π/a(λ,λ, λ)
1、晶体的X射线衍射
本节主要内容: 6.1 X射线衍射的基本方法 6.2 X射线衍射方程 6.3 晶体结构的测定
6.1 X射线衍射的基本方法
X射线是由被高电压U加速了的电子，打击在“靶极”物质上 而产生的一种电磁波。
h max eU
c h eU
min
min
hc eU
1.2 103 U
(nm)
2dh1h2h3 sin n
6.3 晶体结构的测定
衍射斑 点分布
倒格点 的分布
倒格点 对称性
晶格的 对称性
布里渊区
• 定义：布里渊区是倒空间中由倒格矢的中垂 面（二维为中垂线）所围成的区域，按序号 由倒空间的原点逐步向外扩展，每个布里渊 区的体积（或面积）等于倒格子原胞的体积 （或面积）。
• 第一布里渊区是倒格矢的中垂面所围成的最 小区域，是倒空间中的对称性原胞，又称中 心布区。第n布里渊区在跨越第(n-1)布里渊区 的边界后到达。
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dl 1 2 sin q
sinq的最大值为1，可知最小测定d尺寸为l/2， 理论上最大可测尺寸为无穷大，实际上为几个
1 2 sin q dl
q
O 2q
入射线和衍射线之间的夹角为2q ，为实际工作中所 测的角度，习惯上称2q角为衍射角，称q为Bragg角。
关于Bragg方程的讨论
(1) X射线衍射与可见光反射的差异
S0/l
S/l
导出Bragg方程
S/l
q
s
q
S0 /l
| s | 2sin q 1 ld
即l = 2dsinq
导出Laue方程
s
S
S0
l
hb1
kb2
lb3
a1
•
S
S0
l
a1
•
(hb1
kb2
lb3
)
h
a1 • (S S0 ) hl
同理
a2 • (S S0 ) kl a3 • (S S0 ) ll
有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定 出现衍射线，即所谓系统消光
3.1.2 Polyanyi方程
S
S0
a
S0
S
X
光程差
a sin nl
a
X
tg X
D
a l sin
3.1.3 Laue方程
一维点阵的单位矢量为a（即周期为|a|），入射X 光单位矢量为S0，散射单位矢量为S
S
a
C D
(a)可见光在任意入射角方向 均能产生反射，而X射线则 只能在有限的布拉格角方向 1 才产生反射。
(b)虽然Bragg借用了反射几 2 何，但衍射并非反射，而是 一定厚度内许多间距相同晶 面共同作用的结果。
q
q
qq
A
C
B
1’ hkl
2’ dhkl
(2)布拉格方程是X射线在晶体产生衍射的必 要条件而非充分条件
以三角函数表示： AB = a •cos a DC = a • cos a0
S
a C D
S0
B
A
0 a
= a •cos a - a •cos a0 =
a •(cos a - cos a0 ) = hl
a •(cos a - cos a0 ) = hl
若X射线垂直于一维点 阵入射， 即 a0 = 90，上式成为
a •cos a = hl
对比Polyanyi方程
底片
a
h=2 h=1 h=0 h=-1 h=-2
原子列（一维点阵）
二维点阵：按周期a，b分别 沿X、Y轴构成原子网面。
Y S
S
类似地，有二维Laue方程：
a •(cos a - cos a0 ) = hl
S0
b0 b
O a a0
X
b •(cos b - cos b0 ) = kl
S0
B
A
0 a
= AB – DC = hl
h为衍射级数，其值为0， ±1，±2…
= AB – DC = hl
以矢量表示： AB = a • S DC = a • S0
S
a C D
S0
B
A
0 a
= a • S - a • S0 = a• (S - S0) = hl
= AB – DC = hl
a (S - S0) = hl b (S - S0) = kl
衍射方向发生在以X轴和Y轴为轴线的两族衍射锥的相交 线上，不是连续的衍射锥，而是不连续的衍射线
三维点阵：按周期a，b，c分别沿X、Y、 Z轴构成原子立体网。
三维Laue方程:
a •(cos a - cos a0 ) = hl b •(cos b - cos b0 ) = kl c •(cos c - cos c0 ) = ll
这就是Laue 于1912年导出公式的矢量形式
3.1.4 Ewald 作图法
S/l s
C 2q
O
Q
b S P’
q
qb
Oq
S0
|b|=|S-S0|=2sinq 故 = |b|•|r|cos=b•r
= b•r = (S-S0) • r 必须为波长的整倍数
即 S S0 r 必须为整数
l
为研究问题方便，令入射与散射单位矢
量分别为S0/l和S/l， 定义s = S/l-S0/l
S/l
即 s • r 必须为整数
q
s
q
S0/l
s • r 必须为整数
r的三个分量必为整数， 故 s 的三个分量也必为整数S/lqsq
S0/l
s 的量纲为(长度-1)，故为指向一个倒易点的矢量
s hb1 kb2 lb3
s 是倒易空间中从原点指向一个倒易点的矢量
s hb1 kb2 lb3
该组晶面的指标为(hkl)，晶面的间距为1/|s|
| s | S S0 2 sin q
l
l
1 l | s | 2sin q
S/l
q
s
q
S0 /l
故s代表了一组衍射信息:
一组晶面(hkl) 该组晶面的间距为1/|s|=l/2sinq X光对该晶面的衍射角为2q 强度信息（下一节）
粒子对X光的散射是全方位的
平面波
球波
S0/l只有一个，而S/l有无数个，s也有无数个 其中绝大多数s不能发生衍射 只有符合条件的s能够发生衍射
散射光 S
A
r = p1a1 + p2a2 + p3a3 p1,p2,p3 均为整数
S0
r
S
O
入射波长为l， S0 与 S 为 入 射 与 散射单位矢量
单位矢量即长度为1的矢量
作水平与垂直辅助线
入射光
S0
散射光
S q Aq
S0
r
bS
q
qb
Oq
S0
S
q
b
q
S0
b = S-S0
可看出入射与散射 角均为q，b垂直于 水平线，即与S与 S0的中分线重合。 b与r的夹角为 。
Y S
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
S0
O X
c (S - S0) = ll
Z
三方程同时满足：X轴、Y轴、Z轴为轴线的三个衍射圆锥 相交，衍射方向是三圆锥公共交点的方向。
3.1.3 衍射方向的一般考虑
晶格原点为O ，任一原子位置为A，r为由O指向A的矢量。
入射光
S0
2020高中物理竞赛
原子物理—X光衍射
晶体对X射线的衍射
3.1 衍射方向
确定衍射方向的基本原则: 光程差为波长的整倍数
3.1.1 Bragg方程
q
q
d
A qq B
d
O
d
光程差必须为波长的整倍数 d 为晶面间距
=AO+OB = 2dsinq 2d sin q = nl
n为整数，一般为1
2d sin q = l
为求O点与A点间的光程差 ，设有另一原子位置为A’，可 以看出A与A’间无光程差。
入射光
S0
A’ q
S Aq
散射光
S0
r
bS
q
qb
Oq
S0
故O与A间光程 差的问题就转化 为O与A’间光程 差的问题
光程差 = QO+OP’=2|r|cossinq
入射光
S0
散射光
S
q
b
q
S0
A’ q
aq
S0
r P
sinq的最大值为1，可知最小测定d尺寸为l/2， 理论上最大可测尺寸为无穷大，实际上为几个
1 2 sin q dl
q
O 2q
入射线和衍射线之间的夹角为2q ，为实际工作中所 测的角度，习惯上称2q角为衍射角，称q为Bragg角。
关于Bragg方程的讨论
(1) X射线衍射与可见光反射的差异
S0/l
S/l
导出Bragg方程
S/l
q
s
q
S0 /l
| s | 2sin q 1 ld
即l = 2dsinq
导出Laue方程
s
S
S0
l
hb1
kb2
lb3
a1
•
S
S0
l
a1
•
(hb1
kb2
lb3
)
h
a1 • (S S0 ) hl
同理
a2 • (S S0 ) kl a3 • (S S0 ) ll
有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定 出现衍射线，即所谓系统消光
3.1.2 Polyanyi方程
S
S0
a
S0
S
X
光程差
a sin nl
a
X
tg X
D
a l sin
3.1.3 Laue方程
一维点阵的单位矢量为a（即周期为|a|），入射X 光单位矢量为S0，散射单位矢量为S
S
a
C D
(a)可见光在任意入射角方向 均能产生反射，而X射线则 只能在有限的布拉格角方向 1 才产生反射。
(b)虽然Bragg借用了反射几 2 何，但衍射并非反射，而是 一定厚度内许多间距相同晶 面共同作用的结果。
q
q
A
C
B
1’ hkl
2’ dhkl
(2)布拉格方程是X射线在晶体产生衍射的必 要条件而非充分条件
以三角函数表示： AB = a •cos a DC = a • cos a0
S
a C D
S0
B
A
0 a
= a •cos a - a •cos a0 =
a •(cos a - cos a0 ) = hl
a •(cos a - cos a0 ) = hl
若X射线垂直于一维点 阵入射， 即 a0 = 90，上式成为
a •cos a = hl
对比Polyanyi方程
底片
a
h=2 h=1 h=0 h=-1 h=-2
原子列（一维点阵）
二维点阵：按周期a，b分别 沿X、Y轴构成原子网面。
Y S
S
类似地，有二维Laue方程：
a •(cos a - cos a0 ) = hl
S0
b0 b
O a a0
X
b •(cos b - cos b0 ) = kl
S0
B
A
0 a
= AB – DC = hl
h为衍射级数，其值为0， ±1，±2…
= AB – DC = hl
以矢量表示： AB = a • S DC = a • S0
S
a C D
S0
B
A
0 a
= a • S - a • S0 = a• (S - S0) = hl
= AB – DC = hl
a (S - S0) = hl b (S - S0) = kl
衍射方向发生在以X轴和Y轴为轴线的两族衍射锥的相交 线上，不是连续的衍射锥，而是不连续的衍射线
三维点阵：按周期a，b，c分别沿X、Y、 Z轴构成原子立体网。
三维Laue方程:
a •(cos a - cos a0 ) = hl b •(cos b - cos b0 ) = kl c •(cos c - cos c0 ) = ll
这就是Laue 于1912年导出公式的矢量形式
3.1.4 Ewald 作图法
S/l s
C 2q
O
Q
b S P’
q
qb
Oq
S0
|b|=|S-S0|=2sinq 故 = |b|•|r|cos=b•r
= b•r = (S-S0) • r 必须为波长的整倍数
即 S S0 r 必须为整数
l
为研究问题方便，令入射与散射单位矢
量分别为S0/l和S/l， 定义s = S/l-S0/l
S/l
即 s • r 必须为整数
q
s
q
S0/l
s • r 必须为整数
r的三个分量必为整数， 故 s 的三个分量也必为整数S/lqsq
S0/l
s 的量纲为(长度-1)，故为指向一个倒易点的矢量
s hb1 kb2 lb3
s 是倒易空间中从原点指向一个倒易点的矢量
s hb1 kb2 lb3
该组晶面的指标为(hkl)，晶面的间距为1/|s|
| s | S S0 2 sin q
l
l
1 l | s | 2sin q
S/l
q
s
q
S0 /l
故s代表了一组衍射信息:
一组晶面(hkl) 该组晶面的间距为1/|s|=l/2sinq X光对该晶面的衍射角为2q 强度信息（下一节）
粒子对X光的散射是全方位的
平面波
球波
S0/l只有一个，而S/l有无数个，s也有无数个 其中绝大多数s不能发生衍射 只有符合条件的s能够发生衍射
散射光 S
A
r = p1a1 + p2a2 + p3a3 p1,p2,p3 均为整数
S0
r
S
O
入射波长为l， S0 与 S 为 入 射 与 散射单位矢量
单位矢量即长度为1的矢量
作水平与垂直辅助线
入射光
S0
散射光
S q Aq
S0
r
bS
q
qb
Oq
S0
S
q
b
q
S0
b = S-S0
可看出入射与散射 角均为q，b垂直于 水平线，即与S与 S0的中分线重合。 b与r的夹角为 。
Y S
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
S0
O X
c (S - S0) = ll
Z
三方程同时满足：X轴、Y轴、Z轴为轴线的三个衍射圆锥 相交，衍射方向是三圆锥公共交点的方向。
3.1.3 衍射方向的一般考虑
晶格原点为O ，任一原子位置为A，r为由O指向A的矢量。
入射光
S0
2020高中物理竞赛
原子物理—X光衍射
晶体对X射线的衍射
3.1 衍射方向
确定衍射方向的基本原则: 光程差为波长的整倍数
3.1.1 Bragg方程
q
q
d
A qq B
d
O
d
光程差必须为波长的整倍数 d 为晶面间距
=AO+OB = 2dsinq 2d sin q = nl
n为整数，一般为1
2d sin q = l
为求O点与A点间的光程差 ，设有另一原子位置为A’，可 以看出A与A’间无光程差。
入射光
S0
A’ q
S Aq
散射光
S0
r
bS
q
qb
Oq
S0
故O与A间光程 差的问题就转化 为O与A’间光程 差的问题
光程差 = QO+OP’=2|r|cossinq
入射光
S0
散射光
S
q
b
q
S0
A’ q
aq
S0
r P