专题六一元一次方程总复习
一元一次方程知识点总结
一、等式与方程 ．等式：
（1）定义：含有等号的式子叫做等式．
（2）性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变． 若那么 ②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的
值不变． 若那么有或（）
③对称性：若，则． ④传递性：若，则．
（3）拓展： ①等式两边取相反数，结果仍相等． 如果，那么 ②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等． 如果，那么 ③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的 性质．
（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点： ①“审” 要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知
量、未知量及其相互关系． ②“设” 设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项
式加单位括号． ③“列” 根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方
程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充 分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件 会得到恒等式，解不出来． ④“解” 解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往 会简化计算． ⑤“验” 检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是 否符合实际情况．
根据是等式的性质①． Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边
对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．
（4）解一元一次方程的一般步骤及根据： ①去分母——等式的性质② ②去括号——分配律 ③移项——等式的性质① ④合并——合并同类项法则 ⑤系数化为1——等式的性质② ⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否
路程=时间×速度，时间=，速度=．
（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度
一元一次方程总复习
1 3x + 5 = 7 (D) x + x = 2 (E) 2 (F)3x+3＞ (F)3x+3＞1 其中是一元一次方程的有 A、E (填 序号） 序号）
题组二： 题组二：
（2）如果关于 x 的方程 2 x + 1 = 0 ） a= １。 是一元一次方程， 是一元一次方程，那么 （3）写一个根为 x = −2 的一元 ） 一次方程是 。 （4）已知方程 ax = 3− 2x 的解 ） 是 x = −2 ,则 a = -3.5 。 则
例题2 一水池装有两个水管,甲管进水用 甲管进水用2h 例题 一水池装有两个水管 甲管进水用 将池注满,乙管放水用 将池水放尽.现将空 乙管放水用3h将池水放尽 将池注满 乙管放水用 将池水放尽 现将空 池进水1h后 再开放水 何时将池注满? 再开放水.何时将池注满 池进水 后,再开放水 何时将池注满 进水量-放水量 放水量=1 解:设将池注满还需 设将池注满还需 进水量 放水量 x小时 水量=进 放 小时 进(放)水量 进(放) 放 水量 水速度× 列方程得 水速度×时间 解这个方程得 x=3 1 1 1 x + − x =1 答:将空池进水 小时后 再 将空池进水1小时后 将空池进水 小时后,
合并 (ax=b)
系 数 化 成 1 计算要仔细，分子分母不要颠倒 计算要仔细，
解方程: 解方程:
(1)
3x+1 -2 = 3x-2 - 2x+3 5 2 10
想一想
注意什么问题? 去分母时要 注意什么问题
(1)方程两边每一项都要乘以各分母的最小 方程两边每一项都要乘以各分母的最小 方程两边每一项都要乘以各分母的 公倍数 (2)去分母后如分子中含有两项 应将该分子 去分母后如分子中含有两项,应将该分子 去分母后如分子中含有两项 添上括号
《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解
乐博思
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．。
一元一次方程专题复习
一元一次方程--专题复习1、定义：2、一般形式：3、解一元一次方程的步骤：去分母--去括号--移项--合并同类项--化系数为1①合并同类项--- 依据是 注意：（1）系数合并时要连同前面的＋、－号；（2）合并同类项的实质是系数的合并，字母和指数都不变；（3）系数的合并实际上是有理数的加法运算②移项---注意：（1）移项时，所移的项一定要变号，而且必须是从方程的一边移到另一边；（2）通常将未知数移到等号的左边；常数项移到等号的右边； ③系数化为1注意：最终结果应化简或约分【基础演练】1、小明在解方程为未知数）x x a (135=-时，误将-x 看成+x ，得出的解是x=-2,则原方程的解是 。
2、若关于x 的一元一次方程12332=---k x k x 的解是x=-1，则k 的值是3、下列方程中解为1=x 的是（ ）A.23+=x xB.121=-xC.121=+xD.22131=--+x x 4、关于x 的方程23=-x m 与方程2x-1=3d 的解相同，则m= 。
知识梳理1、一元一次方程看“两数”【例1】若方程0253=+-m x 是关于x 的一元一次方程，则m= .【例2】若关于x 的方程（m-1)x+5=3m 是一元一次方程，则m .【例3】已知关于x 的方程k k xk 351)2(=+--是关于x 的一元一次方程，则k = . 2、开放性问题【例1】把若干糖果分给若干小朋友，若每人3块，则多12块，若每人5块，则缺10块，就以上情景，请你提出一个问题并列一元一次方程解答。
【巩固练习】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价位x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A.()2080%80%301=⨯+xB.2080%80%30=∙∙xC.x =⨯⨯%80%302080D.%802080%30⨯=∙x3、应用合并同类项解方程【例1】解方程：1641321161814121=------x x x x x x x题型分析4、变形题聚焦【例1】天平盘内分别盛有盐，B 盘中有盐45g ，若从A 盘中拿出3g 放入B 盘，这时天平正好平衡，问A 盘中德盐有多少？【变式1】有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果使甲工程队的人数是乙工程队的两倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？【变式2】甲乙两人分别存书128本和54本，现要让甲给乙一部分书，使甲有的书占乙有的书的20%，问甲给了乙多少本书？5、解方程（1）103.02.017.07.0=--x x （2）32532+=-x x（3）)24(7)816(5)12(3-=---x x x （4）3)562(25)623(32=---x x6、建立一元一次方程模型，解决问题(1). x 的12减去3等于－1，则=x _______________ （2）若式子12－3（9－y ）与式子5（y －4）的值相等，则y= _________． (3) 34+x 与56互为倒数，则=x _______________________ （4）. 若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x= . （5）．若()022=-+-y y x ，则y x += _________________(6)．方程12-x =54+x 的解是___________________________7、实际应用投资收益问题：投资问题中投资收益=%100⨯实际投资额投资收益. 【例1】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开放商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得租金为商铺标价的10%。
一元一次方程解法复习
等式性质2
运算规则
在解一元一次方程时，需要遵循等式 的性质和运算规则，对方程进行变形 和化简，从而求出未知数的值。
等式两边同时乘（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
02 求解一元一次方程方法
合并同类项法
识别同类项
将方程中的同类项识别出来，即 具有相同字母和相同字母的指数
项。
合并同类项
将识别出的同类项进行合并，简化 方程。
利润率计算
利润率是利润与成本的比值，根据已知的利润或成本计算利润率。
打折销售问题
考虑商品打折后的售价和利润，结合折扣率和成本建立方程求解。
05 错误类型及纠正策略
常见计算错误类型
符号错误
在解方程过程中，未注意负号或 正号，导致计算错误。
括号处理不当
在处理含有括号的方程时，未按 照运算顺序正确去掉括号。
02
方程中未知数的最高次数为1。
是整式方程
03
方程是整式方程，即等号两边都是整式。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解。
方程的根
方程的根和解实际上是同一个概 念，都是指使方程成立的未知数 的值。
等式性质及运算规则
等式性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个 数或整式，等式仍然成立。
及时总结和反思
在解题后，要及时总结和反思 自己的错误类型和原因，避免
再次犯同样的错误。
06 复习总结与提高建议
关键知识点回顾
1 2 3
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的 整式方程。
等式的性质
等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍 然成立；等式两边同时乘以（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
一元一次方程小结与复习
一元一次方程小结与复习
1. 移项法：通过移动方程中的项来使方程简化。
首先，我们可以通
过将常数项移到等式的另一侧来消去b的影响，得到ax = -b。
然后，通
过除以系数a来解出x。
2. 合并同类项法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通
过合并同类项来简化方程。
具体而言，我们可以将所有的x项放在一起，
并将所有的常数项放在另一起，得到ax - cx = d - b，进而通过化简来
解出x。
3. 交叉相乘法：对于形如ax + b = cx + d的方程，我们可以通过
交叉相乘的方法求解。
即，将方程左右两侧的项相乘，得到a(cx + d) = c(ax + b)，进而通过化简来解出x。
4.两边同除法：当方程中的系数不为零时，我们可以通过将方程左右
两侧同除以系数a来解出x。
在解决一元一次方程的过程中，我们需要注意以下问题：
1. 零的概念：当方程的系数为零时，解的个数或者形式会有所不同。
如果a等于零，那么方程变为bx = -c，这个方程只有一个解。
如果b等
于零，那么方程变为ax = -c，解的形式会有所不同。
2.无解与无数解：在一些情况下，一元一次方程可能没有解或者有无
数个解。
当方程左右两侧的项合并后，出现矛盾，即形成了一个恒等式，
那么方程就没有解。
当方程左右两侧的项合并后，结果为零，且方程没有
其他约束条件时，方程就有无数个解。
3.变量的含义：在解决实际问题时，方程中的变量通常代表一些实际量的值。
在求解方程时，我们需要根据实际问题将变量代入，进而得到解的含义。
一元一次方程的复习
一元一次方程复习资料【知识整理】（一）方程的概念1. 方程：含的等式叫做方程。
2. 方程的解：使方程的等号左右两边相等的，就是方程的解。
3.解方程：求的过程叫做解方程。
4. 一元一次方程：只含有一个（元），未知数的最高次数是并且方程叫做一元一次方程。
（二）方程变形——解方程的重要依据1、等式的性质1：等式的两边同时加（或减）（），结果仍相等。
即：如果a=b，那么a±c=b ；2、等式的性质2：等式的两边同时乘，或除以数，结果仍相等。
即：如果a=b，那么；或如果a=b，那么；回顾解一元一次方程的步骤，做法及依据（四）列方程解应用题：1、解应用题的基本步骤：__________、___________、____________、____________。
2、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）行程问题基本类型相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度（注意变形）3、工程问题：（1）工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率（2）经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．4、商品销售问题：售价＝标价*折扣率 利润＝进价*利润率＝售价－进价【过关练习】1、判断下列式子是不是方程，是方程打“√”，不是方程打“⨯”．是一元一次方程打“○” (1) x=3 ( ) (2) 5+6=2+9 ( ) (3) 1+2x =4 ( ) (4) x +y =2 ( ) (5) x +1-3 ( ) (6) 2x -1=0 ( )2、下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）。
A ．0127=+yB.082=+y x C ．03=z D.0232=-+x x 3、关于x 的方程(2k -1)x 2-(2k + 1)x + 3 = 0是一元一次方程, 则k 值为4、方程 是一元一次方程，则a 和m 分别为（ ） A 2和4 ，B －2 和 4 ， C 2 和 －4 ， D －2 和－4 。
一元一次方程的应用专题六(航行问题)
问题3:汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙 地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度 18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙 地之间的距离？
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要 掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月27日星期日2022/2/272022/2/272022/2/27 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/272022/2/272022/2/272/27/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/272022/2/27February 27, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/272022/2/272022/2/272022/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
答:甲、乙两地距离为120千米。
问题4 一艘船从甲码头到乙码头
顺流行驶，用了2小时；从乙码头 返回甲码头逆流行驶，用了2.5小 时。已知水流的速度是3千米/时， 求船在静水中的速度。
分析：题中的等量关系为
这艘船往返的路程相等，即：
顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
学习小结
1、说说你在本节课中的收获和体会。 2、说说在航行问题中的基本关系有哪些？
航行问题常用的等量关系是：
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专题五：一元一次方程总复习
（一元一次方程题型总结复习）
一、解方程：（5步骤）1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、系数化为1
1．x x -=+212 2．)12(43)]1(31[21+=--
x x x
3．
142312-+=-y y 4．17
.03.027.1-=-x x
5. －(x －5)＋
6. ()()210.413430.2
4
x x -+-=-
二、各类题型中的一元一次方程：
1.如果x3m＋9＋1=0是一元一次方程，则m=_________．
2.40a x＋1b14与9a2x－1b14是同类项，则x=_________．
3.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的根，那么m＝_________
4.若m－n＝1，那么4－2m＋2n的值为___________
5.若x＝2是方程k（2x－1）＝kx＋7的解，那么k的值是
6.小李在解方程5a－x=13(x为未知数）时，误将－x看作＋x，得方程的解为x=－2，则原方程的解为
7.关于x的方程与方程4(3x－7)=19－35x有相同的解，求m的值．
三、列方程：（3步骤）1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（一）商品利润与利润率：
1.某商店对某种商品进行调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元?
7、一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打八折销售，以答谢新老顾客对本商厦的光顾，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？
2、某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出．商场是获利还是亏本？获利率或是亏本率为多少？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（二）增长率问题：
3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册，而第四季度印刷了58万册，求季度的增长率是多少？
5.某村去年种植的油菜籽亩产量达150千克，含油率为40﹪。
今年改种新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克，含油率提高了10百分点。
今年与去年相比，油菜的种植面积减少了40亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20﹪。
求今年油菜的种植面积。
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（三）比赛积分问题：
3、在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，⑴如果二班代表队最后得分142分，那么二班代表队回答对了多少道题？⑵一班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（四）行程问题
一队学生去校外进行军事野营训练．他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去．通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
1、敌军在离我军8千米的驻地逃跑，时间是早晨4点，我军于5点出发以每小时10千米的速度追击，结果在7点追上．求敌军逃跑时的速度是多少？
8、甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观，甲走了5分钟后乙才出发，甲的速度是80米/分，乙的速度是180米/分，问乙多长时间能追上甲？追上甲时离展览馆还有多远？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追击问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追击问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（五）工程问题：
2、期中考查，信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生打完一篇文章. 已知独立打完同样大小文章，小宝需要50分钟，小贝只需要30分钟. 为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
（六）行船问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
相对运动的合速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。
（七）年龄问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（八）调配问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（九）分配问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（十）配套问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
（十一）银行储蓄问题：
3、某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）款3万元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。
已知剩余款的年利率为0.4%，问第几年小明家需交房款5200元？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。
（十二）数字问题：
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。
（十三）方案设计与成本分析：
5．张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说：“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。
”乙旅行社说：“包括老师在内按全票价的6折优惠。
”若全票价为240元，当学生从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
4、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；若制成奶片销售，每吨可获利润2000元.方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成；你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
3. 小明在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。
（1）求小明看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）若超市A所有商品八折销售，超市B全场购物每满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），小明只带了400元钱，如果他只在一个超市购买这两样物品，你能说明他能在哪一家超市购买吗？若两家都可以选择，在哪一家超市购买更省钱？
6．某校组织初一师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求参加春游的人数；
（2）已知租用45座的客车日租金为每辆车250元, 60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？
1、设量
2、表达量
3、用量列等式
（十四）浓度问题： 1、设量 2、表达量 3、用量列等式 其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系。
（十五）比例问题： 1、设量 2、表达量 3、用量列等式 2．某校一学生不幸得了白血病，全校学生踊跃捐款献爱心，经统计初一共有学生420人，平均每人捐了5元，初二共有学生400人，平均每人捐了6元，初三学生平均每人捐了8元，占全校学生捐款总额的94，则初三学生有多少人？ 6、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？。