北京人大附中2017届高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣15．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（只需写出一个即可）11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有种．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2•a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）． （Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B⊆A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D．5．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log2的定义域为（1，+∞），故排除C，D；函数y=log2为增函数，故排除B，故选：A．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA•OC•cos∠AOC=4+1﹣2•2•1•cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC•DC•cos∠BCD=1+﹣2•1••=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB=2S ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P在直线x﹣y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d2=（t﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d 2=2（t 2+2t +5）=2（t +1）2+8，∴，那么：，则|PA |min =2，三角形PAC 的最小面积为： =2， 可得：S PACB =2S ACP =4，所以：四边形PACB 的最小面积S PABC =4，故答案为：4．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 或 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x ，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x ，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有 8 个，从中任意选出2个不同的子集A 和B ，若A ⊈B 且B ⊈A ，则不同的选法共有 9 种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n 个元素的集合，其子集个数为2n 个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A ⊈B 且B ⊈A ．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A ⊈B 且B ⊈A ，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A 和B ，A ⊈B 且B ⊈A ．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A ⊈B 且B ⊈A ， 有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、 ⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，当x=时，f（x）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2•a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n；（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n}为递减数列，∴d=﹣6．∴a n=2﹣6（n﹣1）=8﹣6n，S n=•n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{b n}的公比为q，则，解得或．∵{b n}为递减数列，∴．∴b n=﹣2•2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m，ame m），则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e m，则切线方程为y﹣ame m=a（1+m）e m（x﹣m），即y=a（1+m）e m（x﹣m）+ame m=a（1+m）e m x﹣ma（1+m）e m+ame m=a（1+m）e m x﹣m2ae m，∵y=e（x﹣）=y=ex﹣e，∴∴，即若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解得：c2=12，a=4，b=2．∴椭圆C的标准方程为：=1．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣（x﹣x3）．联立，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，∴x3==﹣．y3=kx3+=．∴线段AB 的中垂线方程为：y ﹣=﹣（x +）．令y=0，可得x 0==，k ＞0时，0＞x 0≥．k ＜0时，0＜x 0≤． k=0时，x 0=0也满足条件．综上可得：点Q 的横坐标x 0的取值范围是．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）． （Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即可得出S （A 0）． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3；n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n +1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．即可得出．【解答】解：（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即8，∴S （A 0）=8．（II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3．n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…，取n ﹣1时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+（n ﹣1）+•n ，取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n +1），利用倒序相加可得：S （A 0）=×2n =（n +2）•2n ﹣1．由序列A 0为1，2，…，n ，可得S （A 0）=（n +2）•2n ﹣1．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．因此B=A 0是S （B ）=S （A 0）的充分不必要条件．2016年11月6日。