对偶线性规划理论及其在经济中的应用开题报告
对偶问题在经济活动中的应用
湖北民族学院理学院毕业论文(设计) 开题报告题目对偶问题在经济活动中的应用专业数学与应用数学班级0209409学号020940907学生姓名谌小洋指导教师时凌2013年5月24日一、选题理由运筹学是近六十年代发展起来的一门学科。
运筹学在生产管理工程技术军事作战科学实验财政经济社会科学以及自然科学和其他学科都已去的很多令人瞩目的成果。
对偶问题是其中一个重要分支。
对偶理论是线性规划最重要的内容之一，其应用范围十分广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的太欧赔和最有利的使用，以便最从分得发挥资源的效能出过去最佳经济效益。
线性规划对偶单纯形法在实际应用中是一种非常有用的算法，线性规划问题是数学的一个重要分支,它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的,以及怎么找出这些最优方案.在现实的生产活动中这类问题普遍存在,例如在生产计划安排中,选择什么样的生产方案才能提高产值利润;在原料配给问题中,怎样确定各种成分的比例,才能使提高质量降低成本的目标得以实现:在城市建设规划中,怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、居民区以及其它单位的合理布局,才能方便群众,有利于城区各行各业的发展;在资源的分配问题中,怎样分配有限的资源,使得分配方案既能满足于各方面的基本要求,又能获得好的经济效益。
通过对偶单纯形法能有效地解决最优化问题。
本文通过对对偶问题及对偶单纯形法的介绍，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，以实例完成一整套方法的应用，展现该方法在经济活动实例分析中的应用价值。
二、国内外研究现状综述在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。
1928年美籍匈牙利数学家J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。
两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。
线性规划的对偶理论与灵敏度分析报告
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式 讲授式、启发式 本章知识结构图第一节 线性规划的对偶问 题一、对偶问题的提出首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。
例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x现从另一角度提出问题。
假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。
显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。
设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h)设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。
因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A ，2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。
由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥25y 1+2y 2+y 3≥1 (2.1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 (2.2) 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3)，再综合(2.1)，(2.2)式有。
(LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题，通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。
二、对称形式下对偶问题的一般形式定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号’。
线性规划的若干算法研究的开题报告
线性规划的若干算法研究的开题报告一、研究背景随着社会经济的不断发展和科技的不断进步，各行各业对于效率的要求越来越高，然而这些要求又可能相互冲突。
如何合理地规划和利用有限的资源，使得目标最大化或者最小化，就成为了一个重要的问题，例如在生产计划、物流运输、金融投资等方面都需要进行规划和优化。
其中一种被广泛采用的方法便是线性规划，即以线性模型描述问题，并且在一定的约束条件下，利用线性规划算法求解最优解。
线性规划被广泛应用于工业生产、管理决策、金融投资等领域，其高效且可靠的特点受到了广泛的认可。
目前，线性规划的解法主要有单纯形法、内点法和基于神经网络的方法。
单纯形法是最早也是最广泛应用得到的线性规划算法之一，但是它在求解大规模问题时效率较低，甚至可能出现“画大饼”现象。
内点法则相对而言，可以在多项式时间复杂度下求解海量数据的线性规划问题，并且具有较好的收敛性能，成为了目前研究竞争力最强的线性规划算法之一。
近年来，基于神经网络的方法也逐渐受到人们的关注，其以模拟人脑神经系统的思维模式来解决线性规划问题，不仅可以提高求解速度，而且具有良好的适应性和泛化能力。
二、研究内容及目标本文将围绕线性规划算法进行研究，主要包括以下几个方面：（1）宏观了解线性规划算法的相关基本概念和演化历程；（2）深入分析线性规划算法的数学原理和基本步骤，并对各种算法作比较和总结；（3）针对线性规划算法的优化问题，探讨内点法以及基于神经网络的方法；（4）通过实验验证研究结果，比较不同算法在不同情况下的性能表现，为实际应用提供具有参考价值的数据支持。
研究的目标是深入掌握线性规划算法的数学理论和实现方法，对不同算法进行比较和优化，以提高算法效率和求解准确率，同时使得实际应用中能够更加方便和快捷地进行优化问题的求解。
三、研究方法和步骤本文主要采用文献综述和实验研究相结合的研究方法。
（1）文献综述：对线性规划的相关概念和算法进行详细阐述，包括单纯形法、内点法和基于神经网络的方法，总结出各自的优劣性及在实际综合中的适用情况。
线性规划理论及其应用[开题报告]
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毕业论文开题报告信息与计算科学线性规划理论及其应用一、选题的背景、意义[1][2]1.选题的背景线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大化或最小化的问题，最大化问题是要在一个集合上使一个函数达到最大，最小化问题是要在一个集合上使一个函数达到最小。
统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。
2.选题的意义随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。
随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。
企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。
过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。
在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产，销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
线性规划算法在经济学中的应用研究
线性规划算法在经济学中的应用研究一、引言线性规划算法是一种优化算法，被广泛应用于经济学领域，面对复杂的经济系统，这种算法帮助经济学家做出更加准确的规划和决策。
本文将从线性规划算法的基础和原理入手，探讨其在经济学中的应用，并结合实例进行分析。
二、线性规划算法基础线性规划算法主要是一种数学模型，它通过构建一组方程组描述某一问题，然后通过数学方法解出变量的最优解。
其中，这组方程组需要满足两个条件：一是方程组中的未知数必须为线性关系；二是需要在所有约束条件下，找到一组使得目标函数取值最大（或最小）的变量。
例如，一个企业在规划产量时，需要考虑生产成本、销售收益等多种因素，这是可以通过线性规划算法来找到最优解决方案。
设生产A商品的成本为x元，B商品的成本为y元，销售A商品的收益为 m元，销售B商品的收益为n元，企业的成本预算为c 元，销售预算为b元，则可以得到如下方程组：max：mx+nys.t.：x+y≤bx*c+y*c≤c其中 max：mx+ny表示要找到使得企业收益最大的组合方案，s.t.即subject to表示约束条件，企业的生产和销售支出必须在预算范围内。
三、线性规划算法在经济学中的应用1. 工艺流程优化由于技术的不断发展和市场竞争的加剧，现代企业需要不断优化生产流程，提高效率和降低成本。
在这样的情况下，线性规划算法可以为这些企业提供高效的帮助。
企业根据其自身情况构建数学模型，然后通过线性规划算法求出最优解，来实现工艺流程的优化。
例如，某工厂生产A、B、C三种产品，每一种产品需要经过四个工序才能完成，其中第一个工序生产细节是tot工时；第二个工序生产细节是t1工时及材料消耗w1wkg；第三个工序生产细节是t2工时及材料消耗w2wkg；第四个工序生产细节是t3工时及材料消耗w3wkg。
现在有t1、t2、t3三种工人，每种工人A组t1=1,t2=1,t3=3,B组t1=2,t2=1,t3=4,C组t1=4,t2=3,t3=5,每组工人的工资不同。
线性规划问题的对偶理论及应用
线性规划问题的对偶理论及应用线性规划问题的对偶理论及其应用线性规划是一种优化问题，它要求我们在给定的限制条件下，最大化或最小化目标函数。
这个问题在数学、经济学和管理学中有重要的应用。
线性规划问题的对偶理论是一种有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的问题。
一、线性规划问题线性规划问题的一般形式为：\begin{aligned} \max_{\boldsymbol{x}} \ & \boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{c}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是一个$m \times n$ 的矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是一个 $m$ 维列向量。
我们要求出一个满足所有限制条件的 $\boldsymbol{x}$，使得目标函数 $\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ 最大（或最小）。
二、线性规划问题的对偶理论线性规划问题的对偶理论是一个重要的工具，它可以将原问题转化为一个对偶问题，从而得到一些有用的信息。
对于一个线性规划问题，我们可以构造它的对偶问题如下：\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{y}} \ & \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{y} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{c} \\ & \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{y}$ 是一个 $m$ 维列向量。
线性规划及其应用分析
线性规划及其应用分析摘要线性规划是数学中的一种基础分析方法，广泛应用于现代工业、经济、管理、金融等领域。
本文旨在介绍线性规划的基本概念、方法和理论，以及其在实际应用中的一些成功案例。
首先，介绍线性规划的基本概念和形式化表示方法。
然后，详细讨论线性规划的求解方法、优化策略和求解复杂度。
最后，结合成功案例和应用领域，分析线性规划的优点和限制，展望其未来发展方向。
关键词：线性规划，数学分析，应用案例，优化策略，未来发展AbstractLinear programming is a fundamental method in mathematics, widely used in modern industry, economics, management, finance and other fields. This paper aims to introduce the basic concepts, methods and theories of linear programming, as well as some successful cases in its practical applications. Firstly, the basic concepts and formalized representation methods of linear programming are introduced. Then, the solution methods, optimization strategies and solution complexity of linear programming are discussed in detail. Finally, combining with successful cases and application fields, the advantages and limitations of linear programming are analyzed, and its future development direction is prospected.Keywords: Linear programming, mathematical analysis, application cases, optimization strategies, future development1. 引言线性规划是运筹学中最基础、最具有广泛应用价值的方法之一，它可以处理多种约束条件下的多目标优化问题，是现代工业、经济、管理、金融等领域中重要的决策支持工具。
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开题报告信息与计算科学对偶线性规划理论及其在经济中的应用一、选题的背景、意义[1]21世纪中国进入到了一个新的时代，随着经济的快速发展和社会的进步，整个社会运行的各个方面——无论是在政治、经济、文化、科技、军事、外交方面，还是在环境、生态、资源问题方面，都将着眼于解决能否实现的问题扩充到更加重视解决如何优化实现的问题，从解决局部的简单问题扩充到解决系统的复杂问题，从静态地解决问题到动态地解决问题，从解决涉及单一领域的独立发展问题扩充到解决涉及多个领域的协同发展的问题，从通过直接办法解决问题扩充到通过间接的办法解决问题等，都迫切需要线性规划理论及其应用。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 对偶线性规划理论概述2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3]线性规划理论产生于20世纪30年代。
1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。
1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。
为此，库普曼斯与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
1984年，美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出求解线性规划问题的投影尺度法，这是一个有实用意义的新的多项式时间算法。
这个算法引起了人们对内点算法的关注，此后相继出现看多种更为简单实用的内点算法。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。
由于对偶规划问题的全面性，考虑的多面性，现在的很多经济问题都通过对偶规划问题来解决。
从而衍生出的影子价格也是现今各大企业在资产经营策略中一个非常重要的交易工具。
它的应用已经遍及各大企业的经营策略中。
2.1.2 对偶问题的基本性质[4] [5]给定一个线性规划问题 1122111211121222221212min ..,,,0n n n n m m m m mn n c x c x c x a a a x b a a a x b s t x b a a a x x x +++⎛⎛⎛⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎝⎝⎝≥ 使用向量与矩阵表示形式为 min max ()..()..00T T T T c xw b P s tAx bD s t w A c x w ≥≤≥≥ 1.对称性对偶问题的对偶是原问题。
2.弱对偶性设x 和w 分别是问题()P 和()D 的可行解，则 T Tc x w b ≥3.无界性问题()P 和()D 同时有最优解的充分必要条件是它们同时有可行解。
而且，若其中有一个问题无界，则另一个问题无解。
4.强对偶性设*x 和*w 分别为()P 和()D 的可行解，则它们分别为()P 和()D 的最优解当且仅当 **()T T c x w b =5.互补松弛性设*x 和*w 分别为原问题()P 和对偶问题()D 的可行解，则它们分别为()P 和()D 的最优解当且仅当**1**1()0,1,2,,()0,1,2,,n i ij j i j mj ij i j i b a x w i mc a w x j n==-==-==∑∑ 使用矩阵形式，可得*x 和*w 的互补松弛性条件：****()()0,()0T T w Ax b c w A x -=-=6.唯一性问题()P 有非退化的最优基可行解，那么，其对偶规划()D 有唯一的最优解。
7.对偶变量的经济解释假定所讨论的是下面的线性规划问题 max ()..0T c x P s t Ax b x ≤≥其中 b ——某工厂所拥有的m 种资源的总量；ij a ——生产每件第i 种产品需消耗第i 种资源的量。
该问题的实际背景是在资源有限的条件下安排生产，以使效益最大。
2.2 线性规划的对偶原理及其应用2.2.1 对偶理论[6]以如下一对问题来表示线性规划问题的对偶：:min :max 00P cxD wb s t Ax b s t wA c x w ≥≤≥≥这里P 表示原问题，D 表示其对偶问题.注意到两个问题间的变换特点，这里w 为对偶问题的变量向量，每一个原问题的约束条件，对应一个对偶变量（m 个）；每一个原问题变量对应一个对偶问题约束条件（n 个）.原问题为求最大值，则对偶问题为求最小值.原问题与对偶问题中，其目标函数系数与右端常数互换；约束条件系数矩阵互为转置；约束条件符号则按一定规则转换为此首先说明原问题()P 及对偶问题()D 称为对偶的对称形式，它们是互相逆转的，现证明如下.由于上式的对偶问题本身仍旧是一线性规划问题，应用转置矩阵概念，可把它写成如下形式：min ()..()()0T TT T T T b w s t A w c w --≥-≥以Tx 表示这个问题的对偶变量，则它的对偶问题为 max()..()()0T T T T T T x c s t x A b x --≤-≥而这个问题即为该问题的左边问题，即原始的原问题.因此得出如下结论：对偶问题的对偶是原问题.2.2.2对偶性的其他问题[7]对偶定理有多种解释，是由许多学者提出并以不同形式发表的，其中包括Fourier （1826），Gordan(1873),Minkowski(1896),Farkas(1901).定理6.16给出的是线性方程组的对偶定理.它的另一种形式是：线性方程组Ax b =有解当且仅当对任意满足0yA =的行向量有0yb =成立.这是Fredholm(1903)提出的.下面的系统有且只有一个是可行的：();()0,0.a Ax b b yA yb ==>我们将给出线性不等式系统的对偶定理.首先我们给出由原问题导出对偶问题的方法.主要思想是利用原问题的线性约束找到它的最优值的一个下界，即我们线性地合并给定的约束来得到这个下界.对偶问题转化为：最大化此下界.2.2.3 对偶规划问题的三种解法介绍[8]例2.1 利用对偶转换规则，将下列线性规划模型转换为其对偶规划模型。
某原问题的数学模型如下：12345123451234512345min 23523234233,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≥-+++≥≥求解上式的对偶规划问题有三种方法。
第一种是先把上式转换为对偶模型，并让w 对应z ，让y 对应x ，使用普通的单纯形法线性规划程序求解出对偶规划的结果。
使用这种方法求解对偶规划问题，需要手工完成一次由原问题向对偶问题转换的过程，当问题规模较小时，使用这种方法不会出现多大的问题，但是当问题规模较大时，问题就来了，一是转换过程非常繁琐，工作量大；二是特别容易出错，效率很低。
第二种方法是利用计算机程序，直接读取原问题解算过程中自动生成的数据文件，自动地转换原问题为对偶问题，并直接求解，给出对偶规划的结果来。
第三种解法则是利用原问题的求解数据直接获得对偶问题的最优解。
2.2.4最优对偶变量（影子价格）的经济解释[9] [10]我们之所以对线性规划的对偶问题感兴趣，是由于对偶问题的最优解相对于原始线性规划问题有特殊的经济含意，它可以从另一个角度加深我们对原线规划模型最优解的理解。
对于线性规划的原始问题和对偶问题：原始问题 对偶问题求 max Z CX = 求 min Z b λ=满足 满足AX b X =≥ A C λ≥ 设B 为原始问题的最优基，且A 为m m ⨯的矩阵，A 的后n m -列组成子阵D ，C 的后n m -列组成子阵D C ，则此时相对成本向量1b D w C B D C -=-的每个分量都是非负的。
所以有1B D C B D C -≥而最优解为1B X B b -=。
下面就来验证：原始问题的最优基为B 时，其单纯形乘子向量1B C B λ-=即为相应对偶问题的最优解。
由于 1B C B λ-=所以有 111[,][,][,][,]B B B B B D A B D C B B C B D C C B D C C C λλλ---===≥=(因为1B D C B D C -≥)这样，A C λ≥得证。
因此，λ是对偶可行的。
又因为：1B B B b C B b C X λ-==这说明，λ作为对偶变量，其对偶问题目标函数值等于原始问题最优解时的目标函数。
根据对偶定理（如果线性规划的原始问题和对偶问题中，一个存在有限最优解，那么另一个也有最优解，而且相应的目标函数值相等；如果任何一个问题目标函数值无上界，那么另一个问题就无可行解。
）可知，λ应为对偶问题的最优解。
2.2.5 影子价格在企业经营管理中的应用[11] [12]一个线性规划对偶问题的最优解简称为“对偶最优解”，也称为“影子价格”，在经济上可以解释为约束条件所付出的代价。
在计算线性规划问题的检验数时，表示生产该项产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的隐含成本。
当产品的产值大于产品的隐含成本时，表明生产该项产品有利，可以安排；当产品的产值小于产品的隐含成本时，表明生产该项产品无利可图，用这些资源来生产别的产品可能更为有利，在生产计划中就不予安排了。
可见，影子价格为生产计划的安排提供了理论依据。
从另外一个角度看，资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。
由于企业生产任务，产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。
某种资源的影子价格高于市场价格，企业的管理者可以考虑对这种资源进行投入的增加，进而扩大生产规模，获得利润。
随着不断增加资源的投入量，资源的影子价格就会逐渐变小，当资源的影子价格等于市场价格时，就不应再增加该种资源的投入；某种资源的影子价格低于市场价格，企业的管理者应考虑把这种资源的一部分用来生产别的产品，随着减少该种资源的投入，资源的影子价格又会逐渐增加，当资源的影子价格等于市场价格时，不再减少该种资源。
可见，资源的影子价格又是一种机会成本。
对资源在市场价格方面的估算，买卖双方可以用影子价格来协商。
当然在资源的交易中，买方希望以低的价格买入，卖者希望以高的价格出让。
因此，其影子价格就成为买卖双方可接受的资源的合理价格.但即使对同一种资源的影子价格也将随着管理水平的不同和最优决策不同，发生不断的变化。