《实验校》八上数学第十二讲—中点或中线辅助线方法
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
初中数学作辅助线的方法
初中数学作辅助线的方法在数学中，辅助线是指在解题过程中，为了更加清晰地理解和解答问题，而额外添加的辅助线条。
辅助线能够帮助我们识别几何形状的性质、简化题目、发现问题的特点，进而解决问题。
下面将介绍一些初中数学中常用的辅助线的方法。
1.直线的辅助线：1.1利用等角性质：当一道题目中出现两条或多条直线之间存在相等角度的关系时，可以通过画一条平行于其中一条直线的辅助线，从而使问题更加清晰。
例如，当一道题目中有两条平行线上辅助线之间的交角等于已知夹角时，我们可以通过画一条与两条线垂直的辅助线，从而找到问题的解决方法。
1.2利用中点性质：当一道题目中出现一个直线段上存在中点的情况时，可以通过连接这个中点和其它的点，并利用中点将辅助线分成两等分的方式，简化问题。
例如，当一道题目中需要证明一个线段平分另一个线段时，可以通过在两个线段的中点之间画一条辅助线，从而将问题转化为证明两个等腰三角形。
2.圆的辅助线：2.1利用相切性质：当一道题目中出现一个圆和另一个圆间存在相切的情况时，可以通过在两个圆的相切点处引出切线，并连接相切点和圆心的辅助线来简化问题。
例如，当一道题目中有两个圆相切于一个点，需要求证两个圆的半径之比时，可以通过连接两个圆心之间的辅助线，并利用切线及其垂直性质来求解。
2.2利用内接性质：当一道题目中出现一个圆内接于一个图形的情况时，可以通过在圆和图形的交点处引出辅助线，并利用内接四边形的特点来简化问题。
例如，当一道题目中有一个圆内切于一个正方形，需要证明半径与正方形边长之比时，可以通过连接正方形的对角线并利用内接四边形的性质来证明。
3.三角形的辅助线：3.1利用中位线性质：当一道题目中有一个三角形的中位线时，可以通过连接三角形的中位线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
例如，当一道题目中需要证明两个三角形形状相似时，可以通过连接两个三角形的中位线，然后利用垂直性质来证明。
3.2利用高线性质：当一道题目中有一个三角形的高线时，可以通过连接三角形的高线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
八年级上-常见全等辅助线
常见全等辅助线知识集结知识元倍长中线型知识讲解倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.2.倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.3.平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲倍长中线型例1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．例2.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'例3.'【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．'倍长过中点的任意线段型知识讲解当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲倍长过中点的任意线段型例1.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'例2.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'平行线构造“8字型”知识讲解当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.例题精讲平行线构造“8字型”例1.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'例2.'如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．'例3.'阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．'截长法添加辅助线知识讲解在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲截长法添加辅助线例1.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'例2.'如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．'例3.'如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．'补短法添加辅助线知识讲解当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲补短法添加辅助线例1.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'例2.'（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．'当堂练习填空题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．解答题练习1.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'练习2.'如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．'如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．'练习4.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'练习5.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'练习6.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'练习7.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'练习8.'如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．'练习9.'如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．'练习10.'ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．'练习11.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'练习12.'已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．'。
(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组 田茂松八年级数学的几何题, 有部分题需要做出辅助线才能完成。
有的时候, 做不出恰当的辅助线,或者做不出辅助线, 就没有办法完成该题的解答。
为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手, 现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种:1.遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。
2.遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3.遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”, 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4.过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例:例. 如图1, ， . 求证: .分析：图为四边形, 我们只学了三角形的有关知识, 必须把它转化为三角形来解决。
证明: 连接 （或 ）∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4 （两直线平行, 内错角相等） 在ABC ∆与CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例. 如图2,在 中, , , , 的延长于 .求证: .分析: 要证 , 想到要构造线段 , 同时 与 的平分线垂直, 想到要将其延长。
初中数学—中点辅助线做法(自编)
中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。
且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。
中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。
有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。
在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。
接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。
1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。
E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。
中点常用的辅助线做法
认真体会， 融会贯通， 灵活运用
练习：
四边形ABCD的对角线AC=BD，M、N 分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD 交于F、G，AC、BD交于E，求证：
EF=EG C
D E N
M
F
G
A
P
B
EF= 2 BE
B
AD = BE
E D FC
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图，△ABC中，AD是BC边
上的中线，E是AD上的一点，BE的 A 延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
F E
AC = BH BE = BH AC = BE
B
C
D
H
四、条件中含有等腰三角形底边上的
中点时，常作出底边的中线，利用三
例1. 已知：如图，△ABC中，
BD和CE是高，M为BC的中点，
P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
E
1 ME=MD= 2 BC
PM⊥DE
B
A
P
D
M
C
二、已知三角形一边的中点，构造三 角形中位线
例2. 已知：如图，△ABC中，AD
A
是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AΒιβλιοθήκη ＝BEEF= 1 AD 21
中点常用的辅助线作法
初中 数学
泰安市岱岳区徂徕一中 梁孝斌
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜 边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位 线 三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时， 常作出底边的中线，利用三线合一
一、已知直角三角形斜边上的中点时， 常作斜边上的中线
完整)初中数学几何辅助线技巧
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
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第十二讲辅助线方法四
辅助线方法（四）已知中点或中线：(1)中线倍长（若已知两线平行间的线段中点或中线，延长中线与平行线相交，也视作中线倍长）；(2)向中线作垂线（过线段两端点向过中点的直线作垂线）；(3)向中线作平行线；(4)若已知等腰三角形底边的中点，连接中点和顶点．
1．在△ABC中，AB=2cm，AC =4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．
2．已知，如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=5，CF=3，那么AF的长度为．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =40°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有个．
4．如图，在△ABC中，过点A作线段AD∥BC，连接BD，且满足AD+BD=BC，取AC的中点E，连接BE，DE．求证：BE⊥DE．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第四象限中，∠ABC=90°，点C 关于AB的对称点为E，点C关于x轴的对称点为F，连接EF交y轴于点P，求证：PE=PF．
6．如图，在△ABD中，∠DAB=90°，AB=AD，过D，B两点分别作过4点直线的垂线，垂足分别为E，C 两点，M为BD中点，连接ME，MC，请探究△EMC的形状．
7．已知，如图，∠ABC=90°，AB∥CD，点E为BC上一点，且AB=CD=BE，AE，DC的延长线交于点F，连BD，若G是EF的中点，求∠BDG的度数．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D为AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E 不与点A，C重合）且保持∠EDF=90°，连接EF，在此运动变化过程中，求S△CEF的最大值．
9．已知等腰直角三角形ABC中，AC=BC，CO=BO，AB与y轴相交于点E，点D是x轴上B点右侧一动点，作CN⊥AD交AD于N，交AB于M，AD与y轴交于点G，连接GM并延长交x轴于点F，求证：CF=BD．
10．已知∠BAE与∠BCD互为补角，AB=AE，CB=CD，连接ED，P为ED的中点．
(1)如图1，若A，B，C三点在同一条直线上．
①求证：∠EBD =90°．
②求证：AP∥BD．
(2)如图2，若A，B，C三点不在同一条直线上，求证：AP⊥CP．
11．已知，如图，A(0，3)，B(4，0)，点C，D的坐标分别为C(0，－4)，D（3，－4），E，F分别为OC，OB中点，连接EF交AD于点G，求证：AG=GD．
12．如图，正方形ABCD，A是BE的中点，连接DE，M是线段BC上任意一点，N是AM的中点，点Q 在DE上，∠CNQ=90°，求∠NQC．
13．如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B，C分别为x轴负半轴，x轴正半轴上的点，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连DE．
(1)如图1，求证：DF=EF；
(2)如图2，若BG=CG，DG=EG，P为CE的中点，请探究PG与BD的关系，
14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，有一等腰直角三角形ADE绕A点旋转，如图，且AD=DE，连接BE，取BE的中点P，请探究PD和PC的关系．
15．已知点A 与点C 为x 轴上关于y 轴对称的两点，点B 为y 轴负半轴上一点．
(1)如图1，点E 在BA 的延长线上，连接EC 交y 轴于点D ，若BE =8，EC =6，CB =4，求△ADE 的周长；
(2)如图2，点G 为第四象限内一点，BG =BA ，连接GC 并延长交y 轴于F ，请探究∠ABG 与∠FCA 之间的数量关系；
(3)如图3，A （－3，0），B （0，－4），点E (－6，4)在射线BA 上，以BC 为边向下构造等边△BCM ，以EC 为边向上构造等腰△CNE ，其中CN =EN ，∠CNE = 120°，连接AN ，MN ，求证：
21 MN AN ．。