《平面向量的线性运算》说课稿新人教A版
统编人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿
（新）人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第六章第1节《平面向量的概念》。
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线，平面、曲面以及高维空间数学同题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题:提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.第2节主要讲平面向量的运算。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．平面向量及其应用。
内容包括：向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。
理解两个平面向量共线的含义。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二、教材分析。
对于“运算"学生并不陌生，他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等，针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等，从而建立相应的运算体系，平面向量运算内容关注了以下两个方面: 一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理解向量运算；二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.本节在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究。
人教A版高中数学必修四人教平面向量的线性运算教案(1)
第01讲 平面向量及其线性运算高考《考试大纲》的要求：① 了解向量的实际背景。
② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③ 理解向量的几何表示。
④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义; （一）基础知识回顾：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使a =_____________________.8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________. （二）例题分析：例1.下列命题中，正确的是（ ）A ．若//,//，则//B ．对于任意向量,+≥+ C =，则=或-= D ．对于任意向量,-≥+例2．（2007北京理)已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =例3．(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b +（三）基础训练：1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．2．（2007湖南文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--3．（2003辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）ABCDA ．)1,0(),(∈+λλB ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+5．（2003江苏；天津文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )（A ）外心（B ）内心（C）重心（D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( ) （A ）２ （B ）12（C ）－３ （D ）－137．设,是两个不共线的非零向量，若向量k 2+与k +8的方向相反，则k=__________.8.（2007江西理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ． 9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30＝122.若＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .（四）拓展与探究：11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第三课时)示范教案 新人教A版必修4
第二章第二节 平面向量的线性运算第三课时整体设计 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．思路 2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题①已知非零向量a ，试一试作出a ＋a ＋a 和－a ＋－a ＋－a .②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题①，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN→＝PQ→＋QM→＋MN→＝(－a)＋(－a)＋(－a)，即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．实数与向量的积的运算律1λμa＝λμa；2λ＋μa＝λa＋μa；3λa＋b＝λa＋λb.(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.对问题③，向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a 与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b 同方向时，有b＝μa；当a与b反方向时，有b＝－μa.关于向量共线的条件，教师要点拨学生作进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定．②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .解：(1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ；(2)原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；(3)原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c .点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.例2如图2，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA ＝a ＋b ，OB ＝a ＋2b ，OC ＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？图2活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A ，B ，C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．解：如图3，分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC .观察发现，不论向量a 、b怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．图3事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3如图4，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图4活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ， MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．证法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →， 则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点．(如图5)图5∴EF 是△ADG 的中位线．∴EF 綊12DG . ∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 证法二：如图6，连接EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图6 又∵E 是AD 的中点，∴EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作▱EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用．例2已知OA →和OB →是不共线向量，AP →＝tAB →(t ∈R )，试用OA →、OB →表示OP →.活动：教师引导学生思考，由AP →＝tAB →(t ∈R )知A 、B 、P 三点共线，而OP →＝OA →＋AP →，然后以AB →表示AP →，进而建立OA →，OB →的联系．本题可让学生自己解决，教师适时点拨．解：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t ·AB →＝OA →＋t ·(OB →－OA →)＝(1－t )·OA →＋t ·OB →.点评：灵活运用向量共线的条件．若令1－t ＝m ，t ＝n ，则OP →＝m ·OA →＋n ·OB →，m ＋n ＝本节练习解答：1．图略．2.AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →. 点评：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案．值得注意的是BC →与AB →反向．3．(1)b ＝2a ；(2)b ＝－74a ；(3)b ＝－12a ；(4)b ＝89a . 4．(1)共线；(2)共线．5．(1)3a －2b ；(2)－1112a ＋13b ；(3)2y a . 6．图略．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 A 组题11、12.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地0·a ＝0)，它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa 与a 方向相同，当λ<0时，λa 与a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa )＝(λμ)a ； ①(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ②(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a ＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a ≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa )|＝|λ||μa |＝|λ||μ||a |，|(λμ)a |＝|λμ||a |＝|λ||μ||a |.所以|λ(μa )|＝|(λμ)a |.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a 反向．因此，向量λ(μa )与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a ＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a ≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，所以|(λ＋μ)a |＝|λ＋μ||a |＝(|λ|＋|μ|)|a |，|λa ＋μa |＝|λa |＋|μa |＝|λ||a |＋|μ||a |＝(|λ|＋|μ|)|a |，即有|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a 同向，或都与a 反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa 的方向相同．还可证|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图7，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ，则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图7由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|.所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ. 所以△AOB ∽△A 1OB 1.所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图8可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图8所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b答案：B2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C3．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 答案：C4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.答案：－a ＋15b 5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 答案：13e 1－12e 2.6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 答案：证明：连接AG 并延长，设AG 交BC 于M .∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )． ∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )． ∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )． 7．对判断向量a ＝－2e 与b ＝2e 是否共线？有如下解法：解：∵a ＝－2e ，b ＝2e ，∴b ＝－a.∴a 与b 共线．请根据本节所学的共线知识给以评析．如果解法有误，请给出正确解法．答案：评析：乍看上述解答，真是简单明快．然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为原题已知中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然，a ＝0，b ＝0，此时，a 不符合定理中的条件，且使b ＝λa 成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b ＝λa 成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线．可见，对e ＝0的情况应用别的办法判断才妥．综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则a ＝－2e ＝0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a 与b 共线．(2)当e ≠0时，则a ＝－2e ≠0，b ＝2e ≠0，∴b ＝－a 〔这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b ＝λa 成立〕．∴a 与b 共线．综合(1)(2)，可知a 与b 共线．。
平面向量的线性运算---说课稿
向量加法运算及其几何意义说课稿各位老师大家好！今天我说课的题目是《平面向量的加法运算及其几何意义》，选自人教版必修四第二章第二节的第一部分内容。
我的授课对象是高一学生。
下面我将从教材分析、教学方法、教学过程以及板书设计这四个方面给大家介绍我对本课的理解和设计。
一、教材分析1、教材地位向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具,在高中数学教材中，向量是一个知识的交汇点,它在平面几何、立体几何的章节中有着重要的作用。
本节课是在学习了《平面向量的实际背景及基本概念》后对向量的加法和向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及向量加法运算律作进一步的探究，初步体现向量所具有的优良运算通性；为后面学习向量的其它知识奠定基础.因此平面向量的加法运算在高中数学教学中占有重要地位。
2、教学目标。
1. 知识与技能目标：根据新课标的要求和实际情况,我希望让学生通过这节课的学习,能够掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。
2。
过程与方法目标：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，会用它们进行向量计算，初步渗透类比的数学方法。
3. 情感态度与价值观目标：通过对平面向量加法运算的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯;并且在此过程中让学生体会数学的文化价值,增强自己的数学素养，3、教学重点、难点.1 . 教学重点:向量加法的定义，会用向量加法法则及运算律求向量的和。
2。
教学难点：对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解。
二、教学方法：本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想,结合学生实际,主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法,引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力。
人教A版高中数学 《平面向量的线性运算》教案
课题： 2.2.1向量加法及其几何意义教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b AB BC AC +=+=(1)BB特殊情况：abba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+= 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加.2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使AB a =, BC b =, CD c = 则(a +b ) +c =AC CD AD +=a + (b +c ) =AB BD AD +=∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。
《平面向量的线性运算》教案17新人教A版
《平面向量的线性运算》教案17（新人教
A版必修4）
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方
向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量4．练习计算：（1）（2）（3）教材P90面5题5．思考例3．
例4．教材例7。
三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。
人教A版高中数学必修四人教平面向量的线性运算教案
平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。
2.理解平面向量的概念及向量相等的含义。
3.理解向量的几何表示。
4.掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。
【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
3. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
4. 掌握向量减法的三角形法则。
【课前预习】 基本知识点：(1)既有 又有 的量叫做向量，向量可以用 来表示．(2)向量的大小，也就是向量的 (或称 )(3)长度 向量叫做零向量，记作；长度为_ 的向量叫做单位向量． (4)方向 或 的两个向量叫做平行向量，也叫做 ．规定：与 平行．(5)长度 且方向 的向量叫做相等向量；与a长度 且方向 的向量叫做相反向量．规定：0的相反向量是 ．(6)向量的加法和减法： 如图所示，已知在中设,,b a==则=+b a ，=-b a(7)向量的分解 ：已知向量AB ，O 为平面内任意一点，则OB AO AB +=；OA OB AB -=。
基本练习：1.（必修4课本57页）下列结论中正确的是________ （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a =b ；（4）两个相等向量的模相等。
2.（必修4课本57页）设O 是正三角形ABC 的中心，则向量是_________向量（相等，共线，模相等，共起点）3.（必修4课本57页）判断题： 1）长度相等的向量是相等向量。
（ ） 2）相等向量是共线向量。
( ) 3) 平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。
（ ）4. 在ABCD 中，BC CD BA -+=5.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =________【典型例题】例1． 如图，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。
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《平面向量的线性运算》说课稿（新人教A版必修4）《向量的加法》说课稿一、教材分析：《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中"平面向量的线性运算"的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在"平面向量"及"空间向量"中有很重要的地位。
二、学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。
学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
三、教学目的：1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。
2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。
掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。
3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。
四、教学重、难点重点：向量的加法法则。
探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。
两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。
难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。
主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。
五、教学方法本节采用以下教学方法：1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。
2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。
3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。
4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。
六、数学思想的体现：1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。
2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。
3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。
②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。
③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。
归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。
七、教学过程：1、回顾旧知：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量、相等向量、共线向量等概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。
2、引入新课：（1）平行四边形法则的引入。
学生在物理学中虽然接触过位移的合成，但是并没有形成三角形法则的概念；而对平行四边形法则学生已学过，很熟悉。
所以我决定由力的合成引入向量加法的平行四边形法则。
平行四边形法则的特点是起点相同，但是物理中力的合成是在有相同的作用点的条件下合成的，引入到数学中向量加法的平行四边形法则，所给出的图形也是现成的平行四边形，而学生刚学完相等向量，对相等向量的概念还没有深刻的认识，易产生误解：表示两个已知向量的有向线段的起点必须在一起才能用平行四边形法则，不在一起不能用。
这时要通过讲解例1，使学生认识到可以通过平移向量，使表示两个向量的有向线段有共同的起点。
这一点对理解及运用法则求两向量的和很重要。
设计意图：本着从学生最熟悉、离学生最近的知识经验为接入点，用学生熟知的方法来解决新的问题--向量的加法，这样新中有旧，学生容易接受，也使学科间的渗透发挥了作用，加深了学生对向量加法的平行四边形法则的"起点相同"这一特点的认识，例1的讲解使学生认识到当表示向量的有向线段的起点不在一起时，须把起点移到一起，至此才能使学生完成对平行四边形法则理解真正到位。
（2）三角形法则的引入。
三角形法则没有按照教材中利用位移的合成引入，而是从前面所讲的平行四边形法则的图形中直接引入（如图）。
因为 = ，所以从△OAC中可以看到，与首尾相接，而 + 恰好是由第一个向量的起点O指向第二个向量的终点C，即= + ，与据平行四边形法则所得结果相同。
而、首尾相接后与 + 构成三角形，所以这种把两个向量相加的方法称为三角形法则。
接下来用幻灯片完整展示三角形法则，同时法则的作法叙述、作图过程对学生也起到了示例的作用。
于是前面的例1还可以利用三角形法则来做。
这时，总结出两个不共线向量求和时，平行四边形法则与三角形法则都可以用。
设计意图：由平行四边形法则的图形引入三角形法则，可以很清楚地使学生从向何意义上认识到两个法则之间的密切联系，理解它们的实质，而且衔接自然，能够使学生对比地得出两个法则的特点与实质，并对两个法则的特点有较深刻的印象。
（3）共线向量的加法方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，"将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。
"引导学生分析作法，结果发现还是运用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。
但是学生学过有理数加法中的异号两数相加："异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。
"类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。
具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。
反思过程，学生自然会想到方向相同的两个向量相加，类似于同号两数相加。
这说明两个共线向量相加依然可用三角形法则。
对有如下规定： + = + =通过以上几个环节的讨论，可以作个简单的小结：两个不共线向量相加，可采用平行四边形法则或三角形法则，而两个共线向量相加在本课所学方法中只能用三角形法则，说明三角形法则适用于任意两个向量相加。
设计意图：通过对共线向量加法的探讨，拓宽了学生对三角形法则的认识，使得不同位置的向量相加都有了依据，并且采用类比的方法，使学生对共线向量的加法，尤其是方向相反的两个向量的加法更易于理解，可以化解难点。
（4）向量加法的运算律①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。
②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。
接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。
设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。
由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。
3、小结先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。
（1）平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。
（2）三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和。
（3）运算律交换律： + = +结合律：（+）+ = +（+）4、作业：P91，A组1、2、3。
《向量的加法》评课稿本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。
在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。
本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。
对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。
但是这次讲课改变了我的看法。
从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的"相等向量"的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。
从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。
原先的设计中，板书设计也有，打在教案的后面。
通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。
可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。
其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。
本节缺憾也很多。
首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。
其次，语言不够精炼，有时比较啰嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。
以上是我对这节课的反思，不到之处，请大家指点。