2015-2016学年高中数学2.1.1第2课时类比推理练习新人教A版选修2-2

别为 S1、 S2、 S3、 S4，内切球的半径为 r ，四面体 P－ ABC的体积为 V，则 r ＝(
)
V A.
S1＋ S2＋ S3＋S4
2V B．
S1＋ S2＋ S3＋S4
3V C. S1＋ S2＋ S3＋S4
4V D． S1＋ S2＋ S3＋S4
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 将△ ABC的三条边长 a、 b、 c 类比到四面体 P－ABC的四个面面积 S1、 S2、 S3、
【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.1.1 第 2 课时 类比推理练 习 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是 (
)
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是
180°，归纳出所有三角形的内
角和都是 180°
③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了
d∈ Q，则 a＋b 2 ＝c＋ d 2? a＝ c， b＝ d”；
③若“ a，b∈ R，则 a－b＝ 0? a＝b”类比推出“若 a，b∈ C，则 a－ b＝ 0? a＝ b”．其
中类比结论正确的个数是 ( )
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 在实数集中， a>b? a－ b>0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大
①“ mn＝ nm”类比得到“ a· b＝ b· a”；
②“（m＋ n) t ＝ mt＋ nt ”类比得到“（ a＋ b) · c＝ a· c＋b· c”；
③“（m· n) t ＝ m( n· t ) ”类比得到“（ a· b) · c＝ a·（b·c) ”；
④“ t ≠0， mt＝xt ? m＝ x”类比得到“ p≠0， a· p＝ x·p? a＝ x”；
[ 答案 ] π ab
[ 解析 ]
由于椭圆与圆截
b
b
y 轴所得线段之比为 a，即 k＝a，∴椭圆面积
S＝
π
a2
·
b a＝
πab. 8．在等差数列 { an} 中，若 a10＝ 0，则有等式 a1＋ a2＋…＋ an＝ a1＋a2＋…＋ a ( 19－n n<19，n
∈ N* ) 成 立 ， 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 地 ： 在 等 比 数 列 { bn} 中 ， 若 b9 ＝ 1 ， 则 有 等 式
a＝ x1＋ y1i( x1、y1∈ R) ， b＝x2＋ y2i( x2、 y2∈ R) ，则由 a
x1－ x2＝ 0 －b＝ ( x1－ x2) ＋( y1－ y2)i ＝0?
y1－y2＝ 0
x1＝x2 ，∴
y1＝y2
，∴ a＝ b，故③正确．
6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
B.
二、填空题 7．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线
被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为
k，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍．你可
以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是
x2 y2 a2＋ b2＝
1( a>b>0) 与 x2＋ y2＝ a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ________________ ．
小，如 a＝ 2＋ i ， b＝1＋ i ，有 a－ b＝ 1>0，但 a>b 不成立；∵ a、b、 c、 d∈ Q，∴ a－ c， b
a－ c＝0
a＝ c
－d∈ Q，∵ a＋ b 2＝ c＋d 2，∴ ( a－c) ＋ ( b－d) 2＝0，∴
，∴
，故
b－ d＝0
b＝ d
②正确；由复数相等的定义知，若
⑤“｜m· n| ＝ | m| ·｜n| ”类比得到“｜ a· b| ＝ | a| ·｜b| ”；
ac a
a·c a
⑥“ bc＝ b”类比得到“ b· c＝ b”．
其中类比结论正确的个数是 (
)
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选
正确的结论是 (
)
A． B [ 解析 ] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论． 4．(2015 ·海南文昌中学高二期中 ) 设△ ABC的三边长分别为 a、b、 c，△ ABC的面积为
2S S，内切圆半径为 r ，则 r ＝ a＋ b＋c；类比这个结论可知： 四面体 P－ ABC的四个面的面积分
3 2 a，类比上
述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为
(
)
4 A. a
3
6 B. a
3
5 C. 4 a [ 答案 ] B
6 D. 4 a
3 [ 解析 ] 将正三角形一边上的高 2 a 类比到正四面体一个面上的高
6 3 a，由正三角形
“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，
④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 凸 n 边形的内角和是 ( n－2) ·180°（n∈ N*，且 n≥3)
540°，由此得出
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．②④
[ 答案 ] C
[ 解析 ] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．
2．平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
方法类比为“将四面
体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．
3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结
论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一平面的两个平面互相平行， 则其中
1
1
S4，将三角形面积公式中系数 2，类比到三棱锥体积公式中系数 3，从而可知选 C.
证明如下： 以四面体各面为底， 内切球心 O为顶点的各三棱锥体积的和为
1 V，∴ V＝ S1r
3
1
1
1
3V
＋
S2r 3
＋
S3r 3
＋
S4r 3
，∴
r
＝ S1 ＋
S2＋
S3 ＋ S4
.
5．给出下面类比推理命题 ( 其中 Q为有理数集， R 为实数集， C 为复数集 ) ： ①“若 a， b∈R，则 a－ b>0? a>b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b>0? a>b”； ②“若 a， b， c， d∈ R，则复数 a＋bi ＝ c＋ di ? a＝ c，b＝ d”类比推出“若 a， b，c，