湖南大学信息论与纠错编码
信息论课程讲义-第五章 纠错编码原理
p(yj/x1),p(yj/x2),……,p(yj/xn)
中的最大者，则我们就将yj译成x*，这种译码方法称 为“最大似然译码准则”。
最大似然译码准则利用了信道转移概率，而不用后
验概率，将更方便。
p( x*
/
yj)
p(x* ) p( y j / p( y j )
x )
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这时的最小平均错误译码概率为：
因为：p(xi,yj)=p(xi)p(yj/xi); 而p(yj)可以由p(xi,yj)的(i=1,2, …,n)求和得到。
因此，在这种情况下，平均错误译码概率只与 译码准则有关了。通过选择译码准则可以使平 均译码概率达到最小值。
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10
m
m
Pe p( y j )P{e / y j} p( y j ){1 P[F( y j ) xi / y j ]}
2. 虽然Pe与译码准则有关，但无论什么准则 该不等式都成立。
3. 当信源和信道确定后，信道疑义度给定了 译码错误概率的下限。
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H(X/Y)
logn log(n-1)
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H(Pe)+Pelog(n-1)
Pe
(n-1)/n 1
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5.2 信道编码基本概念
5.2.1 信道编码定理
0 p=3/4
1-p=1/4 0
p=3/4
1
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1-p=1/4
1
5
⑵译码准则
设一个有噪声离散信道，输入符号集X，输出符号集Y， 信道转移概率为P(Y/X);
X
p(yj/xi)
Y
X:{x1,x2,…..,xn}。 Y:{y1,y2,……ym} P(Y/X):{p(yj/xi); i=1,2,…n; j=1,2,…m
信息论与编码原理课程实验
《信息论与编码》课程实验湖南大学计算机与通信学院2010年5月1日目录课程实验大纲 (3)实验一信道容量的迭代算法程序设计 (4)实验二唯一可译码判决准则 (9)实验三 Huffman 编码方案程序设计 (15)实验四 LZW编码方案程序设计 (20)实验五Shanoon编码方案程序设计 (23)实验六循环码的软件编、译码实验 (27)实验七BCH码最大似然译码器设计 (31)课程实验大纲实验一 信道容量的迭代算法程序设计一、实验目的（1）进一步熟悉信道容量的迭代算法；（2）学习如何将复杂的公式转化为程序；（3）掌握C 语言数值计算程序的设计和调试技术。
二、实验要求（1）已知：信源符号个数r 、信宿符号个数s 、信道转移概率矩阵P 。
（2）输入：任意的一个信道转移概率矩阵。
信源符号个数、信宿符号个数和每个具体的转移概率在运行时从键盘输入。
（3）输出：最佳信源分布P*，信道容量C 。
三、信道容量迭代算法1：procedure CHANNEL CAPACITY(r,s,(jip ))2：initialize:信源分布ip =1/r ，相对误差门限σ，C=—∞4：5：6：C2211log [exp(log )]rsji ij r j p φ==∑∑7：until C Cσ∆≤8：output P*=()i rp ,C9：end procedure-------------------------------------------------------------------------------------------------------四、参考代码/*********************************************************************Author: Hop Lee *Date : 2003.06.25 *Copyright: GPLPurpose: Caculate the capacity of a given channel*********************************************************************/#include<stdio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<unistd.h> #include<values.h>#define DELTA 1e -6 /* delta,the threshold */int main( void) {register int i,j; register int k;21211exp(log )exp(log )sji ij j r sjiij r j p pφφ===∑∑∑ip 1i jiri jii p p p p=∑ijφfloat *p_i=NULL;float **p_ji=NULL;float **phi_ij=ij=NULL;float C,C_pre,validate;float * sum=NULL;float p_j;/*Read the number of input symbol:r,* and the mumber of output symbol:s*/fscanf(stdin,"%d",&r);fscanf(stdin,"%d",&s);/*Allocation memory for p_i,p_ji and phi_ij */p_i=(float *)calloc(r,sizeof(float));p_ji=(float **)calloc(r,sizeof(float));for(i=0;i<r;i++)p_ji[i]=(float *)calloc(s,sizeof(float));phi_ij=(float **)calloc(r,sizeof(float*));for(i=0;i<r;i++)phi_ij[i]=(float *)calloc(s,sizeof(float))/*Read the channel transition probability matrix p_ji */ for(i=0;i<r;i++)for(j=0;j<s;j++)fscanf(stdin,"%f",&p_ji[i][j]);/*Validate the input data */for(i=0;i<r;i++){validate=0.0;for(j=0;j<s;j++){validate +=p_ji[i][j];}if(fabs(validate -1.0)>DELTA){fprintf(stdout,"invalid input data.\n");exit(-1);}fprintf(stdout,”Starting..\n”);/*initialize the p_i and phi_ij*/for(i=0;i<r;i++){p_i[i]=1.0/(float)r;}/* initialize C and iteration counter :k,and temprory variable*/ C=-MAXFLOAT;/*MAXFLOAT was defined in<values.h>k=0;sum=(float *)calloc(r,sizeof(float));/*Start iterate*/do{k++;/* Calculate phi_ij(k) first */for(j=0;j<s;j++){p_j=0.0;for(i=0;i<r;i++)p_j+=p_i[i]*p_ji[i][j];if(fabs(p_j)>=DELTA)for(i=0;i<r;i++)phi_ij[i][j]=p_i[i]* phi_ji[i][j]/p_j;elsefor(i=0;i<r;i++)phi_ij[i][j]=0.0;}/*calculate p_i(k+1) then*/p_j=0.0;for(i=0;i<r;i++){sum[i]=0.0;for(j=0;j<s;j++){/* prevent divided by zero*/if(fabs(phi_ij[i][j])>=DELTA)sum[i]+=p_ji[i][j]*log2( phi_ij[i][j])/ log2(2.0);}sum[i]=pow(2.0,sum[i]); p_j+=sum[i];}for(i=0;i<r;i++){p_i[i]=sum[i]/p_j;}/*and C(k+1)*/C_pre=C;C= log2(p_j)/ log2(2.0);}while(fabs(C-C_pre)/C>DELTA);free(sum);sum=NULL;/*Output the result*/fprint(stdout,”The iteration number is %d.\n\n”,k);fprint(stdout,”The capacity of the channel is %.6f bit/symbol.\n\n”,C); fprint(stdout,”The best input probability distribution is :\n”);for(i=0;i<r;i++)fprint(stdout,”%.6f”,p_i[i]);fprint(stdout,”\n”);/* Free the memory we allocation before with stack sequence*/for(i=s-1;i>=0;i--){free(phi_ij[i]);phi_ij[i]=NULL;}free(phi_ij);phi_ij=NULL;for(i=r-1;i>=0;i--){free(p_ji[i]);p_ji[i]=NULL;}free(p_ji);p_ji=NULL;free((p_i);p_i=NULL;exit(0);}实验二唯一可译码判决准则一、实验目的（1）进一步熟悉唯一可译码判决准则；（2）掌握C语言字符串处理程序的设计和调试技术。
信息论第9章 纠错编码资料
7
在通信中信源编码、信道编码与数据转换编码常常是同时使用的。
任何一位错误。
接收到序 列
译出序列
显然表中的译码方法不能同时 检测出二位错误。因为如果发生 二位错误，则译码器会错误的
000
0
001
0
把它作为一位错误而“纠正”了 所以r=2的重复码可以发现 二位错误或者纠正一位错误，
0
0
但二者不能兼得。
011
1
100
0
101
1
110
1
30
例2。如果用r=3的重复编码。该编码器实现 “0” “0000” ， “1” “1111”
12
13
其中分组码又可分循环码和非循环码： 循环码——该码书的特点是，若将其全部码字分成 若干组，则每组中任一码字中码元循环移位后仍是这 组的码字。 非循环码——任一码字中码元的循环移位后不一定 再是该码书中的码字 。 按照纠正错误类型可分为纠正随机错误码、纠正突发 错误码、纠正随机与突发错误码以及纠正同步错误码 等。
26
汉明重量
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检错与纠错：
信道编码提供了对于信息传输发生差错的 控制能力。这种控制能力由编码器的纠错 能力与检错能力来表征。检错是指当信息 在信道上传输发生错误时，译码器能发现 传输有误，并及时的告诉接受者；而纠错 则是译码器能自动纠正这个错误的能力。 下面以重复码为例说明编码的纠错和检错 能力。
湖南大学信息论与编码试题二参考答案
课程名称：信息论与编码 使用班级：信息安全07级1-3班一、选择题（每题2分，共10分）1、A2、A3、A4、D5、A二、填空题（每空2分，共30分）1、可能 存在2、率失真 限失真信源编码定理3、条件4、齐次5、≥6、统计1、 7、突发 8、信息率失真函数 9、>, ≤10、差错 11、反馈重发、混合纠错三、(15分) 略四（20分）解：（1）()0.811H X =比特/符号………………………………………..（2分） 因为()()121210()()()()(0.250.75)01p y p y p x p x ⎛⎫== ⎪⎝⎭………..（2分） 所以()0.811H Y =比特/符号…………………………………………….（2分）（2）2221112(/)()(/)log (/)()(1,0)()(0,1)0..........................................i j i j i i j H Y X p x p y x p y x p x H p x H ===-=+=∑∑（2分） ()()(/)()0.811/H XY H X H Y X H X =+==比特符号……………… （2分） (/)()()0H X Y H XY H Y =-=………………………………………… （2分）（3）、(;)()(/)0.8100.81/IXY HX HX Y =-=-=比特符号…… （2分） （4）、因为信道容量()max(()(/))max ()1/i i p x p x C H Y H Y X H Y =-==（）比特符号 （4分） 所以改变信源的概率分布后，收到Y 后能获得的最大信息量为1比特/符号，此时信源的概率分布为等概率分布，即12()()0.5p x p x == 。
（2分）五（20分）解：（1）（3分）（2分） 信源熵：221()()log ()0.811/i i i H X p x p x ==-≈∑比特信源符号 平均码长：2111()111/44i i i K p x k ===⨯+⨯=∑码符号信源符号 （3分） 编码效率：()0.811H X Kη== （2分） 注：答案不唯一，其他答案适当给分（2）（3分） 41()1933127(1233)/21616161032i ii p k K L α===⨯⨯+⨯+⨯+⨯=∑码元信源符号（3分） 编码效率2()()()0.8110.96127/32log H X H X H X R K m Kη===≈≈…………………（2分） （3）由（1），（2）知道，对扩展信源（或信源序列）进行编码时，编码效率更高，并且对于变长编码，L 不需要很大就可以达到相当高的编码效率。
信息论与纠错编码题库 (1)
第三章 离散信源无失真编码3.2离散无记忆信源，熵为H[x]，对信源的L 长序列进行等长编码，码字是长为n 的D 进制符号串，问：（1）满足什么条件，可实现无失真编码。
（2）L 增大，编码效率 也会增大吗？ 解：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。
但不一定L 的每次增加都一定会使编码效率提高。
3.3变长编码定理指明，对信源进行变长编码，总可以找到一种惟一可译码，使码长n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1,试问在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码？ 解：在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
证明：假设在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码，则由变长编码定理当n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1，总可以找到一种惟一可译码知：在n ≥DX H log )( ① 时，总可以找到一种惟一可译码。
由①式有：Ln ≥L X H )(logD ② 对于离散无记忆信源，有H(x)=LX H )( 代入式②得：n L≥ D x H log )(即在nL≥Dx H log )(时，总可以找到一种惟一可译码；而由定理给定熵H （X ）及有D 个元素的码符号集，构成惟一可译码，其平均码长满足D X H log )(≤n L <DX H log )(+1 两者矛盾，故假设不存在。
所以，在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
3.7对一信源提供6种不同的编码方案：码1~码6，如表3-10所示信源消息 消息概率 码1 码2 码3 码4 码5 码6 u1 1/4 0 001 1 1 00 000 u2 1/4 10 010 10 01 01 001 U3 1/8 00 011 100 001 100 011 u4 1/8 11 100 1000 0001 101 100 u5 1/8 01 101 10000 00001 110 101 u6 1/16 001 110 100000 000001 1110 1110 u71/161111111000000000000111111111（1） 这些码中哪些是惟一可译码？ （2） 这些码中哪些是即时码？（3） 对所有唯一可译码求出其平均码长。
湘大信息论与编码试卷及答案
一、填空题（每空1分，共30分）（1）在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的有效性，信道编码主要用于解决信息传输中的可靠性，加密编码主要用于解决信息传输中的安全性。
（2）不可能事件的自信息量是____∞___,必然事件的自信息是0 。
（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。
（4）在信息处理中，随着处理级数的增加，输入和输出消息之间的平均互信息量会减少。
（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于 2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3 。
（6）假设每个消息的发出都是等概率的，四进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的 2 倍。
（7）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。
霍夫曼编码方法构造的是最佳码。
（8）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2___个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。
（9）设有一个离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R_小于_C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。
（10）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与_译码规则和编码方法有关（11）互信息I(X。
Y)与信息熵H(Y)的关系为：I(X。
Y)_小于__（大于、小于或者等于）H(Y)。
（12）克劳夫特不等式是唯一可译码__存在___的充要条件。
{00，01，10，11}是否是唯一可译码？___是____。
（13）差错控制的基本方式大致可以分为前向纠错、反馈重发和混合纠错。
（14）如果所有码字都配置在二进制码树的叶节点，则该码字为唯一可译码。
（15）设信道输入端的熵为H(X)，输出端的熵为H(Y)，该信道为无噪有损信道，则该信道的容量为 Max H（Y）。
（16）某离散无记忆信源X，其符号个数为n，则当信源符号呈等概_____分布情况下，信源熵取最大值___log（n）。
信息论与编码第八章纠错编码
•
内容提要
一、纠错码的基本概念 二、纠错编码的代数基础 三、线性分组码 四、循环码 五、卷积码
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内容提要
➢ 一、纠错码的基本概念 二、纠错编码的代数基础 三、线性分组码 四、循环码 五、卷积码
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1.信道纠错编码
•一、纠错码的基本概念
•
•一、纠错码的基本概念
011
0111010
100
1001110
101
1010011
110
1101001
111
1110100
•三、线性分组码
•
3. 线性分组码编码
生成矩阵和校验矩阵关系
•三、线性分组码
• 例题
•已知生成矩阵为
•求其校验矩阵H，如果将H作为生成矩阵，则所生成的码字是什么？
•由于 •G=[Ik Pk*(n-k)]
•
•三、线性分组码
1.分组码相关定义 •校验位和信息位
对于2k个n长码字全体构成的分组码 ，其码字中的k位称为信息位，n-k位 称为校验位或监督位。
消息序列 000
码字 0000000
例如，当k=3，n=7时，可能的消息序 列数m=2k=8个，可能的长为n=7的预 选序列有27=128个。具体如表：
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•二、纠错编码的代数基础
•
1. 群
•模p乘
令p为一个素数(例如p=2,3,5,7,11,…)
•二、纠错编码的代数基础
易验证模p乘法满足交换律和结合律，其单位元是1。G中任何元素i关 于模p乘法都有逆元。
信息论与编码纠错第7章
uˆ
信宿
模型突出了以控制差错为目的的纠错码编、译码器，因此也称为 差错控制系统。
2．差错控制系统的分类 按其纠错能力的不同可分为两种：检错码和纠错码。
⑴ 检错码：能发现错误但不能纠正错误的码； ⑵ 纠错码：不仅能发现错误而且还能纠正错误的码。
按差错控制系统类型，可分为前向纠错、重传反馈和混合纠错等三种方式。
一．信道纠错编码
近年来，随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交 换、处理和存储技术得到了广泛的应用，人们对数据传输和存储系统的可 靠性提出了越来越高的要求。因此，如何控制差错、提高数据传输和存储 的可靠性，成为现代数字通信系统设计工作者面临的重要课题。
香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时，通过某种编译 码方法，就能使错误概率为任意小。目前已有了许多有效的编译码方法， 并形成了一门新的技术——纠错编码技术。
1．码的最小距离 码C中不同码字之间距离的最小值称码C的最小距离。
dmin min d (ci，cj) ci , cj C, i j
【例】（2，1）重复码
00
0
00
01 10
好好
好
11 好好好好
00
好好好好好好好好好 好 好 好 好 好 “ 00” 好 好 “ 11” 好 好 好 好 好
1
11
01 好 好 好
10
11
（2，1）重复码可以检出一个错误，但错误不能纠正。
（3，1）重复码
0
000
001 好 好
010
000 好 好 好 好 好 好
构成一个（n，n - 1）线性分组码：R = (n-1)/n
n2
n2
n1
由最后一个方程： cn1 ui cn1 ui 0 ci 0