北师大数学必修四新素养同步练习：第一章 662 余弦函数的性质 含解析
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
解析：y＝－cos2x＋acosx－ a－
＝－ 2＋ － － .
∵－1≤cosx≤1，于是
①当 <－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，
ymax＝－ a－ .
由－ a－ ＝1，得a＝－ >－2(舍去)；
②当－1≤ ≤1，即－2≤a≤2时，
解析：由题意，知0≤cosx≤1，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z.
答案： (k∈Z)
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
(2)sin194°与cos160°.
解析：(1)cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ，
∵0< < <π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．函数y＝sin 是()
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：y＝sin
＝sin
＝－sin ＝－cos2 010x，
所以为偶函数．
答案：B
3．函数y＝cosx－2在x∈[－π，π]上的图像是()
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与x轴有无数多个交点；
2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.6 余弦函数的图像与性质 含解析
§6余弦函数的图像与性质Q错误!错误!现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性,即朔——上弦-—望-—下弦——朔;潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？X错误!错误!1．余弦函数的图像(1）余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x__向左平移错误!个__单位长度得到．(2）余弦函数y＝cos x(x∈R）的图像叫作__余弦曲线__.图像如下：(3)用五点法作余弦函数的图像,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是__(0,1）__、__(错误!，0）__、__（π,－1）__、__（错误!π，0）__、__(2π，1）__.2．余弦函数的性质定义域__R__值域__［－1，1]__最值当x＝__2kπ__(k∈Z)时,y max＝__1__当x＝__（2k＋1)π__(k∈Z）时，y min＝__－1__周性期最小正周期是__2π__单调性递增区间__[2kπ－π，2kπ］__ (k∈Z）递减区间__［2kπ，2kπ＋π］__ (k∈Z)奇偶性__偶__函数，图像关于__y__轴对称对称性对称轴方程：__x＝kπ（k∈Z）__对称中心：__（kπ＋错误!，0)（k∈Z)__Y错误!错误!1．要得到函数f（x)＝sin x的图像，可以将g（x）＝cos x的图像( D )A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位［解析] y＝sin x＝cos (错误!－x）＝cos （x－错误!)．故选D．2．函数y＝1－cos x的图像关于（ B ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线x＝错误!对称[解析] 函数y＝1－cos x是偶函数，其图像关于y轴对称．3．函数y＝错误!是( A )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数［解析］定义域为R,f（－x)＝错误!＝错误!＝－f（x），则f(x）是奇函数．4．当x＝__(2k＋1)π(k∈Z)__时，y＝2－错误!cos x取得最大值__错误!__。
【高中数学必修四】第1章 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增， 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 C解析 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
高中数学必修四北师大版 6.2 余弦函数的性质 作业2 含答案
双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2的值域是( )．A ．[0,1]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 画出y ＝cos x ，x ∈[－π6，π2]的图像，从而得出y ∈[0,1]，故选A. 答案 A2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( )．A ．y ＝1sin x B ．y ＝－1cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析 由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选D. 答案 D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π的一个对称中心是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 解析 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0符合要求，故选B. 答案 B4．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是________． 解析 sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110；－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，又π＞32＞π2－110＞π－74＞0，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 32＜sin 110＜－cos 74.答案 cos 32＜sin 110＜－cos 745．函数y ＝ 2 cos x ＋1的定义域是________．解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z6．求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154； 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14. ∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.综合提高 (限时25分钟)7．要得到y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将此函数向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像． 答案 D8．对于函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )．A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )＜0解析 画图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，x ＝2k π或x ＝2k π＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D. 答案 D9．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝cos x 的图像，观察其单调性可知－π＜a ≤0. 答案 (－π，0]10．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实 数解． 答案 211．求函数y ＝2cos x －3的单调递增区间．解 由2cos x －3≥0，得cos x ≥32，即2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )， 又y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，∴函数y ＝2cos x －3的单调递增区间是[2k π－π6，2k π]，k ∈Z .12．(创新拓展)作出函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |的简图，并写出它的定义域、值域、最小正周期、递增区间、递减区间、奇偶性． 解 f (x )＝⎩⎨⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，图像如图．函数的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，最小正周期为2π，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π4＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π4＋2k π，其中k ∈Z ，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，－π2＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，π＋2k π，其中k ∈Z ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数．。
高中数学北师大版必修4学案1.6 余弦函数的图像与性质 Word版含解析
§余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像
余弦函数的性质
．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
.会用五点法画出余弦函数在[π]上的图像．(重点)
．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理余弦函数的图像与性质
阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．
．利用图像变换作余弦函数的图像
余弦函数＝的图像可以通过将正弦曲线＝向左平移
个单位长度得到．如图－－是余弦函数＝ (∈)的图像，叫作余弦曲线．
图－－
．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数＝(∈[π])的图像上有五个关键点，为()，，(π，－)，，(π，)，可利用此五点画出余弦函数＝，∈的简图(如图－－)．
图－－
．余弦函数的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()余弦函数＝的定义域为.( )
()余弦函数＝的图像可由＝的图像向右平移个单位得到．( )
()在同一坐标系内，余弦函数＝与＝的图像形状完全相同，只是位置不同．( )
()正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )
【解析】()()正确；余弦函数＝＝，即可看作是＝向左平移个单位得到的，因而()错；正、余弦函数有相同的周期(都是π)，相同的最大值(都是)，相同的最小值(都是－)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而()错．
【答案】()√()×()√()×
[质疑·手记]。
2016秋数学北师大版必修4练习：1.6.1-2 余弦函数的图像 余弦函数的性质 含解析
[A基础达标]1．设M和m分别是函数y＝错误!cos x－1的最大值和最小值,则M＋m等于( ）A。
错误!B．－错误!C．－错误!D．－2解析：选D。
需根据y＝cos x的性质（或图像）确定M、m.由y＝错误!cos x－1，可知y max＝M＝错误!－1＝－错误!，y min＝m＝－错误!－1＝－错误!。
所以M＋m＝－2.错误!若f（x)＝cos x在［－b,－a］（a〈b）上是增加的,则f(x)在［a，b］上是( ）A．奇函数B．偶函数C．减少的D．增加的解析：选C.因为f(x）＝cos x在R上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f（x）在［a,b]上是减少的．3．函数y＝cos错误!,x∈错误!的值域是( ）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!解析:选B。
因为0≤x≤错误!，所以错误!≤x＋错误!≤错误!。
因为y＝cos x在[0，π]上为减函数，所以－错误!≤cos错误!≤错误!。
4．在△ABC中,“A>B”与“cos A〈cos B"的关系为( )A．由“A>B”能推出“cos A〈cos B"B．由“cos A〈cos B”能推出“A>B”C．由“A〉B”能推出“cos A〈cos B"，同时由“cos A〈cos B”也能推出“A>B"D．以上均不正确解析:选C。
因为在△ABC中，0〈A〈π，0<B<π，在[0,π]内y＝cos θ是递减的，所以若A>B，则cos A〈cos B；若cos A〈cos B，则A〉B，故选C项．5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（）A．4 B．8C．2πD．4π解析：选D。
由图可知,图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形,有S1＝S2,S3＝S4,因此函数y＝2cos x的图像与直线y＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC的面积．因为｜OA｜＝2,｜OC|＝2π，所以S矩形＝2×2π＝4π,故选D.6．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是．解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．答案：27．函数f (x ）的定义域为[0,1］，则f （cos x ）的定义域是 ． 解析:由0≤cos x ≤1得，2k π－错误!≤x ≤2k π＋错误!，k ∈Z。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 3．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 4．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭5．设函数()3cos22sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③6．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．327．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数1cos y x x=+的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．9．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πeD ．5,2⎫⎛∞ ⎪⎝⎭π+e 10．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 11．若函数)22()sin 23cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是3 二、填空题13．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 14．已知函数()()πsin (00)2f x M x M ωϕωϕ=+>><，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则函数()f x =___________.15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.17．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-，有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1；②()f x 是1为周期的周期函数；③()f x 是偶函数；④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中，正确的命题序号为___________.18．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？19．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________. 20．已知函数sin cos |sin cos |3()22+--=+x x x x f x [0,]m 上恰有4个零点，则实数m 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）当113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，试由实数m 的取值讨论函数()()2g x f x m =-的零点个数． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭；③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.23．广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.（1）求小明与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t 的最小值.24．已知函数21()3cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x的取值集合.25．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米7.05.03.05.07.05.03.05.0()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中， 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数， 故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈， 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.3．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.4．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．5．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确； 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确； 令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.6．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 6332g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.7．A解析：A 【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x xx f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ， 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．C解析：C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项． 【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x-=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ，11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点， 可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点， 作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>， 解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<， 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10．C解析：C 【分析】 可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 11．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解 【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误； 当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确； 将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】由题意可得()23f x f x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+.在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ.则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.14．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知解析：ππ3sin 36x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式． 【详解】由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =，由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，23T ππω∴==，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，则27636πππϕ<+<，232ππϕ∴+=，解得6πϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③ 【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④. 【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.17．①②④【分析】当时即可判断①④；计算即可判断②也可以作图；计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确；当时则故②正确；所以③错误故答案为：①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析：①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时，()f x x n =-，即可判断①④；计算(1)f x +，()f x 即可判断②，也可以作图；计算12()33f -=，11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时，[]x n =，()||f x x n x n =-=-，所以()[0,1)f x ∈，故①④正确； 当[,1)x n n ∈+时，则1[1,2)x n n +∈++，[1]1x n +=+，(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=，故②正确；1112()|[]|3333f -=---=，1111()|[]|3333f =-=，所以③错误.故答案为：①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质，涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域，是一道中档题.18．【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】 根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到124t k =+或128t k =+，得到答案. 【详解】设时间为t ，0t >，根据题意：40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+，故124t k =+或128t k =+，k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可． 【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．20．【分析】周期为先考查一个周期函数判断零点个数及坐标再结合周期性即可求解【详解】是函数的一个周期当时当时只有四个零点在上恰有4个零点实数m 的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查函数的零点个数求参数注意 解析：517[,)36ππ 【分析】()f x 周期为2π，先考查一个周期函数，判断零点个数及坐标，再结合周期性，即可求解【详解】2x π=是函数()f x 的一个周期，当[0,2]x π时，35cos [,]44()35sin [0,][,2]44x x f x x x πππππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪+∈⋃⎪⎩当[0,2]x π时，()f x 只有四个零点5745,,,6633ππππ， 在[0,]m 上恰有4个零点，实数m 的取值范围为517[,)36ππ. 故答案为:517[,)36ππ. 【点睛】本题考查函数的零点个数求参数，注意函数图像和性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合“五点法”求函数解析式：最大值确定A ，由周期确定ω，由最高点坐标确定ϕ．（2）确定113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 的图象与性质，由2y m =与()y f x =的交点个数确定m 的范围． 【详解】解：（1）由图可知2A =．函数()f x 最小正周期1374833T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则28πω=．4πω∴=． 又772sin 2312f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则72122k ππϕπ+=+，Z k ∈． 212k πϕπ∴=-+，Z k ∈．又2πϕ<，12πϕ∴=-．∴函数()f x 的解析式为()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由题意，()()2g x f x m =-在113,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点个数即函数()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时公共点的个数． 由（1），知()2sin 412f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，723f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1303f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由图，知函数()f x 在区间17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间713,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． （i ）当12m <-或1m 时， ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时没有公共点，（ii ）当102m -≤<或1m =时， ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有一个公共点；（iii ）当01m ≤<时，()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有两个公共点．综上可知，当12m <-或1m 时，函数()g x 的零点个数为0； 当102m -≤<或1m =时，函数()g x 的零点个数为1； 当01m ≤<时，函数()g x 的零点个数为2．【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的解析式，考查真分数零点个数问题．解题关键是转化，函数零点个数转化为函数图象与直线的交点个数，基本方法是利用函数的性质，确定函数图象与直线交点个数得出参数范围.22．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω， 选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ； （2）同选①选③：（1）由6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值可得ϕ； （2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分） 方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的最大值，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论．23．（1）242cos 59y x tπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0x ，t 为参数）；（2）15. 【分析】（1）以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系，设sin()y A x b ωϕ=++，根据最高点和最低点的距离，求得,A b 的值，进而求得,ωϕ的值，即可求解.（2）由80y ≥，得到21cos 2x t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，得到2533t t -≥，即可求解.【详解】（1）如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系， 由题意可设sin()(0,0,0)y A x b A b ωϕω=++>>因为摩天轮的最高点距地面101m ，最低点距地面1018417(m)-=， 所以101,17,A b A b +=⎧⎨-+=⎩解得42,59A b ==，又函数周期为t ，可得2t πω=，所以242sin 59(0)y x x t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 又0x =时，17y =，所以21742sin 059t πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即sin 1,ϕϕ=-可取2π-，所以2242sin 5942cos 592y x x t tπππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭（0x ≥，t 为参数）. （2）依题意，可知242cos 5980y x tπ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即21cos 2x tπ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，不妨取第一圈，可得2242,3333t tx x t πππ≤≤≤≤， 所以持续时间为2533t t-≥，即15t ≥，所以t 的最小值为15.【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 24．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值 【详解】（1）∵函数1cos 1()22x f x x +=++ sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的周期为2π（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的各点向左平移32π个单位，得到y 3sin +1= -cos 1626x x πππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y = -cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭； 所以()cos 216g x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令226t x k πππ=+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【注意】取得最大值的集合为7,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭也可以． 【点睛】：(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；25．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解. 【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,， 则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===， 当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭， 即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （2）因为货船需要的安全水深度为6， 所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+， 即12412k t k ≤≤+，又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．26．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)． 又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。
高中数学北师大版必修四教学案第一章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含答案
[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
．如何由＝，∈的图像得到＝，∈的图像？
提示：只需将＝，∈的图像向右平移个单位即可得到＝，∈的图像，并且方法不唯一．
．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数＝在[，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如°和°都是
第一象限的角，虽然°>°，但°＝，°＝.却有°< °.所以函数＝在第一象限内不是减函数．
．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是＝π(∈)；它的对称中心有无数个，其坐标为(π＋，)(∈)．
讲一讲
．画出函数＝－，∈[，π]的图像．
[尝试解答] 按五个关键点列表：
如图所示：
．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标
是(，)，，(π，－)，，(π，)．
．形如＝＋，∈[，π]的函数，也可由五点法画图像．
练一练
．用“五点法”画出＝＋(∈[，π])的图像．
解：()列表。
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[A 基础达标]
1．设M 和m 分别是函数y ＝1
3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )
A.2
3 B ．－23
C ．－43
D ．－2
解析：选D.需根据y ＝cos x 的性质(或图像)确定M 、m .由y ＝13cos x －1，可知y max ＝M ＝1
3－
1＝－23，y min ＝m ＝－13－1＝－4
3.所以M ＋m ＝－2.
2.函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π
2－x ( )
A ．是奇函数
B ．是非奇非偶函数
C ．是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.由题意，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫
π2－x ＝x cos x ， 所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数．
3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2的值域是( ) A.⎝
⎛⎦⎤－
32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡
⎦
⎤
32，1
D.⎣⎡⎦⎤12，1
解析：选B.因为0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π
3.
因为y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3
2
. 4．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫
k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12
D ．13
解析：选D.因为T
＝2πk 4＝8π
k ≤2，所以k ≥4π，
又k ∈N ＋，所以正整数k 的最小值为13.
5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．2π
D ．4π
解析：选D.由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图像与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC 的面积． 因为|OA |＝2，|OC |＝2π， 所以S 矩形＝2×2π＝4π，故选D.
6．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．
解析：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．
答案：2
7．函数f (x )的定义域为[0，1]，则f (cos x )的定义域是________． 解析：由0≤cos x ≤1得，
2k π－π2≤x ≤2k π＋π
2，k ∈Z .所以f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 答案：⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2，k ∈Z 8．已知函数f (x )＝12sin 2x ＋a cos 2x ，当x ＝π
12时取得最大值1，则a 的值为________．
解析：由f ⎝⎛⎭⎫π12＝1得12sin π6＋a cos π
6＝1， 所以14＋32a ＝1，解得a ＝32.
答案：
3
2
9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π
4≤2k π(k ∈Z )，
解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π
4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2，
即x ＝2k π3－5π
12
(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.
10．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的对称中心，对称轴方程，递减区间和最小正周期． 解：设t ＝2x ＋π
4
，
则函数y ＝cos t 的图像如图所示．
由图像可知对称轴t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π
4＝k π(k ∈Z )．
所以x ＝k ·π2－π
8(k ∈Z )即为所求对称轴方程．
令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π
2(k ∈Z )．
所以x ＝k ·π2＋π
8
(k ∈Z )．
所以⎝⎛⎭⎫k ·π2＋π
8，0(k ∈Z )即为所求对称中心． 当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数是递减的， 即2k π≤2x ＋π
4≤2k π＋π(k ∈Z )．
所以x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3
8π(k ∈Z )． 所以其递减区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3
8π(k ∈Z )．
因为f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2π＝f ⎝
⎛⎭⎫2（x ＋π）＋π4. 所以最小正周期T ＝π.
[B 能力提升]
11．已知f (x )＝12(sin x ＋cos x )－1
2|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )
A ．[－1，1] B.⎣
⎡⎦
⎤－
22，1 C.⎣
⎡⎦
⎤－1，
22 D.⎣
⎡⎦
⎤
－1，－
22 解析：选 C.当sin x ≥cos x 时，f (x )＝cos x ；当sin x <cos x 时，f (x )＝sin x ，即f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，
sin x ，sin x <cos x .
作出函数y ＝f (x )的图像，如图实线所示．由图可得函数f (x )的值域为⎣
⎡⎦
⎤
－1，
22.
12．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3的交点，则φ
的值是________．
解析：由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫π3，12，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1
2，又0≤φ<π，解得φ＝π
6.
答案：π6
13．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；
(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π
3的最小值并求出对应x 的集合． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6∈[－1，1]， 因为b >0，
所以－b <0，⎩⎨
⎧
y max ＝b ＋a ＝3
2，
y
min ＝－b ＋a ＝－1
2
，
所以a ＝1
2
，b ＝1.
(2)由第一问知：g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 因为sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3∈[－1，1]， 所以g (x )∈[－2，2]，
所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z .
14．(选做题)设0≤x ≤π，函数f (x )＝sin(cos x )，g (x )＝cos(sin x )， (1)求f (x )的最大值、最小值；
(2)将f (x )，g (x )的最大值、最小值按从小到大的顺序排列； (3)讨论f (x )和g (x )的大小关系．
⎝⎛⎭
⎫已知当0<x <π2时，sin x <x 解：(1)当0≤x ≤π
2时，0≤cos x ≤1，
因为sin x 在[0，1]上是增加的， 所以f (x )的最大值为sin 1，最小值为0.
当π
2
<x ≤π时，－1≤cos x <0，而sin x 在[－1，0)上是增加的． 所以f (x )的最小值为sin(－1)，无最大值．
综上所述，f (x )的最大值为sin 1，最小值为sin(－1)．
(2)同理，因为0≤x ≤π，0≤sin x ≤1，cos x 在[0，1]上是减少的， 所以g (x )的最大值为cos 0，g (x )的最小值为cos 1. 所以sin(－1)<cos 1<sin 1<cos 0. (3)当0≤x <π2，0<cos x ≤1<π
2，
因为当0<x <π
2
时，sin x <x .
所以sin(cos x )<cos x . 又因为0≤sin x <x <π
2，
而cos x 在⎣⎡⎭⎫0，π
2上是减少的， 所以cos(sin x )>cos x ，
所以sin(cos x )<cos(sin x )，所以f (x )<g (x )． 当π
2
≤x ≤π时，cos x ≤0，0≤sin x ≤1， 所以sin(cos x )≤0，cos(sin x )>0， 所以sin(cos x )<cos(sin x )， 所以f (x )<g (x )．
综上，当0≤x ≤π时，总有f (x )<g (x )．。