江苏省江阴市第一中学高中数学复数练习题 百度文库
高中数学复数练习题附答案
高中数学复数练习题附答案一、单选题1．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB ．5C D ．22．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A．2 B ．3 C ．D ．3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．15．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC6．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +7．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．29．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）10．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+13．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i -B ．3+3i -C ．3i +D ．3i -+14．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-15．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．318．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3 C．D ．919．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．20．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞二、填空题21．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 28．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.31．计算：112i2i-=+___________. 32．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 33．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 34．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.35．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 37．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 40．已知复数1i z =+，则2z z+=____________三、解答题41．已知复数z 满足：i 1i z +=-． (1)求z ； (2)求1iz+的模． 42．数列{}n a 满足1112,1n n na a a a +-==+，试研究数列{}n a 的周期性.43．已知1z ，2z ∈C，1z =2=z12z z +=12z z -． 44．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．D 13．B 14．C 15．A 16．A 17．B 18．C 19．D20．A 二、填空题 212223．1 24．1 25．四 2627．13i 22-+28．1i -+（答案不唯一）2930．1-31．43i -##3i 4-+ 32．13i +33．－1＋2i##2i －1 34．[)2,+∞35．11+ 36．()0,3 37．③ 38．039．22i +##2i 2+ 40．三、解答题41．(1)12i +【解析】 【分析】（1）先求出12z i =-，再求出z ；（2）先利用复数除法法则化简得1i 2i 321z --=+，从而求出模长. (1)12z i =-，12i z =+(2)()()()()2212i 1i 12i 13i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222----+--====--++--，故 22119101i 223442z ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 42．周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x +=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+，其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<，解得：i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数. 43．2 【解析】 【分析】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，利用余弦定理可得6cos 4OAC ∠=-，再利用余弦定理即可得出答案． 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=， 则222(22)(2)(3)23OAC =+-∠， 解得6cos OAC ∠= ∴6cos AOB ∠=2212(2)(3)223cos 2z z BA AOB ∴-==+-⨯⨯∠．44．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立. 45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5B ．5C ．2D ．22．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2B ．3C ．23D ．323．已知 i 是虚数单位，复数41322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．26．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i -- 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A 17B ．4C 7D 59．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四10．3i3i-+=+（ ）A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1- 13．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-14．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 15．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i20．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．22．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 23．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．25．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．26．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 27．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.28．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.29．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 30．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________． 31．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.36i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 37．计算cos 40isin 40cos10isin10________．38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 三、解答题41．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求,x y .42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．44．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+． 45．设C z ∈，则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形？【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 13．D 14．A 15．D 16．B 17．B 18．D 19．D20．A 二、填空题 21．825i 625-2223．-224 25．126．1i -+（答案不唯一） 27．9 28．1 29．1 30．-2 31．6 32．2 33．2或2- 34．8335．[)2,+∞36．1-1-3712i 38．③39．40．2 三、解答题 41．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩.42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限. 43．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 44．证明详见解析 【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.45．是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界） 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为3的圆， 22224,16z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为4的圆，所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界），如图所示.。
(word完整版)高中数学复数练习题
高中数学《复数》练习题.基本知识：复数的基本概念（1）形如a + bi 的数叫做复数（其中a , b R ）；复数的单位为i ，它的平方等于一1,即i 2 1. 其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + bi 为实数虚数：当b o 时的复数a + bi 为虚数;纯虚数：当a = 0且b o 时的复数a + b i 为纯虚数（2） 两个复数相等的定义：a bi c di a c 且b d （其中，a ，b ，c ，d ， R ）特别地 a bi 0 a b 0（3） 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ；（4） 复平面：z a bi ，对应点坐标为p a,b ；（象限的复习）c dic di a bi za bi a bi a bi 四.例题分析【例1】已知z a 1 b 4 i ，求（1）当a,b 为何值时z 为实数（2）当a,b 为何值时z 为纯虚数（3）当a,b 为何值时z 为虚数（4）当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限【变式1】若复数z （X 2 1） （x 1）i 为纯虚数，则实数X 的值为 (1) 加法：Z 1 Z 2 a a 2 b1 b2 i ； (2) 减法： z 1a a 2b 1 b 2 i ； (3) 乘法： Z 1 Z 2 a 〔a 2a 2b| a]b 2 i 特另S z z a 2 b 2。
(4) 幕运算： .1 i 2 1 1 1 i 3・ i .4 i 1i 5 ii 61 .复数的基本运算: 设 z 1 a b 1i ， z2 a 2 b 2i三.复数的化简（5）复数的模：对于复数z a bi ，把z.a 2 b 2叫做复数z 的模;c dia bi（a,b 是均不为 0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:ac bd ad bc ia 2A. 1 B . 0 C 1 D . 1 或1 【例2】已知乙3 4i ；Z2 a 3 b 4 i，求当a,b为何值时Z1=z? ［例3】已知z 1 i，求z，z z ；（1）求乙Z 2的值；（2）求乙Z 2的值；（3）求z Z 2 .【变式1】已知复数z 满足z 2 i 1 i ，求z 的模.【变式2】若复数1 ai 2是纯虚数，求复数1 ai 的模.【例5】若复数z 口 a R （ i 为虚数单位），1 2i（1） 若z 为实数，求a 的值（2） 当z 为纯虚，求a 的值.【变式1】设a 是实数，且 旦 口 是实数，求a 的值..1 i 2【变式2】若z 口 x,y R 是实数，则实数xy 的值是 _____________________ .________1 xi【变式3】i 是虚数单位，（1 I ）4等于（）1-iA. iB. -i C . 1 D. -1【变式4】已知_^=2+i,则复数z=（）1+ i (A ) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【变式5】 i 是虚数单位，若1 7i > i a bi (a, b R)，则乘积ab 的值是(A )- 15 (B )- 3 (C ) 3 (D ) 15【例6】复数z 7 i =（3 i )(A ) 2 i (B) 2 i (C) 2 i (D ) 2 i【变式1】 已知i 是虚数单位， 2i 31 i ( )A 1 iB 1 i c 1 i D. 1 i【变式2】 .已知i 是虚数单位， 复数 1 3i =1 i D 1 ( )A2 i B2 i C 1 2i 2i【变式3】 已知i 是虚数单位， 复数 1 3i1 2i ( )(A)1 + i (B)5 + 5i (C)-5-5i (D)-1 —i【变式4】 .已知i 是虚数单位， 则L 3 i 1i 1 ( )(A) 1 (B)1 (C) i (D) i练习题【变式1】复数z 满足Z 2 -，则求z 的共轭z1 i込」2，则z?z =（1 、3i ）1B.- 2 【变式2】已知复数z 1 A.-4 ［例 4】已知弓 C.1 D.22 i , z 23 2i1•设复数z a bi(a,b R)，则z 为纯虚数的必要不充分条件是a 7a 6 22•已知复数z ——2 ---------- (a 5a 6)i(a R)，那么当a= _________________ 时，z 是实数; a 1当 a __________________ 时，z 是虚数；当 a= ____________ 时，z 是纯虚数。
高中数学复数练习题及答案
高中数学复数练习题及答案一、单选题1．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ） A ．24i z =+ B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=2．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．14．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．25．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．5C D ．28．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i -B ．3+3i -C ．3i +D ．3i -+9．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．10．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4B C ．2 D ．1013．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-14．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5CD ．15．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞17．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3 C．D ．919．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 23．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.24．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________. 25．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．27．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 28．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 37．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果）40．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 三、解答题41．在复平面内，若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件．分别求实数m 的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．42．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值； (2)若复数z >0，求a 的值．43．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．44．求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ；(1)位于第二象限； (2)位于第一或第三象限； (3)在直线10x y --=上． 45．判断下列命题的真假． (1)任何复数的模都是非负数； (2)x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴；(3)若1z =，2z =，3z =42i z =-，则这些复数的对应点共圆； (4)cos isin θθ+，最小值为0．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B 13．C 14．B 15．D 16．A 17．D 18．C 19．B 20．C 二、填空题 21．3522．12i -##2i+1-23．()34-，24．2 25．13i 22-+ 26．1i -##i+1-27282930．3132．2 33．[)2,+∞ 3435．1-1- 36．()0,3 37．③ 38．339．13i +##3i 1+ 40．0 三、解答题41．(1)m ＝2或m ＝－1； (2)－1＜m ＜1； (3)m ＝2. 【解析】 【分析】（1）由题可得220m m --=，即求；（2）由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩，进而即得；（3）由题可得222=32m m m m --+-，即得. (1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+，由题意得220m m --=， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩ ∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或， ∴－1＜m ＜1. (3)由题得222=32m m m m --+-， ∴m ＝2.42．(1)2a = (2)4a = 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值. （2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值. (1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =．(2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =．43．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.44．(1)102m -<<或12m <<； (2)12m <-或01m <<或2m >； (3)1m =-或3. 【解析】 【分析】（1）可得点Z 的坐标为()22232,m m m m ---，然后可得222320m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解出即可；（2）可得2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或2223200m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解出即可；（3）将点Z 的坐标代入直线的方程求解即可.(1)复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---若点Z 位于第二象限，则222320m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<(2)若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或2223200m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩解得12m <-或01m <<或2m > (3)若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-= 解得1m =-或3 45．(1)真命题； (2)真命题； (3)真命题； (4)假命题； 【解析】 【分析】由复数模长公式判断（1），由复平面的定义判断（2），根据复数的模长判断（3），由模长计算公式求解cos isin θθ+，判断（4）. (1)真命题，若()i ,z a b a b R =+∈，则0z =≥，故该命题为真命题； (2)真命题，由复平面的定义可知，x 轴是实轴，y 轴是虚轴，故该命题为真命题； (3)真命题，因为3124z z z z ===(4)假命题，cos isin 1θθ+==为定值，所以其最大最小值均为1，故该命题为假命题.。
完整版)高中数学复数练习题
完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。
2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。
3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。
特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。
特别z·z=a²+b²。
4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。
三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。
-1 B。
1 C。
0 D。
-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。
高中复数测试题及答案
高中复数测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数是：A. \( 3 - 4i \)B. \( 4 + 3i \)C. \( -3 + 4i \)D. \( -3 - 4i \)2. 如果 \( z_1 = 2 - i \) 和 \( z_2 = 3 + 2i \)，那么 \( z_1 \cdot z_2 \) 等于：A. 5 - 4iB. 8 - 5iC. 5 + 4iD. 8 + 5i3. 复数 \( z = a + bi \) 在复平面上的对应点位于：A. 右半平面B. 左半平面C. 上半平面D. 下半平面4. 复数 \( z = 1 - i \) 的模长是：A. \( \sqrt{2} \)B. 2C. 1D. \( \sqrt{1} \)5. 如果 \( z_1 = 2 - i \) 和 \( z_2 = 1 + 3i \)，那么 \( z_1+ z_2 \) 等于：A. 3 + 2iB. 3 - 2iC. 2 + 2iD. 2 - 2i6. 复数 \( z = x + yi \) 的虚部是：A. \( x \)B. \( y \)C. \( x - y \)D. \( x + y \)7. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的实部是：A. 3B. 4C. \( 3i \)D. \( 4i \)8. 复数 \( z = -2 - 2i \) 的共轭复数与 \( z \) 的模长之积等于：A. 8B. 4C. 16D. 329. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是：A. \( \sqrt{2} \)B. 2C. 1D. \( \sqrt{1} \)10. 复数 \( z = 2 - 3i \) 的共轭复数与 \( z \) 的模长之积等于：A. 13B. 10C. 5D. 13二、填空题（每题2分，共10分）11. 复数 \( z = 5 + 12i \) 的模长是 \( \sqrt{5^2 + 12^2} = \) __________。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．32．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-9．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.10．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( ) A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 513．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞D ．(),3-∞15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 17．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 18．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +19．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝020．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1-二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．26．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 27．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.32．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.33．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 37．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.38．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 三、解答题 41．已知复数023i z =+，(1)若复数z 满足003zz z z =+，求z ；(2)若z C ∈，0z z =，0z z +=0z z -的值.42．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+．(1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．43．已知i 为虚数单位，实数m 分别取什么数值时，复数()22(1)iz m m m =+-+-满足下列条件： (1)纯虚数；(2)复平面内对应的点在直线y x =上. 44．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 45．已知ABC 中，AB ，AC 对应的复数分别为12i -+，23i --，通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B7．A8．C9．D10．D11．B12．A13．B14．A15．B16．D17．C18．C19．D20．D二、填空题21．12223．124．125．四26．3-2728．29．13i+##3i+1 30．3531．2i-+32．733．234．1-1-351i236．037．338．9π39．13i +##3i 1+ 40．9 三、解答题41．(1)79i 1010z =-;【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法列出方程，由复数相等求解即可；（2）根据复数的几何意义及条件可知以OA ，OB 为邻边的平行四边形是菱形，解三角形后知AOB 是正三角形即可得解. (1)设i z a b =+ (),a b ∈R ， 因为023i z =+，003zz z z =+所以0(i)(23i)3(i)(23i)zz a b a b =++=+++， 所以(23)(32)i (32)(33)i a b a b a b -++=+++由3233a b a b +=-⎧⎨-=⎩, 解得710910a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以79i 1010z =-(2)设复数0z ，z ，0zz +在复平面内对应点分别为A ，B ，C由0z z =OA ，OB 为邻边的平行四边形是菱形， 在OAC 中，AC OA =OC 所以，1cos 2OAC ∠=-，所以，23OAC π∠=，所以，3AOB π∠= 因此，AOB 为正三角形，故00z z z -==42．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长.(1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=， 整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩，所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=，所以复数()4i zp q +-的模为1.43．(1)2m =- (2)1m =± 【解析】 【分析】（1）实部为0，虚部不为0即可； （2）实部等于虚部即可得解. (1)由已知22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩ 解得211m m m =-=⎧⎨≠⎩或2m =-所以(2)由已知212m m m -=+-21m =1m =±44．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，32b =±，∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴32b =-，∴113i 22z =-； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-. 45．见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点，以,AB AC 为邻边作平行四边形，如图，所以12i -+，23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ，如图，()()----+对应的向量为BC，如图，23i12i。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4 C D 2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．63．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(2,1)- D ．(1,2)--4．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC5．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-16．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 8．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 12．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-15．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5CD ．16．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ）A B ．2 C ．D ．4 17．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2＋i B ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i18．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．920．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③二、填空题21．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 26．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 27．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限28．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．已知复数21ii z +=，则z =______． 37．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 38．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果）39．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 三、解答题41．在复平面内，若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件．分别求实数m 的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．42．已知z ＝cos θ－sin θi(cos θ＋sin θ). (1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值； (2)若θ∈(π，2π)，求arg z (用θ表示). 43．将下列复数表示成三角形式 (1)πtan i,(0,)2θθ+∈； (2)[)1cos isin ,0,2πααα++∈． 44．求满足下列各条件的复数z ． (1)i i 1=-z ； (2)220z z -+=．45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题 1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．D10．C 11．D 12．D 13．B 14．C 15．B 16．C 17．B 18．A 19．C 20．B 二、填空题 21．-2 22．223．13i +##3i+1 24．25．1261##1-27．四 28．129．()34-，30．1 3132．2或2- 3334．2i +##i 2+ 35．136 37．12-##0.5- 38．13i +##3i 1+ 39．1 40．9 三、解答题41．(1)m ＝2或m ＝－1； (2)－1＜m ＜1； (3)m ＝2. 【解析】 【分析】（1）由题可得220m m --=，即求；（2）由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩，进而即得；（3）由题可得222=32m m m m --+-，即得. (1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+，由题意得220m m --=， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩ ∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或， ∴－1＜m ＜1. (3)由题得222=32m m m m --+-， ∴m ＝2.42．(1)当()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值为，(2)97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.【解析】 【分析】（1）按照复数模的定义求解即可； （2）按照复数的辐角主值的定义求解即可. (1)由复数模的定义可得：z ===，显然当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时最大，即()24k k Z πθπ=-∈ ， 最大值为； (2)设arg zα= ，()cos sin i cos sin 1cos isin 44z ππθθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ，实部为1cos 04πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞ 59442πππθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ ，虚部为sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， sin 4tan tan 281cos 4πθθπαπθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭ ， ∴当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 即5,244ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 时， sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜， 此时复数z 对应的点在第四象限， 5,288θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，92828θπθπαπ=++=+ ，当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 即92,44ππθπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞， 此时复数z 对应的点在第一象限（或x 轴的非负半轴上），9,288θπππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴72828θπθπαπ=+-=- ， ∴97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ ； 综上，当()24k k Z πθπ=-∈时，z 最大，最大值为97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.43．(1)1ππsin icos cos 22θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； (2)当0πα≤<时,2cos cos isin 222ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π2πα≤<时，2cos cos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解；（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解； (1)()sin 1tan i i sin icos cos cos θθθθθθ+=+=+， π(0,),cos 02θθ∈∴>，1ππtan i sin icos cos 22θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)21cos isin 2cos isincos222ααααα++=+2coscos isin 222ααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵当0πα≤<时，π022α≤<，cos 02α>， ∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 当π2πα≤<时，π<π22α≤，cos02α≤，∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=--- ⎪⎝⎭2coscos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 44．(1)1i z =+(2)12z = 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算算出答案即可；（2）由条件可得221724z ⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)由i i 1=-z 可得22i 1i i 1i==1i i i 1z ----==+- (2)因为220z z -+=，所以221724z ⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12z -=所以12z = 45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。
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11．若 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12． （）
A．1B．-1C．iD．-i
13．已知i是虚数单位，a为实数，且 ，则a＝（）
A．2B．1C．-2D．-1
14．复数 对应的向量 与 共线，对应的点在第三象限，且 ，则 （）
易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.
解析：B
【分析】
先求出 ，再解不等式组 即得解.
【详解】
依题意， ，
因为复数 为纯虚数，
故 ，解得 .
故选：B
【点睛】
易错点睛：复数 为纯虚数的充要条件是 且 ，不要只写 .本题不能只写出 ，还要写上 .
4．B
【分析】
化简复数，可得，结合选项得出答案．
A．若复数 满足 ，则 B．若复数 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则 D．若复数 ， 满足 ，则
19．已知复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复数z满足 ，下列结论正确的是（）
A． 点的坐标为 B．复数 的共轭复数对应的点与点 关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上D． 与z对应的点Z间的距离的最小值为
一、复数选择题
1．D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为，
所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.
故选：D
解析：D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数 的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为 ，
所以在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为 .
【详解】
由题意得 ，则 .
故选：A
8．B
【分析】
由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为的实部为，所以可设复数，
则其共轭复数为，又，
所以由，可得，即，因此.
B．在两个变量 与 的回归模型中，用相关指数 刻画回归的效果， 的值越大，模型的拟合效果越好
C．若复数 ，则
D．若命题 ： ， ，则 ： ，
23．已知复数 （其中 为虚数单位），则以下说法正确的有（）
A．复数 的虚部为 B．
C．复数 的共轭复数 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
24．已知复数 （其中 为虚数单位），则以下结论正确的是（）
【详解】
由
复数（）为纯虚数，则 ，则
所以
故选：B
解析：B
【分析】
把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模.
【详解】
由
复数 （ ）为纯虚数，则 ，则
所以
故选：B
7．A
【分析】
由得出，再由复数的四则运算求解即可.
【详解】
由题意得，则.
故选：A
解析：A
【分析】
由 得出 ，再由复数的四则运算求解即可.
A． B． C．1D．i
6．若复数 （ ）为纯虚数，则 （）
A． B． C．3D．5
7．在复平面内，复数 对应的点是 ，则 （）
A． B． C． D．
8．设复数 满足方程 ，其中 为复数 的共轭复数，若 的实部为 ，则 为（）
A．1B． C．2D．4
9．若 ，则 （）
A． B．4C． D．8
10．复数 的实部与虚部之和为（）
29．复数 ，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A． B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限
30．给出下列命题，其中是真命题的是（）
A．纯虚数 的共轭复数是 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
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【详解】
则，的虚部为
故选：B
解析：B
【分析】
化简复数 ，可得 ，结合选项得出答案．
【详解】
则 ， 的虚部为
故选：B
5．C
【分析】
求出，即可得出，求出虚部.
【详解】
，，其虚部是1.
故选：C.
解析：C
【分析】
求出 ，即可得出 ，求出虚部.
【详解】
， ，其虚部是1.
故选：C.
6．B
【分析】
把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模.
A． B． C． D．
15．若 为虚数单位， ，且 ，则复数 的模等于（）
A． B． C． D．
二、多选题
16．已知复数 (i为虚数单位)，则下列说法错误的是（）
A．z的实部为2B．z的虚部为1C． D．
17．已知复数 满足 ，则 可能为（）.
A．0B． C． D．
18．下列四个命题中，真命题为（）
20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）
A．若复数 ，则 B．若复数 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则 D．若复数 ， 满足 ，则
21．下面是关于复数 （i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
22．下列结论正确的是（）
A．已知相关变量 满足回归方程 ，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
27．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
28．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若 ，且 ，则
B．任意两个虚数都不比较大小
C．若复数 ， 满足 ，则
D． 的平方等于1
故选：D
2．B
【分析】
先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.
【详解】
由于，
则.
故选：B
解析：B
【分析】
先利用复数的除法运算将 化简，再利用模长公式即可求解.
【详解】
由于 ，
则 .
故选：B
3．B
【分析】
先求出，再解不等式组即得解.
【详解】
依题意，，
因为复数为纯虚数，
故，解得.
故选：B
【点睛】
A． B． C． D．
25．下列命题中，正确的是（）
A．复数的模总是非负数
B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C．如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
26．已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（）
一、复数选择题
1．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 =（）
A． B． C． D．
3．若复数 为纯虚数，且 ，则实数 的值为（）
A． B．7C． D．
4．已知复数 ，则 的虚部为（）
A．1B． C． D．
5．已知复数 ，则 的虚部是（）