初三上期末复习《“配方法”的应用》专题提优含答案

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初三数学配方法及应用专项培优(含答案)

- 1 -FECB A一元二次方程配方法及应用试卷一、填空题：（每题4分）1.若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为 .2.某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是 .3.实数c b a ,,满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则=++c b a .4.方程91292222=-++xy y x y x 的非负整数解是 .5.已知实数y x ,满足,31)2()12(222=-+++x y y x 则yx +的值是 .6. 已知,32,32-=-+=-c b b a 则=---++ca bc ab c b a 222.7.若y x ,是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，则m 的最小值为 . 8.已知c b a ,,是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，则c b a ++的值为 .二、选择题：（每题4分）9、如图，在正三角形ABC 的边BC,CA 上分别有点E,F, 且满足BE=CF=a ,EC=FA=b (b a 〉),当BF 平分AE 时，则ba的值为（） A.215- B.225- C.215+ D.225+ 10、已知),10(71〈〈=+x x x 则xx 1-的值为（） A.7- B.5- C.7 D.5 11、已知b a ,是实数，),2(4,2022a b y b a x -=++=则y x ,的大小关系是（）A.y x ≤B.y x ≥C.y x 〈D.y x 〉 12、已知实数y x ,满足,3,3242424=+=-y y x x 则444y x+的值为（） A.7 B.2131+ C.2137+ D.5 13、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）A.2B.3C.4D.5 三、解答题：（共48分）- 2 -14、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题： ⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；⑵设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；⑶商店想在月销售成本不超过10000元时，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？⑷商店想使得月销售利润达到最大，销售单价应定为多少？ 15、如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，P 、Q 、M 、N 分别从A 、B 、C 、D 出发沿AD 、BC 、CB 、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同的时间内，若BQ=xcm(x ≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=2x cm.⑴当x 为何值时，以PQ 、MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；⑵当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求出x 的值；如果不能，请说明理由.16、若a 是整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值.17、已知a 、b 、c 均为实数，且,10342,42-=-=+c ab c b a 求ab 的值.参考答案：一、1、-7或6 2、0.1 3、-8 4、（2,3），（1,6），（1,0），（0,3）5、32-6、157、-228、5或-1或3或-3.二、9、C 10、B 11、B 12、A 13、C三、14、①6750元；②400001400102-+-=x x y③x=60,x=80.当x=60时，月销售成本为：16000元；当x=80时，月销售成本为：8000元所以，应定为80元；④x=70元，有最大利润9000元. 15、N MQP DCA B。

人教版初中数学《一元二次方程解法之配方法题型汇总》专题突破含答案解析

专题01 一元二次方程解法之配方法题型汇总一、单选题1．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级开学考试）用配方法解一元二次方程2241x x -=，配方后的结果是（） A ．23(1)2x -= B ．2(21)0x -=C ．()2211x -=D ．()2322x +=【答案】A 【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵2x 2-4x =1，∵2122x x -=, 则212112x x -+=+，即23(1)2x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2020·珠海市九洲中学）用配方法解方程2220x x +-=，原方程应变形为（） A ．()213x += B ．()2-13x =C ．()211x +=D ．()2-11x =【答案】A 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．【详解】解：由原方程，得 x 2+2x =2， x 2+2x +1=2+1，（x +1）2=3．故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（2021·安徽八年级期末）利用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应先将其变形为（）A．（x+13）2＝109B．（x﹣13）2＝109C．（x﹣13）2＝89D．（x+13）2＝89【答案】B【分析】移项，配方，再变形即可得出选项．【详解】解：x2﹣23x﹣1＝0，移项，得x2﹣23x＝1，配方，得x2﹣23x+（13）2＝1+（13）2，即（x﹣13）2＝109，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，特别注意配方时是若二次项系数为1时方程两边直接同时加上一次项系数一半的平方，若二次项的系数不为1，应先把二次项系数化为1．4．（2021·江苏南通田家炳中学八年级期末）将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝﹣3C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3【答案】D【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：x2-6x+6=0，x2-6x+9-3=0，（x-3）2=3，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．5．（2021·全国九年级课时练习）利用配方法解方程242203x x --=时，应先将其变形为（） A ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可. 【详解】原方程可化为：22103x x --=配方得：211103992x x -+--=即211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.6．（2021·广西八年级期中）如果用配方法解方程2250x x --=，则配方后方程可化为（） A ．2(1)6x -= B ．2(1)6x +=C ．2(1)5x -=D ．2(1)5x +=【答案】A 【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【详解】解：x 2﹣2x ﹣5＝0， x 2﹣2x ＝5， x 2﹣2x +1＝5+1，（x ﹣1）2＝6．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．（2021·全国九年级课时练习）若1x =-是关于x 的一元二次方程2220x kx k -+=的一个根，则k 的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 【分析】把x =-1代入已知方程可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，进而可得答案．【详解】解：∵方程2220x kx k -+=的一根为-1， ∵2120k k ++=，解得121k k ==-，当k =﹣1时，原方程为2210x x -+=，有实数根x =-1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．（2021·浙江八年级期末）用配方法解方程2x 2﹣4x ﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x +m ）2＝n （n ≥0）的形式，则下列配方正确的是（） A ．（x ﹣2）2＝5 B ．（x ﹣1）2＝32C ．（x ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2＝114【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可．【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1＝0， ∵2x 2﹣4x ＝1， ∵x 2﹣2x ＝12，则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，故选：B ．【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可．9．（2021·浙江八年级期中）已知实数,x y 满足()()22222248x y x y +-+=，且2xy =，则下列结论正确的是（）．A ．228x y +=或226x y +=-B ．2x y -=C ．23x y +=D ．23x y +=±【答案】D 【分析】根据()()22222248x y x y +-+=，利用完全平方公式把式子变形，然后进行判断即可.【详解】解：∵()()22222248x y x y +-+=∵()()222222149x y x y +-++=()222149xy -=+∵2217x y -=±+∵228x y +=或226x y +=-（舍去） ∵228x y +=，2xy = ∵()222212x y x y xy =+=++ ∵23x y +=±∵()22224x y x y xy =-+-= ∵2x y -=± 故选D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于会利用完全平方公式进行变形判断求解. 10．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（） A ．M N > B ．M N < C ．M N D ．不能确定【答案】B 【分析】利用作差法比较即可．【详解】根据题意，得237255N M t t t -=--+＝2222(1)1t t t -+=-+， ∵2(1)0t -≥ ∵2(1)110t -+≥＞ ∵M N <，故选B ．【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．11．（2021·四川凉山·）已知x 是方程2220x x +-=的根，那么代数式253222x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭的值是（） A ．31- B ．31+ C ．31-或31-+ D ．31-或31--【答案】D 【分析】先解方程2220x x +-=，得出31x =±-，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x 即可【详解】解：由题意知，222x x +=，解得31x =()()22225322254(2)23(3)(3)(2)2332(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫∴--÷⎪--⎝⎭-+-=⨯--+--=⨯--=-+=-++=-+ 当31x =±-时，原式(231)=-±- ∵原式31=-或31--．故选D ．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键12．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A ．22990x x --=化为()21100x -= B ．2890x x +-=化为2(4)25x += C ．2240t t --=化为2781()416t -=D ．23420x x --=化为2210()39x -=【答案】C 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可．【详解】解：A 、由原方程，得x 2-2x =99，等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得（x -1）2=100；故本选项正确，不符合题意； B 、由原方程，得x 2+8x =9，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 2(+4)25m =；故本选项正确，不符合题意；C 、由原方程，得 2122t t -=，等式的两边同时加上一次项系数12-的一半的平方116 ，得2133()416t -=；故本选项错误，符合题意； D 、由原方程，得 3x 2-4x =2，化二次项系数为1，得24233x x -= 等式的两边同时加上一次项系数-43的一半的平方49，得2210()39x -=；故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·北京八年级期中）方程x 2﹣2x ﹣5＝0配方后可化为___．【答案】（x -1）2=6 【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】解：∵x 2-2x -5=0， ∵x 2-2x +1=6， ∵（x -1）2=6，故答案为：（x -1）2=6．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 14．（2021·浙江八年级期中）用配方法解方程2610x x -+=，则方程可配方为__________．【答案】（x -3）2=8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-6x +1=0， ∵x 2-6x =-1，则x 2-6x +9=-1+9，即（x -3）2=8，故答案为：（x -3）2=8．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2020·江苏九年级月考）设A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，则A 与B 的大小关系是A_____B （填“＞，＝，＜”之一）【答案】＜【分析】通过作差法和配方法比较A 与B 的大小．【详解】解：∵A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，∵B ﹣A ＝a 2﹣a+5﹣a ﹣3＝a 2﹣2a+2＝（a ﹣1）2+1 ∵（a ﹣1）2≥0． ∵（a ﹣1）2+1＞0． ∵B ＞A ，即A ＜B ．故答案是：＜．【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2． 16．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知24410xx -+=，则2x=___．【分析】利用直接开方法即可得．【详解】24410x x -+=，即22(1)0x-=，直接开方法得：210x-=，解得21=x，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用直接开方法解方程，将2x作为一个整体，看成未知数是解题关键．17．（2021·安庆市第四中学九年级二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________．【答案】9 【分析】根据条件变形为222=-b a a ，将4a +b 2转化为()239a --+即可．【详解】解:∵a 2+b 2﹣2a ＝0， ∵222=-b a a ，∵4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+，∵当3a =时，4a +b 2的最大值为9．故答案为9．【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负性性质是解题关键． 18．（2021·全国九年级专题练习）当x =_________时，代数式22x x --有最大值，其最大值为_________．【答案】1- 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式22x x --通过配方变形为2(1)1x -++，即可得出答案．【详解】解：22222(2)(211)(1)1x x x x x x x --=-+=-++-=-++，1x ∴=-时，代数式22x x --有最大值，其最大值为1；故答案为：1-，1．【点睛】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．19．（2021·全国九年级专题练习）若2310a a -+=，则221+=a a ________．【答案】7 【分析】将221a a+配方为完全平方公式，再通分，然后将2310a a -+=变形为213a a +=，再代入完全平方公式求值；【详解】解：222222211112222a a a a a a a a ⎫⎛+⎫⎫⎛⎛+=++-=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭①；又2310a a -+=，于是213a a +=②，将②代入①得，原式232927a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．故答案为：7．【点睛】此题将配方法和代数式求值结合起来，同时需要利用整体思想简化计算；20．（2021·全国九年级专题练习）将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．【答案】-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-8x -5=0，∵x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x -4）2=21，∵a=-4，b=21，故答案为：-4，21．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2020·浙江七年级期中）当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15 【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∵当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22．（2021·江阴市华士实验中学七年级期中）已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∵()()()2223110a b c -+++-=，∵a=3,b=-1,c=1，∵a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题23．（2021·四川八年级期中）解下列方程．（1）21221x x =+；（2）3123x x x +=+-．【答案】（1）1226,26,x x =+=-（2）12x =-【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母得：()2221x x =+，去括号得：242x x =+，242x x ∴-=2446,x x ∴-+=()226,x ∴-=26,26,x x ∴-=-=- 解得：1226,26,x x =+=-检验：1226,26x x =+=-都是原方程的根，∵分式方程的解是1226,26x x =+=-．（2）去分母得：()()()()33223x x x x x -++=+-，整理得：223366x x x x x -++=--，解得：12x =-，检验：把12x =-代入得：()()()2310151500x x +-=-⨯-=≠，∵12x =-是分式方程的解．【点睛】本题考查了，分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．24．（2020·浙江杭州·七年级期中）用配方法求2361x x --+的最大值．【答案】4 【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可．【详解】解：2361x x --+=()2321x x -++=()232111x x -++-+=()2314x -++∵()2310x -+≤，∵()23441x +-+≤，∵2361x x --+的最大值为4．【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2021·山东八年级期中）试用配方的方法说明：代数式2610x x -+的值恒大于0．【答案】见解析【分析】将代数式用配方法配方，利用平方的非负性即可证明．【详解】解：()22261069910=31x x x x x -+=-+-+-+．无论x 取何值，总有()230x -≥，()2310x ∴-+>．即代数式2610x x -+的值恒大于0．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．26．（2021·黑龙江九年级期末）（1）用配方法解方程： x 2＋4x ﹣3＝0（2）先化简，再求值：22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 2＋2x ﹣8＝0 【答案】（1）1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）﹣222x x+，14- 【分析】（1）依题意，用配方法解方程即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由方程变形求出x 2＋2x 的值，代入计算即可求出值．【详解】（1）x 2＋4x ﹣3＝0，2447x x ++=，2(2)7x +=，27x +=±，∴1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ 42(2)2(2)(2)(4)x x x x x x ---=⨯+-- 2(2)x x =-+ 222x x=-+， x 2＋2x ﹣8＝0，228x x ∴+=，∴原式2184=-=-．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．27．（2021·福建三明市·八年级期中）阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-=，2(4)0n -=．4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的周长；（2）已知6a b -=，216730ab c c +-+=，求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =-，然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+=，进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=，∵22102512360a a b b -++-+=，∵()()22560a b -+-=，∵50,60a b -=-=，∵5,6a b ==，∵等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，∵当5a =为腰，则6b =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰，则5a =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=，∵6b a =-，∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=，226916640a a c c -++-+=，()()22380a c -+-=，∵30,80a c -=-=，∵3,8a c ==，∵363b =-=-，∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．28．（2021·全国）已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-．（1）求x 的值；（2）若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S ∆．【答案】（1）0x =；（2）25ABC S ∆=【分析】（1）6a b =-代入29x ab =-，根据非负数之和为0，求得x 的值；（2）由（1）的结论结合已知三角形的周长求得第三边c 的值，再根据勾股定理求得三角形的高，进而求得面积．【详解】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥，∵ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∵ 1064c =-=，ABC∴是等腰三角形过点C作AB边上的高CD则AD BD=2222325 CD AC AD=-=-=∴11452522ABCS AB AD=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了配方法的应用，将6a b=-代入29x ab=-凑出完全平方公式是解题的关键．29．（2021·山东八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)；像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题（1）分解因式：a2-8a+15．（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2-14a-8b+65=0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．【答案】（1）(a-3)(a-5)；（2）∵ABC的周长最小值是16．【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；【详解】解：（1）a2-8a+15=(a2-8a+16)-1=(a-4)2-1=(a-3)(a-5)；（2）∵a2+b2-14a-8b+65=0，∵(a 2-14a +49)+(b 2-8b +16)=0(a -7)2+(b -4)2=0，a -7=0，b -4=0，解得：a =7，b =4，∵∵ABC 的三边长是a ，b ，c ，∵3<c <11又∵c 边的长为奇数∵c =5，7，9当a =7，b =4，c =5时，∵ABC 的周长最小，最小值是：7+4+5=16．【点睛】本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．30．（2021·浙江七年级期末）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，△()220x +≥，△()2211x ++≥．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1.△245x x ++的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出()213x -+的最小值为__________．（2）求代数式21032x x ++的最小值．（3）若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．【答案】（1）3；（2）7；（3）2 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（3）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【详解】解：（1）()213x -+，当1x =时，2(1)3x -+有最小值，是3，故答案是：3.（2）()22222103210553257x x x x x ++=++-+=++．∵()250x +≥，∵()2577x ++≥．当()250x +=时，()257x ++的值最小，最小值是7.∵21032x x ++的最小值是7.（3）∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++．∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+．∵()230x -≥，∵()2322x -+≥．当()230x -=时，()232x -+的值最小，最小值是2.∵x y +的最小值是2. 【点睛】本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．。

新人教版九年级数学上册专题提优1 配方法的“妙用”

新人教版九年级数学上册专题提优1 配方法的“妙用”———专题讲解———把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式，或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法．这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段．运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆项”和“添项”是配方中常用的技巧．一般常用的基本等式： 1．a 2±2ab ＋b 2=（a ±b ）2；2．a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac =（a ＋b ＋c ）2； 3．a 2＋b 2＋c 2±2ab ±2bc ±2ac =12[（a ±b ）2＋（b ±c ）2＋（c ±a ）2]；4．ax 2＋bx ＋c =a （x ＋2b a ）＋244ac ba-．———提优范例———【例1】已知a ，b ，c 满足a 2＋2b =7，b 2－2c =－1，c 2－6a =－17，则a ＋b ＋c 的值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【提示】根据已知等式左端的特点，将其配成完全平方式的和，然后利用非负数的性质：几个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．例如：若|a |＋b ＋c2=0，则a =b =c =0．【感悟】特别地，对于形如用配方法来化简，因为只要适当变形常可使被开方数成为一个完全平方式．是算术根，防止出错．【例2】（江苏泰州中考）已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（） A ．Q P> B ． Q P =C ．Q P < D ．不能确定【提示】运用差值法、配方法比较．【感悟】用配方法证明不等关系的主要方法是通过配方产生非负数，然后利用非负数的性质，或者由平方式的非负性导出不等关系．【例3】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y 2＋4y ＋8的最小值．解：y 2＋4y ＋8=y 2＋4y ＋4＋4=（y ＋2）2＋4， ∵（y ＋2）2≥0，∴（y ＋2）2＋4≥4， ∴y 2＋4y ＋8的最小值是4．（1）求代数式m 2＋m ＋4的最小值；（2）求代数式4−x 2＋2x 的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设AB =x （m ），请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【提示】阅读→理解→解答．【感悟】用配方法确定代数式的最值：将二次三项式ax 2＋bx ＋c 配方成a （x ＋2b a ）＋244ac b a-，由的符号决定其最大（小）值244ac b a-，此时x =−2b a．———小试身手———1．（☆）若△ABC 的边长为a 、b 、c ，且满足等式a 2＋b 2＋c 2=ab ＋bc ＋ca ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形．2．（☆☆☆2011·天津市）若实数x 、y 、z 满足（x －z ）2－4（x －y ）（y －z ）=0．则下列式子一定成立的是（） A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-= D ．20z x y +-=A ．－1B ．0C ．1D ．24．（☆☆☆2011·呼和浩特）若x 2－3x ＋1=0，则1242++x x x 的值为．5．（☆2013•全国初中数学联赛预赛）若04122=---x x，（2b －5）m ，则这段铁丝的总长是8．（☆☆☆☆2011·四川成都）设S 1=1＋211＋221，S 2=1＋221＋231，S 3=1＋231＋241，…，S n =1＋21n ＋2)1(1+n ，设S =1S ＋2S ＋…＋nS ，则S =(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．9．（☆☆2014•怀化模拟）若实数x 、y 、z 满足x =4－y ，z 2=xy －4，求证：x =y ．10．（☆☆☆2013•全国初中数学竞赛九年级预赛）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式．求证： c b a ==．11．（☆☆☆☆）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1=0的两个实数根，设s 1=α＋β，s 2=α2＋β2，…，s n =αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1=0，β2－β－1=0，将两式相加，得（α2＋β2）－（α＋β）－2=0，于是，得s 2－s 1－2=0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n －1，s n －2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，直接写出的值．12．（☆☆☆☆2014•贵州毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x ≤10），求y 的最大值；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．———参考答案———例1．【答案】B【解析】由a 2＋2b =7，b 2－2c =－1，c 2－6a =－17得a 2＋2b ＋b 2－2c ＋c 2－6a ＋11=0，∴（a －3）2＋（b ＋1）2＋（c －1）2边三角形． 2．【答案】D【解析】∵（x －z ）2－4（x －y ）（y －z ）=0，∴x 2－2xz ＋z 2－4xy ＋4xz ＋4y 2－4yz =0，x 2＋2xz ＋z 2－4xy －4yz ＋4y 2=0，（x ＋z ）2－4y （y ＋z ）＋4y 2=0，（x ＋z －2y ）2=0，∴x ＋z －2y =0． 3．【答案】B【解析】将m 2＋n 2＋mn ＋m －n ＋1=0变形，得2m 2＋2n 2＋2mn ＋2m －2n ＋2=0，即（m ＋1）2＋（n －1）2＋（m ＋n ）2=0，∴m ＋1=0，n －1=0，解得m =－1，n =1．∴1m ＋1n=－1＋1=0．【解析】由已知x 2－3x＋1=0，得x 2=3x－1．将x 2=3x－1代入1242++x x x =222(31)1x x x -++=221062x x x -+=210(31)62x x x --+=31248x x --=318(31)x x --=18．5．【答案】2【解析】设此三位数为：100x ＋10y ＋z ，根据题意得：x 2＋y 2＋z 2=2xy 或x 2＋y 2＋z 2=2xz 或x 2＋y 2＋z 2=2yz ，即x 2＋y 2－2xy =－z 2或x 2－2xz ＋z 2=－y 2或y 2＋z 2－2yz =－x 2，则（x －y ）2=－z 2或（x －z ）2=－y 2或（y －z ）2=－x 2，故x －y =z 或x －z =y 或y －z =x ，故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行．【解析】 ∵S n =1＋21n ＋2)1(1+n =22)]1([]1)1([+++n n n n ，∴n S =)1(1)1(+++n n n n =1＋n 1－11+n ，∴S =1＋1－21＋1＋21－31＋…＋1＋n1－11+n =n ＋1－11+n =122++n nn ． 9．【解析】∵x =4－y ，∴z 2=xy －4=（4－y ）y －4=－y 2＋4y －4=－（y －2）2≥0，所以y =2，x =2． 10．【解析】证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2＋2（a ＋b ＋c ）x ＋ab ＋ac ＋bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0．即4（a ＋b ＋c ）2－12（ab ＋ac ＋bc ）=0． ∴ 2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca =0,（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2=0．要使等式成立，必须且只需：0,0,0,a b b c c a -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解这个方程组，得c b a ==． 11．【解析】（1）移项，得x 2－x =1，配方，得，即，开平方，得，即，所以，，．于是，s 1=1，s 2=3；（2）猜想：s n =s n －1＋s n －2．证明：根据根的定义，α2－α－1=0，两边都乘以αn －2，得 αn －αn －1－αn －2=0，①同理，βn －βn －1－βn －2=0，②①＋②，得（αn ＋βn ）－（αn －1＋βn －1）－（αn －2＋βn －2）=0，因为s n=αn＋βn，s n－1=αn－1＋βn－1，s n－2=αn－2＋βn－2，所以s n－s n－1－s n－2=0，即s n=s n－1＋s n－2．（3）47．理由：由（1）知，s1=1，s2=3，由（2）中的关系式可得：s3=s2＋s1=4，s4=s3＋s2=7，s5=7＋4=11，s6=11＋7=18，s7=18＋11=29，s8=29＋18=47．即．12．【解析】（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是x－1档．∴y=[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，即y=－10x2＋180x＋400（其中x是正整数，且1≤x≤10）．∵－10x2＋180x＋400=－10（x−9）2＋1210，－10（x−9）2≤0，∴y=－10x2＋180x＋400的最大值为1210元；（2）由题意可得－10x2＋180x＋400=1120，整理，得x2－18x＋72=0，解得x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．。

九年级数学上册类比归纳专题：配方法的应用练习题附加答案

类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝109 3．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（）A ．－1B ．1C ．2D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（）A ．有最大值13B ．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M ＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：数学选择题解题技巧1、排除法。

配方法的题及其答案（精选3篇）

配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。

配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。

中考数学解题方法及提分突破训练：配方法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练：配方法专题把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．一真题链接1. （2011湖北荆州，3，3分）将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（）A 、（x-2）2+3B 、（x+2）2-4C 、（x+2）2-5D 、（x+2）2+42.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程2104x x -+=的根（） A ．1211,22x x ==- B ．122,2x x ==-C ．1212x x ==-D ．1212x x ==3. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（） A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=4. （2011江苏南京，19，6分）解方程x 2﹣4x +1=0．二名词释义把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=，配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．三典题示例1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

配方法的应用含答案

的形式是解题的关键．
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出 a、b 的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
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=（a+2）2-9.故选 D．
3. 设 A＝2a+3，B＝a2-a+7，则 A 与 B 的大小关系是（）
A. A＞B
B. A＜B
C. A≥B
D. A≤B
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式
a2±2ab+b2=（a±b）2，通过作差法和配方法比较 A 与 B 的大小．
D. (a＋2)2－9
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改
变式子的值．若二次项系数为 1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数
不为 1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 后再计算．
【解答】
解：a2+4a-5
=a2+4a+4-4-5
配方法的应用
一、选择题
1. 不论 x、y 为什么实数，代数式
的值（）
A. 总不小于 2 B. 总不小于 7 C. 可为任何实数 D. 可能为负数
【答案】A
【解析】[分析]
把代数式 x2+y2+2x-4y+7 根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
[详解]
x2+y2+2x-4y+7=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，

初中九年级数学上册《配方法》同步测试附加答案

解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程 [见B 本P2]1．一元二次方程x 2－25＝0的解是( D ) A ．x 1＝5，x 2＝0 B ．x ＝－5 C ．x ＝5 D ．x 1＝5，x 2＝－52．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D ) A ．x －6＝－4 B ．x －6＝4 C ．x ＋6＝4 D ．x ＋6＝－43．若a 为一元二次方程(x －17)2＝100的一个根，b 为一元二次方程(y －4)2＝17的一个根，且a ，b 都是正数，则a －b 等于( B ) A ．5 B ．6C.83 D ．10－17【解析】 (x －17)2＝100的根为x 1＝－10＋17，x 2＝10＋17，因为a 为正数，所以a ＝10＋17.(y －4)2＝17的根为y 1＝4＋17，y 2＝4－17，因为b 为正数，所以b ＝4＋17，所以a －b ＝10＋17－(4＋17)＝6.4．解关于x 的方程(x ＋m )2＝n ，正确的结论是( B ) A ．有两个解x ＝±nB ．当n ≥0时，有两个解x ＝±n －mC ．当n ≥0时，有两个解x ＝±n －mD ．当n ≤0时，无实数解 5．若关于x 的方程(3x －c )2－60＝0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为( B ) A ．1 B ．8 C ．16 D ．61【解析】原方程可化为(3x －c )2＝60，3x －c ＝±60，3x ＝c ±60，x ＝c ±603.因为两根均为正数，所以c ＞60＞7，所以整数c 的最小值为8.故选B. 6．一元二次方程x 2－4＝0的解是__x ＝±2__．7．当x ＝__－7或－1__时，代数式(x －2)2与(2x ＋5)2的值相等．【解析】由(x －2)2＝(2x ＋5)2，得x －2＝±(2x ＋5)，即x －2＝2x ＋5或x －2＝－2x －5，所以x 1＝－7，x 2＝－1.8．若x ＝2是关于x 的方程x 2－x －a 2＋5＝0的一个根，则a 的值为__±7__．【解析】把x ＝2代入方程x 2－x －a 2＋5＝0得22－2－a 2＋5＝0，即a 2＝7，所以a ＝±7. 9．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a ☆b ＝a 2－b 2，则方程(4☆3)☆x ＝13的解为x ＝__±6__．【解析】 4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x ＝72－x 2， ∴72－x 2＝13.∴x 2＝36.∴x ＝±6. 10．如果分式x 2－4x －2的值为零，那么x ＝__－2__．【解析】由题意得x 2－4＝0且x －2≠0，∴x ＝－2.11．求下列各式中的x . (1)x 2＝36；(2)x 2＋1＝1.01； (3)(4x －1)2＝225； (4)2(x 2＋1)＝10.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1＝0.1，x 2＝－0.1； (3)x 1＝4，x 2＝－72；(4)x 1＝2，x 2＝－2.12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根．则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥－1D ．m ≥2【解析】 (x ＋1)2－m ＝0，(x ＋1)2＝m ，∵一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根， ∴m ≥0.13．已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( C ) A ．2或4 B ．8 C ．10 D ．8或10【解析】开方得x －3＝±1，即x ＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，则周长为10.故选C.14．解下列方程：(1)[2012·永州](x －3)2－9＝0； (2)(2x －3)(2x －3)＝x 2－6x ＋9；(3)(2x ＋3)2－(1－2)2＝0. 解：(1)(x －3)2＝9，x －3＝±3，∴x 1＝0，x 2＝6； (2)原方程可化为(2x －3)2＝(x －3)2，两边开平方得2x －3＝±(x －3)，即2x －3＝x －3或2x －3＝－(x －3)， ∴x 1＝0，x 2＝2；(3)原方程可化为(2x ＋3)2＝(1－2)2， ∴2x ＋3＝±(1－2)．∴2x ＋3＝1－2或2x ＋3＝－(1－2)． ∴x 1＝－1－22，x 2＝－2＋22. 15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s (单位：米)与标枪出手的速度v (单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s ＝v 29.8＋2，如果抛出48米，试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒)．解：把s ＝48代入s ＝v 29.8＋2，得48＝v 29.8＋2，v 2＝46×9.8，∴v 1≈21.2，v 2≈－21.2(舍去)．答：标枪出手时的速度约为21.2米/秒．16．已知2m －1＝3m ，求关于x 的方程x 2－3m ＝0的解．解：2m －1＝3m ，方程两边同时乘m (m －1)，得2m ＝3(m －1)，解得m ＝3，经检验m ＝3是原方程的解．将m ＝3代入方程x 2－3m ＝0，则x 2－9＝0，解得x ＝±3，即关于x 的方程x 2－3m ＝0的解为x 1＝3， x 2＝－3.17．已知a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，若19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012，求n .解：∵19a 2＋150ab ＋19b 2＝19(a ＋b )2－38ab ＋150ab ＝19(a ＋b )2＋112ab ，且a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，又19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012， ∴19×(4n ＋2)2＋112×1＝2 012，即(4n ＋2)2＝100，∴4n ＋2＝±10，当4n ＋2＝10时，解得n ＝2；当4n ＋2＝－10时，解得n ＝－3.故n 为2或－3.第2课时用配方法解一元二次方程 [见A 本P4]1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．用配方法解方程13x 2－x －4＝0时，配方后得( C )A.⎝⎛⎭⎫x －322＝394 B.⎝⎛⎭⎫x －322＝－394 C.⎝⎛⎭⎫x －322＝574D ．以上答案都不对【解析】先把方程化为x 2－3x －12＝0，再移项得x 2－3x ＝12，配方得⎝⎛⎭⎫x －322＝574. 3．若一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 之值为( D )A ．－57B ．63C ．179D ．181 【解析】 x 2－2x －3 599＝0，移项得x 2－2x ＝3 599，x 2－2x ＋1＝3 599＋1，即(x －1)2＝3 600，x －1＝60，x －1＝－60，解得x ＝61或x ＝－59.∵一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，∴a ＝61，b ＝－59，∴2a －b ＝2×61－(－59)＝181.4．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根为1，则实数p 的值是( C ) A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．－1【解析】把x ＝1代入原方程有1－5＋p 2－2p ＋5＝0，即p 2－2p ＋1＝0，∴(p －1)2＝0，∴p ＝1.5．把下列各式配成完全平方式： (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2±__x __＋14＝⎝⎛⎭⎫x ± 12 2.6．若方程x 2＋6x ＝7可化为(x ＋m )2＝16，则m ＝__3__． 7．当m ＝__±12__时，x 2＋mx ＋36是完全平方式．【解析】 ∵x 2＋mx ＋36＝x 2＋mx ＋62是完全平方式，∴m ＝±2×1×6，∴m ＝±12. 8．用配方法解一元二次方程： (1)x 2－2x ＝5；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)2t 2－6t ＋3＝0；(4)6x 2－x －12＝0； (5)2y 2－4y ＝4；(6)x 2＋3＝23x ； (7)x 2－2x ＝2x ＋1.解：(1)配方，得(x －1)2＝6， ∴x －1＝±6，∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6； (2)移项得2x 2－3x ＝－1，二次项系数化为1得x 2－32x ＝－12，配方得x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342，即⎝⎛⎭⎫x －342＝116，∴x －34＝±14，解得x 1＝1，x 2＝12；(3)移项、系数化为1得t 2－3t ＝－32，配方得t 2－3t ＋94＝－32＋94，即⎝⎛⎭⎫t －322＝34，开方得t －32＝±32，∴t 1＝3＋32，t 2＝3－32.(4)移项，得6x 2－x ＝12，二次项系数化为1，得x 2－x6＝2，配方，得x 2－x 6＋⎝⎛⎭⎫1122＝2＋⎝⎛⎭⎫1122，即⎝⎛⎭⎫x －1122＝289144， ∴x －112＝±1712，∴x 1＝32，x 2＝－43；(5)系数化为1，得y 2－2y ＝2，配方，得y 2－2y ＋1＝2＋1，即(y －1)2＝3， ∴y －1＝±3；∴y 1＝1＋3，y 2＝1－3； (6)移项，得x 2－23x ＝－3，配方，得x 2－23x ＋(3)2＝－3＋(3)2，即(x －3)2＝0， ∴x 1＝x 2＝3；(7)移项得x 2－4x ＝1，配方得x 2－4x ＋22＝1＋22，即(x －2)2＝5，∴x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.9．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）求得⎩⎨⎧2<xx <4，则2<x <4，解方程x 2－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 52<5<3，而2<x <4，所以x ＝1＋ 5.10．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝5【解析】由x 2－6x ＋q ＝0，得x 2－6x ＋9－9＋q ＝0，即(x －3)2－9＋q ＝0，∴(x －3)2＝9－q .∴q ＝2，p ＝3.∴x 2－6x ＋q ＝2即为x 2－6x ＋2＝2，x 2－6x ＝0，x 2－6x ＋9＝9，(x －3)2＝9，即(x －p )2＝9.故选B. 11．用配方法解方程： (1)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7. (2)5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．解：(1)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＝－8， (x －3)2＝1，x －3＝±1， x 1＝2，x 2＝4.(2)5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )，整理得：5x 2＋85＝6x 2＋12x ，x 2＋12x －85＝0， x 2＋12x ＝85，x 2＋12x ＋36＝85＋36， (x ＋6)2＝121， x ＋6＝±11， x 1＝5，x 2＝－17.12．利用配方法比较代数式3x 2＋4与代数式2x 2＋4x 值的大小．解：∵(3x 2＋4)－(2x 2＋4x ) ＝3x 2＋4－2x 2－4x ＝x 2－4x ＋4 ＝(x －2)2≥0， ∴3x 2＋4≥2x 2＋4x .13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪a c ⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪a c⎪⎪⎪b d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪13⎪⎪⎪24＝1×4－2×3＝－2，⎪⎪⎪－23⎪⎪⎪45＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪57⎪⎪⎪68的值；(2)按照这个规定请你计算当x 2－4x ＋4＝0时，⎪⎪⎪x ＋1x －1⎪⎪⎪2x2x －3的值．解：(1)⎪⎪⎪57⎪⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2；(2)由x 2－4x ＋4＝0得x ＝2， ⎪⎪⎪x ＋1x －1⎪⎪⎪2x2x －3＝⎪⎪⎪31⎪⎪⎪41＝3×1－4×1＝－1. 14．已知关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，求关于x 的方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解．解：x 1＝－4，x 2＝－1.15．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2. 根据上述材料，解决下面问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4 ＝x 2－8x ＋16－16＋4 ＝(x －4)2－12； x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x －2)2－4x ；(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0， (x ＋y 2)2＋34(y －2)2＝0，x ＋y2＝0，y －2＝0， x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝1.数学选择题解题技巧1、排除法。

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初三数学期末复习专题提优《“配方法”的应用》
配方法就是把一个代数式配成正整数次幂的形式，初中阶段用得最多的是配平方，故该专题所讨论的是使数学式子出现完全平方式的恒等变形，即2222()a ab b a b ±+=±中，左端缺少某些项时需要配上缺项，使它成为一个完全平方式.主要有两种表现形式:配中项2ab 或配一个平方项2b (或2a )，配中项时要根据22,a b 找出,a b ，决定2ab ，配平方项2b ，则要从,2a ab 的具体表现形式分析出,a b ，添上 2b .
它的推广形式较多，如: 222a b c ab bc ca ++---=2221()()()2
a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 一元二次三项式的配方:2
2
24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++. 配方后如何使用配方结果，归纳起来有如下几种常见情况:
(1)在实数范围内产生非负数。

配方是一种出现平方式的恒等变形，因而具有在实数范围内产生非负数的特殊功能，这也是配方法最为基本的应用形式.
(2)配方后使用公式22
()()a b a b a b -=+-.
(3)配方后应用根与系数的关系或求对称多项式的值.
(4)配方后求函数的极值或完成对判别式的判断等.
1.关于多项式2285x x -++的说法正确的是( ) A.有最大值13 B.有最小值－3
C.有最大值37
D.有最小值1
2.已知2781,1515
P m Q m m =-=- (m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为( ) A. P Q > B. P Q = C. P Q < D. 不能确定
3.若实数m 、n 满足224122100m m n n ++-+=，则函数242m n y x n +=++是( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.二次函数
4.将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m = .
5.若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则a b +的值是 .
6.已知实数,m n 满足21m n -=，则代数式22241m n m ++-的最小值等于 .
7.已知2246130,,x y x y x y ++-+=均为实数，求y x 的值.
8.已知22124
x y x y xy +-+-=-，求y x -.
9.因式分解:
(1) 44x +;
(2) 22(1)(1)4m n mn --+.
10.当,a b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根.
11.“20a ≥”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如: 22245441(2)1x x x x x ++=+++=++
222(2)0,(2)11,451x x x x +≥∴++≥++≥.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知224250x x y y -+++=，求x y +的值;
(2)比较代数式:21x -与23x -的大小.
12.设,,x y z 为实数，求证: 222x y z xy xz yz ++≥++.
13.阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配
方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222a ab b ±+
2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、221
3(2)24
x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方;
(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);
(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.
14.已知x >0，证明: 642314x x x x +++≥ .
参考答案
1. A
2. C
3. B
4. 3
5. 11
6. 4
7.8y x =- 8.12
y x -=- 9.(1)4224(22)(22)x x x x x +=+++-
(2)22(1)(1)4(1)(1)m n mn mn n m mn n m --+=++-+-+ 10.11,2
a b ==- 11.(1)1x y +=
(2)2123x x ->-
12. 222()x y z xy xz yz ++-++222111()()()0222
x y x z y z =
-+-+-≥ 13.(1)2249(2)5x x x -+=-+,
2249(3)10x x x x -+=+-, 2222549(3)39
x x x x -+=-+ (2)222()a ab b a b ab ++=+-,
222()3a ab b a b ab ++=-+
(3)4a b c ++=
14.4220,120,120.x x x x x >∴+-≥+-≥
422(1)(1)22
x x x x ∴++≥⋅ 642314x x x x ∴+++≥。