三角函数基础训练

试卷第1页，总5页
……○…………外…………○…………装…………订…………○学校:________班级：________考号：________
……○…………内…………○…………装…………订…………○绝密★启用前
2020年12月2日初中数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷II （非选择题）
一、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ， ）
1. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB ，在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30∘，测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14∘，观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米，且AB 垂直于桥面．（点A ，B ，C ，M 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM ；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB ．（结果精确到1米）
（参考数据sin 14∘≈0.24，cos 14∘≈0.97，tan 14∘≈0.25，√3≈1.73）
2. 我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌 (AB) ，放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D 处测得宣传牌的底部B 的仰角为 37∘ ，然后他向教学楼的底部M 处走了6米到达点F 处，此时测得宣传牌的顶部A 的仰角为 6
3.5∘ ．已知，测角仪的高度为1米，且点A ，B ，M 在同一直线上，宣传牌AB 的高度为10米，那么教学楼多高？（结果精确到0.1米，参考数据：sin 37∘≈0.60， cos 37∘≈0.81 ，tan 37∘≈0.75， tan 63.5∘≈2).
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○…………线…………○…○…………线…………○…
3. 如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD ，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D 处的仰角为30∘，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45∘，延长AB 与楼房垂直相交于点E ，测得BE =21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD ．（结果保留根号）
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…○…………外…………○…学…○…………内…………○…
参考答案与试题解析 2020年12月2日初中数学
一、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ） 1. 【答案】
大桥主架在桥面以上的高度AM 为20√3米； 大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】
（1）根据正切的定义求出AM ；
（2）根据正切的定义求出BM ，结合图形计算即可． 【解答】
∵ AB 垂直于桥面，
∴ ∠AMC ＝∠BMC ＝90∘，
在Rt △AMC 中，CM ＝60，∠ACM ＝30∘， tan ∠ACM =AM
CM ，
∴ AM ＝CM ⋅tan ∠ACM ＝60×
√33
=20√3（米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM 为20√3米；
在Rt △BMC 中，CM ＝60，∠BCM ＝14∘， tan ∠BCM =BM
CM ，
∴ MB ＝CM ⋅tan ∠BCM ≈60×0.25＝15（米）， ∴ AB ＝AM +MB ＝15+20√3≈50（米） 答：大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米． 2.
【答案】 解：如图：
作CN ⊥AM 于N ，
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…………外…………○…………装…※※请※※不※※要※…………内…………○…………装…则C,E,N 在同一直线上，
设BN =x 米，则在Rt △AEN 中， tan 63.5∘=AN EN ∴ 2=10+x EN
, 即EN =
10+x 2
,
在Rt △CBN 中， tan ∠BCN =BN
CN =0.75 即CN =
x 0.75
,
∴ CE =CN −EN =
x 0.75
−
10+x 2
,
∵ 由题意可知，四边形CDFE 为矩形， ∴ CE =DF =6， ∴ x
0.75−
10+x 2
=6，
解得x =13.2, 即BN =13.2米，
∴ BM =13.2+1=14.2(米), 即教学楼高14.2米. 答：教学楼高14.2米. 【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】
本题考查了解直角三角形的应用. 【解答】 解：如图：
作CN ⊥AM 于N ，
则C,E,N 在同一直线上，
设BN =x 米，则在Rt △AEN 中， tan 63.5∘=
AN EN
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∴ 2=10+x EN
, 即EN =
10+x 2
,
在Rt △CBN 中， tan ∠BCN =
BN
CN
=0.75 即CN =x
0.75, ∴ CE =CN −EN =
x 0.75
−
10+x 2
,
∵ 由题意可知，四边形CDFE 为矩形， ∴ CE =DF =6， ∴
x 0.75
−
10+x 2
=6，
解得x =13.2, 即BN =13.2米，
∴ BM =13.2+1=14.2(米), 即教学楼高14.2米. 答：教学楼高14.2米. 3. 【答案】
广告屏幕上端与下端之间的距离约为(21−9√3)m ． 【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】
易得CE =BE ，利用30∘的正切值即可求得CE 长，进而可求得DE 长．CE 减去DE 长即为广告屏幕上端与下端之间的距离． 【解答】
解：∵ ∠CBE =45∘，CE ⊥AE ， ∴ CE =BE ． ∴ CE =21，
∴ AE =AB +BE =21+6=27． 在Rt △ADE 中，∠DAE =30∘， ∴ DE =AE ×tan 30∘=27×
√33
=9√3，
∴ CD =CE −DE =21−9√3．。