专题2 集合间的基本关系-培优对点题组专题突破(解析版)
高考数学专项： 集合间的基本关系(习题作业)解析版
1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，则（）A ．A B B ．B AC ．A BD ．AB【答案】C【分析】由 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，知集合A 与集合B 都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合 |21,Z A x x k k ，集合 |21,Z B x x k k ，所以集合A 与集合B 都是奇数集，所以A B ，故选：C.2．下列与集合 2023,1表示同一集合的是（）A ．2023,1B ． ,2023,1x y x y ∣C ．2202420230xx x ∣D ．2023,1x y 【答案】C.【详解】由2202420230x x 解得2023x 或1x ，所以22024202302023,1x x x ∣，C 正确；选项A 不是集合，选项D 是两条直线构成的集合，选项B 表示点集，故选：C3．下列各式：① 10,1,2 ，② 10,1,2 ，③ 0,1,20,1,2 ，④ 0,1,2 ，⑤ 2,1,00,1,2 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知 10,1,2 ，故①错误；由集合与集合的关系可知 10,1,2 ，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．4．给出下列关系式:① 10,1,2 ；② ⊆ 1,2,3；③ 11,2,3 ；④ 0,1,21,2,0 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系： 与 ，而不是 与 ，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.【详解】对于①，根据元素与集合的关系知， 10,1,2 ，所以①正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以 11,2,3 是错误的，故③错误；对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知， 0,1,21,2,0 ，所以④正确.故选：A.5．有下列四个命题：① 0 ；② ③若N a ，则N a ；④2R210A x x x ∣集合有两个元素；⑤集合6N N B x x∣是有限集.；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出 1A ，得到④错误；求出 1,2,3,6B ，判断⑤正确.【详解】①因为 是任何集合的子集，所以 0 ，①正确；② 是 的一个元素，故 ，②正确；③若0a ，满足N a ，N a ，故③错误；④ 1A ，集合有1个元素，故④错误；⑤集合 1,2,3,6B ，故是有限集，⑤正确.故选：C6．若集合 N ,P x x a 则（）A ．a PB ． a PC ． a PD ．a P【答案】D【分析】根据集合P ,判断元素a 是否在集合P 内即可选出结果.【详解】解:因为 N ,N P x x a ,所以a P .故选：D7．已知非空集合M满足:对任意x M ，总有2x M ，M .若{0,1,2,3,4,5}M ，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【分析】由题意得，集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当M 中有元素0时，200M M ，当M 中有元素1时，2111M M ，所以0,1M M ，所以集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M 有 2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,， 3,4,5共11个.故选：A.8．若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合12,,3,42A，则其“2元子集”的个数为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合12,,3,42A的所有“2元子集”为12,2 ，{2,3} ，{2,4} ，1,32 ，1,42，3,4共6个.故选：A.9．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B10．已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，若a ∈M ，则6-a ∈M ，那么集合M 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由条件知集合M 的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】∵a ∈M ，6-a ∈M ，M ⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M 中可单独出现，1和5，2和4M 元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C11．已知集合 0,4,M x ，20,N x ，若N M ，则实数x 组成的集合为（）A ． 0B ． 2,2C ． 2,1,2D ．2,0,1,2【答案】C【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.【详解】N M ∵， 0,4,M x ，20,N x ，2404x x x 或204x x x x，解得2x 或2x 或1x ，故实数x 组成的集合为 2,1,2 .故选：C.12．集合70,N A x x x，则*6{|N ,}B y y A y的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．15D ．16【答案】D【分析】先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．【详解】集合{|70A x x ，**N }|7,N {1,2,3,4,5,6x x x x ,*6{|N ,}1,2,3,6B y y A y，故B 有4216 个子集.故选：D ．13．已知集合260A xx x ∣， 10B x mx ∣，且B A ，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．110,,23B ．11,23C ．11,23D ．110,,23【答案】D【分析】先解出集合A ，根据B A ，分类讨论求出实数m .【详解】2603,2A xx x ∣.因为B A ，所以B ， 3B ， 2B .当B 时，关于x 的方程10mx 无解，所以0m ；当 3B 时，3x 是关于x 的方程10mx 的根，所以13m；当 2B 时，=2x 是关于x 的方程10mx 的根，所以12m .故实数m 的取值构成的集合为110,,23.故选：D14．设集合 21|10P x x ax ， 22|20P x x ax ，21|0Q x x x b ，22|20Q x x x b ，其中a ，b R ，下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的真子集，对任意的b ，1Q 是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合21|10P x x ax ，22|20P x x ax 可得当1m P ，即210m am ，可得220m am ，即有2m P ，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；当5b 时，2150R Q x x x ，22250R Q x x x ，可得1Q 是2Q 的子集；当1b 时，2110R Q x x x ，22210{|1Q x x x x x 且R}x ，可得1Q 不是2Q 的子集；综上有，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集.故选：B.15．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S ，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k 再求和，例如{2,3,8}A ，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87 ，对S A ．508B ．512C ．1020D ．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是72(12345678)512 .【详解】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现72次，则对S 的所有非空子集中元素k 执行乘以(1)k 再求和操作,则这些和的总和是7123456782[(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8] 72(12345678)512 .故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题16．下列关系式正确的为（）A ． 00B ． 0C ． ,,a b b aD ．0 【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A 错误；对于B.{0}含有一个元素0，不是空集，故B 错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C 正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D 正确.故选：CD ．17．已知集合*{|2}N M x x ，则以下关系正确的是（）A ．0MB ．2MC ． 0,1,2MD ．0,1,2M 【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】因为*{|2}N {1,2}M x x ，所以，0M ，故A 正确；2M ，故B 错误；M {0,1,2}，故C 错误，D 正确.故选：AD.18．下列说法正确的有（）A ．集合 1,2,4,5有16个真子集B ．对于任意集合A ，AC ．任何集合都有子集，但不一定有真子集D ．若A ，则A【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A ；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B 、C 、D.【详解】集合 1,2,4,5有4个元素，故其有42115 个真子集，故A 错误；空集是任何集合的子集，则A ，故B 正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C 正确；空集是任何非空集合的真子集，若 A ，则A，故D 正确.故选：BCD.19．下列各组中,M P 表示相同集合的是（）A ．3,1,1,3M P B ． 2,Z ,21,Z M xx n n P x x n n ∣∣C ．221,R ,1,R M yy x x P x x t t ∣∣D ．221,R ,,1,R M yy x x P x y y xx ∣∣【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，集合M ，P 含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A 是；对于B ，因为Z n ，则1Z n ，因此集合M ，P 都表示所有偶数组成的集合，B 是；对于C ，221,R 1,,1,R 1,M y y x x P x x t t ∣∣，即M P ，C 是；对于D ，因为集合M 的元素是实数，集合P 中元素是有序实数对，因此集合M ，P 是不同集合，D 不是.故选：ABC20．已知集合 1,3,0A ，23,B m ，若B A ，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1 D【答案】ABC【分析】由集合B 与集合A 的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A ，0m 时， 3,0B ，有B A ，故选项A 正确；对于B ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项B 正确；对于C ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项C 正确；对于D ，m 时，23m ，集合B 不满足集合元素的互异性，故选项D 不正确.故选：ABC.21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A ． 0B ．若a Z ，则a ZC ．集合 2,y y x x Q 是无限集D ．集合 12,x x x N 的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z ，Q 的含义，即可求解．【详解】对于A ： 是指不含任何元素的集合，故A 错误；对于B ：若Z a ，则Z a ，故B 正确；对于C ：有理数有无数个，则集合 2,y y x x Q 是无限集，故C 正确；对于D ：集合 12,0,1x x x N 元素个数为2个，故集合 12,x x x N 的子集共有224 个，故D 正确．故选：BCD ．22．已知集合 1,1A ，非空集合320B x x ax bx c ，下列条件能够使得B A 的是（）A ．3,3,1a b cB ．3,3,1a b c C ．1,1,1a b c D ．10a b c 且2(1)40a c 【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B ，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A ，方程323310x x x ，因式分解得3(1)0x ，解得1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项A 正确；对于选项B ，方程323310x x x ，因式分解得2(1)(41)0x x x ，解得=1x 或2 x 所以 1,22B ，不满足B A ，所以选项B 错误；对于选项C ，方程3210x x x ，因式分解得2(1)(1)0x x ，解得1x ，所以 1,1B ，满足B A ，所以选项C 正确；对于选项D ，因为10a b c ，所以1x 是方程320x ax bx c 的解，所以方程320x ax bx c 变形为2(1)[(1)]0x x a x c ，因为2(1)40a c ，所以方程2(1)0x a x c 无解，所以方程2(1)[(1)]0x x a x c 有唯一解1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项D 正确；故选：ACD.23．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-ÎZ ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41nC ．42nD ．43n 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n 分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +Ï.【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +Î.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +Î.若42n M +Î，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y 的奇偶性相同.若x y 和x y 都是奇数，则()()x y x y 为奇数，而42n 是偶数，不成立；若x y 和x y 都是偶数，则()()x y x y 能被4整除，而42n 不能被4整除，不成立，∴42n M +Ï.故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题24．满足 ,,,a M a b c d Ü的集合M 共有___________个.【答案】7【分析】根据集合的基本关系，可得集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，即可得出集合M 的个数.【详解】由题意可得， ,,,a M a b c d Ü,所以集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，所以 M a 或 ,M a b 或 ,M a c 或 ,M a d 或 ,,M a b c 或 ,,M a b d 或,,M a c d ,即集合M 共有7个.故答案为：725．已知集合21,20,R A B x x x a x ，且A B ，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B 得出1x 是方程220x x a 的解，将1x 代入方程220x x a 中进行计算，即可得出结果.【详解】因为 1A ，220B x x x a ，A B ，所以1x 是方程220x x a 的解，即21210a ，解得3a .经检验，3a 符合题意，所以3a .故答案为：3 .26．设,a b R ， 1,P a ， 23,Q a b ，若P Q ，则a b ______．【答案】0或4【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.【详解】当231a a b时，1,1a b ，满足P Q ，则0a b ；当231a a b时，3,1a b ，满足P Q ，则4a b ；故答案为：0或427．已知 2230M x x x ， 210,R N x x ax a ，且N M ，则a 的取值范围为_________．【答案】{|22}a a 【分析】求得集合 1,3M ，根据NM ，分N 和N 两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合 22301,3M xx x ∣，当N 时，即240a ，解得22a ，此时满足NM ，当N 时，要使得N M ，则1N 或3N ，当1N 时，可得2(1)10a ，即2a ，此时{1}N ，满足NM ；当3N 时，可得23310a ，即103a ，此时1{3,}3N ，不满足N M ，综上可知，实数a 的取值范围为{|22}a a .故答案为：{|22}a a .28．给定集合 1,2,3,4,5,6,7,8S ，对于x S ，如果11x S x S ,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有 1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．四、解答题29．设集合{|16}A x x ，{|121}B x m x m ，且B A ．(1)求实数m 的取值范围；(2)当x N 时，求集合A 的子集的个数．【答案】(1){|2m m 或502m}(2)128【分析】（1）按照集合B 是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合A 中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当121m m 即2m 时，B ，符合题意；当B 时，有12111216m m m m ，解得502m ．综上实数m 的取值范围是{|2m m 或50}2m ；（2）当x N 时，{0,1,2,3,4,5,6}A ，所以集合A 的子集个数为72128 个．30．已知{|15},{|1},RA x xB x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．31．设集合 |25A x x ， |121B x m x m .（1）若B A ，求实数m 的取值范围；（2）当x Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R 时，不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1） 3|m m （2）254（3）|24m m m 或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，再求A 的非空真子集个数；（3）分B 和B 两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m ，即2m 时，B ，满足B A .当121m m ，即2m 时，要使B A 成立，只需12,215,m m即23m .综上，当B A 时，m 的取值范围是 3|m m .（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，∴集合A 的非空真子集个数为822254 .（3）∵x R ，且 |25A x x ， |121B x m x m ，又不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，∴当B ，即121m m ，得2m 时，符合题意；当B ，即121m m ，得2m 时，2,15,m m 或2,212,m m解得4m .综上，所求m 的取值范围是 |24m m m 或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知2|3100A x x x ，{|121}B x m x m ，B A ，求m 的取值范围.【答案】,3 【解析】先求解出集合A ，然后根据B A 分别考虑B 和B 的情况，由此求解出m 的取值范围.【详解】因为23100x x ，所以25x ，所以 25A x x ，当B 时，B A 满足，此时211m m ，所以2m ；当B 时，若B A ，则有21112215m m m m，所以23m ，综上可知：3m ，即 ,3m .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.33．（1）已知集合 222,133A a a a a ,，当1A ，求2020a 的值；（2）已知集合2202020190A x x x ， B x x a ，若A B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2） 2019, .【解析】（1）分21a ， 211a ，2331a a 三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围．【详解】（1）若21a ，则1a ， 1,0,1A ，不合题意；若 211a ，则0a 或-2，当0a 时， 2,1,3A ，当2a 时， 0,1,1A ，不合题意；若2331a a ，则1a 或-2，都不合题意；因此0a ，所以020201 ．（2） 12019A x x ，A B ∵，∴借助数轴可得2019a，a 的取值范围为 2019, ．【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.34．已知集合 2|8120A x x x ， 21,23B a a ，2|60C x ax x (1)若集合=A B ，求实数a 的值；(2)若集合C A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)=5a (2)124a 或=0a 【分析】（1）先化简集合2|8120A x x x ，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A 知，集合中至多有2个元素，对集合2|60C x ax x 中的元素个数进行分类讨论即可.（1）易知集合2|8120A x x x 2,6， 由=A B 得：212236a a 或216232a a ，解得：=5a .（2）（1）当=0a 时 6C 满足C A ；（2）当0a 时①当Δ1240a 即124a时，C 满足C A ，124a .②当Δ1240a 即124a 时， 21601224C x x x∣，不满足C A .③当Δ1240a 即124a 时，满足C A ，只能=C A ，18612a a无解.综上所述：124a 或=0a .35．已知集合A 为非空数集，定义： ,,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ∣∣(1)若集合 1,3A ，请直接写出集合,S T ：(2)若集合 12341234,,,,A x x x x x x x x ，且T A ，求证：1423x x x x ；【答案】(1)2,4,6,0,2S T (2)见解析【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可；（2）由 12341234,,,,A x x x x x x x x ，可得4131210x x x x x x ，写出a b 的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证.（1）解：因为 1,3A ，,,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ∣∣，所以 2,4,6,0,2S T ；（2）证明：由 12341234,,,,,A x x x x x x x x ,,T x x a b a b A ∣，得4131210x x x x x x ，则a b 可取2132433141420,,,,,,x x x x x x x x x x x x ，又因为T A ，所以 2131410,,,T x x x x x x ，剩下的元素满足3243214231x x x x x x x x x x ，所以1423x x x x .36．已知集合22,,Z A x x m n m n .(1)判断8，9，10是否属于集合A ；(2)集合 |21,Z B x x k k ,证明：B 是A 的真子集.【答案】(1)8A ，9A ，10A .(2)证明见解析【分析】（1）根据集合A 的定义即可判断；（2）由 22211k k k 即可证明.【详解】（1）∵22831 ，22954 ，∴8A ，9A ，假设2210m n ，m ，Z n ，则 10m n m n ，且0m n m n ，∵1011025 ，||+||=10||||=1m n m n 或||+||=5||||=2m n m n ，显然均无整数解，∴10A ，∴8A ，9A ，10A .（2）∵集合 |21,Z B x x k k ，则恒有 22211k k k ，∴21k A ，∴即一切奇数都属于A ，故B 是A 的子集.又∵8A ，8B ，所以B 是A 的真子集.37．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22|120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .38．已知集合 2,6A .(1)若集合 2+123B a a ，，且A B ，求a 的值；(2)若集合260C x ax x ，且A 与C 有包含关系，求a 的取值范围.【答案】(1)5(2)1024a a a或【分析】（1）利用集合相等的条件求a 的值；（2）由A 与C 有包含关系得C A ，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【详解】（1）因为 2,6A ，且A B ，所以212236a a 或223216a a ，解得1a a或55a a ，故5a .（2）因为A 与C 有包含关系， 2,6A ，260C x ax x 至多只有两个元素，所以C A .当0a 时， 6C ，满足题意；当0a 时，当C 时，1460a ，解得124a ，满足题意；当 2C 时，1460a 且22260a ，此时无解；当 6C 时，1460a 且26660a ，此时无解；当 2,6C 时，1460a 且2266602260a a，此时无解；综上，a 的取值范围为1024a a a或.。
专题2 集合间的基本关系(解析版)
专题2 集合间的基本关系题组1 集合的包含关系1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是()A.P＝QB.P QC.P QD.P∩Q＝∅【答案】B【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q P.2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD. 无法判断【答案】C【解析】M中，x＝＋＝N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.3.指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.题组2 子集及其运算4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A.A⊆BB.B⊆AC.B∈AD.A＝B【答案】C【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.【答案】3【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，题组3 子集个数7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有()A. 3个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】C【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，则满足条件的B有23＝8个，故选C.8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为()A. 32B. 31C. 30D. 14【答案】A【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，由于集合A◇B中共有5个元素，故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.故选A.10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 1或2或4【答案】D【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M 的元素有两个，则集合M子集的个数为22＝4个；当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M 的元素有一个，则集合M子集的个数为21＝2个；当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M 的子集的个数为1个.综上，集合M的子集个数为：1或2或4.故选D.11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，∴A＝{2}.∴A的子集有：∅，{2}.集合A的子集共有2个.故选B.12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A. 6个B. 12个C. 9个D. 5个【答案】A【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A. 15B. 16C. 28D. 25【答案】A【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.题组4 真子集及其运算14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若A B，则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m≤－3C. －3≤m≤0D.m≤－3或m≥0【答案】B15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3【答案】D【解析】由A B，结合数轴，得a≥3.16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.题组5 真子集个数18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是()A. 15B. 16C. 3D. 4【答案】A【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，故选A.19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是()A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】D【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.其子集共24－1＝16－1＝15个.故选D.20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 不确定【答案】B【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，故选B.题组6 集合相等的概念21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则()A.P＝FB.Q＝EC.E＝FD.Q＝G【答案】D【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，G＝{x|x≥1}.∴Q＝G.故选D.22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.故选C.23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于()A. 1B. 3C. 0D. 0或1【答案】C【解析】由M＝N得①或②解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.故选C.24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为()A. 0B. －1C. 1D. ±1【答案】B【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则有a＝0或＝0；又由a≠0，故b＝0；代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；则a2 009＋b2 009＝－1，选B.题组7 空集的性质及运算25.下面四个集合中，表示空集的是()A. {0}B. {x|x2＋1＝0，x∈R}C. {x|x2－1＞0，x∈R}D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}【答案】B【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.故选B.26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】②③正确.27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).(2)当a＝0，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.。
突破1.2集合间的基本关系(重难点突破)(解析版)
突破1.2 集合间的基本关系一、考情分析二、经验分享1．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中___________都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆． 2．真子集 （1）子集的概念如果集合A B ⊆，但存在元素___________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）． 如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：（2）真子集的性质对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆． 3．集合相等如果集合A 是集合B 的___________（A B ⊆），且集合B 是集合A 的___________（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．4．集合相等 （1）．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即A ∅⊆； （2）空集是任何非空集合的___________，即A ⊂∅≠．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2.奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .三、题型分析(一) 求集合的子集和真子集（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集； 其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断．例1．（1）（2021·上海高一专题练习）已知集合U =R ，则正确表示集合M ={-1，0，1}和N ={x |x 2-x =0}关系的文氏图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求得集合N ，判断出,M N 的关系，由此确定正确选项. 【详解】N ={x |x 2-x =0}={0，1}，M ={-1，0，1}，所以N ⊆M ，所以选B . 故选：B（2）．（2021·浙江高一期末）已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个 B ．4个C ．7个D ．8个【答案】D 【分析】根据集合子集的个数计算公式求解. 【详解】因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）集合A ={x |x 2=1}，B ={x |ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．0或±1【答案】D 【分析】对a 进行分类讨论，结合B A ⊆求得a 的值. 【详解】A ={x |x 2=1}={1，-1}.当a =0时，B =∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B =1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为B ⊆A ，所以1a =1或1a =-1，即a =±1.综上所述，a =0或a =±1. 故选：D【变式训练1-2】．（2021·上海高一专题练习）已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m B A ==⊆，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3 C ．1或3 D ．1或3【答案】B 【分析】利用集合的包含关系可得3m =或m m =，求出m ，再根据集合的互异性即可求解. 【详解】因为集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，且B A ⊆，所以3m =或m m =， 若3m =，则{}{}1,3,3,1,3A B ==，满足B A ⊆； 若m m =，则0m =或1m =，当0m =时，{}{}1,3,0,1,0A B ==，满足B A ⊆； 当1m =时，集合A 中元素不满足互异性，舍去， 故选：B.【变式训练1-3】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合{1A =，3，23}m +，{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m =__. 【答案】1或3 【分析】利用子集关系B A ⊆可知，21m =或223m m +=，求出m 再验证即得结果. 【详解】解：B A ⊆，3,3A B ∈∈，21m ∴=或223m m +=， 解得，1m =或1m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知1m =-不符合集合的互异性， 故1m =或3.故答案为：1或3例2．（2021·上海高一专题练习）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A ．M N B ．N M C ．M ∈N D ．N ∈M【答案】A 【分析】根据集合,M N 元素的特征确定正确选项. 【详解】对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x ＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M N . 故选：A【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合{}32,M x x k k Z ==-∈，{}31,P y y n n Z ==+∈，{}61,S z z m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A ．M S P ⊆=B ．S P M =⊆C ．P M S =⊆D ．S P M ⊆=【答案】D 【分析】分别求出集合M 、P 、S 的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解. 【详解】{}(){}32,311,M x x k k x x k k Z ==-∈==-+∈Z因为k Z ∈，所以1k Z -∈，所以集合M 中的元素是3的整数倍加1这样的数， {}31,P y y n n Z ==+∈，所以集合P 中的元素是3的整数倍加1这样的数， {}{}61,321,S z z m m Z z z m m Z ==+∈==⋅+∈因为m Z ∈，所以2m 是偶数，所以集合S 中的元素是3的偶数倍加1这样的数， 所以S P M ⊆=， 故选：D.(二) 空集例3．（1）（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一月考）下列六个关系式中正确的个数是（ ）（1）{}0≠∅⊂ （2）{}0∅= （3）0=∅ （4） {}00∈ （5）0∈∅ （6）∅⊆∅ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据空集的概念及性质、集合相等的含义以及元素与集合、集合与集合的关系，判断各项的正误，即可知正确关系式的个数. 【详解】空集是任意集合的子集，所以（1）、（6）正确； 由集合相等，即所含元素相同，所以（2）错误； 元素与集合只有属于、不属于关系，所以（3）错误； 而{}00∈正确，0∈∅错误，所以（4）正确，（5）错误； ∴共有3个正确. 故选：C(2)．（2020·全国高一课时练习）以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}⊆{0}，∅≠⊂{0}，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】根据集合的定义及包含关系的相关知识，判断空集与集合的关系. 【详解】集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}⊆{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂{0}正确．因此正确的只有1个． 故选：A.【变式训练3-1】．(多选题）（2020·深州长江中学）下列各式中，正确的选项是（ ） A ．{}0{0,1,2}∈ B ．{}0,1,2{2,1,0}⊆C ．{}0,1,2∅⊆D ．{0}∅=【答案】BC 【分析】利用集合间的关系及空集的性质，即可知各选项的正误. 【详解】A 中，集合与集合间没有从属关系，错误.B 中，{}0,1,2,{2,1,0}是相等的集合，所以{}0,1,2{2,1,0}⊆，正确.C 中，空集是任何集合的子集，正确.D中，空集与一个非空集合不相等，错误.故选：BC【变式训练3-2】．（2021·上海高一专题练习）给出下列选项，其中正确的有________（1）∅∈{{ ∅}} （2）∅⊆{{ ∅}}（3）∅∈{ ∅} （4）∅ { ∅}【答案】（2）（3）（4）【分析】结合空集、元素与集合、集合与集合的关系确定正确结论.【详解】对于（1），∅不是{{∅}}的元素，故不正确；对于（2），∅是任何集合的子集，所以∅是{{∅}}的子集，故正确；对于（3），∅是{∅}的元素，故正确；对于（4），∅是任何非空集合的真子集，{∅}有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：（2）（3）（4）.(三) 集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．例4．（1）（2020·武汉思久高级中学高一期中）已知a ，b 为实数，集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，若A B =，则实数20212020a b +的值是（ ） A ．2020- B ．0 C ．1- D ．1【答案】 C 【分析】根据集合相等得到方程组，求出,a b 的值，即可得解； 【详解】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，且A B =，所以2011b a a a ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，所以0b =，1a =-，所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故选： C.（2）．（2020·安徽省含山中学高一月考）已知集合{}23,21,1A a a a =-++，集合{}0,1,B x =.（1）若3A -∈，求a 的值； （2）是否存在实数a ，x ，使A B =. 【答案】（1）2a =-；（2）不存在. 【分析】（1）转化条件为33a -=-或213a +=-，验证元素的互异性即可得解； （2）按照30a -=、210a +=讨论，验证即可得解. 【详解】（1）由题意，33a -=-或213a +=-，解得0a =或2a =-， 当0a =时，{}3,1,1A =-，不成立； 当2a =-时，{}5,3,5A =--，成立； ∴2a =-.（2）由题意，210a +≠，若30a -=，则3a =，{}0,7,10A B =≠，不合题意； 若210a +=，则12a =-，750,,24A B ⎧⎫=-≠⎨⎬⎩⎭，不合题意；∴不存在实数a ，x ，使得A B =.【变式训练4-1】．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一月考）设,a b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求20202020a b +的值. 【答案】2. 【分析】由集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，可得0a ≠，1a ≠，由两个集合相等定义可知，若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若10ba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，由于0a ≠，则方程组无解， 综上可知，1a =-，1b =，故202020202a b +=. 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，其中解答中熟记集合相等的概念，结合元素的互异性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.(四) 子集和真子集个数问题1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【名师点睛】如果有限非空集合A 中有n 个元素，则： （1）集合A 的子集个数为2n ； （2）集合A 的真子集个数为21n -； （3）集合A 的非空子集个数为21n -； （4）集合A 的非空真子集个数为22n -．例5．（1）（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）满足的{}{}11234A ⊆⊆，，，集合的个数（ ） A ．4 B ．8C ．15D ．16【答案】B 【分析】由{}{}11234A ⊆⊆，，，，可得集合A 是集合{}1,2,3,4的子集且1在子集中，从而可求出集合A 【详解】解：因为{}{}11234A ⊆⊆，，，， 所以{}{}{}{}{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,1,2,3,4A =， 所以满足集合A 的个数为8， 故选：B（2）．（2019·镇江市实验高级中学高一月考）集合{}210A x x =-=的子集个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】先求得集合A ，根据元素的个数，即可求得子集的个数，即可得答案. 【详解】由21x =，解得1x =±，所以集合{1,1}A =-，含有2个元素 所以集合A 的子集个数为224=. 故选：D【变式训练4-1】．（2021·河北高三其他模拟）定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16【答案】B 【分析】 结合非空真子集个数(22n -)的算法即可. 【详解】{2,3,4,6}A B =，所以集合A B 的非空真子集的个数为42214-=，故选：B .【变式训练4-2】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足{}{}11,2,3,4X ⊆⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．16个 【答案】C 【分析】根据子集的概念可知，集合X 中必含有元素1，且最多含有4个元素，对集合X 中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X ，从而求出个数. 【详解】解：由题意可以确定集合X 中必含有元素1，且最多含有4个元素，因此集合X 可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共8个.故选：C ．(五) 根据两个集合之间的关系求参数范围例6．（2019·金华市江南中学高一月考）集合{}|40A x x =-=，集合(){}22|2110B x x a x a =-++-=，若A B ⊆，求实数a 的值．【答案】1a =或7a = 【分析】将4代入方程()222110x a x a -++-=，从而可求a 的值. 【详解】{}4A =，因为A B ⊆，故4B ∈，所以()2168110a a -++-=，整理得到2870a a -+=，解得1a =或7a =. 【点睛】本题考查集合的包含关系，注意将包含关系转化为参数满足的方程，本题属于基础题.例7．（2020·全国高三专题练习（理））设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<.（1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；（2）若B =∅，求m 的取值范围；（3）若A B ⊇，求m 的取值范围.【答案】（1）254个；（2）2m =-；（3）2m =-或12m -.【分析】（1）求解指数不等式解，根据x Z ∈，即可写出集合A ，根据元素个数，即可求得非空真子集个数； （2）根据二次不等式恒成立，即可列出不等关系，求得结果；（3）对参数m 进行分类讨论，根据集合的包含关系，列出不等式组，求解即可.【详解】化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<.（1）{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--，即A 中含有8个元素，故A 的非空真子集数为822254-=个.（2）由B =∅，则22(3)4(21)0m m m ∆=----≤，得2(2)0m +≤，得2m =-.（3）①2m =-时，B A =∅⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-，因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在；③当2m >-时，()1,21B m m =-+，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤. 【点睛】本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习2 集合间的基本关系(解析版)
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题2 集合间的基本关系题型一 判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈=又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=． 故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅ 【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__． 【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4． 因为P ⊊{1，2，3，4，5}， 当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}； 当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}； 当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意； 综上所述得：则集合P 个数是：6． 故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}， 对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确； 对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确． 故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3} 【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜2B ．1≤a ≤2C．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3 【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2， 故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系： （1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}． （4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }． 【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ．【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…． 由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B xm x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥． 【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21mm ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩． 得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<． 综上知0m ≥题型三 两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2【解析】{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a-有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1b a-=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =- 【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-.4．由a ，b a，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使b a有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩， 即 20182019a b +=20182019(1)01-+=， 故20182019a b +=1.题型四 空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来.【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根， 当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解， 此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五 根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-， 所以2b a -=.故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值； （2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆， 则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去.若2x x -=，则()()222x x -=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213ax -=. 方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+.11 / 11 由题意，得152213a a -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}.4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值.【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意； ()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意； 综上可知，1a =或1a =-.。
新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系
新高考数学复习考点知识提升专题训练（二） 集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________． 解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}． 解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }， 当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }， 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }， 又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________． 解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}， 真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。
高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版
1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。
集合间的关系(精炼)(解析版)
1.2 集合间的关系【题组一 集合关系的判断】1．（2020·浙江高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（ ）. ①{}00∈；②∅ {0}，；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){},,a b b a =.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故∅ {0}，故正确； 对于③，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误；对于④，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误.故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）设,x y ∈R ，{(,)|}A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________. 【答案】B A【解析】由集合{(,)|}A x y y x ==可得集合A 中元素代表直线y x =上所有的点，由(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，∵1y x =可化为(0)y x x =≠，可得集合B 中元素代表y x =上除去(0,0)点的两条射线，则可得集合B 是集合A 的真子集，即B A.故答案为：B A. 3．（2020·浙江高一单元测试）已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________． 【答案】A=B【解析】对于集合A ，k=2n 时，()14141,999n x n n Z =+=+∈ ， 当k=2n -1时，()141421,999n x n n Z =-+=-∈ 即集合A=41,99n x x n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭ ,由B=41,99k x x k Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭可知A=B ，故填：A=B. 【题组二 （真）子集的个数】1．（2020·湖南天元株洲二中高二月考（文））下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．()6+∞， C ．()0,5 D ．()1,5【答案】D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D2．（2020·湖南雁峰衡阳市八中高一月考）集合{}2x x <的真子集可以是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),2-∞ C ．(]0,2 D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】因为{}2|2x x ∉<，则可排除A,C ；由(){},22x x -∞=<，可排除B ；故选:D.3．（2020·全国高三月考（文））已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（ ）A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-【答案】D【解析】因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.4．（2019·全国高三二模（文））集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．7个【答案】B【解析】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．5．（2020·陕西新城西安中学高三一模（文））已知集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由于集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B6．（2020·全国高一月考）若集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 有：{}1,2、{}0,1,2、{}1,2,3、{}1,2,4、{}0,1,2,3、{}0,1,2,4、{}1,2,3,4、{}0,1,2,3,4，共8个.故选：D. 【点睛】本题考查集合子集的列举，属于基础题.7．（2019·五华云南师大附中高三月考（文））已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（ ） A ．15 B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C.8．（2020·浙江高一课时练习）已知A ⊆{0,1,2,3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有（ ） A ．11个 B ．12个C ．15个D ．16个【答案】B【解析】根据题意，分A 中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A 数目，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，A 中至少有一个奇数，包含两种情况，A 中有1个奇数或2个奇数，若A 中含1个奇数，有C 21×22=8， A 中含2个奇数：C 22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B ． 【题组三 集合相等与空集】1．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D ．{}1,2M =，(){}1,2N =【答案】B【解析】对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ；对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则MN ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ； 对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N .故选：B.2．已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ） A ．-1或3 B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合.故选C.3．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=±当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.故选：B4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2【答案】A【解析】由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A5．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(),2-∞ 【解析】{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，121k k ∴+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【题组四 已知集合关系求参数】1．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 2．（2020·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A ⊆，则x =（ ）． A ．2± B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B【解析】因为B A ⊆，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0． 根据集合中元素的互异性得2x =±或0.故选：B3．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）设集合{}{}|32,|2121A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】：依题意可得13211{{1121222k k k k k ≥--≤-⇒⇒-≤≤+≤≤．4．（2020·天津市第五中学高二期中）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意； 当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=± 综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意故选D5．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（文））已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____． 【答案】(],3-∞【解析】根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.故答案为：(],3-∞.6．（2020·全国高一）{}223|0 A x x x =--=，{}|1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合M =______________【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】∵B A ⊆，{}{}22|1,330 A x x x =--=-=若0a =，则B =∅，满足题意， 当0a ≠，{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，，∴11a =-或13a=， ∴1a =-或13a =∴B A ⊆∴综上所述11,0,3M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.7．（2020·全国高一）若集合A 满足{}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有_______个. 【答案】15 【解析】因为{}12,,1,2,3,4,6,12x y x N y N x **⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭， {}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以集合A 中含有1,3这两个元素，那么集合A 的个数就相当于集合{}2,4,6,12的真子集个数，即42115-=个.故答案为：158．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.【解析】∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆.②当0a >时，12A x x a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-.9．（2020·浙江高一单元测试）设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意，②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤10（2020·全国高一课时练习）若关于x 的方程2210x x m +-+=的解集为空集，试判断关于x 的方程2121x mx m ++=的解集情况．【答案】两个不等的实数根【解析】∵方程2210x x m +-+=的解集为空集， ∴此方程的判别式2241(1)0m ∆=-⨯⨯-+<， 解得0m <．而方程2121x mx m ++=的根的判别式2241(121)484m m m m '∆=-⨯⨯-=-+．∵0m <，∴20,480m m >->． ∴24840m m -+>，即0'∆>，∴方程2121++=有两个不等的实数根，x mx m即方程的解集中含有两个元素．。
第1章 1.1.2 集合间的基本关系(解析版)
第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。
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B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C
【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.
9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为()
A. 32
B. 31
C. 30
D. 14
【答案】A
A.m≥0
B.m≤－3
C.－3≤m≤0
D.m≤－3或m≥0
【答案】B
15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()
A.a＜3
B.a ≤3
C.a＞3
D.a≥3
【答案】D
【解析】由A B，结合数轴，得a≥3.
16.已知集合A满足{0,1} A {0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝± ，
∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2Байду номын сангаас，
∴A＝{2}.
∴A的子集有：∅，{2}.
集合A的子集共有2个.
故选B.
12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()
A. 15
B. 16
C. 28
D. 25
【答案】A
【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1， 、2， 、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.
题组4真子集及其运算
14.已知A＝{x| <－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若A B，则实数m的取值范围是()
A. 6个
B. 12个
C. 9个
D. 5个
【答案】A
【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.
13.若x∈A则 ∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0， ， ，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()
5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.
【答案】3
【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.
6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.
【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，
A.M＝N
B.M⊆N
C.N⊆M
D.无法判断
【答案】C
【解析】M中，x＝ ＋ ＝
N中，x＝k＋ ＝n＋ ，k＝n∈Z，
∴N⊆M.
3.指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.
题组2子集及其运算
4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()
A.A⊆B
B.B⊆A
C.B∈A
D.A＝B
【答案】C
【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.
【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.
又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，
∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，
由于集合A◇B中共有5个元素，
故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.
故选A.
10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为()
A. 1
B. 2
C. 4
D. 1或2或4
【答案】D
【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M的元素有两个，
则集合M子集的个数为22＝4个；
当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M的元素有一个，
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
则集合M子集的个数为21＝2个；
当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M的子集的个数为1个.
综上，集合M的子集个数为：1或2或4.
故选D.
11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()
题组3子集个数
7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有()
A. 3个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
【答案】C
【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，
则满足条件的B有23＝8个，故选C.
8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是()
【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.
17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A B，求a的取值范围；
专题2集合间的基本关系
题组1集合的包含关系
1.已知集合P＝{x|y＝ }，集合Q＝{y|y＝ }，则P与Q的关系是()
A.P＝Q
B.P Q
C.P Q
D.P∩Q＝∅
【答案】B
【解析】P＝{x|y＝ }＝[－1，＋∞)，
Q＝{y|y＝ }＝[0，＋∞)，
所以Q P.
2.集合M＝ ，N＝ ，则M与N的关系为()