概率论与数理统计第7章例题
概率论与数理统计(第三版)第七章习题
解 (1) 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为
X
n
z
/
2
n=9, 1-=0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96,
=0.6 ,x=6, (6 0.6 1.96) (6 0.392) 3
ln
L
n 2
ln
(
令
d
d
ln L
n
2
1
2
n
ln xi
i 1
0
n
1) ln xi
i 1
得到的最大似然估计值
的最大似然估计量
n2
n
(ln xi )2
i 1
n2
n
( ln Xi )2
i 1
4.(2) 设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试
的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392).
(2) 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为 X
S n
t
/
2
(n
1)
n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060
s=0.5745, 6 0.5745 2.3060 6 0.442
解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的
置信区间为
(
S
2 A
SB2
1 F / 2(n1 1, n2
1)
,
S
2 A
SB2
概率论与数理统计(第三版)第七章习题ppt课件
20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.
解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的 置信区间为 (S S B A 2 2F /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ),S S B A 2 2F 1 /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ))
E ( T 2 ) 1 5 [ E ( X 1 ) 2 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 4 E ( X 4 ) 1 5 ] ( 1 2 3 4 ) 2
E ( T 3 ) 1 4 [ E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 ) 1 4 ] ( 1 1 1 1 )
3
的一个置信水平为0.95 的置信.区间为(5.558, 6.442).
9
16.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.
解 未知,的置信水平为1-的置信区间为 ( n1S , n1S ) 2/2(n1) 12/2(n1)
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2
而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2,
E(S w 2n )1 E n 1 (2 ( n1 2 [1 n n )( 1 1 S 1 21 n )2 E (n (2 S 21 2 ) 1 )S (2 2 n 2 ) 1 )E (S 2 2 ) ]2
概率论与数理统计第七章习题答案
解：(1)已知ξ ～N (µ, σ 2 ),取统计量U = ξ − µ ,则有U ~ N (0,1),于给定的置信概率1−α ,
n
σ/ n
可求出uα
+ (4 − 0.8)2 ×1] = 0.831.
14.设ξ1,ξ2,……,ξn是取自总体ξ的一个样本，n ≥ 2,ξ ~ B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求证：
（1）ξ12是p的无偏估计； （2）ξ12不是p2的无偏估计;
(3) ξ1ξ2是p2的无偏估计。
证明：（1）Eξ
2 1
tα /2 (4) = 2.78, S = 11.937, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1244.185，1273.815）.
20.假定到某地旅游的一个游客的消费额ξ～N (µ,σ 2 ),且σ = 500元，今要对 该地每一个游客的平均消费额µ进行估计，为了能以不小于95%的置信概率 确信这估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查多少个游客？
乐山师范学院化学学院
1.设总体ξ 有分布律
第七章 参数估计部分习题答案
ξ
−1
0
2
p
2θ
θ
1-3θ
其中 0 < θ < 1 为待估参数，求θ 的矩估计。 3
解：总体一阶矩为Eξ = (−1) × 2θ + 0×θ + 2× (1− 3θ ) = −8θ + 2.
用样本一阶矩代替总体一阶矩得ξ = -8θˆ + 2，则θˆ = 1 (2 − ξ ). 8
概率统计第七章作业解答ppt课件
i1
xi
0解得
ˆ
n
n
xi
1 为的最大似然估计。 x
i1
即 的最大似 ˆ然 0.21 估 （ 73 计 秒 9 为 ）。
第一次作业选做题
1.设总X体 的分布律 X 1为 2
P 2
2 (1- )
3 (1-)2
其中 （ 01)未知。已知 值 x 取 11,得 x2了 2, x31,试求 的矩估计和 计 最 。 大似然
概率密度 f(x为 )0e,x,其 x它 0，0未知。现观6个 测到
间隔时间（单位： 1： .8,1秒 0.1,） 3.2,5.8,4.2,2.5
求(： 1)该路口车辆经过间的隔平时均间的矩(2估 )的 计矩 ；
估计和最大似然估计。
解:(1)
E (X ) x e x d x 1 ,令 E (X ) X 0
解得 ˆ1,而x4.（ 6 秒）
故 E(X)1的 x 矩估1的 计矩 ，估 即 x, 计为
从而平均 E(间 X)的 隔 矩 时 估 x间 4计 .（ 6 为 秒）
6.设某路口车辆经隔过时的间间服从参数数为分的布指，
概率密度 f(x为 )0e,x,其 x它 0，0未知。现观6个 测到
间隔时间（单位： 1： .8,1秒 0.1,） 3.2,5.8,4.2,2.5
n
xi ne i1 ,xi
0,i1,2,..n,
0 , 其它
由 L ( ) f ( x 1 ,) f ( x 2 ,)f . ( x n , .) ..
n
xi ne i1 ,xi
0,i1,2,..n,
0 , 其它
n
ln L()nln)(xi
d lnL()
d
《概率论与数理统计》习题及答案 第七章
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
概率论与数理统计第七章练习题与答案详解
概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。
概率论与数理统计第七章
参数估计
湖南商学院信息系 数学教研室
第七章
第一节
第二节
参数估计
矩估计
极大似然估计
第三节
第四节
估计量的优良性准则
正态总体的区间估计（一）
第五节
正态总体的区间估计（二）
总体是由总体分布来刻画的.
总体分布类型的判断──在实际问题中, 我们根据问题本身的专业知识或以往的经验 或适当的统计方法,有时可以判断总体分布 的类型.
本章讨论:
参数估计的常用方法.
估计的优良性准则. 若干重要总体的参数估计问题.
参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体，总体的分布函数 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2 , … , Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计
(m=1,2, ,k)
步骤二、 算出m阶样本原点矩:
1 n m Am X i m 1,2, , k n i 1 步骤三、令 am (1,2,,k) = Am
(m=1,2, ,k)得关于 1,2,,k的 方程组 步骤四、解这个方程组,其解记为
ˆ ( X , X ,, X ) i 1 2 n ，i 1,2, , k
n
1 2 ˆ : ˆ 其中 （X i X ) n i 1
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 .
数和2的矩估计为
例如 求正态总体 N(,2)两个未知参
概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
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第7章例题1.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,,321X X X X 量的是B321321613121..X X X B X X X A ++++321321814121.212121.X X X D X X X C ++++ 2.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,21X X X 量的是 D21.X X A +213121.X X B + 214141.X X C + 212121.X X D + 3.样本()()，则，，来自总体221,...,σμ==X D X E X X X X n BA.的无偏估计是μi ni X ∑=1B. 的无偏估计是μXC. ()的无偏估计是221σn i X i ≤≤ D. 的无偏估计是22σX4.设),(21X X 是来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列总体均值的无偏估计中，最有效的估计量是 DA. 213132X X +B. 214341X X +C. 215352X X +D. )(2121X X +5.从总体中抽取样本,,X X 12下面总体均值μ的估计量中哪一个最有效DA. 11X =μB. 22X =μC. 2134341X X +=μD. 2142121X X +=μ 6.从总体中抽取样本32,1,X X X 统计量 6323211X X X ++=μ),4423212X X X ++=μ) 3333213X X X ++=μ)中更为有效的是CA. 1μ)B. 2μ)C. 3μ)D. 以上均不正确7.设21,X X 是取自总体()2σμ，N 的样本，已知21175.025.0X X +=μ和2125.05.0X X +=μ都是μ的无偏估计量，则________更有效8.设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为λ的指数分布总体的样本，其中λ未知，设有估计量)(31)(6143211X X X X T +++=)432(43212X X X X T +++= 4)(43213X X X X T +++=（1）找出其中λ的无偏估计量；（2）证明3T 较为有效. 解(1)由于X i 服从均值为λ的指数分布，所以λ=+++=)]()([31)]()([61)(43211X E X E X E X E T Eλ2)](4)(3)(2)([51)(43212=+++=X E X E X E X E T Eλ=+++=)]()()()([41)(43213X E X E X E X E T E即31,T T 是λ的无偏估计量 (2)由方差的性质知243211185)]()([91)]()([361)(λ=+++=X D X D X D X D T D 24321341)]()()()([161)(λ=+++=X D X D X D X D T D)()(31T D T D >，所以3T 较为有效。
9. 设总体X 的概率密度为(),,0,x e x x x λλϕλ-⎧>=⎨≤⎩ 其中λ为未知参数，如果取得样本观测值为12,,,n x x x L ，求参数λ的极大似然估计值 . 解1i nx i L e λλ-==∏1ln ln ni i L n x λλ==-∑11nii nxxλ===∑)10. 设总体X 的概率密度为()1,01;,0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它 其中θ>0，若取得样本观测值为n x x x ,,,21Λ，求参数θ的极大似然估计值 解 11-=∏=θθini x L∑=-+=ni i x n L 1ln )1(ln ln θθ ∑=-=ni ixn1ln θ)11.设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθθθx x e x f x ,0,2);()(2,其中0>θ为未知参数.如果取得样本观测值为n x x x ,,,21Λ,求参数θ的最大似然估计值.解:似然函数⎪⎩⎪⎨⎧>∑==--其他0,2)(1)(2θθθi x n x e L ni i , θ>i x 当, 时， 0)(>θL ,取对数 得∑=--=ni i x n L 1)(22ln )(ln θθ02d )(ln d >=n L θθ,所以)(θL 单调增加. 由于i x <θ,即θ应该满足),,,min(21n x x x Λ≤θθ的最大似然估计值为),,,min(21n x x x Λ≤∧θ .12.设921,,,X X X Λ为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值5=x ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 A))9(34.05),9(34.05(.))8(34.05),8(34.05(.)34.05,34.05.()34.05,34.05(.025.0025.0025.0025.005.005.0025.0025.0t t D t t C u u B u u A +-+-+-+-13.设2521,,,X X X Λ为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值8=x ，则未知参的数μ置信度为0.90的置信区间为 B)54.08,54.08.()54.08,54.08(.05.005.01.01.0u u B u u A +-+-))24(54.08),24(54.08(.))24(54.08),24(54.08(.05.005.01.01.0t t D t t C +-+-14.某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（mm ）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.设滚珠直径X ～()2,σμN ，如果已知直径标准差15.0=σ（mm ）， 求在置信水平1－α=0.95的置信区间.(96.1025.0=u )解、已知15.0=σ，n=9，91.14=x ，所以μ的置信度为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2020,ααμσμσn X n X ， 即 （14.81，15.01）15. 某厂生产的滚珠直径()2,~σμN X ，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径如下：(单位：毫米)14.70、15.21、14.98、14.91、15.32、15.32.如果知道该天产品直径的方差是0.05，试找出置信度为0.95的直径平均值的置信区间. (0.025 1.96u =)解、 15.06x =，ˆ15.06x μ== 由置信水平10.95α-=，则0.05α=，/20.025 1.96u u α== 1.960.18=所以置信区间为：[]15.060.18,15.060.18-+即[]14.88,15.24 16. 随机地从一批钉子中抽取9枚，测得长度 （单位：cm ）分别为2.24 2.10 2.13 2.05 2.13 2.12 2.23 2.20 2.15 设钉子的长度 服从正态分布,试求总体均值μ的90%的置信区间. (1) 若已知0.01()cm σ=; (=05.0u 1.645) (2) 若σ未知. (86.1)8(05.0=t )解(1)μ的置信度为1α-的置信区间为 ),(2/2/αασσU nX U nX +-其中n=9,α=0.10,σ=0.01由计算得15.2=X 代入上式得 (2.145，2.155）----5分 (2)μ的置信度为1α-的置信区间为),(2/2/ααt n S X t n S X +-其中n=9，α=0.10，由计算得15.2=X ，代入得(2.111 ,2.189 )17.从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径(毫米)为19.7， 20.1, 19.8, 19.9, 20.2, 20, 19.9, 20.2, 20.3,若零件直径服从正态分布2(,)N μσ，且未知σ，求零件直径的均值μ的0.95的置信区间. ()()0.0250.05,8 2.31t α== 解 20.010.2030.05X S α===20.16α=置信区间(19.85， 20.17)18.某厂生产的钢丝.其抗拉强度),(~2σμN X ，其中2,σμ均未知，从中 任取9根钢丝，测得其强度（单位：kg ）为：578，582，574，568，596， 572，570，584，578,试在置信水平1－α=0.99下求s 2的置信区间.(34.1)8(,0.22)8(2995.02005.0=χ=χ；）解 ： 578x =，7459281S 2=⨯=，方差2σ的置信区间为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ-χ-α-α2212222S)1n (,S )1n ( 即：（26.91，441.79）19.今从一批零件中，随机抽取10个，测量其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差（mm ）分别为2，1，－2，3，2，4，－2，5，3，4。
零件尺寸偏差随机变量X ～()2,N σμ，试在置信水平1－α=0.95下求s 2的置信区间.［7.2)9(,19)9(2975.02025.0=χ=χ］解： 2x =，778.5s 2=，所以2σ的置信区间为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---221222211ααχχS n S n )(,)(即：（2.74，19.26）。