2019年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版
高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版
A 级1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8xC．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线或抛物线4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 25．长为 3 的线段的端点，B 分别在x轴、y轴上挪动，→＝ 2→，则点C的轨迹AB A AC CB是 ()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线0，y→→6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．9．已知⊙O 的方程是x2＋y2－ 2＝0，⊙′的方程2＋y2－ 8 ＋10＝ 0，由动点P向⊙OO x x和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．→→11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，(1)求曲线 C的方程；(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．B 级1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→知足 OC＝λOA＋λ OB( O12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()1212A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2011 ·北京卷 ) 曲线C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常F F数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C过坐标原点；②曲线 C对于坐标原点对称；③若点P 在曲线C上，则△12 的面积不大于12.F PF2a此中全部正确的结论的序号是________．3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1的直线，过点 (2,0)14l 与椭圆交于不一样的两点，，点N在线段上．P Q PQ(1)求椭圆的标准方程；(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方程．详解答案课时作业 ( 五十五 )A级1．B |→| ＝ 4，|→| ＝x＋ 22＋2，→·→＝4(x－2) ，MN MP y MN NP∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.2． C由题意可得x2＋ y2－4＝0，或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2x＋y＋1≥0，＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．4． D如图 ，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①又 →＝ 2→ ，因此 (x － ， ) ＝2( － ， b － ) ，ACCB a yx y＝ 3 x ，a即3 ② b ＝ 2y ，2y 2把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.→y →y6．分析：AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .→→→ → y y2∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·2＝ 0. 得 y ＝ 8x .答案：y 2＝ 8x7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．22∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.x 2 y 2∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．答案：x 2＋ y 2＝ 1( x ≠± 2)438．分析：设 ( 1，1)， ( ， ) ，则y 12＝ 1，①P xy M x yxx 1＋ 2x ＝ 2x 1＝ 2x － 2又 M 为 AP 中点，∴，即 ，y1y 1＝ 2y ＝ 2代入①得答案：221(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．21y ＝ 2( x － 1)9．分析：由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，而 2＝2－ 2，2＝ ′ 2－6，PTPO PQ PO22－6，设 P ( x ， y ) ，∴ PO － 2＝ PO ′222 23即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.答案： 3x ＝2222010．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．∵ k AB ＝ 4，3的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x－ 3 ＋ ＝ 0.ABx y c由| c －4|＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，5故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.11．分析：(1) 设 P ( x ， y ) ，→ → 2 2由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方 程为： kx － y － 2＝0，由直线l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|k ≤－ 3或 k ≥ 3，≤1，解得k 2＋ 1即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－3] ∪[ 3，＋∞ ) ．B 级1． A 设( ， y ) ，则 →＝ ( x ， y )，→＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，C xOC OAOB→→→x ＝ 3λ 1－ λ2∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴，又 λ1＋ λ 2＝ 1，y ＝λ1＋ 3λ2∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．2．分析：设 ( ， y ) 为曲线C 上随意一点，A x122则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 12＋y 2＝ a 2，把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确； 当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线C 对于原点对称，故②正确；1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 221＝2a2sin 答案：1∠F1PF2≤2a2，故③正确．②③y2x23．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.1π1b2依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.82(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝ (－2) ．k x直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.由＝16k 4－ 4(k2＋ 4)(4k2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.k依据根与系数的关系得x1＋x2＝4k22，4k2－ 84＋kx x4＋k又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。
北师大版高考数学(理科)一轮复习测试：曲线与方程(含轨迹问题)
核心素养测评五十九曲线与方程(含轨迹问题)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点为F(-2，0)，动圆M经过点F且与直线x=2相切，则圆心M到点F 的距离和到直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=λ1+λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x，y)，则=(x，y)，=(3，1)，=(-1，3)，因为=λ1+λ2，所以又因为λ1+λ2=1，所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x，y)，则P为(-2-x，4-y)，代入2x-y+3=0，得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C1:y2=25②△ABC面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中，∠A=90°C3:+=1(y≠0)A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C2【解析】选A.①△ABC的周长为10，即|AB|+|AC|+|BC|=10，又|BC|=4，所以|AB|+|AC|=6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应;②△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|=10即|y|=5与C1对应;③因为∠A=90°，所以·=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为世纪金榜导学号( )【解析】选C.由已知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分，共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为________________________.【解析】设P(x，y)，x2+y2=1的圆心为O，因为∠APB=60°，OP平分∠APB，所以∠OPB=30°，因为|OB|=1，∠OBP为直角，所以|OP|=2，所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2，0)，N(2，0)满足||||+·=0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________________________________.【解析】把已知等式||||+·=0用坐标表示，得4+4(x-2)=0，化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点，则实数k的取值范围是________________. 世纪金榜导学号【解析】直线y=k(x+2)+4，当x=-2时，y=4，可得此直线恒过A(-2，4)，曲线y=为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时，圆心到直线的距离d=r，所以=2，即4k2+16k+16=4+4k2，解得:k=-，当直线y=k(x+2)+4过点C时，将x=2，y=0代入直线方程得:4k+4=0，解得:k=-1，则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9.在平面直角坐标系中，已知A1(-，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若实数λ使得λ2·=·(O为坐标原点).求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型.【解析】=(x，1)，=(x，-2)，=(x+，y)，=(x-，y).因为λ2·=·，所以(x2-2)λ2=x2-2+y2，整理得(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2).①当λ=±1时，方程为y=0，轨迹为一条直线;②当λ=0时，方程为x2+y2=2，轨迹为圆;③当λ∈(-1，0)∪(0，1)时，方程为+=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆;④当λ∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，方程为-=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.10.(2020·成都模拟)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C. 世纪金榜导学号(1)求曲线C的方程.(2)设不经过点H(0，1)的直线y=2x+t与曲线C相交于两点M，N.若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值.【解析】(1)设P(x，y)，A(m，0)，B(0，n)，因为=3，所以(x，y-n)=3(m-x，-y)=(3m-3x，-3y)，即，所以，因为|AB|=4，所以m2+n2=16，所以x2+16y2=16，所以曲线C的方程为:+y2=1;(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去y得，37x2+36tx+9(t2-1)=0，由Δ=(36t)2-4×37×9(t2-1)>0，可得-<t<，又直线y=2x+t不经过点H(0，1)，且直线HM与HN的斜率存在，所以t≠±1，又x1+x2=-，x1x2=，所以k HM+k HN=+==4-=1，解得t=3，故t的值为3.(15分钟35分)1.(5分)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【解析】选D.原方程可化为或-1=0，即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.【变式备选】|y|-1=表示的曲线是( )A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.原方程|y|-1=等价于得或所以原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1)和(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1)两个半圆.2.(5分)已知点Q在椭圆C:+=1上，点P满足=+(其中O为坐标原点，F1为椭圆C 的左焦点)，则点P的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆【解析】选D.因为点P满足=(+)，所以P是线段QF1的中点，由于F1为椭圆C:+=1的左焦点，则F1(-，0)，设P(x，y)，则Q(2x+，2y).由点Q在椭圆C:+=1上，得点P的轨迹方程为+=1，可知点P的轨迹为椭圆.3.(5分)直线y=kx交曲线y=于P，Q两点，O为原点，若=，则k的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.由y=得x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1.所以曲线y=表示一个半径为1的半圆，设圆心为M(2，0)，如图所示，过M作PQ的垂线MN，垂足为N，则N为PQ的中点，设|NQ|=m，因为|OP|=|PQ|，所以|ON|=3m，则|MN|2=|MQ|2-|NQ|2=1-m2，又|MN|2=|OM|2-|ON|2=4-9m2，所以1-m2=4-9m2，解得m=，所以|ON|=3m=，|MN|==，所以k=tan∠MON==.4.(10分)如图，P是圆x2+y2=4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足=.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形.(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E的轨迹方程. 世纪金榜导学号【解析】(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由=知P(x，2y)，因为点P在圆x2+y2=4上，所以x2+4y2=4，故动点M的轨迹C的方程为+y2=1，且轨迹C为椭圆.(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l∶y=k(x-3)，代入+y2=1得:(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=.所以y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=-6k=.因为四边形OAEB为平行四边形，所以=+=(x1+x2，y1+y2)=又=(x，y)，所以消去k得x2+4y2-6x=0，由(*)中Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0得k2<，所以0<x<，所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=. 世纪金榜导学号(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上，且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，=(x-x0，y)，=(0，y0).由=，得x0=x，y0=y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1，0).设Q(-3，t)，P(m，n)，则=(-3，t)，=(-1-m，-n)，·=3+3m-tn，=(m，n)，=(-3-m，t-n).由·=1，得-3m-m2+tn-n2=1，又由(1)知m2+n2=2，故3+3m-tn=0.所以·=0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ( )【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0，前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分，后者为直线x-y-1=0，这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是世纪金榜导学号( )A.6πB.2πC.2π+4D.6π+12【解析】选B.方程|y|-1=，可得|y|-1≥0，即有y≥1或y≤-1，即有(x-2)2+(|y|-1)2=3，作出方程|y|-1=所表示的曲线，如图可得曲线为两个半圆，半径均为，可得表示曲线的长度为2π.关闭Word文档返回原板块。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版
课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组 能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)． 又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)， 所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 坐标系与参数方程 第2节
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第二节 参数方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第201页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程[意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.] 4．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.185 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.]5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.(对应学生用书第202页)(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.【导学号：79140389】[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.法、加减消去法、恒等式三角的或代数的消去法普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，图2[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、2根据直线的参数方程的标准式中过定点M ①弦长l⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值．[解] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a －3|2＝a ，解得a ＝－3(舍)，a ＝1. 所以a ＝1.(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32sin θcos θ ＝12·cos 2θ＋12－34sin 2θ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2θ－32sin 2θ＋14 ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB 的面积最大值为33a24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .由余弦定理得|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－|OA |·|OB | ≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24， 所以△OAB 的面积最大值为33a 24.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的[跟踪训练1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.【导学号：79140390】[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 24＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 是参数)，设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，将C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α1＋3sin α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8|sin α|1＋3sin 2α ＝83|sin α|＋1|sin α|≤823＝433(当且仅当sin α＝33取等号)， 当sin α＝33时，∴0<α<π，且α≠π2， ∴cos α＝±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB |的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业55曲线与方程+Word版含解析.docx
课时作业55曲线与方程［授课提示：对应学生用书第258页］一、选择题1.方程(x2+y2—4)yjx+y+1 =0的曲线形状是( )［x2+^2—4=0, 解析：由题意可得x+y+l= 0或,1兀十1刁0,它表示直线x+尹+1 = 0和圆x2-\~y2—4 = 0在直线x~\~y-\-1=0右上方的部分.答案：C2.设点/为圆(x-l)2+^2=l ±的动点，刃是圆的切线，且冋|=1,则P 点的轨迹方程为()A・y2 = 2x B. (x~l)2+y2=4C・y2=—2x D. (x—1 )2 +y2— 2解析：如图，设P(x, y),圆心为M(l,0)・连接MA,则胚4丄刊，且|胚4| =1.又・・・|冲|= _____・・・ | W =yf\MAf+\R4^=边，即|PA/|2=2, A(X-1)2+/=2.答案：D3.(2018-珠海模拟)己知点/(1,0),直线人y=2x~4,点7?是直线/上的一—►—►点，若RA=AP,则点P的轨迹方程为( )A. y= _2xB. y=2xC ・y=2x—8D ・y=2x+4―►—►解析：设P(x, y), R(X\, /),由RA=AP知，点A是线段RP的中点，"x+xi2 =1，[X!=2-X,・・・], 即Z±2L_n31 = —)人I 2 _山・・•点门)在直线y=2x~4上，••吵i=2x]—4, /. 一尹=2(2—x)一4,即y=2x.答案:B4.已知点弔，0),直线/：x=—点B是/上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析：由已知^\MF\ = \MB\,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F 为焦点，直线Z为准线的抛物线.答案:D5・(2018-河北衡水六调，8)已知/(—1,0), B 是圆F：x2-2x+y2~\\=0(F 为圆心)上一动点，线段M的垂育平分线交貯于P,则动点P的轨迹方程为() 2 2 2 2A — 1 R U 1A.]?十][一1 匕6 35_,2 2 2 2C旨-牙=1 D. f+f = 1解析：由题意^\PA\=\PB\. :.\PA\+\PI^=\PB\+\PF]=r=2yl3>\AF]=29 :. 点P 的轨迹是以A. F为焦点的椭圆，且a=百,c=l, ・・・b=吊，・•・动点P的 2 7轨迹方程为〒+牙=1，故选D.答案：D―►6・已知/(一1,0), 5(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N,若Ml/—► —►=MN・NB,当久V0时，动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线—►—► —►解析：设M(JC, y),则N(x,0),所以MN2=y2,1,0)・(1 —x,0)2=久(1 —工)，所以y2—A(1 —x2),即变形为X24~1.又因为久<0,所以动点M的轨迹为双曲线.答案：C二、填空题(ci｝苗,0)(Q>0),且7・在厶/BC屮，力为动点，B, C为定点，㊁，满足条件sinC—sin5=|sirk4,则动点A的轨迹方程是 ___________解析：由正弦定理得噗1—劈二养1!肆，即\AB\~\AC\=^BC\,故动点/是以B, C为焦点，号为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为爭一豊_=l(x>0且尹工0)・答案：今4—豊■=l （x>0且尹工0）8. （2018-河南开封模拟）如图，已知圆E ： （%+^3）2+/=16，点、F （书,0）, P 是圆E 上任意一点.线段PF 的垂宜平分线和半径PE 相交于0.则动点Q 的轨 迹厂的方程为 ___________________ .解析：连接0F,因为0在线段PF 的垂直平分线上，所^\QP\ = \QF\,得|0E| + \QF\ = \QE\ + \QP\ = \PE\=4.又|釦=2^3<4,得0的轨迹是以E, F 为焦点，长轴长为4的椭圆为亍+r 2答案：j+r=i9. （2018-中原名校联考，16）已知双曲线牙一長=1的左、右顶点分别为力2，点P （xi ，刃）,0（兀1，—yi ）是双曲线上不同于Ml 、力2的两个不同的动点，则 直线AiP 与A 2Q 交点的轨迹方程为 _____ ・解析：由题设知kd>V2, AK —迄,0）,缶（迈，0）,则有直线A X P 的方程为尸点尹+Q'①・・.兀工0,且\x\<^2,因为点P （%i ，yi ）在双曲线y —/=1 ±,所以号—卅=1・2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为牙+#=1（详0,且详皿）・ 答案：牙+尸=1（兀工0,且 三、解答题10. 在平面直角坐标系兀0尹中，点B 与点/（—1,1）关于原点O 对称，P 是动 点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于一*・求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点昇（一1,1）关于原点O 对称. 所以点B 的坐标为（1, 一1）・设点P 的坐标为（x,力，由题设知直线/卩与的斜率存在且均不为零，则尹一ly+1 _1 x+1 x— 1 3’联立①②，解得化简得/+3J?=4(X H±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y=4(x^±l)・11.如下图所示，从双曲线%2—y2=l ±一点0引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段0N的中点P的轨迹方程.解析：设动点P的坐标为(兀，尹)，点0的坐标为(X[, 口), 则N(2x—x\2y—yi)代入x+y=2,得2x—xi+2y—y\ =2@又P0垂直于直线x+y=2,故=即x—y+y\ —X] =0.②3 1由①②解方程组得X!拐x+匆一1 ,代入双曲线方程即可得尸点的轨迹方程是2x2-2y2—2x~l-2y— 1 =0.[能力挑战]12.(2017-新课标全国卷III)在直角坐标系xOy屮，曲线y=x2+mx—2与x 轴交于力，B两点，点C的坐标为(0,1).当加变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C丄BC的情况？说明理由；(2)证明过力，B, C三点的圆在尹轴上截得的弦长为定值. 解析：⑴不能出现/C丄BC的情况.理由如下：设^(%1 0), 5(X2 0)»则兀1，兀2 满足x2 + wx —2 = 0, 所以X|X2=—2・又点C的坐标为(0,1),—1 — 1 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为丁•二一=—刁X\ X2Z所以不能出现MC丄3C的情况.由(1)可得xi+^2 —~m,所以的中垂线方程为x=-岁.，可得BC的中垂线方程为y-|=X2又X22+mxi—2 = 0, 可得］1/=_2-/=*x+|y_l所以过力，B, C三点的圆的圆心坐标为故圆在歹轴上截得的弦长为2 yp~^=3, 即过B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版
课时分层训练(五十二) 椭 圆A 组 根底达标一、选择题1．(2021·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆一个顶点与一个焦点，假设椭圆中心到l 距离为其短轴长14，那么该椭圆离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 距离，那么|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2直线l 交C 于A 、B 两点．假设△AF 1B 周长为43，那么C 方程为( )【导学号：79140286】A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A [由题意及椭圆定义知4a ＝43，那么a ＝3，又c a ＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 方程为x 23＋y22＝1，选A.] 3．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1与(x －4)2＋y 2＝1上点，那么|PM |＋|PN |最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12D ．10,12C [如下图，因为两个圆心恰好是椭圆焦点，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，那么其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.]4．假设点O 与点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1中心与左焦点，假设P 为椭圆上任意一点，那么OP →·FP →最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，那么OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP→·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP→·FP →有最大值6.]5．(2021·河北衡水六调)A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 轨迹是以A 、F 为焦点椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 轨迹方程为x 23＋y 22＝1，应选D.]二、填空题6．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，那么椭圆标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [由题意设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆方程为x25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆方程为x 245＋y 236＝1.] 7．(2021·太行中学)如图852，∠OFB ＝π6，△ABF 面积为2－3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点椭圆方程为__________．图852x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，那么a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.]8．F 1、F 2是椭圆两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率取值范围是________.【导学号：79140287】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22 [满足MF →1·MF →2＝0点M 轨迹是以F 1F 2为直径圆，假设其总在椭圆内部，那么有c ＜b ，即c 2＜b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2＜a 2－c 2，即2c 2＜a 2，所以e 2＜12，又因为0＜e ＜1，所以0＜e ＜22.]三、解答题9．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 方程；(2)假设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，且线段AB 中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 值．[解](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 中点为M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.10．设椭圆E 方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A坐标为(a,0)，点B 坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 斜率为510.(1)求E 离心率e ；(2)设点C 坐标为(0，－b )，N 为线段AC 中点，点N 关于直线AB 对称点纵坐标为72，求E 方程．[解] (1)由题设条件知，点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a＝255. (2)由题设条件与(1)计算结果可得，直线AB 方程为x5b ＋yb＝1，点N 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 对称点S坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1，72，那么线段NS 中点T 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 方程为x 245＋y 29＝1.B 组 能力提升11．(2021·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴两个端点．假设C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么m 取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点N ， 那么N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，那么23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上情况，同理亦可得m ≥9. 那么m 取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 应选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．应选A.]12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左顶点A 且斜率为k 直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上射影恰好为右焦点F 2，假设13<k <12，那么椭圆离心率取值范围是__________.【导学号：79140288】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23 [如下图，|AF 2|＝a ＋c ， |BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －c a＝1－e .又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 13．(2021·云南统测)焦点在y 轴上椭圆E 中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 方程；(2)假设AP→＝3PB →，求m 2取值范围．[解] (1)根据设椭圆E 方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，由得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45，∴a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)＞0，即k 2－m 2＋4＞0， 且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP →＝3PB →得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0.∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0. 当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立，∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k2－m2＋4＞0，∴4－m2m2－1－m2＋4＞0，即(4－m2)m2m2－1＞0.∴1＜m2＜4.∴m2取值范围是(1,4)．第11 页。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练50 圆的方程 理 北师大版
课时分层训练(五十) 圆的方程A 组 基础达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1。
]2．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线A [由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．] 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设点P 与圆上任一点连线的中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A 。
]4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练10 函数的图像 理 北师大版
课时分层训练(十) 函数的图像A 组 基础达标一、选择题 1．函数y ＝x ln|x ||x |的图像可能是( ) 【导学号：79140057】B [易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.] 2．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 A [y ＝2x ――――――――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.]3．图274中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图像是( )图274B [由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.]4．(2017·甘肃白银一中期中)函数f (x )的图像是两条直线的一部分(如图275所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f (x )－f (－x )＞－1的解集是( )图275A ．{x |－1≤x ≤1且x ≠0}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．x －1≤x ＜0或12＜x ≤1D ．x －1≤x ＜－12或0＜x ≤1D [由图可知，f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )－f (－x )＞－1⇔2f (x )＞－1⇔f (x )＞－12⇔－1≤x ＜－12或0＜x ≤1.故选D.]5．(2018·太原模拟(二))函数f (x )＝ln|x |x的图像大致为( )【导学号：79140058】A [当0＜x ＜1时，x ＞0，ln|x |＜0，则f (x )＜0，排除B ，D ；当x ＞1时，x ＞0，ln|x |＞0，f (x )＞0，排除C ，故选A.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图像如图276所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．图276(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________．(4,4) [函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的(图略)，故y ＝f (x )的图像经过点(4,4)．]8．如图277，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图277f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]三、解答题 9．已知函数f (x )＝(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值.【导学号：79140059】[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围是(－∞，0]．B 组 能力提升11．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图像大致为( )C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin(－2x )1－cos(－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B. 故选C.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0 C ．f (x 1)－f (x 2)＞0 D ．f (x 1)－f (x 2)＜0D [函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0＜|x 1|＜|x 2|， 所以f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.]13．函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________.【导学号：79140060】(－∞，1) [当x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1＜x ≤2时，－1＜x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，要使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1)．]14．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞)．。
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课时分层训练(五十五) 曲线与方程
A 组 基础达标
一、选择题
1．方程x ＝1－4y2所表示的曲线是( )
A ．双曲线的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．圆的一部分
D ．直线的一部分 B [x ＝1－4y2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]
2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上
的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]
3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( )
A ．y 2＝2x
B ．y 2
＝4x C ．x 2＝2y D ．x 2＝4y B [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫MN 22
＋|x |2＝|AQ |2， 所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ，
所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]
4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )
【导学号：79140301】
A.
4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221
＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点，
则|AM |＝|MQ |，
所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52
，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214
， 所以椭圆的方程为4x225＋4y221
＝1.] 5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，
O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( )
A ．32
x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32
x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32
y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32
y 2＝1(x ＞0，y ＞0) A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.
由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32
x ＞0，b ＝3y ＞0. 即AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1， 得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32
x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题
6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________． y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－y 2， BC →＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，y 2. ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2
＝8x .]
7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．
x29－y216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，。