(完整版)直线和圆高考题汇总(教师版含答案
专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)
1.直线l ：y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】－1≤a ≤3【解析】圆方程为(x －a )2＋y 2＝2a ＋4，则a >－2，又直线l 过定点(0,1)，故只需点(0,1)在圆内或圆上，即－1≤a ≤3，综上，实数a 的取值范围是－1≤a ≤3.2.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 【答案】2－1<r <2＋1.3.若对圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥6.【解析】设直线l 1：3x －4y ＋a ＝0，直线l 2：3x －4y －9＝0，则|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5(dP －l 1＋dP －l 2)，因为|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x 无关，所以，圆M 恰完全在直线l 1和直线l 2所夹带状区域内，所以，直线l 1：3x －4y ＋a ＝0在圆M 的上方，dM －l 1＝|－1＋a |5＝a －15≥1，所以，a ≥6.4.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为________．【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝kx －r ，与x 2＋y 2＝r 2联立解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1)r k 2＋1)，而C (rk ，0)，由OC ＝BC 得(r k )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1)r k 2＋1]2即k ＝±3.学&科网【考向分析】直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容．对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想．对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键.（一）直线与圆基本问题盘点 例1. 直线tx ＋y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|OA →＋OB →|>|AB →|，则实数t 的范围________．【答案】－142<t <－52或52<t <142.变式1若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边△P AB 的一边AB 为圆C 一条弦，则PC 的最大值为________． 【答案】4【解析】由△P AB 为等腰三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记AH ＝BH ＝x ，PH ＝y ，PC ＝t ，则CH ＝3x ，满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)t ＝3x ＋y求PC 的最小值．记直线l ：y ＝－3x ＋t ，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)相切时，则t 取最大值，求得t max ＝4，即PC 的最大值为4.（二）圆与圆的位置关系应用例2. 设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________． 【答案】12≤m ≤2＋ 2.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 【答案】－13<c <13.【解析】圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，解得：－13<c <13.变式2 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 【答案】－1≤x 0≤2.【解析】数形结合法：设P (x 0,1－y 0)，由题意可得|CP |≤3，即(x 0－2)2＋(－1－x 0)2≤3，解之得－1≤x 0≤2. （三）阿波罗尼斯圆问题梳理例3. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围________． 【答案】[1,5]．【解析】可判断出直线l 与圆M 相离，故点A 在圆外，由于圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则设直线AE ，AF 为过点 A 作圆M 的两条切线，切点分别为E ，F ，则∠EAF ≥∠MAN ＝60°，故∠MAC ≥30°且r ＝2，则CA ≤4，设A (a,6－a )，所以(a －1)2＋(5－a )2≤4，解得a ∈[1,5]．学科*网变式1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________． 【答案】2 2.变式2 已知点A (－2,0)，B (4,0)，圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋b )2＝16，点P 是圆C 上任意一点，若P APB为定值，则b ＝________. 【答案】0【解析】设P (x ，y )，P APB＝k ，则(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此2b ＝0，故4＋8k 21－k 2＝8，4－16k 21－k 2＝b 2，解得b ＝0.1．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 【答案】[－1,1]．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N ，设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，所以OM ≤ 2.因为M 为(x 0,1)，所以x 20＋1≤2，解得－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1,1]．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则a 的取值范围________． 【答案】⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.【解析】到直线l ：3x ＋4y ＋3＝0的点组成的轨迹为直线l 1：3x ＋4y －2＝0或直线l 2：3x ＋4y ＋8＝0，又圆C 圆心在直线y ＝x 上，且与两轴相切，由于圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则直线l 1或l 2与圆C 相交，于是当a >0时，r ＝a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y －2＝0相交，则d ＝|7a －2|5<a ，得a ∈(16，1)，当a <0时，r ＝－a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y ＋8＝0相交，则d ＝|7a ＋8|5<a ，则a ∈⎝⎛⎭⎫－4，23，综上a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.学科#网3．△ABC 中，BC ＝22，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是________． 【答案】[7,11]．【解析】＋＋＝3－(＋)，由于⊥，且AB ＝2，设＋＝，则点M 的轨迹为以O 为圆心半径r ＝2的圆，记3＝＝(6,35)，于是|＋＋|＝|－|＝MQ ，即圆上一点M 到定点Q (6,35)的距离，其取值范围是[OQ －r ，OQ ＋r ]，即[7,11]．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 【答案】2555.【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.2．若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0≤m ≤10.【解析】因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得：|－3＋4×2－m |5≤1，化简得|m －5|≤5即0≤m ≤10.3．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 【答案】(x －1)2＋y 2＝2.【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1,0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 4.在平面直角坐标系xOy 中，A (2,0)，O 是坐标原点，若在直线x ＋y ＋m ＝0上总存在点P ，使得P A ＝3PO ，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1－6≤m ≤1＋ 6.5. 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN 的长． 【答案】（1）(4－73，4＋73)（2）2【解析】(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程是y ＝x ＋1.故圆心C在l 上，所以MN 的长为2.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________． 【答案】a ＝－1【解析】圆心C (1，a )，半径r ＝4，因为△ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 2.7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】⎣⎡⎦⎤0，125.8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 【答案】0≤k ≤43.【解析】将圆C 的方程整理为标准方程得：(x －4)2＋y 2＝1，所以圆心(4,0)，半径r ＝1，因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需圆C ′(x －4)2＋y 2＝4与y ＝kx －2有公共点，即|4k －2|k 2＋1≤2，解得：0≤k ≤43.9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O为坐标原点)，则实数k ＝________. 【答案】0【解析】设AB 的中点为D ，有＝＋＝2，因为||＝2||＝2，所以||＝1，故|0－0＋1|k 2＋1＝1解得k ＝0. 学#科网10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________． 【答案】－203<b <4.11. 已知A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________． 【答案】4【解析】由A (0,1)，C (t,0)，得l ：y ＝－1tx ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x ，－1t x ＋1.又AD ≤2BD ，故x 2＋x 2t 2≤2(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－x t 2，化简得⎝⎛⎭⎫3＋3t 2x 2－⎝⎛⎭⎫8＋8t x ＋8≥0对任意x 恒成立，则⎝⎛⎭⎫8＋8t 2－4×8×⎝⎛⎭⎫3＋3t 2≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.12.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为________．【解析】如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy . 设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2， 于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以，y 2＝－(1－k 2)x 2＋2lx －l 21－k 2＝－(1－k 2)(x －l 1－k 2)2＋k 2l 21－k 21－k 2≤k 2l 2(1－k 2)2，于是，y max ＝kl 1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22(1－k 2)，所以，(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 22(1－k 2).。
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
历年高考直线与圆真题以及解析
【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，
【详解】（1） 直线 与直线 垂直，
，解得 ．
（2）当 时，直线 化为： 不满足题意．
当 时，可得直线 与坐标轴的交点 ， ．
直线 在两轴上的截距相等，
，解得： ．
该直线的方程为 ，即 .
11.
（1） ；（2）存在，理由见解析
【分析】
（1）根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
（2）首先假设存在得以 为直径的圆过原点，设 ， ，直线与圆联立得到 ，再根据韦达定理和圆的性质即可得到答案.
化简可得： 即为点Q的轨迹方程.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.
10.
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用两条直线垂直的条件列方程，解方程求得 的值.
（2）分成 和 两种情况，结合直线 在两轴上的截距相等求得 ，由此求得所求直线方程.
②当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，
则切线方程为 ，即
因为圆心到切线距离等于半径，
所以 ，解得 ，此时切线方程为 ，
综上所述，过点 的圆的切线方程为 和 ．
(2)因为 即 ， 为圆上任意一点，
所以 即原点到圆上一点的直线的斜率，
令 ，则原点到圆上一点的直线的方程为 ，即
圆的参数方程高考真题教师版
圆的参数方程一．选择题（共2小题）1．（2014•北京）曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）的对称中心( )A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上2．（2010•重庆）直线y =+与圆心为D的圆([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A ．76πB ．54πC ．43πD ．53π二．填空题（共6小题）3．（2019•天津）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 ． 4．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为 ．5．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．6．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，0)2πθ和1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 ． 7．（2012•北京）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数）的交点个数为 ．8．（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）若不等式|1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒，且6AB =，4AC =，12AD =，则AE = ．C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin xC y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C p =上，则||AB 的最小值为 ． 三．解答题（共3小题）9．（2015•福建）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos (23sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为sin()4m πθ-=，()m R ∈（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．10．（2014•福建）已知直线l 的参数方程为2(4x a t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为常数）． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 11．（2012•福建）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．圆的参数方程参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•北京）曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）的对称中心( )A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解答】解：曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）表示圆，圆心为(1,2)-，在直线2y x =-上，故选：B ．2．（2010•重庆）直线y =+与圆心为D 的圆([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A ．76πB ．54πC ．43πD ．53π【解答】解：数形结合，130α∠=-︒，230πβ∠=︒+-， 由圆的性质可知12∠=∠，3030απβ∴-︒=︒+-， 故43αβπ+=，故选：C ．二．填空题（共6小题）3．（2019•天津）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 34 ．【解答】解：a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，解得34a =． 故答案为：34． 4．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为 2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．【解答】解：将圆方程化为2211()24x y -+=，可得半径12r =，2cos cos OP r θθ∴==，2cos cos x OP θθ∴==，sin sin cos y OP θθθ==，则圆的参数方程为2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．故答案为：2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．5．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数） ． 【解答】解：由曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，即2220x y x +-=． 化圆的方程为标准式，得22(1)1x y -+=． 令1cos sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，得()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．所以曲线C 的参数方程为()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．故答案为()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．6．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，0)2πθ和1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 (2,1)．【解答】解：曲线1C 的普通方程为225(05)x y x +=，曲线2C 的普通方程为1y x =-联立方程22521x y x y x ⎧+=⇒=⎨=-⎩或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)． 故答案为：(2,1)7．（2012•北京）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数）的交点个数为 2 ． 【解答】解：直线2(1x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数）化为普通方程为10x y +-= 曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数）化为普通方程为229x y +=圆心(0,0)到直线10x y +-=的距离为3d <∴直线与圆有两个交点故答案为：28．（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若不等式|1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 [3，)+∞ ． B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒，且6AB =，4AC =，12AD =，则AE = ．C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin xC y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C p =上，则||AB 的最小值为 ． 【解答】解：A ．先作出函数|1||2|y x x =++-的图象可知函数的最小值为3，故当[3a ∈，)+∞上不等式|1||2|a x x ++-存在实数解， 故答案为：[3，)+∞B ．B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒Rt ABE Rt ADC ∴∆∆∽而6AB =，4AC =，12AD =， 根据AD AE AB AC =解得：2AE =， 故答案为：2C ．3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ 消去参数θ得，22(3)(4)1x y -+-=而1p =，则直角坐标方程为221x y +=，点A 在圆22(3)(4)1x y -+-=上，点B 在圆221x y +=上 则||AB 的最小值为5113--= 故答案为：3三．解答题（共3小题）9．（2015•福建）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos (23sin x tt y t=+⎧⎨=-+⎩为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为sin()4m πθ-=，()m R ∈（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【解答】解：（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=．（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线:0l x y m -+=的距离等于22=，解得3m =-±10．（2014•福建）已知直线l 的参数方程为2(4x a t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为常数）． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为24x a ty t =-⎧⎨=-⎩，消去t 可得220x y a --=；圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加可得2216x y +=；（2）圆心(0,0)C ，半径4r =．由点到直线的距离公式可得圆心(0,0)C 到直线L 的距离d =直线L 与圆C 有公共点，4d ∴4，解得25a -．11．（2012•福建）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，所以M 、N 的直角坐标分别为：(2,0)M ，N ，P 为线段MN 的中点，直线OP 的平面直角坐标方程y =；（Ⅱ）圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．它的直角坐标方程为：22(2)(4x y -+=，圆的圆心坐标为(2,，半径为2，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，方程为3(2)2)2y x x =--=-30y +-．322==<， 所以，直线l 与圆C 相交．。
直线和圆高考题汇总教师版含答案
考点10 直线与圆1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在xO 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）A．22(5x y += B．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=【规范解答】选D 设圆心为(,0)(0)a a <，则r ==，解得5a =-，所以，所求圆的方程为：22(5)5x y ++=，故选D .3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 .【思路点拨】由题意得出圆心既在点,A B 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.【规范解答】由题意知，圆心既在过点 B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程303x y x +-=⎧⎨=⎩，解得3x y =⎧⎨=⎩，即圆心(3,0)C ，半径r CA ==22(3)2x y -+=.【答案】22(3)2x y -+=4.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。
则圆C 的方程为【规范解答】由题意可得圆心（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故22r ==，所以圆的方程为2x+1y 2+=2（）.【答案】2x+1y 2+=2（）5.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________[【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.221,13,1313.125c c c <<∴-<<+即【答案】1313c -<<6.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22()+2=(a-1)2，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0.【答案】x+y-3=0【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.7.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r ，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=.【答案】22(3)4x y -+=【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线l 对称的圆的方程为【命题立意】以朴素的两点坐标要求求满足条件的斜率，切中运用公式的要害。
历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ， 则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)， 即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知， 圆的半径R ＝23，|AB |＝23， 所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解 设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2， 故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ， 根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时， 即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |， 因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆， 设过点(－2，0)的直线的斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x ＋2)， 则点到直线距离等于圆的半径1， 有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
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考点10 直线与圆
1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0
【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为
210x y --=
2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x
O 位于y 轴左侧，且与
直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）
A
．22(5x y += B
．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．
22(5)5
x y ++=【规范解答】选D 设圆心为(,0)(0)a a <
，则r ，解得5a =-，所以，所求圆的方程为：22
(5)5x y ++=，故选D .
3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 .
【思路点拨】由题意得出圆心既在点,A B 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线
10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.
【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又
在点,A B 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，
,A B 的中垂线为3x =，联立方程303x y x +-=⎧⎨=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩
，即圆心(3,0)C ，
半径r CA ==22(3)2x y -+=.
【答案】22(3)2
x y -+=4.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C
与直线x+y+3=0相切。
则圆C 的方程为
【规范解答】由题意可得圆心（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故
r ==2x+1y 2+=2（）.【答案】2x+1y 2
+=2（）5.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四
个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是
___________【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2，
圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,
问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的
距离小于
1.1,13,1313.
c c <<∴-<<【答案】1313
c -<<6.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x
轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C
所截得的弦长为l 垂直
的直线的方程为 ．
【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)
，则由题意知：
22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求
的直线方程为x+y-3=0.【答案】x+y-3=0
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如
“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂
直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
7.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线
l ：1y x =-
被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为
.
【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r ，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=.【答案】
22(3)4
x y -+=【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.
如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆
相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
8.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的l l 圆的方程为
【思路点拨】第一问直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。
【规范解答】设PQ 的垂直平分线的斜率为k ，则k·
a
b b a ----33=-1，∴k=-1.而且PQ 的中点坐标是(23b a -+ ,23b a +-)，∴L 的方程为：y-23b a +-=-1·(x-23b a -+ )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴对称图形的方程为：x 2+(y-1)2=1.
【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c 的对称点是(b-c,a+c)。