第28章《锐角三角函数》单元培优检测题(含答案)
人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》单元同步检测试题附答案
人教版九年级数学第28章《锐角三角函数》单元同步检测试题完成时间：120分钟满分：150分姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。
每小题给1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3，BC＝6，则AB＝（）第3题图第4题图第5题图第7题图4．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是弧上一点(不与A，6．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是（）为（）第8题图第9题图第10题图9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏11．如图，圆O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝．第11题图第12题图第13题图第14题图12．如图，∠1的正切值等于．13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝35，则tan∠DBE的值是．14．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是km.90分）15．计算：8×sin45°－20170＋2－1；16．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，求sin∠OPA的值．17．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinB＋cosB的值．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数．19．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan 15°的值(结果保留根号).20．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)21．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)22．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？23．乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一，小华想用所学的知识来测量该铁塔高度．如图，小华站在离铁塔底A7米的C处，测得铁塔顶B的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．(精确到0.1米．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)人教版九年级数学第28章《锐角三角函数》单元同步检测试题参考答案姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。
人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷含答案解析
第28章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.010．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．21．计算：tan45°+=；22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．B．用科学计算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B （﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．（1）求BC的长度；（2）若∠ADC=75°，求CD的长．37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM ∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB ⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′，FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈0.6l，cos37°50′≈079，tan37°50′≈0.78）45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B 的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B 在同一直线上，求滑坡的高AB．（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向（所有数据精确到个位，sin48.2°≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．答案一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，∴tanA===，故选：A．【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=c，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣c2，即a2+c2=b2+ac，∴．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴===2，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴=，∴=，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选：C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC =3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．则AB=MN=（50﹣）m．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA•cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH 是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH•tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；【解答】解：延长BC交AD于H．在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，∴DH=0.4，CH=0.3，∴BH=1.3，在Rt△ABH中，cos63°=，∴AB≈2.9（米），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；∵∠2=60°，∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴cos∠BAC=，故③正确；∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×4=，∴AC==，∵CD•AB=AC•BC，∴CD==，即斜边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα==故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，故∠1=∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，于是∠1+∠2=∠3+∠4，即α=β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α=β＞γ．【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα=．【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，∴∠α=45°，则sinα=，故答案为：．【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．【解答】解：如图，∵tanA==，∴设AB=5x，则BC=4x，AC=3x，则有：sinA+cosA=+=+=，故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．21．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47（精确到0.01）．【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，∴=，=，∴+=+，∴∠BOD=90°，==π．∴S阴影=S扇形OBDB．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【分析】根据计算器的使用，可得答案．【解答】解：tan 42≈0.9004，=0.9004，AC≈8.16，故答案为：8.16．【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【解答】解：原式=﹣×+×（）2=﹣+×3=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．【解答】解：（1）原式=×=；（2）3a2﹣6a+3=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试1(含解析)
人教版九下第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（共10小题）1. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是( )A. tan A=13B. cot A=13C. sin A=13D. cos A=132. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )A. CD=AB⋅tan BB. CD=AD⋅cot AC. CD=AC⋅sin BD. CD=BC⋅cos A3. 在Rt△ABC中，sin A的值为12，则cos A的值等于( )A. 12B. 22C. 32D. 34. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为( )A. 13B. 3 C. 1010D. 310105. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是( )A. 2B. 2+3C. 2−3D. 2+236. 在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )A. 2B. 4C. 3D. 237. 如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物 EF ，在建筑物顶端 F 处测得信号塔顶端 D 的仰角为 37∘（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔 CD 的高度约是 ( )（参考数据：sin37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）A. 22.5 米B. 27.5 米C. 32.5 米D. 45.0 米8. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sin α=cos β=35，则梯子顶端上升了 ( )A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米9. 在 Rt △ABC 中，AC =8，BC =6，则 cos A 的值等于 ( )A. 45B. 74C. 45 或 74D. 45 或 27710. 如图，电线杆 CD 的高度为 ℎ，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB =α（A ，D ，B 三点在同一条直线上），则拉线 BC 的长度为 ( )A. ℎsin αB. ℎcos αC. ℎtan αD. ℎ⋅cos α二、填空题（共8小题）11. 如果在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (3,4)，射线 OP 与 x 轴的正半轴所夹的角为 α，那么 α 的余弦值等于 ．+∣tan B−3∣=0，那么△ABC的形状是．12. 若cos A−1213. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=．14. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD:AB的值是．15. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45∘的传送带AB调整为坡度i=1:3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42 m，那么新传送带AC的长是m．16. 如图，某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30∘，∠BCA=90∘,台阶的高BC为2 m，那么m长的地毯恰好能铺好台阶（精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．17. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40∘，∠E=140∘，AB=EF=5，BC=DE=8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC S△DEF（填“>”“=”或“<”）．18. 如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在，则矩形ABCD 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF⋅AD=15，tan∠BNF=52的面积为．三、解答题（共6小题）19. 计算：4sin260∘−2sin30∘−cot45∘．tan60∘−2cos45∘20. 已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(4,0)，B(−2,0)，与y轴交于点C，求∠ACB的正切值．21. 如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；（2）如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCF的值．22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6 m，坡度i=1:3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70∘，点B到旗杆底部C的距离为4 m．（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，结果精确到1 m）（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30∘和60∘（如图所示），试确定生命所在点C的深度（参考数据：2≈1.414，3=1.732，结果精确到0.1）24. 如图所示，一幢楼房AB的后面有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（参考数据：3≈1.73）（1）求楼房的高度约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）过了一会儿，当α=45∘时，小猫（填“能”或“不能”）晒到太阳．答案1. A【解析】∵∠C=90∘，BC=6，AC=2，∴AB=62+22=210．A．tan A=BCAC =26=13，正确；B．cot A=ACBC =62=3，故不正确；C．sin A=BCAB =2210=1010，故不正确；D．cos A=ACAB =6210=31010，故不正确．2. D3. C【解析】∵sin A=12，∴∠A=30∘，∴cos A=cos30∘=32．故选C．4. D【解析】由题意知OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=32+42=5，∴AC=AB=5，∴OC=AC−AO=1，在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=12+32=10，∴sin C=OBBC =310=31010．5. A6. A【解析】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D，×23=3，则BD=AB sin30∘=12故当BC=3，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=23时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．7. B8. C【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；在Rt△DEC中，DC=cosβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2−DC2=100−36=8（米）；∴AE=EC−AC=8−6=2（米）．9. C【解析】存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10．∴cos A=ACAB =810=45，②当AC为斜边时，∠B=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2−BC2=82−62=27，∴cos A=ABAC =278=74．综上所述，cos A的值等于45或74．10. B11. 35【解析】过P作PA⊥x轴于A，∵P(3,4)，∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是OAOP =35．答案为：35．12. 等边三角形【解析】由题意得cos A−12=0，tan B−3=0，∴cos A=12，tan B=3，∴∠A=60∘，∠B=60∘，∴∠C=60∘，∴△ABC的形状是等边三角形．13. 12【解析】设BC=a，则AC=2a．∵正方形ACDE，∴EC=(2a)2+(2a)2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘．同理：CG=2a，∠GCD=12∠BCD=45∘．∴tan∠CEG=CGCE =2a22a=12．14. 2315. 8【解析】作AD⊥直线CB于点D，∵∠ABD=45∘，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=AB sin45∘=42×22=4，∵新传带AC的坡度i=1:3，∴ADDC =4DC=13，则DC=43，∴AC=AD2+DC2=8(m)．16. 5.517. =【解析】如图1，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，∵∠DEF=140∘，∴∠DEH=40∘．∴DH=sin∠DEH⋅DE=8sin40∘，∴S△DEF=12EF⋅DH=20sin40∘．如图2，过点A作AG⊥BC于点G．∵AG=sin B⋅AB=5sin40∘，∴S△ABC=12BC⋅AG=20sin40∘，∴S△DEF=S△ABC．18. 155【解析】由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN．在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF，∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE =52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE =EF =BF 2+BE 2=3k ，∴AB =CD =5k ．由折叠的性质可得 ∠EFD =∠EAD =90∘，∴∠BFE +∠CFD =90∘，又 ∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠CFD =∠BEF ．∴ 在 Rt △CFD 中，tan ∠CFD =CD CF =52， ∴CF =25k ，∴AD =BC =35k ．∵BF ⋅AD =15，∴5k ⋅35k =15，解得 k =1（会去负值），∴AB =5，BC =35，∴矩形ABCD 的面积=AB ⋅BC =5×35=155．19. 原式==3−2=3+2.20. 解法一：根据题意，得 0=16a +4+c,0=4a−2+c.解得 a =−12,c =4.∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．∴ 点 C (0,4)．作 BH ⊥AC ，垂足为点 H ．可求得 AH =BH =32，AC =42．∴CH =2．∴tan ∠ACB =3．【解析】解法二：设二次函数的解析式为 y =a (x−4)(x +2)．展开，得 y =ax 2−2ax−8a ．比较系数，得 −2a =1．a =−12．∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．（下同解法一）．21. （1） ∵△ABC ，△DCE 均为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60∘，∴∠ACD =180∘−∠ACB−∠DCE =60∘，∴∠BAC =∠ACD ，在 △ABF 和 △CAD 中， ∠BAC =∠ACD,∠ABD =∠CAD,AB =AC,∴△ABF ≌△CAD ，∴AD =BF ，∵∠ABD =∠FAD ，∠ADB =∠ADB ，∴△ADF ∽△BDA ，∴AD BD =DF AD ，即 AD 2=DF ⋅DB ，∵AD =BF ，∴BF 2=DF ⋅DB ．（2） ∵∠AFB =∠DFC ，∠BAF =∠DCF ，∴△DCF ∽△ABF ，∴BF DF =AF FC ，∵AF =2FC ，∴BF DF =AF FC =2，∴BF =2FD ，设 S △DCF =x ，∵S △ADF S △DCF =AF FC =2，∴S △ADF =2x ，同理可得，S △ABF =4x ，S △BCF =2x ，∵S 四边形ABCD =18，∴S △DCF +S △ADF +S △ABF +S △BCF =18，即 x +2x +4x +2x =18，解得 x =2，即 S △DCF =2．22. （1） 如图，作 BF ⊥AD 于点 F ，∵i =tan ∠BAF =BF AF =13=33， ∴∠BAF =30∘，即 α=30∘．（2） ∵∠BAF =30∘，AB =6，∴CD=BF=12AB=3．在Rt△BCE中，∵∠EBC=70∘，BC=4，∴EC=BC⋅tan∠EBC=4tan70∘≈11，∴ED=EC+CD=11+3=14(m)．答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14 m．23. 如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD=30∘，∠CBD=60∘，设CD=x米，则BD=xtan60∘，AD=xtan30∘，∵AB=2米，AD=AB+BD，∴AD=2+BD，∴2+xtan60∘=xtan30∘，解得，x≈1.7．即生命所在点C的深度是1.7米．24. （1）当α=60∘时，在Rt△ABE中，∵tan60∘=ABAE =AB10，∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3（米）．即楼房的高度约为17.3米．（2）能【解析】当α=45∘时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45∘时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，如图所示．∵∠BFA=45∘，∴tan45∘=ABAF=1，此时的影长AF=AB≈17.3米，∴CF=AF−AC≈17.3−17.2=0.1（米），∴CH=CF=0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试卷4(含答案)
人教版初3数学9年级下册 第28章（锐角三角函数）单元测试（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，3BC =，4AC =，则sin ∠A =（ ）A.34B.35C.45D.432. sin 45°的值是（ ）C.12D.13.已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，4tan 3A =，8BC =，则AC 等于（ ）A.6B.323C.10D.124.若1cos 2A =，则锐角A =（ ）A.30°B.45°C.60°D.75°5.已知△ABC 中，∠C =90°，4tan 3B =，则cos A =（ ）A.45B.35C.43D.346.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A.不变B.缩小为原来的13C.扩大为原来的3倍D.不能确定7.一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）A.5 sin 31°米B.5 cos 310米C.5 tan 31°米D.5米第7题第8题第10题8.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（ ）A.34B.43C.35D.459.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =AC =.则∠A =（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠BAC=120°，那么底边上的高AD=（）A.cmB.6cmC.D.二、填空题（每题4分，共28分）11.计算2sin30tan45︒-︒=____________.12.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则sin A=_________.13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，则AB=_________.第13题第15题14.已知斜坡的坡角30α=︒，则坡度为________.15.如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角30α=︒，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为_________.16.某人沿坡度为i=1的山路行了200m，则该人升高了_________米.第16题第17题17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，2AC=，则sin B=________.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，6BC=，3sin5A=.求AC的长.19.在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，解这个直角三角形.20.如图，小王在操场上放风筝.已知风筝线AB 长200米，风筝线与水平线的夹角30α︒=，小王拿风筝线的手离地面的高度AD 为1.5米，求风筝离地面的高度BE .四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，5BO =，sin ∠BOA =35.求：（1）点B 的坐标；（2）cos ∠BAO 的值.22.一只小鸟从石榴树上的A 处沿直线飞到对面一房屋的顶部C 处，从A 处看房屋顶部C 处的仰角为30°，看房屋底部D 处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为求出小鸟飞行的距离AC 和房屋的高度CD .23.梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中i =1：是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE的比），∠B=60°，12AB=，6AD=，求BC的长.五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.某学校体育场看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底分别为D，C），且∠DAB=66.5°.（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度t（即AD AB BC++，结果精确到0.1米）.（参考数据：sin66.50.92︒≈，cos66.50.40︒≈，tan66.5 2.30︒≈）25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作OC，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当43ABBC=时，求tan E的值.单元测试（8）——锐角三角函数一、1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.D 10.B二、11.0 12. 3513.415. 2400米16. 100 17.23三、18.解：6103sin45BCAB===，∴AC==8=19.解：在△ABC中∵∠C=90°，AB=，BC=∴sin A==∴∠A=45°，∴9045B A∠=︒-∠=︒∴∠A=∠B=45°，∴43AC BC==20.解：sin200sin30BC ABα=⋅=⨯12001002=⨯=（米）∴BE BC CE BC AD=+=+= 100 + 1.5 = 101.5（米）四、21.解：（1）过B作BC⊥OA于C在Rt△OBC中，∵3sin5BOA∠=，∴35BCOB=，∴355BC=，∴3BC=，∴4OC==∴点B坐标为（4，3）（2）在Rt△ABC中，1046 AC OA OC=-=-=∴AB==∴cos BAO∠==22.解：在Rt △ABC中，AB =，∠BAC =30°，∴tan 303BC AB =⋅==（米）6cos30AB AC ︒===（米）在Rt △ABD 中，∠DBA =90°，∠BAD =45°∴904545BDA ∠=︒-︒=︒∴∠BAD =∠BDA∴BD AB ==（米）∴3CD BC BD =+=+（米）23.解：过A 作AF ⊥BC 于F ，又∵DE ⊥BC ，AD //BC ，∴四边形EFAD 是矩形.∴EF =AD =6，DE =AF ，1cos601262BF AB =⋅=⨯=，sin 6012AF AB =⋅==，18EC DE ===∴BC BF EF EC=++661830=++=（米）五、24.解：（1）31.6 1.24DH =⨯=（米）；（2）过B 作BM ⊥AH 于M ，则四边形BCHM 是矩形.∴1MH BC ==∴1 1.21 1.2AM AH MH =-=+-=.在Rt △AMB 中，∠A =66.5°，∴ 1.23.0cos66.50.40AM AB =≈=︒（米）.∴1 3.01 5.0l AD AB BC =++≈++=（米）.答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米，所用不锈钢材料的总长度约为5.0米.25.（1）证明：∵∠ABC =90°，∴90ABD DBC ∠=︒-∠，由题意知：DE是直径，∴∠DBE =90°，∴90E BDE ∠=︒-∠，∵BC =CD ，∴∠DBC =∠BDE ，∴∠ABD =∠E ，∴∠A =∠A ，∴△ABD ∽△AEB ；（2）解：∵AB ：BC =4：3，∴设AB =4k ，BC =3k （k >0），∴5AC k ==，∵BC =CD =3k ，∴532AD AC CD k k k =-=-=，由（1）可知，△ABD ∽△AEB ，∴AB AD BDAE AB BE==∴2AB AD AE =⋅，∴2(4)2k k AE =⋅，∴8AE k =，在Rt △DBE 中，41tan 82BD AB k E BE AE k ====.。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元检测卷含答案
人教版数学九年级下册二十八章锐角三角函数单元检测卷一、选择题1.如图K －16－2，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则sin ∠AOB 的值是( D )图K －16－2A.32B.23C.21313D.313132.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ·tanB 的值一定( D ) A ．小于1 B ．不小于1 C ．大于1 D ．等于13.在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosA －12＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( D ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°6.2017·温州如图K －20－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( A )图K－20－2A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米7．如图K－21－3，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，点E，B，A在一条直线上，则信号塔CD的高度为( C )图K－21－3A．20 3米 B．(20 3－8)米C．(20 3－28)米 D．(20 3－20)米8.2017·重庆B卷如图K－22－2，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C 与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( A )图K－22－2A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米9．如图K－17－6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE ⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( A )图K －17－6A.13B.2－1 C ．2－ 3 D.1410.如图K －17－4是教学用的直角三角板，边AC 的长为30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C ) 图K －17－4A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm 二、填空题11．如图K －16－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则sinB ＝________．图K －16－5[答案] 2312.如图K －16－8，在▱ABCD 中，连接BD ，已知AD ⊥BD ，AB ＝4，sinA ＝34，则▱ABCD 的面积是________．图K－16－8[答案] 3 714.如图K－17－8，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．图K－17－8[答案] 2 215.2017·烟台在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝________．[答案] 1 216.2017·大连如图K－22－6，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．此时，B处与灯塔P的距离为________n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)图K－22－6[答案] 102三、解答题17.如图K－16－11，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AB∶BC＝4∶5.求sin∠DCF的值．图K－16－11解：∵AB∶BC＝4∶5，∴设AB＝4x，则BC＝5x.由题意，得FC＝BC＝5x，DC＝AB＝4x.由勾股定理，得DF＝3x.在Rt△CDF中，∠D＝90°，DF＝3x，FC＝5x，∴sin∠DCF＝DFFC＝35.18.如图K－17－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD ＝1，记∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．图K－17－11解： (1)∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝AC2＋CD2＝5，∴sinα＝CDAD＝55，cosα＝ACAD＝2 55，tanα＝12.(2)∵∠B＝α，∴tanB＝tanα＝1 2 .∵tanB＝AC BC ，∴BC＝ACtanB＝212＝4.∵CD＝1，∴BD＝BC－CD＝3.19．如图K－18－5，河的两岸l1与l2互相平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．图K－18－5解：如图，过点D作l1的垂线，垂足为F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20 m.在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×12＝10(m)．∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°，∴AC∥DF.由l1∥l2，可知CD∥AF，∴四边形ACDF为矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30 m.答：C，D两点间的距离为30 m.20.如图K－19－11，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．图K－19－11解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示．在Rt△ADC中，AC＝4.∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝2 3.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2 3.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示．∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋2 3＝12＋3≈12＋1.7≈0.3.21.2017·安徽如图K－20－11，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)图K－20－11解：在Rt△ABC中，∵cosα＝BC AB ，∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)；在Rt△BDF中，∵sinβ＝DF BD ，∴DF＝BD·sinβ＝600×22＝300 2≈300×1.41＝423(m)．又EF＝BC，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．22.如图K－21－8，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求无人机在A′处看目标D的俯角的正切值．图K－21－8解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60 m，∴在Rt△ABC中，AB＝ACcos∠BAC＝60cos60°＝120(m)．即A，B之间的距离为120 m.(2)如图，过点D作DE⊥AA′于点E，连接A′D.∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60 m，∴在Rt△ADC中，CD＝AC·tan∠DAC＝60×tan30°＝20 3(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，∴四边形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60 m，EA＝CD＝20 3 m，∴在Rt△A′ED中，tan∠EA′D＝EDEA′＝EDEA＋AA′＝6020 3＋30 3＝2 3 5.即无人机在A′处看目标D的俯角的正切值为2 3 5.23.2017·河南如图K－22－10所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A 船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/时，B船的航速为25海里/时，则C 船至少要等待多长时间才能得到救援？(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，2≈1.41)图K －22－10解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设BD ＝x. 在Rt △ACD 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴AD ＝DC ＝x ＋5. 在Rt △BDC 中， 由tan53°＝DC BD ，得x ＋5x ＝43， ∴x ＝15，则BC ＝152＋202＝25， AC ＝202＋202＝20 2， ∴A 到C 所用时间为20 230≈0.94(时)； B 到C 所用时间为2525＝1(时)．∵0.94＜1，∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．11/ 11。
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案一、选择题（共10题；共30分）1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A. B. C. D.3.如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形4.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A. B. 2 C. D.5.cos30°=（）A. B. C. D.6.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 160°7.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A. c=4B. c=5C. c=6D. c=79.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的影子CD的长为1米，阳光线与地面的夹角∠ACD = 60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（共8题；共24分）11.根据图示填空：（1）sinB=CD/（________ ）=（________ ）/AB（2）cos∠ACD=CD/（________ ）12.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=________13.①代数式3x2﹣3x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为________②比较大小：tan62°﹣cot61°________ 1（可用计算器）．14.若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________ .15.2cos30°=________16.计算：tan45°﹣2cos60°=________．17.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________．18.已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）三、解答题（共6题；共36分）19.求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．20.如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）21.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）．22.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）23.如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．24.如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？四、综合题（共10分）25.在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.B5.C6. C7.A8.C9.B 10.A二、填空题11.（1）BC；AC（2）AC 12.13. 7；＞14. 15.16.0 17.18.87°25′56″三、解答题19.解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．20.解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.21.解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA=∠EBA=90°，∵∠E=30°，∴AB=AE=8米，∵BC=1.2米，∴AC=AB﹣BC=6.8米，∵∠DCA=90°﹣∠A=30°，∴CD=AC×cos∠DCA=6.8× ≈5.9米．答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．22.解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．i=，∵BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.15≈9.2（米）．答：CA的长约是9.2米．23.解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．24.解：过P作PD⊥AB．AB=18× =12海里．∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里．在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12× =6 海里．∵6 ＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．四、综合题25.（1）解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC= = =100，∵OC= ×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里（2）解：作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB= BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM= AB=15，AM= BM=15 ，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 海里（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH= x，∵BM=15，∴15= x+2x，x=30﹣15 ，∴AN=30 ﹣30，BN= =15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤ ，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．。
九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》单元检测试卷及答案(共八套)
九年级下册《第二十八章锐角三角函数》章节测试卷（一）（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A．12 B．2CD2.已知α为锐角，sin（α﹣20°），则α=（）A．20° B．40° C．60° D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）ABC．12D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则cosA的值为（）AB．23C．34D7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）ABCD8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A ．3米B ．C ．D ．9.坡度等于1） A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）A ．47mB ．51mC ．53mD ．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.求值：sin60°﹣tan30°= ．12.如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=10，则∠A= 度．13.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则cos ∠AOB 的值是 ．A CBA14.△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S △ABC = ． 15.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高） ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________． 三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=45，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．BCBA C20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB 长为AC 的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为45°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌底部C 的仰角为30°．已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD 的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 观测站在B 观测站的正东方向，有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°方向，D从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）答案解析一、选择题1. 【答案．故选C ． 2.【答案】∵α为锐角，sin （α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D ．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D ．4.【答案】A 、∵sinB=b c，∴b=c•sinB，故选项错误； B 、∵cosB=a c，∴a=c•cosB，故选项错误； C 、∵tanB=b a ，∴a=btan B，故选项错误； D 、∵tanB=b a ，∴b=a•tanB，故选项正确． 故选D ．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1， ∴两三角形相似， ∴∠A 的三角函数值不变， 故选A ．6. 【答案】如图，∵tanA=13，∴设BC=x ，则AC=3x ，∴，∴． 故选D ．7. 【答案】延长BA 过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，A∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5， ∴sinB=CD BC=故选：B ．8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O ． ∴BO DO AB CD =．∴AB=BO CDDO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°． 在Rt △BDO 中，tan60°=BODO． ∵CD=6．∴AB=BODO×故选B ．9.【答案】坡角α，则α=30°．故选A ． 10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ， ∴∠ADB=∠DBC ﹣∠A=30°， ∴∠ADB=∠A=30°， ∴BD=AB=60m ，51（m ）． 故选B ．DA二、填空题 11.【答案】原式． 12.【答案】∵∠C=90°，AB=10， ∴cosA=AC AB，∴∠A=30°， 故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos ∠AOB=32． 故答案为：32．14.【答案】在Rt △ABC 中， ∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，S △ABC =12AC•BC=16 15. 【答案】由题意得：AD=6m ， 在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m ∴， 所以树的高度为（）m ． 16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．B在直角△OAC 中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，OC=7因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sinα=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tanα=43．18.【解答】sinA=BC AB =12． 19.【解答】作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC•cosA=2在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴，∴aCD20.【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sinα=BEAB ，∴AB=oBEsin36=240.60=40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==DFAD，∴AD=oDFcos36=48600.80=mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22.【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：，∴在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣﹣15=（5）m．答：宣传牌CD高约（5）米．23.【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴PA=6千米．∴；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12AB=千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴PC=AF+CF﹣故小船沿途考察的时间为：（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME ，则x22x255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt △AME 中，cos22°=ME AE ．∴AE=oME cos 22， 即A 、E 之间的距离约为48m九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（二）一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)1．将Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A，∠A ′的余弦值的关系为( )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( )A.13B.12C.22D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝15，则tanA 等于( ) A ．2 6 B.62 C.265D ．24 4．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶3，则顶角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan ∠BFE 的值是( )A.12 B ．2 C.33D. 3 6．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．30°或45°D ．45°或60°7．如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF∶BC＝1∶2，连接DF ，EC.若AB ＝5，AD ＝8，sinB ＝45，则DF 的长等于( )A.10B.15C.17 D ．2 58．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tanB 等于( )A ．2 3B ．2 2 C.114 D.554二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)9．计算：tan 45°－2cos 60°＝________．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝________． 11．如图，一束光线照在坡度1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝________．13．如图，小明从A 地沿北偏东60°方向走2千米到B 地，再从B 地向正南方向走3千米到C 地，此时小明距离A 地________千米．(结果保留根号)14．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为________．(结果保留根号)三、解答题(共9个小题，共70分)15．(5分)计算：20160－|－2|＋(13)－1＋2sin 45°.16．(6分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，sin B ＝45，求AB 边上的高CD.17．(6分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45°，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝3∶3，若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)18．(7分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图，已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米．EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)19．(7分)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝2，cos∠AEF＝45，求BE的长．20．(8分)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C 两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)21．(9分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B 两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．(1) 求∠ABC的度数；(2) A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.求证：(1) tan A＝sin A cos A；(2) sin2A＋cos2A＝1；(3) tan A·sin Atan A－sin A＝tan A＋sin Atan A·sin A.23．(12分)如图，在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD.(1) 求证：DF是⊙O的切线；(2) 求FG的长；(3) 求tan∠FGD的值．参考答案：一、1---8 AAAAD CCB二、9. 010. 911. 3012. 15413. 7 14. 12 3三、15. 解：原式＝1－2＋3＋2×22＝4 16. 解：在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin B ＝4，∵∠ACD ＝∠B(同角的余角相等)，∴AD ＝AC·sin ∠ACD ＝165，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝12517. 解：∵BC＝10，∠CAB ＝45°，∠CBA＝90°，∴AB ＝10，∵tan ∠CDB ＝BC BD ＝33，∴BD ＝3BC 3＝3×10＝17.32(米)，∴DA ＝DB －AB ＝17.32－10＝7.32(米)，∵7.32＋3＝10.32＞10，∴离原坡角10米的建筑物需要拆除18. 解：设DF ＝x ，在Rt △DFC 中，∠CDF ＝45°·∴CF ＝tan 45°，DF ＝x ，又∵CB＝4，∴BF ＝4－x ，∵AB ＝6，DE ＝1，BM ＝DF ＝x ，∴AN ＝5－x ，EN ＝DM ＝BF ＝4－x ，在Rt △ANE 中，∠EAB ＝31°，EN ＝4－x ，AN ＝5－x ，tan 31°＝EN AN ＝4－x 5－x＝0.60，解得x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 为2.5米19. 解：∵AE⊥BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠AEB ＝∠AFE＝90°，∴∠B ＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90°，∴∠B ＝∠AEF.设BE ＝4a ，∵cos ∠B ＝cos ∠AEF ＝BE AB，AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝5a ，CE ＝BC －BE ＝a.又∵CE＝2，∴a ＝2，∴BE ＝8 20. 解：过点D 作DF⊥AB 于点F ，过点C 作CH⊥DF 于点H.则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在直角△ADF 中，∵AF ＝80 m －10 m ＝70 m ，∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m ．在直角△CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°，∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )，∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m21. 解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA ＋∠BAE＝180°，∴∠DBA ＝108°，∠CBA ＝108°－78°＝30°，∠C ＝180°－30°－72°－33°＝45°(2)过点A 作AF⊥BC 于点F ，AF AB ＝sin ∠CBA ＝12，∴AF ＝12AB ＝12，在Rt △CFA 中，FA CA ＝sin C ＝22，∴CA ＝2AF ，∴AC ＝122，设A 船经过t 小时到出事地点，则30t ＝122，t ＝12230≈0.57(小时)，所以A 船经过0.57小时能到出事地点 22. 证明：(1)由三角函数可得tan A ＝a b ，sin A ＝a c ，cos A ＝b c .等式左边＝tan A ＝a b ，等式右边＝ac b c＝a b ，左边＝右边，∴tan A ＝sin A cos A(2)sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2，∵△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝c 2c 2＝1 (3)由(2)得sin 2A ＋cos 2A ＝1，由(1)得tan A ·cos A ＝sin A ，∴sin 2A ＝(1＋cos A)(1－cos A)，∴sin A 1－cos A ＝1＋cos A sin A ，等式两边分子、分母均乘以tan A ，得tan A ·sin A tan A －sin A＝tan A ＋sin A tan A ·sin A23. 解：(1)证明：连接OD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C ＝∠A＝∠B＝60°，而OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠C，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线(2)∵OD∥AC，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6，在Rt△CDF 中，∠C ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝3，∴AF ＝AC －CF ＝12－3＝9，在Rt △AFG 中，∵∠A ＝60°，∴FG ＝AF·sin A ＝9×32＝932(3)过D 作DH⊥AB 于H ，∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ，∴FG ∥DH ，∴∠FGD ＝∠GDH.在Rt△BDH 中，∠B ＝60°，∴∠BDH ＝30°，∴BH ＝12BD ＝3，DH ＝3BH ＝33，在Rt △AFG 中，∵∠AFG ＝30°，∴AG ＝12AF ＝92，∵GH ＝AB －AG －BH ＝12－92－3＝92，∴tan ∠GDH ＝GH DH ＝9233＝32，∴tan ∠FGD ＝tan ∠GDH ＝32九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（三）一、选择题（每小题4分，共32分）1、cos60°的值等于（ ）。
人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．已知a＝sin25°，b＝tan46°，c＝cot17°，m＝cos20°，则a、b、c、m的大小关系（）A．a＜b＜c＜m B．b＜m＜c＜a C．a＜m＜b＜c D．m＜a＜b＜c 2．下列等式中正确的是（）A．cos2α+sin2α＝1 B．cos30°+cos45°＝cos75°C．tan30°﹣tan60°＝D．2cot22°30′＝cot45°＝13．sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（）A．0 B．1 C．2 D．2sin2θ4．的值为（）A．﹣1B．C．﹣D．1﹣5．四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.88516．正六边形的两条互相平行的对边相距12cm，这个正六边形的边长为（）A．7.5cm B．cm C．cm D．cm7．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1：，背水坡为1：1，那么两个坡的坡角和为（）A．90°B．75°C．60°D．105°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，c＝13，则cos A的值为（）A．B．C．D．以上都不对9．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线长分别为60m、50m、40m，线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定10．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置﹣高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°，又知建筑物共有六层，每层层高为3米，则避雷针AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据≈1.41，≈1.73）为（）A．2.76米B．2.8米C．4.26米D．4.3米二．填空题11．△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，a＝4.2，则b≈，c≈（保留2个有效数字）．12．已知α为锐角，若cosα＝，则sinα＝，tan（90°﹣α）＝．13．斜坡AB＝50m，水平距离40m，则垂直距离m，坡度是．14．如图，一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为60°，则此时梯子顶端到地面的距离为米．15．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠A＝45°，则∠B＝．16．若sin47°＝cosα，则锐角α＝．17．5sin2（90°﹣α）+5sin2α＝．18．已知45°＜α＜90°，用“＞”或“＜”符号填空：sinαcosα；tanαcotα；sinαtanα．19．如图所示，在数学活动课上，老师带学生去测河宽，某学生在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30m的B处测得∠CBD＝30°，则河宽CD是m．（答案保留根号）20．如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试题 (含答案)
初中数学人教版九年级锐角三角函数单元测试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若AC=3，BC=2，则tan A的值是()A.12B.23C.52D.2552. 已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=12，AC=23，那么BC的值为（ )A.2B.4C.43D.63. 海中有一个小岛P，该岛四周12海里范围内（含12海里）是一个暗礁区．今有货轮由西向东航行，开始在A点观测P在北偏东60∘．若行驶10海里后到达B点观测P在北偏东α(0<α<90∘)处，若货船不改变航向，则当tanα为何值时，货轮会有触礁的危险，则根据以上数据可计算得tanα的值为（）A.tanα=63−56B.tanα≥63−56C.0<tanα≤63−56D.56<tanα<34. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( )A.北纬34∘03′B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′5. 如图，①以点A为圆心，5cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM，AN于点B，D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC，CD，AC．若tan∠BAC=12，点C到射线AN的距离是( )A.3B.4C.5D.256. 如图，小明从点A沿坡度i=1:2的斜坡走到点B，若AB=10米，则上升高度是（）米．A.5B.2C.25D.237. 如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15∘到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长度是( )A.3mB.33mC.23mD.4m8. 你认为tan15∘的值可能是（）A.36B.2+3 C.2−3 D.329. 如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135∘，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度ℎ是（）A.mB.5mC.mD.10m10. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=5，AC=2，则sin B的值是（）A.35B.25C.23D.32．11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，下列式子正确的是( )A.sin A=BDBC B.cos A=ACADC.AC2=AD⋅BDD.tan A=CDAB12. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值是( )A.12B.22C.2D.2213. 如果某飞机的飞行高度为m千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为α，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是（）A.m⋅tanαB.mcosαC.msinαD.m⋅cotα14. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=115. 中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1:2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76∘（雕像的高度忽略不计），远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27∘．已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）（参考数据：tan76∘≈4.0，tan27∘≈0.5，sin 76∘≈0.97，sin 27∘≈0.45．A.262B.212C.244D.27616. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为a ．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5∘，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为( )A.a sin 26.5∘B.atan 26.5C.a cos 26.5∘D.acos 26.517. 已知，菱形的一个内角为60∘，边长为2，用六个这样完全一样的菱形拼成如图所示的图形，则tan ∠ABC 的值是( )A.12 B.33C.233D.3218. 如图是一张简易活动餐桌，现测得OA ＝OB ＝40cm ，OC ＝OD ＝60cm ，现要求桌面离地面的高度为50cm ，那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为（ ）A.150∘B.135∘C.120∘D.100∘19. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70∘方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A.北偏东20∘方向上B.北偏西20∘方向上C.北偏西30∘方向上D.北偏西40∘方向上20. 轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48∘,那么从A同时观测轮船在C处的方向是()A.南偏东48∘B.东偏北48∘C.东偏南48∘D.南偏东42∘21. 若tanα⋅tan36∘=1，则α=________度．22. 若1−tanα=0，则锐角α=________度．23. 已知∠α=36∘，若∠β是∠α的余角，则∠β=________度，sinβ=________．（结果保留四个有效数字）24. 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2, −4)，B(0, −4)，C(1, −1).(1)请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；(2)请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D，写出点D的坐标；(3)若另有一点P(−3, −3)，连接PC，则tan∠BCP=________．25. 如图，某学校灯光球场的大功率照明灯发出的光线与灯杆成30∘角，照射在地面上的大距离为AB=60m，现在准备调整它的照明角度，使它发出的光线与灯杆AC成45∘角，请你通过计算回答：调整后，这个大功率照明灯是否影响距离灯杆100m的D处的居民休息？（参考数据：3≈1.73）26. 2019年10月1日李明和他的爸爸、妈妈一同驾车到云南石林风景区旅游．如图，他利用自己带的测角仪站在一处高大的石林AB的前方C点处测得∠ACB=60∘，再沿BC方向走20m到达D处，测得∠ADC=30∘．(1)求点C到AD的距离；(2)求出石林AB的高度．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）27. 已知以直线x=1为对称轴的抛物线y1与x轴交于点A1(d,0)和A2，顶点为B1，以直线x=2为对称轴的抛物线y2与x轴交于点A2和A3，顶点为B2,…，以直线x=n为对称轴的抛物线y n与x轴交于点A n和A n+1，顶点为B n，我们把这样的抛物线y1, y2 ,…,y n对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数.(1)当0<d<1时，①填空：A1A2=_______，A2A3=_______，A3A4=________；（用含d的代数式表示）②若d=0.4，“整对称轴”二次函数y1,y2,…,y n的图象的顶点B1,B2,…,B n都在直线y=15 x上，当n的值为多少时，△A n A n+1B n是直角三角形？(2)当0<d<1时，已知“整对称轴”二次函数y1,y2,…，y n的图象的开口方向都向下，且△A1A2B1,△A2A3B2，⋯,△A n A n+1B n均为直角三角形.①请求出“整对称轴”二次函数y1,y2的解析式，并猜想出y2019的解析式（可以含d)；②请通过画草图分析直线y=1与抛物线y1,y2,…，y2019的公共点个数.228. 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC=60∘，AB=10，求线段CF的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 20 小题，每题 3 分，共计60分）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】C14.【答案】D15.【答案】B16.【答案】B17.【答案】D18.【答案】C19.【答案】B20.【答案】A二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）21.【答案】5422.【答案】4523.【答案】54,0.8090三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）24.【答案】解：(1)作出点B1，C1连接即可；(2)因为直线CD 将△ABC 分成面积相等的两部分，且与线段AB 相交于点D ，故点D 为线段AB 的中点，画出直线CD ，可知点D 坐标为(−1, −4)；125.【答案】解：在直角△ABC 中，∠C =30∘，AB =60，tan ∠ACB =ABAC ，∴ AC =AB tan ∠ACB=603，在直角△ACD 中，∠ACD =45∘，AC =603，AD =AC =603≈103.8(m )，∴ 照明灯会影响距离灯杆100m 的D 处的居民休息．26.【答案】解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，在Rt △CDE 中，CD =20m ，∠ADC =30∘，所以CE =12CD =12×20=10(m )即点C 到AD 的距离是10m .(2)∵ ∠ACB =60∘，∠ADC =30∘，∴ ∠CAD =30∘，∴ ∠CAD =∠ADC ，∴ AC =DC =20，在Rt △ABC 中，AB =AC sin 60∘=20×sin 60∘=20×32=103≈17(m).∴ 石林AB 的高度约为17m .27.【答案】解：(1)① 2−2d ；2d ； 2−2d ；②∵ 顶点 B 1,B 2,⋯B n 都在直线 y =15x 上，∴ 当x =n 时， y =15n ，由(1)可知，当n 为奇数时， A n A n +1=2−2d ，当n 为偶数时， A n A n +1=2d ，∴ 当d =0.4 时，只要 15n =12A n A n +1=12(2−2d)=0.6，或15n =12A n A n +1=12×2d =0.4时，△A n A n +1B n 是直角三角形，解得n =3或n =2.(2)①∵ △A 1A 2B 1 是直角三角形， A 1A 2=2−2d ，∴ y 1 的顶点 B 1 的坐标为 (1,1−d)，设y 1 的解析式为 y 1=a 1(x−1)2+1−d ，∵ y 1 过点 A 1(d,0) ，将A 1 的坐标代入得 a 1=1d−1，∴ y 1 的解析式为 y 1=1d−1(x−1)2+1−d ，同理，∵ △A 2A 3B 2 是直角三角形， A 2A 3=2d ，∴ y 2 的顶点 B 2 的坐标为 (2,d)，设y 2 的解析式为 y 2=a 2(x−2)2+d ，∵ y 2 过点 A 2(2−d,0)，将A 2的坐标代入得 a 2=−1d ，∴ y 2 的解析式为 y 2=−1d (x−2)2+d .猜想 y 2019 的解析式为 y 2019=1d−1(x−2019)2+1−d.②通过以上探究，画出草图，可知：当0<d <12 时，直线 y =12 与y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2020个；当d =12 时，直线 y =12 与y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2019个； 当12<d <1 时，直线 y =12与 y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2018个 .28.【答案】(1)证明：如图，连接OC ，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵OA=OC, PA=PC, OP=OP,∴△OAP≅△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90∘，∴∠OCP=90∘，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.(2)解：∵OB=OC，∠OBC=60∘，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60∘，∵AB=10，∴OC=5，由(1)可知，∠OCF=90∘，∴CF=OC⋅tan∠COB=53．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试卷1(含答案)
第28章 《锐角三角函数》测试卷全卷满分：150分；考试时间：100分钟；姓名班级 学号一、单选题（每小题4分，共40分）1．如图，在Rt ABC 中，3,2,90==∠︒=AB AC C ，则sin B 的值为（ ）A ．13B ．23CD2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，那么∠B 的余弦值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则tan A 的值为（）A ．34B ．43C ．35D ．454．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝45，则sin A 的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．435．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡度是1：2，坡面AB=）A ．3B．C ．6D．6．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C 处测得树的顶端A 仰角为37°，同时测得BC ＝13米，则树的高AB （单位：米）为（ ）A ．13sin 37︒B ．13tan 37︒C ．13tan37°D ．13sin37°7．如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连结CD ．若3AD =，2AC =，则cos B 的值为（ ）ABCD ．238．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB 为1.55米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地而的距离为（已知sin 350.6︒≈，cos 350.8︒≈，tan 350.7︒≈，sin 650.9︒≈，cos 650.4︒≈，ta n 65 2.1︒≈）（ ）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2ky x=在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若11,tan 3OBC S BOC =∠= ，则2k 的值是（ ）A ．32B ．52C ．2D ．310．如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B ∠=︒．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点第5题第6题第7题G 处，折痕为EF ．若45BFE ∠=︒，则BF 的长为（ ）A ．5B．C．D二、填空题（每小题4分，共32分）11．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，若∠A =45°，则sin A =______，cos A =______，sin B =______，cos B =______．12．若2sinA ﹣1=0，则锐角∠A=_______．13．如图，已知角α的终边经过点P （4，3），则cosα＝_____．14．如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝1（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB 的高为_____米．15．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．16．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45︒，已知乙楼的高CD 是50m ，则甲楼的高AB 是___________m .（结果保留根号）17．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB 、BC 两部分组成，AB 、BC 的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A 点滑到了C 点，若AB 与水平面的夹角α为20°，BC 与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为___________米（精确到1，sin 20o =0.3420，tan 20o =0.3640，cos 20o =0.9400）．第8题第9题第10题18．如图，在ABC 中，5AB =，4AC =，4sin 5A =，BD AC ⊥交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则35PC PB +的最小值为________．三、解答题（共78分）19．（10分）计算：（1sin45°；（2）6tan 230°﹣2sin 45°．20．（10分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin B =35．求BC 的长及∠A 的正切值．21．（10分）港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C 到桥塔的距离（CD 的长）约为100米，又在C 点测得A 点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A 点到海平面B 点的距离（AB 的长）．，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）22．（12分）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C 、D 为监测点，已知点C 、D 、B 在同一直线上，且AC ⊥BC ，CD ＝400米，tan ∠ADC ＝2，∠ABC ＝35°（1）求道路AB 段的长（结果精确到1米）（2）如果道路AB 的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB 段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由；参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.700223．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ，（1）求证：CB ∥PD ；（2）若BC=3，sin ∠P=，求⊙O 的直径．24．（12分）阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt ABC 中，90,1,ACB AB A α∠=︒=∠=，求sin 2α（用含sin α,cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则2COB α∠=，然后利用锐角三角函数在Rt ABC 中表示出,AC BC ，在Rt ACD △中表示出CD ，则可以求出sin sin cos sin 22sin cos 1122CD AC OCαααααα⋅⋅====⋅．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt ABC 中，90,1C AB ∠=︒=．（1）如图3，若13BC =，则sin α=__，sin 2α=_____；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan 2α的表达式（用含sin ,cos αα的式子表示）．25．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC= ，∠C =30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC于点F ，连接DE 、EF ．（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形?请说明理由．参考答案一、选择题1．B解： 3,2,90==∠︒=AB AC C ，∴ 2sin ,3AC B AB ==故选：.B 2．B解：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，∴AB ，∴sin ∠B =45AC AB =，故选B ．3．B解：在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴tan A =BC AC=43．故选：B ．4．A解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝AC AB =45，设AC=4x ，则AB =5x ，∴3BC x ===，∴sin A =3355BC x AB x ==，故选：A ．5．C解：∵迎水坡AB 的坡度是1：2， 即1tan 2BC A AC ==，∴2AC BC=又∵在Rt ABC 中，222BC AC AB +=， AB =∴()(2222BC BC +=解之得：6BC =（取正值），故选：C ．6．C解：如图，在直角△ABC 中，∠B =90°，∠C =37°，BC =13米，∴tan C =A BB C，∴AB =BC •tan C =13tan37°．故选C ．7．B解：∵AD 是⊙O 的直径∴∠ACD =90°∴由勾股定理得：CD ===∵∠B =∠D∴cos cos CD B D AD ===故选：B ．8．C解：过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，设DF ＝x ，则BF ＝3＋x ，∵tan65°＝OFDF，∴OF ＝x tan65°≈2.1x ，∵tan35°＝OF BF，∴OF ＝（3＋x ）tan35°≈0.7（3+x ），∴2.1x ＝0.7（3＋x ），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15＋1.55=4.7米，故选：C ．9．D解：∵直线y =k 1x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为（0，2），∴OC =2，过B 作BD ⊥y 轴于D ，∵S △OBC =1，∴BD =1，∵tan ∠BOC =13，∴13BD OD =，∴OD =3，∴点B 的坐标为（1，3），∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ，∴k 2=1×3=3．故选：D ．10．C解：过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，45BFE ∠=︒ ，90BFG ∴∠=︒ ，在Rt ABH 中，10AB =，60B ∠=︒，sin sin 601010AH B AB =⨯=︒⨯=，//AD BC ，90GAH AHB ∴∠=∠=︒ ，90GAH AHB BFG ∴∠=∠=∠=︒ ，∴ 四边形AHFG 是矩形，FG AH ∴== ，BF GF ∴==．故选：C ．二、填空题11．45°解：∵在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，45A ∠=︒∴904545B ∠=-=∴sin sin 45A == cos cos 45A == ，sin sin 45B == ，cos cos 45B ==故答案为：45 12．30°．解：∵2sinA ﹣1=0，∴2sinA=1，则sinA=12，则锐角∠A=30°．故答案为：30°．13．45解：如图，过P 作PG x ⊥轴于,G()4,3,P4,3,OG PG ∴==5,OP ∴==4cos .5OG OP α∴== 故答案为：4.514．（．解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EFCFtan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝米，∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC +CF ＝（（米），在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝（（米），∴AB ＝AH +HB ＝（（米）．答：楼房AB 的高为（故答案为：（．15．解：∵大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米，∴1212BC BC AC ==，∴BC=6，∴AB ===故答案为：16．解：在Rt △ACD 中，∵∠CAD=30°，CD=50，∴50tan 30CD AD ===，在Rt △ABD 中，∵∠BDA=45°，∴AB AD ==m ），故答案为17．210解：过点A 作AE ⊥BD 于E ，过点B 作BG ⊥CF 于点G ，在Rt △ABE 中，∵sinα=AE AB∴AE=AB sinα=200×sin20°≈68在Rt △BCG 中，∵sinβ=BG BC∴BG=BC sinβ=200×sin45°≈142∴他下降的高度为：AE+BG=68+142=210故答案为210．18．165解：过点P 作PH ⊥AB 于点H ，如图所示：∵5AB =，4sin 5A =，BD AC ⊥，∴sin 4BD AB A =⋅=，∴3AD ==，∴sin 53ABD ∠=，∴3sin 5PH PB ABD PB =⋅∠=，∴35PC PB PC PH +=+，若使35PC PB +的值为最小，也就相当于PC PH +为最小，∴当点C 、P 、H 三点共线时，PC PH +的值为最小，如图所示：∵4AC =，∴416sin 455CH AC A =⋅=⨯=，∴35PC PB +的最小值为165；故答案为165．三、解答题19．（1）52；（2）12解：（1＝52；（2）原式＝6×13＝1220．BC ＝8，∠A 的正切值为43．解：在Rt ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，3sin 5AC B AB ==，∴sin 6AC AB B =⋅=∴8BC ===∴84tan 63BC A AC ===21．93.7米解：在Rt △ADC 中，∵30AD tan CD ︒=，CD =100，∴AD =tan30°•CD 10057.7=≈．在Rt △BDC 中，∵20BDtan CD︒=，CD =100，∴BD =tan20°•CD ≈0.36×100=36．故AB =AD +DB =57.7+36=93.7（米）．答：斜拉索顶端A 点到海平面B 点的距离93.7米．22．（1）1395米；（2）超速，理由见解析；解：（1）在Rt △ACD 中，AC ＝CD •tan ∠ADC ＝400×2＝800，在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin ABC ∠＝8000.5736≈1395(米)；（2）车速为：139590≈15.5m /s ＝55.8km /h ＜60km /h ，∴该汽车没有超速．23．（1）见解析;（2）5解：（1）证明：∵∠C=∠P ，∠1=∠C ，∴∠1=∠P.∴CB ∥PD.（2）连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.又∵CD ⊥AB ，∴BD BC =.∴∠P=∠CAB.∴sin ∠CAB=sin ∠P =35，即35BC AB =.又∵BC=3，∴AB=5.∴⊙O 的直径为5.24．（1）13；（2）22cos sin tan 212(sin )αααα⋅=-解：（1）由勾股定理可得：AC ==由三角函数的定义可得1sin 3BC AB α==，cos AC AB α==由材料可得：sin 22sin cos ααα= 故答案为13（2）取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如下图：则2COB α∠=，1122OC OB AB ===，290α<︒，45α<︒在Rt ABC 中，cos AC α=，sin BC α=在Rt ACD △中，sin cos sin CD AC ααα==⋅，在Rt CBD △中，2sin (sin )BD BC αα==，则21(sin )2OD OC BD α=-=-则22cos sin 2cos sin tan 2112(sin )(sin )2CD OD ααααααα⋅⋅===--故答案为22cos sin tan 212(sin )αααα⋅=-25．（1）见解析；（2）103t =秒；（3）52t =秒或4秒解：（1）证明：在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t ，又∵AE =t ，∴AE =DF ；(2)能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF，又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵tan305AB BC=⋅︒==∴AC=2AB=10，∴AD=AC-DC=10-2t，若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，103 t=即当103t=时，四边形AEFD为菱形；（3）分三种情况讨论：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，即10-2t=2t，52t=；②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°．∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°．即11022tt-=，t=4；③∠EFD=90°时，此种情况不存在；综上所述，当52t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．。
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第28章《锐角三角函数》单元培优检测题一．选择题1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于（）A．B．C．D．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（）A．3B．3C．3﹣3D．3﹣35．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cosα的值是（）A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A．B．C．D．7．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（）A．100m B．120m C．100m D．120m8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB 上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．9．如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°，若BC为240米则热气球A的高度为（）A．120米B．120（﹣1）米C．240米D．120（+1）米10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．11．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°二．填空题13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．已知α为锐角，且sinα＝cosα，则α＝．15．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为m．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB的中线，若CD＝6.5，BC＝12．sin B 的值是17．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．18．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为cm．三．解答题（共7小题）19．计算：2cos30°﹣tan60°+sin30°+tan45°．20．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE 分别与CD、AC相交于点F、E，FB＝2CF．（1）求sin A的值；（2）如果CD＝5，求AE的值．22．在△ABC中，锐角∠C＝θ°，BC＝a，AC＝b．（1）试说明S△ABC＝ab•sinθ；（2）若a＝3，b＝4，θ＝45°，则S△ABC＝．23．如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若斜坡F A的坡比，求大树的高度．（结果保留整数）24．2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC ＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）25．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD 之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】参考答案一．选择题1．解：如图，∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan∠ABC＝．故选：D．2．解：∵∠C＝90°，∴sin∠B＝，故选：A．3．解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．4．解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，故BD＝BC＝3m，设AC＝x，则tan60°＝＝，解得：x＝3﹣3，故选：D．5．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα＝，∴设PE＝4x，OE＝3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP＝，∴cosα＝．故选：C．6．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan A＝＝，故选：D．7．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan60°＝＝＝，解得：DC＝90，故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120（m），故选：D．8．解：连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．9．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，由题意知，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝240米，设AD＝x米，则BD＝AD＝x米，CD＝＝＝x米，由BC＝BD+CD可得x+x＝240，解得：x＝120（﹣1），即热气球的高度为120（﹣1）米，故选：B．10．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∴sin A＝＝，∴AB＝，故选：C．11．解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝，∴sin A＝＝＝，∴∠A＝45°．故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．14．解：∵sinα＝cos（90°﹣α），∴α＝90°﹣α，解得，α＝45°，故答案为：45°．15．解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，∵tan C＝，∴BC＝＝＝100（m）．故答案为100．16．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且CD＝6.5，∴AB＝2CD＝13，则AC＝＝＝5，∴sin B＝＝，故答案为：17．【解答】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．18．解：过B作BF⊥AC，由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．∵tan∠BCA＝＝，∴CF＝270cm，∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．故答案为：240．三．解答题（共7小题）19．解：原式＝2×﹣++＝1．20．解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP＝EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．21．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，∴△EFC∽△CFB，∴＝＝＝，∴CF＝2EF，由勾股定理得，CE＝＝EF，∴sin∠ACD＝＝，∴sin A＝；（2）∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin A＝，∴BC＝2，由勾股定理得，AC＝4，又EC＝BC＝，∴AE＝3．22．（1）证明：过B作BD⊥AC，在Rt△BCD中，∠C＝θ°，BC＝a，∴BD＝a sinθ，则S△ABC＝AC•BD＝ab•sinθ；（2）解：∵a＝3，b＝4，θ＝45°，∴S△ABC＝ab•sinθ＝3，故答案为：323．解：过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，则四边形OMCN是矩形，∵OA＝6，斜坡F A的坡比i＝1：，∴ON＝AD＝3，AN＝AO•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴OM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△AOM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．24．解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．25．解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．。