第32届全国中学生高中物理竞赛复赛试题含答案
2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答
⑤
yA (t = 0) − yB (t = 0) = L 利用⑥式，⑤式在碰撞后的瞬间成为 VAy ≡ VAy (t = VBy (t = 0) = 0) ≡ VBy
由①②⑦式得
VAy = VBy = − m vy 2M
⑥
⑦ ⑧
由①②③式得 m ( v0 − v x ) M VBx = 0 利用⑧⑨⑩式，碰撞后系统的动能为 = VAx ⑨ ⑩
参考答案： （1）图中 X 和 Y 代表的核素分别为 15 O 和 13C （2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为
① ②
p + 12 C → 13 N
13
N → C + e +ν e
13 +
③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
p + 13 C → 14 N p + 14 N → 15 O
15
O → N + e +ν e
⑨
评分参考：第（1）问 4 分，X 和 Y 正确，各 2 分；第（2）问 6 分，②③④⑤⑥⑦式各 1 分；第 （3）问 5 分，⑧式 2 分，⑨式 3 分。 评析： 根据《全国中学生物理竞赛内容提要》的近代物理部分，考纲要求如下： “原子核的尺度数量 级 天然放射性现象 原子核的衰变 半衰期 放射线的探测 质子的发现 中子的发现 原子 核的组成 核反应方程 质能关系式 裂变和聚变 质量亏损” ，基本与高中选修 3-5 要求一致。 但是作为一个不经常出现的考点，很多考生会忽视这一部分，导致面对本题时感到无所适从。这 充分说明，在竞赛考试前的最后一轮复习时，按照考纲逐条过关是很有必要的。
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2015 年第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。
图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e、p和He核的质量分别为0.511ν的质量可以忽MeV/c2、1.0078 u和4.0026 u（1u≈931.494 MeV/c2），电子型中微子e略。
（1）写出图中X和Y代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。
开始时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度v运0动，与A球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）；（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度； （3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
Type第32届物理竞赛复赛分析
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出ν分别表示质的，碳循环反应过程如图所示。
图中p、+e和e子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e、p和He核的质量分别为0.511 MeV/c2、1.0078 u和 4.0026 u（1u≈931.494ν的质量可以忽略。
MeV/c2），电子型中微子e（1）写出图中X和Y代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。
开始时细杆静止；有一质量为m 的小球C以垂直于杆的速度v运动，与A球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）；（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；（3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
（2）已知BC长度为 ，讨论上述频移分别为正、零或负的条件，并求出最大的正、负频移。
（3）已知 ，求从C先到达P点、直至B到达P点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表示成扇形波束的张角 的函数。
又因为
由上式得，当 取最大值时， 、 和 应满足 ⑰
（32届复赛15年）四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为 （ 远小于真空中的光速 ）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为 ）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC（BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点），取K点在地面的正投影O为坐标原点。已知BC与航线KA的距离为 。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为 。
已知：当 时， 。
四、（25分）
（1）解法（一）
按照题给坐标系，设待测点P的位置为 ，飞机在 时所在点K的位置为 。在时刻 ，飞机所在位置A点的坐标为 ，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻 返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为 ，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有
角动量都守恒，有
①
②
③
式中， 和 表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。由①②③式得
④
⑤
⑥
碰撞后系统的动能为
⑦
利用④⑤⑥式，系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动能⑦式可表示成
⑧
（2）解法（一）的⑪式或者解法（二）的⑧式即为
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论试、答案(word版)
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论试卷2015年11月考生须知1、考生考试前务必认真阅读本须知2、考试时间为3小时。
3、试题从本页开始，共5页，含八道大题，总分为140分。
试题的每一页下面标出了该页的页码和试题的总页数，请认真核对每一页的页码和总页数是否正确，每一页中是否印刷不清楚的地方，发现问题请及时与监考老师联系。
4、考生可以用发的草稿纸打草稿，但需要阅卷老师评阅的内容一定要写到答题纸上；阅卷老师只评阅答题纸上的内容，写在草稿纸和本试题纸上的解答一律无效。
---------------------------------------------------以下为试题-------------------------------------------------------一、（15分）一根轻杆两端通过两根轻质弹簧A和B悬挂在天花板下，一物块D通过轻质弹簧C连在轻杆上；A、B和C的劲度系数分别为k1、k2和k3，D的质量为m，C与轻杆的连接点到A和B的水平距离分别为a和b；整个系统的平衡时，轻杆接近水平，如图所示。
假设物块D在竖直方向做微小振动，A、B始终可视为竖直，忽略空气阻力。
（1）求系统处于平衡位置时各弹簧相对于各自原长的伸长；（2）求物块D上下微小振动的固有频率；（3）当a和b满足什么条件时，物块D的固有频率最大？并求出该固有频率的最大值。
二、（20分）如图，轨道型电磁发射器是由两条平行固定长直刚性金属导轨、高功率电源、接触导电性能良好的电枢和发射体等构成。
电流从电流源输出，经过导轨、电枢和另一条导轨构成闭合回路，在空间中激发磁场。
载流电枢在安培力作用下加速，推动发射体前进。
已知电枢质量为m s，发射体质量为m a；导轨单位长度的电阻为R rʹ，导轨每增加单位长度整个回路的电感的增加量为I rʹ；电枢引入的电阻为R s、电感为L s；回路连线引入的电阻为R0、电感为L0。
导轨与电枢间摩擦以及空气阻力可忽略。
2023年全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令 表达质子的质量, 和 分别表达质子的初速度和到达a 球球面处的速度, 表达元电荷, 由能量守恒可知2201122mv mv eU =+ （1）由于a 不动, 可取其球心 为原点, 由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心, 所以此力对原点的力矩始终为零, 质子对 点的角动量守恒。
所求 的最大值相应于质子到达a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。
以 表达 的最大值, 由角动量守恒有 max 0mv l mvR = （2）由式（1）、（2）可得20max 1/2eU l R mv =- （3） 代入数据, 可得max 22l R = （4） 若把质子换成电子, 则如图复解20-1-2所示, 此时式（1）中 改为 。
同理可求得 max 62l R =（5）评分标准: 本题15分。
式（1）、（2）各4分, 式（4）2分, 式（5）5分。
二、参考解答在温度为 时, 气柱中的空气的压强和体积分别为, （1）1C V lS = （2）当气柱中空气的温度升高时, 气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。
设温度升高届时 , 气柱右侧水银刚好所有压到B 管中, 使管中水银高度增大C BbS h S ∆= （3） 由此导致气柱中空气体积的增大量为C V bS '∆= （4）与此同时, 气柱左侧的水银也有一部分进入A 管, 进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大 , 使两支管的压强平衡, 由此导致气柱空气体积增大量为A V hS ''∆=∆ （5）所以, 当温度为 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+∆+∆ （6）21p p h =+∆ （7）由状态方程知112212p V p V T T = （8） 由以上各式, 代入数据可得2347.7T =K （9）此值小于题给的最终温度 K, 所以温度将继续升高。
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)_
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)_32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题讲明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、〔15分〕在太阳内部存在两个主要的核聚变反响经过：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反响经过如下图。
图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反响进行的先后次序。
当从循环图顶端开场，质子p与12C核发生反响生成13N 核，反响按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开场下一个循环。
已知+e、p和He核的质量分别为0.511MeV/c2、1.0078u和4.0026u 〔1u≈931.494MeV/c2〕，电子型中微子eν的质量能够忽略。
〔1〕写出图中X和Y代表的核素；〔2〕写出一个碳循环所有的核反响方程式；〔3〕计算完成一个碳循环经过释放的核能。
二、〔15分〕如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。
开场时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度0v运动，与A球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
〔1〕求碰后系统的动能〔用已知条件和球C碰后的速度表出〕；〔2〕若碰后系统动能恰好到达极小值，求此时球C的速度和系统的动能。
三、〔20分〕如图，一质量分布均匀、半径为r的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的霎时，圆环质心速度v0与竖直方向成θ〔π3π22θ32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)VpcdV13V1p3pc'2p5V1〔3〕已知0sRL>>，求从C先到达P点、直至B到达P 点经过中最大频移与最小频移之差〔带宽〕，并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。
已知：当1y≥。
光在薄膜层1里来回反射，沿锯齿形向波导延伸方向传播。
图中，ijθ是光波在介质j外表上的入射角，tjθ是光波在介质j外表上的折射角。
第32届全国中学生物理竞赛复赛模考训练第01套
题三
简易的高斯炮的原理是通过释放存储的磁能加速钢球。制作高斯炮需要若干弹性很好的钢球，一
个水平光滑的导轨，一些强磁铁，质量和钢球相当，均为 m ，球的直径和磁铁宽度均为 2r 。磁铁和
钢球之间的吸引力近似写为
uBz
);
Ez ' (Ez uBx )
By
Bx ' Bx ' (By uEz
/
c2 ) ，其中
Bz ' (Bz uEx / c2 )
1 1 v2 / c2
(1) 在地面参照系中，一个原子以速度 u 向 x 轴正向运动，在地面参照系中有匀强电场 E (Ex , Ey , Ez ) 。 请计算在原子自身参照系中的极化的电偶极大小 p ' 。
0 e 1 ，角动量大小为 L 。 a) 通过特殊情境先计算出万有引力的具体形式 f (r) 。可以利用 r, L,e, m 表达。 b) 如图对于任意给定的 ，把物体到中心星体距离记为 r ，物体到另一个焦点距离为 r ' 。
计算在经过一小段时间 t 后，物体与两个焦点的连线转过的角度 , ' ，用瞬时速度 v, , ',r ,t 表达。 c) 计算出在间 t 内物体速度方向的角度变化 （用 v, t,l, ( ') / 2 表达），由此计算物体 的法向加速度，并计算说明在(a)中得到的万有引力形式正确。
b) 初态导线距离圆心距离 0 ，初速度 v0 垂直于导线和圆心的连线，要求导线不会运动到圆柱形区域
内，写下 v0 应当满足的方程。
c) 初态导线在圆柱边缘 (r,0) ，初速度大小 v1 ，向圆柱内运动，恰好能从 (0, r) 离开圆柱。求 v1 方向
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第32届全国中学生高中物理竞赛复赛试题含答案
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2015年9月19日
说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：
碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出
的，碳循环反应过程如图所示。
图中、+e和eν分别表示质子、
正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次
序。
当从循环图顶端开始，质子与12C核发生反应生成13N核，
反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新
开始下一个循环。
已知+e、和He核的质量分别为0.511
MeV/c2、1.0078u和4.0026u（1u≈931.494MeV/c2），电子
型中微子eν的质量可以忽略。
（1）写出图中X和Y代表的核素；
（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；
（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为的轻杆，轻杆两端
各固定一质量均为M的小球A和B。
开始时细杆静止；有一质量为m
的小球C以垂直于杆的速度
v运动，与A球碰撞。
将小球和细杆视
为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）；
（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的
动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的
瞬间，圆环质心速度v0与竖直方向成（π3π
22
θ
<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正
方向如图中箭头所示）绕通过其质心O、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为，重力加速度大小为g。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度；
（2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下
圆环能上升的最大高度；
（3）若让角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的
水平距离随变化的函数关系式、的最大值以及取最大值时、
v
和
ω应满足的条件。
四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz 平面）等高的航线KA （沿x 正方向）上，以大小为（远小于真空中的光速）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点（其x 坐标为P x ）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线
与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC （BC 随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P 点），取K 点在地面的正投影O 为坐标原点。
已知BC 与航线KA 的距离为0R 。
天线发出的无线电波束是周期性的等幅高
频脉冲余弦波，其频率为0f 。
（1）已知机载雷达天线经过A 点（其x 坐标为A x ）及
此后朝P 点相继发出无线电波信号，由P 反射后又被机
载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出
信号的频率之差（频移）。
（2）已知BC 长度为s L ，讨论上述频移分别为正、零
或负的条件，并求出最大的正、负频移。
（3）已知0s R L >>，求从C 先到达P 点、直至B 到达P
点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表
示成扇形波束的张角θ的函数。
已知：当1y <<时，22
112y y +≈+。
五、（20分）如图，“田”字形导线框置于光滑水平面上，
其中每个小正方格每条边的长度和电阻R 分别为0.10 m 和
1.0 Ω。
导线框处于磁感应强度 1.0 T B =的均匀磁场中，磁场
方向竖直向下，边界（如图中虚线所示）与de 边平行。
今
将导线框从磁场中匀速拉出，拉出速度的大小为 2.0 m/s =v ，
方向与de 边垂直，与ae 边平行。
试求将导线框整体从磁场
中拉出的过程中外力所做的功。
六、（23分）如图，一固定的竖直长导线载有恒定电流，
其旁边有一正方形导线框，导线框可围绕过对边中心的竖直
轴O 1O 2转动，转轴到长直导线的距离为。
已知导线框的边
长为2a （a b <），总电阻为R ，自感可忽略。
现使导线框
绕轴以匀角速度ω逆时针（沿轴线从上往下看）方向转动，
以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计
时。
求在t 时刻
（1）导线框中的感应电动势E ；
（2）所需加的外力矩M 。
V
p O a b c d V 13V 1p 13p 1c '
2p 15V 1七、（22分）如图，1mol 单原子理想气体构成
的系统分别经历循环过程abcda 和abc a '。
已知
理想气体在任一缓慢变化过程中，压强p 和体
积V 满足函数关系()=p f V 。
（1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的
摩尔热容可表示为
V pR C C dp p V dV π=++式中，V C 和R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数；
（2）计算系统经bc '直线变化过程中的摩尔热
容；
（3）分别计算系统经bc '直线过程中升降温的转折点在p-V 图中的坐标A 和吸放热的转折点在p-V 图中的坐标B ；
（4）定量比较系统在两种循环过程的循环效率。
八、（20分）如图，介质薄膜波导由三层均匀介质组
成：中间层1为波导薄膜，其折射率为1n ，光波在其
中传播；底层0为衬底，其折射率为0n ；上层2为覆
盖层，折射率为2n ；102n n n >≥。
光在薄膜层1里来回
反射，沿锯齿形向波导延伸方向传播。
图中，i j θ是光波在介质j 表面上的入射角，t j θ是光波在介质j 表面上的折射角。
（1）入射角i1θ在什么条件下光波可被完全限制在波导薄膜里（即光未折射到衬底层和覆盖层中）？
（2）已知波导薄膜的厚度为，求能够在薄膜波导中传
输的光波在该介质中的最长波长max λ。
已知：两介质j 与k 的交界面上的反射系数（即反射光的电场强度与入射光的电场强度之比）为
i t i t cos cos cos cos jk
i j j k k
jk jk j j k k n n r r e n n ϕθθθθ--==+式中，i j θ和t j θ是分别是光波在介质j 的表面上的入射角和折射角，余类推；正弦函数
和余弦函数在复数域中可定义为
sin 2i i e e i θθθ--=，cos 2i i e e θθθ-+=n 0n 1
θt2θi1θi1θt0n 2d。