高中数学必修1 第二章 方程与不等式微专题1
高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式之 等式与不等式的性质(精讲)(必修第一册)
2.1 等式与不等式的性质思维导图考点一 等式性质 【例1】(2019·全国高一课时练习)下列变形中错误的是( ) A ．若x y =，则55x y +=+ B ．若x ya a=，则x y = C ．若33x y -=-，则x y = D ．若x y =，则x ym m=【答案】D【解析】根据等式的性质易知A ，B ，C 正确；对于D ，当0m =时，x y =两边都除以m 无意义，故本选项错误.故选:D. 【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)根据等式的性质判断下列变形正确的是( ) A ．如果23x =，那么23x a a= B ．如果x y =，那么55x y -=- C ．如果162x =，那么3x = D ．如果x y =，那么22x y -=-【答案】D【解析】对于A ，没有0a ≠的条件，等式的两边不能都除以a ，故选项A 不正确；对于B ，等式的左边减去5，等式的右边乘以1-后加上5，等式不成立，故选项B 不正确；对于C ，等式的左边乘以2，等式的右常见考法边除以2，等式不成立，故选项C 不正确；对于D ，等式的两边都乘以2-，等式成立，故选项D 正确.故选:D. 2．(2019·全国高一课时练习)若a b =，则下列变形正确的是( ) A ．33a b =+ B ．22a b-=- C ．55a b -=+ D ．0a b +=【答案】B【解析】对于A ，根据等式的性质，得33a b =，故该选项错误；对于B ，根据等式的性质，得-22a b=-，故该选项正确；对于C ，根据等式的性质，得55a b +=+或55a b -=-，故该选项错误；对于D ，根据等式的性质，得0a b -=，故该选项错误.故选:B.考点二 不等式性质【例2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<.其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误； 若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确； a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误． 正确的只有1个．故选：C ．【举一反三】1．(2020·上海高一开学考试)下列命题正确的是( )本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C 2．(2020·全国高一开学考试)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3．(2020·武汉外国语学校高一月考)下列结论正确的是( ) A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b < C ．若a b >，c d >则a d b c ->- D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误； 对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确； 对于D ，取0c时，22ac bc =，则D 错误；故选：C考点三 比较大小【例3】(2020·全国高一课时练习)已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小. 【答案】3322a b a b ab +≥+ 【解析】∵()()()33223232a b a b abaa b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+； 当ab 时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+. 综上所述，3322a b a b ab +≥+.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)已知，那么,,,a b a b --的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-【答案】C 【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 二．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；2．(2020·浙江高一课时练习)设2,73,62a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】47373b =-=+，46262c =-=+，7362+>+，447362∴<++，b c ∴<.又226860a c -=-=->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .考点四 代数式的取值范围【例4】(1)(2019·广东高考模拟(理))已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(2019·浙江绍兴一中高一月考)已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是( ) A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．(2)令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【举一反三】1．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为( )A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[4,12]【答案】B 【解析】二次函数()y f x =的图像过原点，设二次函数为：2()f x ax bx =+， 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，∴ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.2．(2020·山东济宁.高一月考)若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______________ 【答案】()18,1--【解析】依题意可知2026b -<-<-，由于25a <<，由不等式的性质可知1821a b -<-<-.故填：()18,1--.3．(2019·全国高一课时练习)已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为____________.代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解【答案】24【解析】由题得2256(2)(3)=6424x xy y x y x y -+=--⨯=.故答案为：2考点五 不等式证明【例5】(2020·全国高一课时练习)已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>. 【答案】证明见解析. 【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab， 因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab，即证：c ca b>. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥， 所以22222()2a b a b ab +≥++， 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 2．(2020·全国高一课时练习)如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >. 【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>， 又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >. 3．(2020·全国高一)已知0a b c d >>>>，ad bc =． (Ⅰ)证明：a d b c +>+； (Ⅰ)证明：a b c b c a a b c a b c >． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅰ)见解析【解析】(Ⅰ)由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．(Ⅰ)a b ca b b c c a b c a a b c a b c a b c---=⋅⋅()()a b b c a b b c --=⋅.因为0a b >>，所以1,0a a b b >->，故()1a b ab ->.同理，()1bc b c->.从而()()1a bb c abbc--⋅>.即a b c b c a a b c a b c >。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式精品课件
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 8．给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是___③_____．
解析 ①当 c>0 时，由 ac>bc 可得 a>b，当 c<0 时，由 ac>bc 可得 a<b，故 ①错；
4．已知 a，b，c 为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，
那么 P 与 Q 的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，且 a，b，c 不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
12．(10
分)已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小． a
)
－
(
a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a
)
＝
a－b b
＋
b－a a
＝
（a－b）（ a－ ab
b）＝（
a－
b）2（ ab
a＋
b） .
∵a，b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
A类
1 2
7.5
B类
1 3
6
今制定计划欲使总产值最高，则 A 类产品应开发___2_0____件，最高产值为
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<； 性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈；;性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.*①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：】24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x#的解有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122b x x a==-无实根不等式()0f x >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭*R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.…四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根122b x x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 五、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. `（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；-② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.…【典型例题】类型一 不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． ~举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c例2、比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：—【变式1】比较22x x +与2x +的大小【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=）类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->:举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.;【变式2】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4． 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集./【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集."【变式3】 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 【变式4】 已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞)答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6x x 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6x x 2+3 ，故问题转化为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6x x 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x ，x ∈(0，2]， 对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号， 则g(x)max =2√3=√3， 故m <√3 ，故选：A2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知b a +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，b a +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b=2−aa+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a=b=1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确.故选：D.4、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B5、若不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则a+b=（）A．−2B．0C．1D．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则方程ax2+bx−2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B7、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.8、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．9、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.10、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入”的是（）A．80+20n≥300B．80+20n≤300C．80+20(n−1)≥300D．80+20(n−1)≤300分析：由不等关系求解即可.经过n年之后，方案B的投入为80+20(n−1)，故经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即80+ 20(n−1)≤300故选：D填空题11、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)12、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.13、已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．分析：根据不等式的解集可得方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x 2+ax +b ≥0解集为{x |x ≤2或x ≥3}， 故方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1． 所以答案是：1．解答题14、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根.答案：(1)m <−1(2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1．（2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0 f(0)>02(m−1)−2>0，即{m≤−1或m≥5m>−3m<1.∴−3<m≤−1．②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m=02(m−1)<0，∴m=−3．综上所述，得m≤−1．15、已知实数x>0，y>0.（1）若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x>y，求xy 2x−y +xy+1y2的最小值.答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x+y⩾2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty=y 3t ，且4y2=1y2，即x=√2,y=√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy+1y2最小值为4.。
高中数学新人教A版必修第一册 微专题1基本不等式的应用技巧 课件(16张)
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
高中数学必修第一册人教A版第2章一元二次函数、方程和不等式课件
（2）9 2 − 6 + 1 > 0
（3）− 2 + 2 − 3 > 0
答案：（1） | < , 或 >
（2） | ≠
（3）∅
【变式训练3】
2.已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.
解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}.
水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间
有如下的关系：
= −2 2 + 220.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在
一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解 ：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托
车，根据题意，得
−2 2 + 220 > 6000.
数a的取值范围.
解法一∵1<x<4,
2-2
.
2
∴不等式 ax2-2x+2>0 可转化为 a>
2-2
1 1 2 1
1
+
.
−
≤
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
<1,
,
x=2
,
,
a>
,即实数
∵4 < ∴当 = 2 即
时 函数取得最大值 ∴
2
2
1
的取值范围为 ,+∞ .
2
令 y=
=-2
a
1
解法二依据 a 的取值进行分类讨论:
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微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a
≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5
解析 ∵x >a ，
∴x －a >0，
∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a
＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，
∴2＋a ≥7，即a ≥5.
反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
二、平方后使用基本不等式
例2 若x >0，y >0，且
2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 92
3 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2
⎝⎛⎭⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝⎛⎭⎫922. 当且仅当
2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为92
3. 三、展开后求最值
例3 若a ，b 是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝
⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
答案 C
解析 ∵a ，b 是正数，
∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a
≥5＋24a b ·b a
＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94
C ．2
D ．3 答案 B
解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，
即14
[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1·14
[(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94
， 当且仅当x ＝23，y ＝13
时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
五、代换减元求最值
例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3
的最小值为________． 答案 8
解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12
，解得y >3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3
＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时
取等号．
反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值等于________． 答案 62－1
解析 a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，
即有(a ＋b )(a ＋2b ＋1)＝9，
即(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝18，
可得3a ＋4b ＋1＝(2a ＋2b )＋(a ＋2b ＋1)
≥2(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝62，
当且仅当2a ＋2b ＝a ＋2b ＋1时，上式取得等号，
即有3a ＋4b 的最小值为62－1.
例7 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是(
) A ．1≤a ＋b ≤4 B ．a ＋b ≥2
C ．1<a ＋b <4
D ．a ＋b >4
答案 A
解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，
∴a ＋b ＋a ＋b ab ＝5.
∵a >0，b >0，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22，
∴1ab ≥4
(a ＋b )2，
∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4
a ＋
b ，
∴a ＋b ＋4
a ＋
b ≤5，
即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，
时，左边等号成立，
当a＝b＝1
2
当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.
反思感悟利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．。