材料力学答案

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。

题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。

图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。

题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，=2()F-xqxqaN轴力图如图2-2a(2)所示，qa F 2m ax ,N =图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知， qa F =R qa F x F ==R 1N )(22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--=轴力图如图2-2b(2)所示，qa F =m ax N,图2-2b2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2，载荷F =50kN 。

试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为100MPa Pa 1000.1m10500N 10508263=⨯=⨯⨯==－A F σ 斜截面m -m 的方位角， 50-=α故有MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-⋅== ασσαMPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2-=-⋅== αστα杆内的最大正应力与最大切应力分别为MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。

试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。

220GPa Pa 102200.001Pa10220ΔΔ96=⨯=⨯≈=εσEMPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σMPa 440b ≈σ, %7.29≈δ该材料属于塑性材料。

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。

若杆径d =10mm ，杆长l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

题2-6图解： 255MPa Pa 1055.2m0.010πN102048223=⨯=⨯⨯⨯==A F σ 查上述εσ-曲线，知此时的轴向应变为 %39.00039.0==ε 轴向变形为mm 780m 108700390m)2000(Δ4....l εl =⨯=⨯==-拉力卸去后，有00364.0e =ε， 00026.0p =ε故残留轴向变形为0.052mm m 105.2000260(0.200m)Δ5p =⨯=⨯==-.l εl2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F 作用。

已知载荷F =32kN ，板宽b =100mm ，板厚=δ15mm ，孔径d =20mm 。

试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图解：根据2.0m)100.0m/(020.0/==b d查应力集中因数曲线,得42.2≈K根据 δd b Fσ)(n -=， n max σσK =得64.5MPa Pa 1045.60.015m0.020)(0.100N103242.2)(723n max =⨯⨯⨯⨯=-==＝－δd b KF K σσ 2-10 图示板件，承受轴向载荷F 作用。

已知载荷F =36kN ，板宽b 1=90mm ，b 2=60mm ，板厚δ=10mm ，孔径d =10mm ，圆角半径R =12mm 。

试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图解：1.在圆孔处根据111100.090mm 010.01.b d == 查圆孔应力集中因数曲线，得 6.21≈K故有117MPa Pa 1017.1m010.0)010.0090.0(N 10366.2)(82311n 1max 1=⨯=⨯⨯⨯===－－δd b F K σK σ 2．在圆角处根据1.50.060mm 090.021===b b d D 2.00.060mm 012.02===b R d R 查圆角应力集中因数曲线，得 74.12≈K故有104MPa Pa 1004.10.010m 0.060N 103674.182322n 2max 2=⨯=⨯⨯⨯===δb F K σK σ 3. 结论MPa 117max =σ（在圆孔边缘处）2-14图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。

设各杆的横截面面积均为A ，许用应力均为[]，试确定载荷F 的许用值[F ]。

题2-14图解：先后以节点C 与B 为研究对象，求得各杆的轴力分别为 F F 2N1=F F F ==N3N2根据强度条件，要求 ][2σ≤AF由此得2][][AF σ=2-15 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。

若在节点B 和C 的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α值（即确定节点A 的最佳位置）。

题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB 和BC 的轴力分别为N1F 和N2F ，由节点B 的平衡条件求得αF F αF F ctan sin N2N1==， 2.求重量最轻的值由强度条件得ασFA σF A ctan ][ ]sin [21==，α结构的总体积为)ctan sin22(][ctan ][cos ]sin [2211αασFl ασFl αl ασF l A l A V +=+⋅=+=由0d d =αV得01cos 32=-α由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为4454opt '= α2-16 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。

若节点A 和C 间的指定距离为 l ，为使结构重量最轻，试确定θ的最佳值。

题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有θFF F sin 2N2N1== 2.求θ的最佳值 由强度条件可得θσFA A ]sin [221==结构总体积为θσFlθl θσF l A V ]sin2[cos 2]sin [211=⋅== 由 0d d =θV得0cos2=θ由此得θ的最佳值为45opt =θ2-17图示杆件，承受轴向载荷F 作用。

已知许用应力[]＝120MPa ，许用切应力[]＝90MPa ，许用挤压应力[bs]＝240MPa ，试从强度方面考虑，建立杆径d 、墩头直径D 及其高度h 间的合理比值。

题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F 的许用值分别为 ][4π][2t σd F =(a) ][4)(π][bs 22b σd D F -=(b)][π][s τdh F =(c)理想的情况下，s b t ][][][F F F ==在上述条件下，由式（a ）与（c ）以及式（a ）与（b ），分别得d h ][4][τσ=d D bs][][1σσ+= 于是得 1:][4][:][][1::bs τσσσ+=d h D 由此得1:333.0:225.1::=d h D2-18 图示摇臂，承受载荷F 1与F 2作用。

已知载荷F 1=50kN ，F 2=35.4kN ，许用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力][bs σ=240MPa 。

试确定轴销B 的直径d 。

题2-18图解：1. 求轴销处的支反力由平衡方程0=∑x F 与0=∑y F ，分别得 kN 25cos4521=-= F F F BxkN 25sin452== F F By由此得轴销处的总支反力为kN 435kN 252522.F B =+=2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）][π22s τd F A F τB≤==得m 0150m 10100104.352][263.τF d B =⨯⨯⨯⨯=≥ππ 由轴销的挤压强度条件][bs b bs σd F d F σB≤==δδ 得m 014750m 102400100104.35][63bs ..σδF d B =⨯⨯⨯=≥结论：取轴销直径15m m m 015.0=≥d 。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN 作用，试求接头的剪切与挤压应力。

题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为MPa 5)m 100.0)(m 100.0(N10503=⨯=τMPa 5.12)m 100.0)(m 040.0(N10503bs =⨯=σ2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[] =160MPa ，许用切应力[] = 120 MPa ，许用挤压应力[bs] = 340 MPa ，载荷F = 230 kN 。

试校核接头的强度。

题2-20图解：最大拉应力为MPa 3.153)m )(010.0)(020.0170.0(N1023023max =-⨯=σ 最大挤压与剪切应力则分别为MPa 2300.010m)5(0.020m)(N102303bs =⨯=σMPa 4.146π(0.020m)5N 10230423=⨯⨯⨯=τ2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN 作用。

已知木杆的截面宽度b =250mm ，沿木纹方向的许用拉应力[σ]=6MPa ，许用挤压应力][bs σ=10MPa ，许用切应力[τ]=1MPa 。

试确定钢板的尺寸δ与l 以及木杆的高度h 。

题2-21图解：由拉伸强度条件 ][)2(σδh b Fσ≤-=得0.030m m 10625001045][263=⨯⨯⨯=≥-.σb F δh（a ）由挤压强度条件][2bs bs σb δFσ≤=得mm 9m 0090m 1010250.021045][263bs ==⨯⨯⨯⨯=≥.σb F δ （b ）由剪切强度条件 ][2τblFτ≤=得mm 90m 0900m 101250.021045][263==⨯⨯⨯⨯=≥.b F l τ 取m 009.0=δ代入式（a ），得 48mm m 0480m )009.02030.0(==⨯+≥.h 结论：取m m 9≥δ，m m 90≥l ，m m 48≥h 。

2-22 图示接头，承受轴向载荷F 作用。

已知铆钉直径d =20mm ，许用应力[σ]=160MPa ，许用切应力[τ]=120MPa ，许用挤压应力][bs σ=340MPa 。

板件与铆钉的材料相同。

试计算接头的许用载荷。

题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，4/3 N2N1F F F F ==，][)(1N11σδd b FA F σ≤-==432kN N 104.32N 10160015.0)02002000(][)(56=⨯=⨯⨯⨯=-≤.-.σδd b F][)2(432N22σδd b FA F σ≤-==512kN N 105.12N 10160015.0)040.0200.0(34][)2(3456=⨯=⨯⨯⨯-=-≤σδd b F图2-222.考虑铆钉的剪切强度 8s F F =][π842s τdF A F τ≤==302kN N 1002.3N 101200200π2][π25622=⨯=⨯⨯⨯⨯=≤.τd F3．考虑铆钉的挤压强度][ 4 4bs b bs b σδδσ≤===d F d F F FkN 408N 1008.4N 103400.0200.0154][456bs =⨯=⨯⨯⨯⨯=≤σd F δ结论：比较以上四个F 值，得kN 302][=F2-23 图a 所示钢带AB ，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F 作用。