2018-2019学年江西师范大学附属中学高一下期期中考试数学试题(解析版)
江西省高一下学期期中考试数学(理)试题(14—22班)Word版含解析
理科数学试卷（ 14— 22 班）
一、单选题。
1. 以下说法错误的是（
）
A. 零向量与单位向量的模不相等
B. 零向量与任一向量平行
C. 向量 与向量 是共线向量，则 A，B， C， D四点在一条直线上
D. 平行向量就是共线向量
【答案】 C
【解析】
，然后易得
，可得答案 .
【详解】因为向量
，
所以
即点 A、B、 D 三点共线
故选 A
【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算，熟悉相关知识点是解题的关键，属于基础题
.
7. 如图，正方形
中， 为 的中点，若
，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 【分析】
由题，根据平面向量的加法，表示出
（ 满足的关系为（ ）
），若
是函数 的一条对称轴，且
B. D.
由辅助角公式，对原式化简
，再利用
是函数 的一
条对称轴，且 【详解】因为
，求得 a、 b 的关系可得答案 . ，根据辅助角公式可得：
因为 因为
是函数 的一条对称轴，即 ，所以
，即
即
故选 B 【点睛】本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键， 属于中档题 .
对称．
其中正确结论的序号是 ___________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
分析】
利用三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）分析每一个选项，易得出结果
.
【详解】由题，
2018-2019学年江西师范大学附中高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年江西师范大学附中高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．数列23，45-，67，89-，……的第2019项是（）A．20192020B．20192020-C．40384039D．40384039-【答案】C【解析】由数列的前几项归纳出通项公式，然后求第2019项．【详解】由题意数列的通项公式为1(1)221nnnan--⋅=+，∴201940384039a=．故选：C.【点睛】本题考查数列的通项公式，考查归纳法求通项公式，属于基础题．2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】【详解】故选：B3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．56 B ．13 C ．35D ．16【答案】A 【解析】【详解】 因为数列{}n a 等差数列， 所以15235()52a a S a +==，且2852a a a +=， 所以由()5283S a a =+，可得3556a a =，所以5356a a =， 故选A ．4．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz 等于 A ．-4 B ．4±C ．22-D ．22±【答案】C【解析】23(1)(2)2,2,2(),22y y y xyz y 舍=--=∴=-=∴==-.5．在∆ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且13sin ,sin 2B C ==则a：b ：c 为（ ） A ．1：3：2 B ．1：1：3C ．2：1：3D ．2：1：3或1：1：3【答案】D【解析】试题分析：∵13sin ,sin 2B C ==，∴或30,120B C ==o o，当时，90A =o ，有a ：b ：c =2：1：3当30,120B C ==oo时，30A =o ，有a ：b ：c =1：13 D 【考点】本题考查了正余弦定理的运用点评：熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键，分类讨论思想是基础 6．下列说法正确的是（ ）①若数列{}n a 是等差数列，且()*,,,m n s t a a a a m n s t N+=+∈，则m n s t +=+；②若n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列； ③若n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列；④若n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且nn S Aq B =+；(其中A ､B 是非零常数，*n N ∈)，则A B +为零.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】①取常数数列验证； ②由等差数列的性质推导； ③举例1q =-的数列；④根据等比数列前n 和公式判断． 【详解】①若数列{}n a 是常数列，对任意的正整数,,,m n s t 都有m n s t a a a a +=+，①错； ②设等差数列公差为d ，首项是1a ，12n n S a a a =+++L ，2212212()()()n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+L L ，同理2322()n n n n S S S S n d -=-+，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，②正确；③若等比数列的公比1q =-，2n =，则242640,0,0S S S S S =-=-=，不可能成等比数列，③错误；④等比数列的前n 项为nn S Aq B =+，则1q ≠，否则1n S na =，所以111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅+---，即11,11a a A B q q =-=--，0A B +=，④正确．故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．7．数列{}n a 中，13a =，27a =，当1n ≥时，2n a +等于1n n a a +的个位数，则该数列的第2015项是（ ） A ．1 B ．3C ．7D ．9【答案】C【解析】按已知求出数列的前几项，归纳出数列的周期性． 【详解】由题意31a =，47a =，57a =，69a =，73a =，87a =，…,因此数列{}n a 是周期数列，周期为6，所以20152010557a a a +===． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的周期性．解题关键就是通过前几项归纳出周期． 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n a a +<的正整数n 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】利用675S S S >>得670,0a a ><，可得结论． 【详解】∵675S S S >>，∴6650a S S =->，7760a S S =-<，67750a a S S +=->， 数列{}n a 是等差数列，∴6n ≤时，0n a >，7n ≥时，0n a <， ∴满足10n n a a +<的n 为6. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和与项的关系，考查等差数列和性质．非常数的等差数列要么递增，要么递减．9．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A ．B C D ．10【答案】C【解析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠．【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 2252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．10．在ABC ∆中，角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，若2a =，22b =有两解，则角A 的取值范围是（ ） A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由正弦定理求出sin B ，再分析解的情况． 【详解】 由sin sin a b A B =，得sin 22sin 22b A AB A a ===， 三角形有两解，21A <，2sin 2A <，∴(0,)4A π∈，此时由于b a >，即B A >，因此B 可能为锐角，也可以为钝角．两解． 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理，考查正弦定理解三角形的解的个数问题．掌握正弦定理是解题关键．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()*21nn a n S n N n=+-∈，若()23211201523n S S S S n n++++--=L ，则n 的值为（ ） A ．2014 B ．2016C ．1007D ．1008【答案】D【解析】利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列的递推式，得数列是等差数列，从而可求得,n n a S ，代入已知等式可求得n ． 【详解】 ∵()21n n S a n n =+-，∴2(1)n n Sa n n=--， 2(1)n n S na n n =--，①，当2n ≥时，11(1)2(1)(2)n n S n a n n --=----，②，①-②得1(1)4(1)n n n a na n a n -=----，1(1)(1)4(1)n n n a n a n ----=-， ∴14n n a a --=，∴{}n a 是等差数列，公差为4，∴14(1)43n a n n =+-=-，(143)(21)2n n n n n S +-==-，21n S n n=-，∴()222232113(2121)(1)(1)2120153n n n n n n S S S S n n++++-=+++---=--=-=-L L∴1008n =． 故选：D. 【点睛】本题考查已知n S 与n a 的关系求数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和公式，掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．12．在ABC ∆中，角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，若2A B =，4a =，3b =，则c 的值是（ ） A ．73c =B ．73c =或3c = C ．3c = D ．以上都不对【答案】A【解析】由已知得sin sin22sin cos A B B B ==，由正弦定理及已知边可得cos B ，用余弦定理可求得c ，代入三角形检验． 【详解】∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==，所以2cos a b B =，42cos 2233a Bb ===⨯，2222cos b a c ac B =+-，2291683c c =+-⨯，解得3c =或73c =，当3c =时，3,4c b a ===，C B =，2180A B +=︒，但不可能有2A B =，舍去． ∴73c =． 故选：A. 【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理解三角形，解题过程中2A B =与sin sin 2A B =不是等价的，因此最后结果要检验．二、填空题13．已知ABC ∆中，BC 边长为63，三角形的外接圆的半径为6，则()sin B C +=______.【答案】32【解析】由正弦定理求得sin A ，再由诱导公式可得． 【详解】 由正弦定理得2sin a r A =，633sin 2122a A r ===，所以3sin()sin()sin 2B C A A π+=-==． 故答案为：32． 【点睛】本题考查正弦定理，考查诱导公式，掌握正弦定理是解题关键． 14．设正项等比数列的前项和为n S ，若3963,12S S S =-=，则6S = ．【答案】9【解析】试题分析：因为数列为正项等比数列，则36396,,S S S S S --也成等比数列，则()()263396S S S S S -=⋅-，将3963,12S S S =-=代入，可得69S =． 【考点】等比数列的性质15．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()*1nn n b a n N =-∈，则数列{}n b 的前10项的和为______. 【答案】9【解析】由1(2)n n n a S S n -=-≥及11a S =求得n a ，然后对数列{}n b 用并项求和法求和． 【详解】113a S ==，2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，(1)n n n b a =-，则121034681820b b b +++=-+-+--+L L 3422229=-+++++=． 故答案为：9. 【点睛】本题考查由n S 求通项公式n a ，考查并项求和法．由n S 求通项公式n a 时，一定要注意1(2)n n n a S S n -=-≥，11a S =，两者算法不相同．16．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【答案】626+2【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE 6+2AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得62AB 的取626+2.【考点】正余弦定理；数形结合思想三、解答题17．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{}n b 的第二项，第三项，第四项. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意自然数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）3n n S =．【解析】（1）用基本量法求出等差数列的公差，等比数列的公比和首项，然后可得通项公式；（2）用与1n n n S S a --=的方法求出n c ，由等比数列前n 项和公式可求得n S . 【详解】（1）由题意25214a a a =，∴2(14)(1)(113)d d d +=++，又0d >，解得2d =，∴12(1)21n a n n =+-=-．223b a ==，359b a ==，所以323b q b ==，211bb q==，∴13n n b -=． （2）∵3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=， ∴2n ≥时，31121231n n n c c c c b a b b b --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=， 两式相减得：12nn n nc a a b +=-=，1223n n n c b -==⨯．121c a b =，1213c a b ==， 2n ≥时，1216(13)32323233313n n n n S ---=+⨯+⨯++⨯=+=-L ，113S c ==也适合，∴3nn S =．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和公式．在已知n S 求n a 时，一定要注意2n ≥和1n =是两种不同的计算方法，因此需要验证．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b c A a C --=.（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）(2,3]． 【解析】（1）用正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得A ； （2）把b c +用角B 表示后利用三角函数的恒等变形可求得取值范围． 【详解】（1）∵()2cos cos 0b c A a C --=，∴由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=，2sin cos sin()0B A A C -+=，即2sin cos sin 0B A B -=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =， 3A π=．（2）由（1）203B π<<，23C B π=-，1sin sin sin sin 3a b c A B C π====，sin ,sin 33b Bc C ==，222sin )sin()]sin cos cos sin )333b c B C B B B B B πππ+=+=+-=+-2sin()6B π=+，∵203B π<<，∴5666B πππ<+<，12sin()26B π<+≤，∴23a b c <++≤，即周长的范围是(2,3]． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质．用正弦定理进行边角关系转换．在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．19．在ABC ∆中，角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c 满足:()3cos cos 2A CB -+=，且a ､b ､c 成等比数列. （1）求角B 的大小； （2）若2tan tan tan a c bA C B+=，2a =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）由已知等式()3cos cos 2A CB -+=求出sin sin AC ，由2b ac =用正弦定理换为角的关系后可得B ； （2）已知式2tan tan tan a c bA C B+=用正弦定理化边为角，同时切化弦后可求得,A C ，再求边，得面积． 【详解】（1）∵()3cos cos 2A C B -+=，∴3cos()cos()2A C A C --+=，∴3sin sin 4A C =，又2b ac =，所以23sin sin sin 4B A C ==，sin 2B =， 由2b ac =，则B 角只能是锐角，∴3B π=．（2）∵2tan tan tan a c b A C B +=，∴由正弦定理得sin sin 2sin tan tan tan A C BA C B+=， ∴cos cos 2cos 2cos13A CB π+===，222cos cos()cos cos cos sin sin 333A A A A A πππ+-=++1cos 2A A =sin()16A π=+=，3A π=，所以3C π=，2a c b ===，∴11sin 22sin 223S ab C π==⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查三角形面积公式．考查同角间的三角函数关系．正弦定理用来进行边角转换，掌握两角和与差的正弦、余弦公式是解题关键．20．已知函数()cos 66x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）函数()f x 取得最大值或最小值时的x 组成集合A ，将集合A 中()0,x ∈+∞的所有x 的值，从小到大排成一数列，记为{}n a ，求数列{}n a 的通项公式； （2）令21n n n b a a π+=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）(21)2n n a π-=；（2）421n n T n =+． 【解析】（1）把()f x 化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最值，从而得到n a ； （2）用裂项相消法求n T ． 【详解】 （1）1()2[)cos()]2[cos sin()sin cos()]26266666f x x x x x ππππππ=-+-=-+-2sin x =．当22x k ππ=+，k Z ∈时，max ()2f x =，当22x k ππ=-，k Z ∈时，min ()2f x =-，∴{|,}2A x x k k Z ππ==+∈，∴(21)2n n a π-=； （2）由（1）22214112()(21)(21)(21)(21)21214n n n b n n a a n n n n πππ+====--+-+-+，111112(1)2()2()3352121n T n n =-+-++--+L 142(1)2121nn n =-=++．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，考查裂项相消法求数列的和．对于一些特殊的数列有特殊的求和方法，如裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法等等．21．已知等差数列{n a }的首项为a (a ,a 0)R ∈≠．设数列的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-． (1)求数列{n a }的通项公式及S n ；(2)是否存在正整数n 和k ，使得n n 1n k S ,?S ,?S ++成等比数列？若存在，求出n 和k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),2n S n a =;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，在2n 4n-12n-1n a a =中，令n=1可得21a a =3，即a 3ad += 故d=2a ，．经检验，2n 4n-12n-1n a a =恒成立 所以， (2)由(1)知，，假若，，成等比数列，则，即知， 又因为，所以，经整理得考虑到n 、k 均是正整数，所以n=1，k=3 所以，存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.22．设函数()21f x x =+，()g x x =，数列{}n a 满足条件:对于*n N ∈，0n a >，且11a =，并有关系式:()()()11n n n f a f a g a ++-=，又设数列{}n b 满足()1log n n a b a +=(0a >且1a ≠，*n N ∈).（1）求证数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）试问数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若2a =，记()11n n nc a b =+⋅，*n N ∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R ，若对任意的*n N ∈，不等式23211n n n n R nT n a a λλ⎛⎫+<+ ⎪++⎝⎭恒成立，试求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析，21nn a =-；（2）证明见解析，公差为log 2a ；（3）[1,)+∞．【解析】（1）由已知得出数列的递推式121n n a a +=+，凑配后可得{1}n a +是等差数列，从而可得通项公式； （2）计算111n nb b +-后得常数，即证得等差数列； （3）由错位相减法求得n T ，再由等差数列前n 项和公式求得n R ，代入不等式23211n n n n R nT n a a λλ⎛⎫+<+ ⎪++⎝⎭，化简后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】（1）证明：∵()21f x x =+，()g x x =，()()()11n n n f a f a g a ++-=，∴221(1)11n n n a a a +++--=，即121n n a a +=+，112(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以1121n n a a ++=+，∴{1}n a +是等比数列． 12n n a +=，∴21n n a =-．（2）证明：∵()1log n n a b a +=，∴1log (1)a n na b =+， ∴111111log (1)log (1)log log 211n a n a n a a n n n a a a b b a ++++-=+-+==++ ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为log 2a ，首项为11log 2a b =．（3）由2a =及（1）（2）得1n n b =，2n n n c =，(1)2n n n R +=，231232222n n n T =++++L ，∴234111*********n n n n n T +-=+++++L ， 两式相减得：23111111222222n n n n T +=++++-L 1111)221212n n n +-=--（， ∴11222222n n n n n n T -+=--=-，∴不等式23211n n n n R nT n a a λλ⎛⎫+<+ ⎪++⎝⎭为： 2(1)3(2)2()222n n n n n n n n λλ++-+<+，整理得2262n n n nλ+->+对*n N ∈恒成立， 令22266()122n n n f n n n n n+-+==-++21111242(6)1066n n n n n =-=-+++-++， 由67n +≥，因此24(6)106y n n =++-+递增，且大于0， 所以()f n 递增，当n →+∞时，()1f n →，且()1f n <，故1λ≥， 所以λ的范围是[1,)+∞． 【点睛】本题考查了数列的递推公式在求数列通项公式中的应用，考查等差数列和等比数列的证明，考查错位相减法求和，不等式恒成立问题．不等式恒成立问题可通过分离参数法转化为求函数的最值，综合性较强，属于难题．。
2019学年江西省高一下学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年江西省高一下学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列命题正确的是（________ ）A ．第二象限角必是钝角______________ B．相等的角终边必相同C．终边相同的角一定相等_________ D．不相等的角终边必不相同2. 与－46 0°终边相同的角可表示为（________ ）A ．k·360 °＋10 0°（k ∈ Z ）B ．k·360 °＋43 3°（k ∈ Z ）C. k·360 °＋ 2 60°（k ∈ Z ）D ．k·360 °－ 2 60°（k ∈ Z ）3. 函数的最小正周期为（）A． B． C． D．4. 已知向量反向，下列等式中成立的是（________ ）A．B．C．_________________________________D．5. 己知 ,则与共线的条件为（________ ）A. ___________B. ___________C. _________D.或6. 已知函数，则（________ ）A．与都是奇函数________________________B．与都是偶函数C．是偶函数，是奇函数________D．是奇函数，是偶函数7. 函数的图象的一条对称轴方程是（________ ）A．_________ B. ______________ C.____________________ D.8. 如果，那么（）A .B . ________C .D .9. 如图，曲线对应的函数是（________ ）A． y= － sin| x | ___________ B． y=sin| x |_________C． y=|sin x |________________________ D． y= － |sin x |10. 设，，则有（________ ）A. ___________B. ______________C. ______________D.11. 函数的单调递减区间是（_________ ）A.B.C.D.12. 给出下列命题：其中正确命题的序号是（_________ ）①已知 ,若 ,则 =1, =4②不存在实数 ,使③ 是函数的一个对称轴中心④ 已知函数 .A．①②________________________ B．②④________________________C．①③____________________ D．④二、填空题13. 已知正方形 ABCD 的边长为1, = a , = b , = c ,则| a +b +c |等于_________________ .14. , 当时，，则 =___________________________________ .15. ,则______________ .16. 设函数满足且当时,又函数 ,则函数在上的零点个数为 _____________ .三、解答题17. 平面内给定三个向量: = （ 3, 2 ） , = （ -1, 2 ） , = （ 4, 1 ） .（ 1 ）求 ;（ 2 ）若 , 求实数的值.18. 已知角终边上一点P（－3，4），求：（1）（2）的值。
江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题附答案
江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校 2018~2019学年度第二学期高一数学期中联考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若,则下列不等式不成立的是( )A ．22ac bc > B ．C ．D ．2． 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是( ) A ．12B ．bC ．2abD ．22a b + 3．在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosB 的值为（ ） A ．41-B ．78C ．41D ．11164．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若1155S =，则279a a a ++=（ ） A ．15 B ．27 C ．18 D ．12 5．中，若2cos a b C =，则的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 6．在公差不为0的等差数列中，137161,,,a a a a =成等比数列，则公差d =（ ）A ．34 B ．15- C ．56D ．1 7．在 ABC ∆中，10,9,45a b A ===︒，则满足上述条件的三角形有（ ） A ．无数个B ．2个C ．0个D ．1个8．若不等式0ax b ->的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式305bx ax +>-的解集为（ ） A ．（－5，3）B ．(,5)(3,)-∞-+∞ C ．（－3，5） D ．(,3)(5,)-∞-⋃+∞9．在等比数列中，6124146,5a a a a ⋅=+=，则255a a = A ．94或49 B ．32 C ．32或23 D ．32或9410．设0,0.a b >>若3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．4C ．34 D ．4311．在△ABC 中，已知b ＝1，cos sin 0c A A b a +--=，sin 2sin AB=，则CA CB ⋅＝（ ）A ．1或1-B ．2C ．1D ．2或2-12．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若201920201a a >-且n S 有最小值，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为（ ）A ．4038B ．4039 C. 4040 D ．4041 二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分） 13.不等式2131x x ->+的解集为 14.已知数列{}n a 中，11a =-，且131n n a a n +=+-，则数列的通项公式n a = 15.不等式2(1)3(1)0m x m x m -+--<对任意的x R ∈恒成立，则m 的取值范围为16.下列说法中：①若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4； ②若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3； ③若,0x y >，满足25x y +=21x y +3④若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2； ⑤函数2214sin cos y x x=+的最小值为9. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 已知等差数列满足 7114,6a a == ．（1） 求通项公式n a ；（2） 设等比数列{}n b 满足13431,b a b a ==,求{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分） 在中，角的对边分别为，且cos 2cos cos a C b A c A =--（1）求角A 的大小； （2）若4a =，求周长的最大值19.（本题满分12分） 如图，D 是直角斜边BC 上一点．1若2AC DC =，，求的大小； 2若3AC DC =，，且，求AD 的长．20.（本题满分12分）解关于的不等式：2(24)80ax a x +-->21.（本题满分12分）2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR （虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR 特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额.22.（本题满分12分）已知正项数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和n S（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}1{1+n n a a 的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式25n T a a <-恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学下学期期中联考参考答案一、选择题（5分×12=60分）二、填空题（5分×4=20分）13. (4,1)-- 14. 2352n n na -=15. 9,113⎛⎤⎥⎝⎦16. ③④⑤ 三、解答题（共70分）17.解：（1）由7111164106a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,---------------- 4分故{}n a 的通项公式11122n n n a -+=+=．---------------- 5分 （2）由（1）得134312,16b a b a ====． 设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，---------------- 8分 故{}n b 的前n 项和12(12)2212n n n T +-==--．---------------- 10分 18.解析：（1）因为cos 2cos cos a C b A c A =--所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =--sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=-,sin()2sin cos A C B A +=-即sin 2sin cos B B A =-,因为sin 0B ≠， 所以1cos 2A =-即23A π=.---------------- 6分 （2）由（1）可得23A π=，则2221cos 22b c a A bc +-==- 22()()16162b c b c bc +∴+=+≤+，即b c +≤分当且仅当b c ==故当为等腰三角形，周长最大为4---------------- 12分 19.解：1，，，在中，由正弦定理可得：，2sin sin 2AC ADC DAC DC ∠=∠=， 3sin 4ADC π∴∠=---------------- 6分 2，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理： 在中，，在中，，可得：，解得：，可得：---------------- 12分20.解：2(24)80ax a x +-->可得(2)(4)0ax x +->， 当0a =时，不等式的解为4x >；---------------- 2分 当0a >时，不等式的解为4x >或2x a<----------------- 5分 当0a <时， 即2()(4)0x x a+-<（1）当24a -<即12a <-时，不等式的解为24a a -<<， （2）当24a ->即102a -<<时，不等式的解为24a a <<-，（3）当24a -=即12a =-时，不等式的解集为空集---------------- 12分21.解 ：（1）依题得： ()2118022445021604502x x y x x x x -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦（x ∈N *）---------------- 6分 （2）4504502160160(2)160100y x x x x x =-+-=-+≤-= 当且仅当4502x x=时，即x =15时等号成立． ∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．-------------- 12分22.解：（1）当2n ≥时，12n n n a S S -=+，∴112()n n n n S S S S ---=+，即 所以数列{}n S 是首项为1，公差为12的等差数列，2n ≥）， 分121n +++又∵25n T a a <-，∴212a a ≤-，解得3a ≤-或4a ≥.即所求实数a 的范围是3a ≤-或4a ≥.---------------- 12分。
江西师范大学附属中学2018-2019学年高一下期期中考试数学试题(解析版)
故选 D. 【点睛】 本题主要考查不等式的性质以及特值法的应用， 属于基础题 . 特殊法是“小题小做”的重要策略， 排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提 高准确性，这种方法主要适合下列题型 :(1) 求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中 取特殊值，逐一排除） ；（ 3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（ 4）解方程、求解析式、求通项、
求前 n 项和公式问题等等 .
3.某班运动队由足球运动员 18 人， 篮球运动员 12 人、 羽毛球运动员 6 人组成 ( 每人只参加一项 ) ，现从这些
运动员中抽取个容量为 n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本
的容量为 n 1时，若采用系统抽样法，则需要副除一个个体，则样本容量
又因为 18:12:6 3: n 6,12,18,24,30,36 ，
因为当样本容量为 n 1时，若采用系统抽样法，则需要剔除 1 个个体，
所以 n 1为 35 的正约数，因此 n 6 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查分层抽样与系统抽样的应用，属于基础题
. 分层抽样适合总体中个体差异明显，层次
江西师大附中高一年级数学期中试卷
一、选择题。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列 1， 8 , 15 ， 24 ，……的一个通项公式为 ( ) 57 9
A. an
n2 2n 1
n( n 2) B. an
n1
(n 1)2 1 C. an
2(n 1)
n( n 2) D. an
江西省师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案.pdf
2
答案： 5 2 4
知识点：基本不等式 难度： 4
解析： a2+ b2 =2 2
a2+ b 2 1 = 5 . 22
∴a 1
b2 =
b2 2 ·a·
1
a2
≤ 2·
2
b2 1 2=
2
5
2 ·2 = 5
2
.
24
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ).
17.（本小题满分 10 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ， b ， c .已知
1a （ 2）若 a
1 ，求关于 x 不等式的解集 .
解析：1 a x, 则 x 1 x , x2
x2 2x 2 0
x2
x2 2x 2
2
x 1 1 0, x 2
原不等式的解集为 x x 2
2 a 1a x2
a 1x a 2 0
x2
① a 1时，可转化为 x 2 x a 2 0 a1
1
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.
n 2 an
{ an} 的前四项和 S4＝10，且 a2，
解析： (1)设公差为 d，由已知得
4a1 6d 10
2
a1 3d
a1 d a1 7d
解得 d＝ 1 或 d＝ 0( 舍去 )，所以 a1＝ 1，故 an＝ n.
(2)
bn
1
1
11
n 2 an n n 2 2 n
D. S1,S2, …Ｓ11 均小于 0 ,S12,S13 …均大于 0
答案： C
知识点： 1.等差数列的性质
2.等差数列求和公式 难度： 3
江西省南昌市2018-2019学年高一下期中数学测试卷(附参考答案)
2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．53．函数y=sin2x是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数4．已知log b a c，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，若S n=100，则n等于（）A．7 B．8 C．9 D．108．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜C．|a|＞|b| D．a3＞b39．下列表达式中，正确的是（）A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZC．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z11．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣1B．3（3n﹣1）C． D．12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．log64+log69﹣8=．14．不等式≥0的解集是．15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．16．设x＞0，y＞0，若log23是log2x与log2y的等差中项，则+的最小值为．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．（1）求集合A、B；（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）（1）试求a、b的值；（2）若不等式a x+b x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．21．已知等比数列{a n}，满足a n+1＞a n，a1+a4=9，a2•a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：f（3）=32﹣3﹣5=9﹣3﹣5=1，f（1）=1﹣2=﹣1，即f[f（3）]=f（1）=﹣1，故选：A3．函数y=sin2x是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．【分析】根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．【解答】解：∵函数y=sin2x中ω=2∴最小正周期为T==π又∵y=sin2x满足f（﹣x）=﹣f（x）∴函数y=sin2x是奇函数因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数故选：D4．已知log b a c，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数函数的单调性结合已知得答案．【解答】解：∵函数y=是减函数，∴由log b a c，得c＜a＜b．故选：B．5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点的判定定理，对选项逐一验证即可．【解答】解：∵f（0）f（1）=（）（1+1﹣5）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+1﹣5）（2+2﹣5）＞0，排除Bf（2）f（3）=（2+2﹣5）（4+3﹣5）＜0，一定有零点故选C．6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（x﹣）的图象，故选：B．7．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，若S n=100，则n等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的求和．【分析】由已知可得数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求出其前n项和后得答案．【解答】解：由a1=1，a n+1=a n+2，得数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，则，由S n=100，得n=10．故选：D．8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜C．|a|＞|b| D．a3＞b3【考点】不等式的基本性质．【分析】对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．【解答】解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，故选：D．9．下列表达式中，正确的是（）A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式，得出结论．【解答】解：根据两角和差的正弦、余弦公式可得，sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ成立，而cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ、cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ都不正确，故选：A．10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZC．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象，可得•=，求得ω=π．再根据五点法作图可得π•+φ=π，求得φ=，∴（x）=3sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为2k﹣，2k﹣），k∈Z，故选：C．11．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣1B．3（3n﹣1）C． D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】求出等比数列{a n}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，即有a2=6，a4=54，则新数列的公比为9，即有S n==．故选：D．12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，得﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=（1﹣λ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）═（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，由①②求得λ+μ=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．log64+log69﹣8=﹣2．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法则即可求得．【解答】解：原式=log6（4×9）﹣=2﹣22=﹣2．故答案为：﹣2．14．不等式≥0的解集是．【考点】其他不等式的解法．【分析】解不等式转化为不等式组，解出即可．【解答】解：原不等式可化为：或，解得：﹣≤x＜，故答案为：．15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为2．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】变形可得y=2（cos sinx﹣sin cosx）=2sin（x﹣），易得最值．【解答】解：化简可得y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2（cos sinx﹣sin cosx）=2sin （x ﹣）∴当sin （x ﹣）=1时，原函数取最大值2故答案为：216．设x ＞0，y ＞0，若log 23是log 2x 与log 2y 的等差中项，则+的最小值为 ．【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】由已知结合等差中项的概念求得xy=9，再利用不等式的性质求得+的最小值． 【解答】解：∵log 23是log 2x 与log 2y 的等差中项， ∴log 2x+log 2y=2log 23=log 29， 则log 2xy=log 29， ∴xy=9．则+．故答案为：．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．向量=（4，﹣3），=（2x ，y ），=（x+，2），已知∥，⊥，求x ，y 的值． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标，结合向量共线与垂直的坐标表示列关于x ，y 的方程组，求解方程组得答案．【解答】解： =（4，﹣3），=（2x ，y ），=（x+，2）， 由已知a ∥b ，a ⊥c ，可得， 解得：x=6，y=﹣9．18．已知函数f （x ）=的定义域是集合A ，函数g （x ）=ln （x ﹣a ）的定义域是集合B ．（1）求集合A 、B ；（2）若C={x|2＜1}，求A ∩C ．【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域的求法，求出集合A ，B ，C ，再根据交集的定义即可求出． 【解答】解：（1）因为（1+x ）（2﹣x ）≥0所以﹣1≤x≤2，集合A={x|﹣1≤x≤2}；…因为x﹣a＞0，所以x＞a，集合B={x|x＞a}…（2）因为，所以x2﹣2x﹣3＜0解得：{x|﹣1＜x＜3}，…则A∩C={x|﹣1＜x≤2}．…19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）（1）试求a、b的值；（2）若不等式a x+b x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【考点】指数函数的图象与性质；函数恒成立问题．【分析】（1）根据点A、B在图象列出方程组，求出a、b的值；（2）由（1）可得m≤3x+9x，令u（x）=3x+9x，由指数函数的单调性判断出函数u（x）在[1，+∞）上单调性，求出u（x）min，由恒成立求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得，，解得a=3，b=9…（2）由（1）可得m≤3x+9x，x∈[1，+∞），令u=（x）3x+9x，x∈[1，+∞），只需m≤u min…，因为函数u（x）=3x+9x在[1，+∞）为单调增函数，…所以u（x）min=12，即实数m的取值范围是：{m|m≤12}．…20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．21．已知等比数列{a n}，满足a n+1＞a n，a1+a4=9，a2•a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知求得a1，a4的值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）直接利用错位相减法求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【解答】解：（1）在等比数列{a n}中，∵，∴，解得：或（舍去），∴，得q=2，∴；（2）设，则T n=c1+c2+c3+…+c n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①，②由①﹣②得：=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n﹣1=，∴．22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．【解答】解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f（n），则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n2﹣98，由f（n）＞0，得10﹣又∵n∈N*，∴3≤n≤17．即从第3年开始获利．（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．此时，总收益为12×7+26=110（万元）．②f（n）=﹣2（n﹣10）2+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）．此时，总收益为102+8=110（万元）．由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．。
2019-2020学年江西师大附中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年江西师大附中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若在数列中，对任意正整数，都有(常数)，则称数列为“等方和数列”，称为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为()A. B. C. D.2.已知a、b∈R且a>b，则下列不等关系正确的是()>1 D. a3>b3A. a2>b2B. |a|<|b|C. ab3.下列说法中错误的是()A. 总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样B. 系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本C. 百货商场的抓奖活动是抽签法D. 整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)4.给出下列命题，其中错误的是()A. 在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB. 在锐角△ABC中，sinA>cosBC. 把函数y=sin2x的图像沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图像D. 函数y=+(≠0)最小正周期为π的充要条件是=25.已知a，b∈R，且a+b=5，则2a+2b的最小值是()A. 32B. 4√2C. 8√2D. 106.等差数列项的和等于A. B. C. D.7.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()．A.B.C.D.8.△ABC的三边长分别为2m+3，m2+2m，m2+3m+3(m>0)，则最大内角的度数为()A. 150°B. 120°C. 90°D. 135°9.已知数列{a n}的通项公式是a n=−4n+78，{a n}的前n项和为S n，则S n达到最大值时，n的值是()A. 17B. 18C. 19D. 2010. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=2a 2，则cos A 的最小值为( )A. √32B. √22C. 12D. −1211. 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.尺B.尺C.尺D.尺12. 设函数f (x )=(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b = b 成立，则a的取值范围是( )．A. [1,e]B. [1,1+e]C. [e,1+e]D. [0,1]二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，若a n+1=2a n 2an+1−a n(n ∈N ∗)，a 1=1，则使不等式S n >2019成立的n 的最小值是______．14. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为f(x)的“下确界“，则函数f(x)=1−4x +15−4x ,x ∈(−∞,54)的“下确界“等于______ ．15. 在△ABC 中，a =xcm ，b =2cm ，B =45°，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知f(x)=a x +ka −x (a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，且f(1)=83．(1)求f(x)的解析式； (2)若关于x 的方程f(9mx 2−2x−1)+f(1−3mx−2)=0在区间[0,1]内只有一个解，求m 取值集合；(3)设g(x)=f(x −12)+1，记F(n)=g(1n )+g(2n )+g(3n )+⋯+g(n−1n)(n ∈N ∗)，是否存在正整数n ，使不等式f(2x)≥F(n)f(x)对一切x ∈[−1,1]均成立？若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由17.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定．考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式．随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来．为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；(Ⅱ)采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？18.已知f(x)=x 2−3ax+2a 2．(1)若实数a=1时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)求不等式f(x)<0的解集．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.(1)求sin C的值;(2)求△ABC的面积．20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,2]，(2,4]，…，(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．(Ⅰ)试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；(Ⅱ)如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是ŷ=2x+33.若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21.如图，某城市公园有一湖泊，AB是一段笔直的湖岸，长为1000m.为便于市民休闲观光，市政府决定在湖面上修建一条观光栈道，设计方案如下：以AB的中点O为圆心、100√3m为半径作一个半圆交AB于C，D两点，过BD上一点N作直线MN与半圆O相切于点M，要求O，N之间⏜建造．已知线段MN部分的造价为每米0.1万的距离不小于200m，观光栈道沿线段MN和圆弧CM⏜部分的造价为每米0.2万元，记∠BOM=xrad，建造长廊的总费用为W万元．元，圆弧CM(1)试将W表示为x的函数；(2)如何选取点N的位置，能使W最小？22.设数列的前n项和为S n=2n2，为等比数列，且(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)设，求数列前n项和T n．【答案与解析】1.答案：解析：试题分析：由得，两等式相减得：.又“公方和”为，首项，所以.所以的最大值为1007，最小值为1005，其差为2.选D．考点：1、新定义；2、数列．2.答案：D解析：本题考查了不等式的性质，以及幂函数的性质，属于基础题．对于A，B，C举反例即可判断，对于D根据幂函数的性质即可判断．解：a、b∈R且a>b，若a=1，b=−2，则A，C不正确，若a=2，b=1，则B不正确，根据幂函数的性质可知，D正确，故选：D．3.答案：D解析：解：对于A，当总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样，正确；对于B，系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本，正确；对于C，百货商场的抓奖活动是抽签法，正确；对于D，整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(包括有剔除时)，故“有剔除时例外”的说法错误；故选：D．利用简单随机抽样、系统抽样的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得到答案．本题考查命题的真假判断与应用，突出考查简单随机抽样、系统抽样的概念及应用，属于基础题．解析：试题分析：本题考查正弦定理与正弦函数图像的平移问题。
江西省赣州市十五县(市)2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
边为 a+m、b+m、c+m，知 c+m 为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦
值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
【详解】解：设增加同样的长度为 m，原三边长为 a、b、c，且 c2＝a2+b2，c 为最大边；
新的三角形的三边长为 a+m、b+m、c+m，知 c+m 为最大边，其对应角最大．
2
，所以
B
3
，故选
B.
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余
弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
8.若将函数 y sin 2x 的图像向右平移 12 个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）
x k (k Z)
A.
23
x k (k Z)
,
b
x2 ,
y2
，那么：（1）若
a
/
/b
，则
x1 y2
x2
y1 ；（2）若
a
b
，则
x1x2
y1 y2
0；
3.大衍数列来源于《 乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文
化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，… ，则该数列第 16 项为（ ）
0)
【答案】B
sin 2
D.
2
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可得 的三个三角函数值后可得正确的选项.
江西省南昌市2018-2019学年高一下期中数学测试卷(附答案)
2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．53．函数y=sin2x是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数4．已知log b a c，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，若S n=100，则n等于（）A．7 B．8 C．9 D．108．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜C．|a|＞|b| D．a3＞b39．下列表达式中，正确的是（）A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZC．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z11．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣1B．3（3n﹣1）C． D．12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．log64+log69﹣8=．14．不等式≥0的解集是．15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．16．设x＞0，y＞0，若log23是log2x与log2y的等差中项，则+的最小值为．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．（1）求集合A、B；（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）（1）试求a、b的值；（2）若不等式a x+b x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．21．已知等比数列{a n}，满足a n+1＞a n，a1+a4=9，a2•a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：f（3）=32﹣3﹣5=9﹣3﹣5=1，f（1）=1﹣2=﹣1，即f[f（3）]=f（1）=﹣1，故选：A3．函数y=sin2x是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．【分析】根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．【解答】解：∵函数y=sin2x中ω=2∴最小正周期为T==π又∵y=sin2x满足f（﹣x）=﹣f（x）∴函数y=sin2x是奇函数因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数故选：D4．已知log b a c，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数函数的单调性结合已知得答案．【解答】解：∵函数y=是减函数，∴由log b a c，得c＜a＜b．故选：B．5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点的判定定理，对选项逐一验证即可．【解答】解：∵f（0）f（1）=（）（1+1﹣5）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+1﹣5）（2+2﹣5）＞0，排除Bf（2）f（3）=（2+2﹣5）（4+3﹣5）＜0，一定有零点故选C．6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（x﹣）的图象，故选：B．7．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，若S n=100，则n等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的求和．【分析】由已知可得数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求出其前n项和后得答案．【解答】解：由a1=1，a n+1=a n+2，得数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，则，由S n=100，得n=10．故选：D．8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜C．|a|＞|b| D．a3＞b3【考点】不等式的基本性质．【分析】对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．【解答】解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，故选：D．9．下列表达式中，正确的是（）A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式，得出结论．【解答】解：根据两角和差的正弦、余弦公式可得，sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ成立，而cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ、cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ都不正确，故选：A．10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZC．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象，可得•=，求得ω=π．再根据五点法作图可得π•+φ=π，求得φ=，∴（x）=3sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为2k﹣，2k﹣），k∈Z，故选：C．11．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣1B．3（3n﹣1）C． D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】求出等比数列{a n}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，即有a2=6，a4=54，则新数列的公比为9，即有S n==．故选：D．12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，得﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=（1﹣λ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）═（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，由①②求得λ+μ=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．log64+log69﹣8=﹣2．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法则即可求得．【解答】解：原式=log6（4×9）﹣=2﹣22=﹣2．故答案为：﹣2．14．不等式≥0的解集是．【考点】其他不等式的解法．【分析】解不等式转化为不等式组，解出即可．【解答】解：原不等式可化为：或，解得：﹣≤x＜，故答案为：．15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为2．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】变形可得y=2（cos sinx﹣sin cosx）=2sin（x﹣），易得最值．【解答】解：化简可得y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2（cos sinx﹣sin cosx）=2sin （x ﹣）∴当sin （x ﹣）=1时，原函数取最大值2故答案为：216．设x ＞0，y ＞0，若log 23是log 2x 与log 2y 的等差中项，则+的最小值为 ．【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】由已知结合等差中项的概念求得xy=9，再利用不等式的性质求得+的最小值． 【解答】解：∵log 23是log 2x 与log 2y 的等差中项， ∴log 2x+log 2y=2log 23=log 29， 则log 2xy=log 29， ∴xy=9．则+．故答案为：．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．向量=（4，﹣3），=（2x ，y ），=（x+，2），已知∥，⊥，求x ，y 的值． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标，结合向量共线与垂直的坐标表示列关于x ，y 的方程组，求解方程组得答案．【解答】解： =（4，﹣3），=（2x ，y ），=（x+，2）， 由已知a ∥b ，a ⊥c ，可得， 解得：x=6，y=﹣9．18．已知函数f （x ）=的定义域是集合A ，函数g （x ）=ln （x ﹣a ）的定义域是集合B ．（1）求集合A 、B ；（2）若C={x|2＜1}，求A ∩C ．【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域的求法，求出集合A ，B ，C ，再根据交集的定义即可求出． 【解答】解：（1）因为（1+x ）（2﹣x ）≥0所以﹣1≤x≤2，集合A={x|﹣1≤x≤2}；…因为x﹣a＞0，所以x＞a，集合B={x|x＞a}…（2）因为，所以x2﹣2x﹣3＜0解得：{x|﹣1＜x＜3}，…则A∩C={x|﹣1＜x≤2}．…19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）（1）试求a、b的值；（2）若不等式a x+b x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【考点】指数函数的图象与性质；函数恒成立问题．【分析】（1）根据点A、B在图象列出方程组，求出a、b的值；（2）由（1）可得m≤3x+9x，令u（x）=3x+9x，由指数函数的单调性判断出函数u（x）在[1，+∞）上单调性，求出u（x）min，由恒成立求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得，，解得a=3，b=9…（2）由（1）可得m≤3x+9x，x∈[1，+∞），令u=（x）3x+9x，x∈[1，+∞），只需m≤u min…，因为函数u（x）=3x+9x在[1，+∞）为单调增函数，…所以u（x）min=12，即实数m的取值范围是：{m|m≤12}．…20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．21．已知等比数列{a n}，满足a n+1＞a n，a1+a4=9，a2•a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知求得a1，a4的值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）直接利用错位相减法求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【解答】解：（1）在等比数列{a n}中，∵，∴，解得：或（舍去），∴，得q=2，∴；（2）设，则T n=c1+c2+c3+…+c n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①，②由①﹣②得：=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n﹣1=，∴．22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．【解答】解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f（n），则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n2﹣98，由f（n）＞0，得10﹣又∵n∈N*，∴3≤n≤17．即从第3年开始获利．（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．此时，总收益为12×7+26=110（万元）．②f（n）=﹣2（n﹣10）2+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）．此时，总收益为102+8=110（万元）．由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．。
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2018-2019学年江西师范大学附属中学高一下期期中考试数学试题一、单选题 1．数列1，815,57，249，……的一个通项公式为( ) A ．221n n a n =+B ．(2)1n n n a n +=+C ．2(1)12(1)n n a n +-=+D ．(2)21n n n a n +=+【答案】D【解析】利用排除法，令,1=n ，对选项中的通项公式逐一验证排除即可. 【详解】因为11,a =所以令,1=n 选项,,A B C 中1a 的值分别为133,,324，不合题意，所以可排除选项,,A B C ，故选D. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式、排除法解选择题，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 2．下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc >，则b a > B ．若d c b a >>,，则d b c a ->-C ．若d c b a >>,，则ac bd ≥D <b a <【答案】D【解析】令0c <可排除A ；令2,0,3a c b d ====-可排除B ；令2,2,3a c b d ===-=-可排除C ,从而可得结果.【详解】0c <时，若ac bc >，则b a <，排除A ；2,0,3a c b d ====-时，d c b a >>,成立，d b c a ->-不成立，排除B ； 2,2,3a c b d ===-=-时，d c b a >>,成立，ac bd ≥不成立，排除C ；故选D.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及特值法的应用，属于基础题. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.3．某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为1n +时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量=n ( ) A ．6 B ．7C ．12D ．18【答案】A【解析】根据容量为n 采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体可得n 为6的倍数，再利用样本容量为1n +时，采用系统抽样法需要剔除1个个体，验证排除即可. 【详解】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体， 所以n 为1812636++=的正约数， 又因为18:12:63:2:1=，所以n 为6的倍数，因此6,12,18,24,30,36n =，因为当样本容量为1n +时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体， 所以1n +为35的正约数，因此6n =，故选A. 【点睛】本题主要考查分层抽样与系统抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 4．若的内角满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.5．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1-C ．1D ．232-【答案】B【解析】化简2331111x x y x x x++==++-++，利用基本不等式求解即可.【详解】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即13-=x 时等号成立，所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1，故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 6．已知等差数列的前n 项和为18.若31S =，123n n n a a a --++=，则n 的值为( )A ．27B ．21C ．9D ．36【答案】A【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和为18,31S =，123n n n a a a --++=列出关于首项1a 、公差d 以及项数n 的方程组，解方程组即可得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为18,31S =，123n n n a a a --++=，所以根据等差数列的前项和公式112n n S a d n -⎛⎫=+⎪⎝⎭，和等差数列中第n 项()11n a a n d =+-，可得111331(2)11182a d a n d n a d n ⎧⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪-⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩通过第一个方程，可以得到113a d =- ，代入第二个式子，得到()233n d -=， 再将113a d =-代入第三个式子，得到1(3)1832n d n -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()233n d -=， 所以得到27n =,故选A. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.7．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等 【答案】C【解析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案． 【详解】29；30，∴∴A 错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B 错误； 甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D 错误；排除可得C 选项正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.8．钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A ．5B ．C ．2D ．1【答案】B【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.【考点】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 9．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈。
爬到竹子顶，行程是多远?”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是( ) A ．61.395尺 B ．61.905尺C ．72.705尺D ．73.995尺【答案】A【解析】先判断竹节长成等差数列，竹节圈长成等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】每节竹节间的长相差0.03尺，设从地面往长,每节竹长为12330,,,...,a a a a ,{}n a ∴是以10.5a =为首项，以'0.03d =为公差的等差数列,由题意知竹节圈长,后一圏比前一圏细1分3厘,即0.013尺， 设从地面往上,每节节圈长为12330,,,...,b b b b ，可得{}n b 是以1 1.3b =为首项，0.013d =-为公差的等差数列,∴一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:()3030293029300.50.0330 1.30.01361.39522S ⨯⨯⎛⎫⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A. 【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及等差数列的求和公式的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 10．已知1,0,0x y y x +=>≠，则121x x y ++的最小值是( ) A ．12B ．14 C ．34D ．54【答案】C【解析】由1,x y +=0y >得10y x =->,可得1x <且0x ≠，分类讨论，分别将原不等式去掉绝对值符号，利用基本不等式求其最小值，综合两种情况可得结果. 【详解】由1,x y +=0y >得10y x =->, 计算得出1x <且0x ≠.①当01x <<时，1||1122||1212242x x x x x x x y x y x x x x+-+=+=+=+++--121544244x x x x -=++≥+=-, 当且仅当242x x x x -=-,即23x =时取等号,此时的最小值54.②当0x <时,1||12212||12242424x x x x x x x x y x x x x x x -+---+=-=+=+-+------, 0,0,20x x x <∴->->，1||2111312||1424444x x x x y x x --∴+=+-≥=-=+--，当且仅当242x xx x--=--, 即22(2)4x x -=,即23440x x +-=,计算得出2x =-或23x =时(舍)取等号,此时最小值为34, 综上，1||2||1x x y ++最小值为34,故选C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，265a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1212n S S S n++⋯+取最大值时， n 的值为( ) A ．8 B ．8或9C ．9D ．17【答案】B【解析】由公比()0,1q ∈， 355a a +=，265a a =列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，求出等比数列{}n a 的通项公式,代入2log n n b a =,得到数列{}n b 为等差数列, 可得92n n S n c n -==, 利用0n c ≥时,1212n S S Sn++⋯+取最大值，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等比数列且35265,4a a a a +==，公比(0,1)q ∈,353554a a a a +=⎧∴⎨=⎩，解得354,1a a ==， 214141a q a q ⎧=∴⎨=⎩， 11,162q a ∴=∴=,则11162n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，522211log log 16log 252n n n n b a n --⎛⎫∴==⋅==- ⎪⎝⎭，则14b =，由()()15151n nb b n n +-=-+--=-.∴数列{}n b 是以4为首项,以1-为公差的等差数列.则数列{}n b 的前n 项和(45)(9)22n n n n n S +--==，令(9)922n n S n n nc n n --===，0n c ≥时,9≤n ，∴当8n =或9时,1212n S S S n++⋯+取最大值. 故选B. 【点睛】本题主要考查对数的运算、等比数列的性质与通项公式以及等差数列的前n 项和的最值，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0≥n a 且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.12．已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()60x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．8【答案】B【解析】由3x y xy ++= ，利用22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求得6x y +≥，2()()60x y a x y +-++≥恒成立，等价于()6()a x y x y ≤+++恒成立，令6m x y =+≥，利用单调性求出6()g m m m=+的最小值，进而可得结果. 【详解】3x y xy ++= ，且22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 故232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，整理即(6)(2)0x y x y +-++≥，又,x y 均为正实数，故6x y +≥，又对于任意满足3x y xy ++=的正实数,x y ，均有2()()60x y a x y +-++≥恒成立，整理可得()6()a x y x y ≤+++恒成立，令6m x y =+≥，令6()g m m m =+，6m ≥时2'()160g m m =-> 所以6()g m m m=+在[)6,+∞上递增，()(6)7g m g ∴≥=，因此(6)7a g ≤=，实数a 的最大值为7，故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()x f a ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()x f a ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.二、填空题 13．若不等式对一切成立，则的取值范围是 __ . 【答案】【解析】当，时不等式即为，对一切恒成立 ①当时，则须 ，∴②由①②得实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质，注意对二次项系数是否为0进行讨论；当，时不等式即为，对一切恒成立，当时 利用二次函数的性质列出满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围.14．若等比数列{}的前n 项和为，且，则______。